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An´ alisis Num´ erico Segundo Examen Parcial :Soluci´on Profr. Eduardo Uresti, Agosto-diciembre 2011 Matr´ıcula:
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1. La circulaci´ on y el flujo neto de un flujo representado por una funci´on de variable compleja f (z) a trav´es en una curva cerrada C se obtiene como la parte real y la parte imaginaria, respectivamente, de la integral de contorno I f (z) dz C
Si la curva est´ a parametrizada por z(t) = x(t) + y(t) i para a ≤ t ≤ b, entonces I Z b f (z) dz = f (x(t) + y(t) i) · (x0 (t) + y 0 (t) i) dt C
a
(El producto de f (x(t) + y(t) i) con x0 (t) + y 0 (t) i es el producto de expresiones complejas) Para funciones f (z) tales que f (z) es anal´ıtica en un dominio simplemente conexo que contiene a C o bien f (z) es anal´ıtica salvo en algunos polos de f (z) en el interior de la curva C hay resultados que simplifican mucho los c´alculos. Pero ante la ausencia de buenas propiedades de f (z) no hay de otra forma de calcularlos que realizando la integral. Como es el caso que nos ocupa. Suponga que f (x + y i) = x2 e−x y + y sen(x + y 2 ) i y que la curva C es el c´ırculo con centro en el origen y con radio 1 parametrizada como z(t) = x(t) + y(t) i = cos(t) + sen(t) i para 0 ≤ t ≤ 2 π Aproxime la circulaci´ on y el flujo neto a trav´es de C realizando la integraci´on num´erica tomando π ≈ 3.141593, haciendo una divisi´ on en 51 puntos en el intervalo [0, π] y aplicando integraci´on compuesta con la regla de Simpson en tres puntos. Reporte su resultado con 6 decimales. Soluci´ on En Maple hacemos: >f := (x, y)− > x2 ∗ exp(−x ∗ y) + y ∗ sin(x + y 2 ) ∗ I; >X := t− > cos(t); >Y := t− > sin(t); > aux := conjugate(f (X(t), Y (t))) ∗ (dif f (X(t) + Y (t) ∗ I, t)); >F := Re(aux); >G := Im(aux); Calculamos: F = Re(f (z(t)) z 0 (t)) = −cos(t)2 exp(−sen(t) cos(t)) sen(t) + sen(t) sin(cos(t) + sen(t)2 )cos(t) G = Im(f (z(t)) z 0 (t)) = cos(t)3 exp(−sen(t) cos(t)) + sen(t)2 sen(cos(t) + sen(t)2 ) Realizando las itegrales de las expresiones anteriores de t = 0 a t = 2 π mediante la formula de los 3 puntos de Simpson mediante una hoja de Excel: R 2π F dt ≈ 3.9988 × 10−11 R22 π G dt ≈ 1.904720872 2 2. Determine la temperatura en estado estable de cada uno de los nodos internos de la placa conductora se˜ nalados en la siguiente gr´ afica. Tarr
s
TesqI
T34 T44
s s Tizq
s
TesqD
s s
s
s
s
T33 T43 T53 T63 T73
s
s
s
s
s
T12 T22 T32 T42 T52 T62 T72 Tder
s
s
s
s
s
s
s
T11 T21 T31 T41 T51 T61 T71 Tabj
Ma2008: Segundo examen parcial, agosto-diciembre 2011
2
Determine las temperaturas de cada nodo interno sabiendo que: Tabj = 40o , Tarr = 20o , Tder = 10o Tizq = 50o , TesqI = 30o TesqD = 15o Reporte, a 5 decimales, los valores de T11 y T73 . Soluci´ on Formamos el sistema en Maple. La soluci´ on queda: ≈ 41.87539541 ≈ 15.62361811
T1,1 T7,3 3. Si: A
B
=
C
=
D
4 −1
3 1
−3 3
−1 0
2 −7
−1 −1
=
=
−3 1 −4 −1
Resuelva para X la siguiente ecuaci´ on: −1 A B XT − 2C = D Reporte el rengl´ on 2. Respuesta: Soluci´ on Del despeje: −1 T X = B−1 A−1 (D + 2 C) tenemos que: X=
39 31 −34 −27
4. Con los datos del problema anterior, resuelva el sistema 100 X + BX + CX +
AY 1000 Y DY
+ + +
Z = CZ = 10, 000 Z =
I 0 A
Soluci´ on Resolviendo:
0.0099967890 0.0000017491 .8534435840 10−6 0.0099992827 −.2888096242 10−4 .3919489269 10−4 Y = −.1120494694 10−4 .1089455251 10−4 .4030037778 10−3 −.2990062965 10−3 Z = −.1030203739 10−3 .1000280011 10−3 X
=
5. Encuentre la ecuaci´ on de la recta y = m x + b que se ajusta mejor, en el sentido de m´ınimos cuadrados, a los datos de la siguiente tabla:
Ma2008: Segundo examen parcial, agosto-diciembre 2011
3
x
y
0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000
0.201667 0.373333 0.548333 0.326667 1.008333 0.993333 1.781667 2.506667 3.068333 3.766667
Soluci´ on El modelo tiene y = 3.944949698 x − .7122223338 6. Ajuste los datos del problema anterior a un modelo de la forma y = a xk . Sugerencia: Para convertir a un modelo lineal tome logaritmos y vea que lo que le queda es un modelo lineal en ln(y) y ln(x). Soluci´ on y = 2.664871808 x1.282876924