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´ Tarea 3 de Algebra Lineal I
1. Determina cuales de las siguientes funciones son transformaciones lineales (a) T : R2 −→ R2 definida por T (x, y) = (1, y). (b) T : R2 −→ R2 definida por T (x, y) = (sen(x), y). (c) T : R3 −→ R2 definida por T (x, y, z) = (x + 2, x + y + z) (d) T : R3 −→ R2 definida por T (x, y, z) = (x + 2y, x + y + z). (e) T : R2 −→ R definida por T (x, y) = xy (f) T : R3 −→ R3 definida por T (x, y, z) = (x, y, z) + (1, 0, 1). P (g) T r : Mm×m (K) −→ K definida por T r(A) = m i=1 aii . (h) T : Mm×n (K) −→ Mm×n (K) definida por T (A) = At . (i) T : P2 (R) −→ P3 (R) definida por T (f (x)) = x(f (x)) + f 0 (x). a11 a12 a13 2a11 − a12 a13 + 2a12 (j) T : M2×3 (K) −→ M2×2 (K) definida por T ( )= a21 a22 a23 0 0 R (k) T : P2 (R) −→ P3 (R) definida por T (f (x)) = f (x)dx. 2. Sea T : V −→ W una transformaci´on lineal. (a) Demuestra que T (0V ) = 0W . (b) Demuestra que T (−v) = −T (v) para todo v ∈ V . (c) Sean v, v 0 ∈ V tal que T (v) = 0V y T (v 0 ) = w. Demuestra que T (v + v 0 ) = w. 3. Sea T : V −→ W una K-transformaci´on lineal y sean w1 , w2 , . . . , wn elementos de W que son linealmente independientes. Supongamos que existen elementos v1 , v2 . . . , vn de V tal que T (vi ) = wi para i = 1, . . . , n. Demuestra que S = {v1 , v2 , . . . , vn } es linealmente independiente. 4. Sea V un R-e.v y T : V −→ R una R-transformaci´on lineal. Sea W = {v ∈ V | F (v) = 0}. Supongamos que W 6= V y sea v0 ∈ V tal que v0 ∈ / W. (a) Demuestra que W es un subespacio de V y que todo elemento v ∈ V se puede escribir como v = w + cv0 con w ∈ W y c ∈ R. (b) Demuestra que si {v1 , v2 , . . . , vn } es una base de W , entonces {v0 , v1 , . . . , vn } es una base de V . 5. Sea T : Rn −→ Rn una transformaci´on lineal y P, A ∈ Rn con A 6= 0. Muestra que la imagen bajo T de la linea recta L := {P + tA | R}, es una linea recta o un punto. Dados dos puntos P, Q ∈ Rn el segmento de recta entre P y P + Q es {P + tQ | t ∈ [0, 1]}. Demuestra que la imagen bajo T de un segmento de recta es un segmento de recta.
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´ Tarea 3 de Algebra Lineal I 6. Dados dos vectores u, v ∈ Rn linealmente independientes, definimos el siguiente conjunto de elementos de Rn , P = {tu + rv | t, r ∈ [0, 1]}. Describe geom´etricamente en R2 y R3 al conjunto P . 7. Sea T : R2 −→ R2 transformaci´on lineal tal que T (1, 0) = (1, 1) y T (0, 1) = (−1, 2). Sea S el cuadrado cuyas esquinas son (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1). Demuestra que la imagen de este cuadrado es un paralelogramo. M´as general, si u y v son vectores linealmente independientes en R2 y T : R2 −→ R2 lineal, entonces la imagen del paralelogramo formado por u y v es el paralelogramo formado por T (u) y T (v). 8. Sea T : R2 −→ R2 R-lineal tal que (a) T (3, 1) = (1, 2) y T (−1, 0) = (1, 1) (b) T (4, 1) = (1, 1) y T (1, 1) = (3, −2) (c) T (1, 1) = (2, 1) y T (−1, 1) = (6, 3), calcula T (1, 0) en cada caso. 9. Sea T : R2 −→ Rn y β = {u, v} una base de R2 . Demuestra que T (u), T (v) son linealmente independientes o la imagen de T tiene dimensi´on 1 o la imagen es {0Rn }. 10. Sea v un vector no cero en R2 y T : R2 −→ Rn una transformaci´on R-lineal. Demuestra que si T (v) = 0, entonces la imagen de T es una linea recta o {0Rn }. 11. Sean V y W espacios vectoriales de dimensi´on finita sobre K tales que dimK (V ) = dimK (W ) = n. a) Demuestra que Si T : V −→ W es una transformaci´on lineal tal que Ker(T ) = {0V } entonces T es suprayectiva. b) Demuestra que si T : V −→ W es una transformaci´on lineal tal que Im(T ) = W entonces T es inyectiva. 12. Sea T : V −→ W K-lineal y w ∈ W . Sea v0 ∈ V un elemento tal que T (v0 ) = w. Demuestra que cualquier soluci´ on de la ecuaci´on T (v) = w es de la forma v = v0 + u donde u ∈ Ker(T ). 13. Sea V := {f : R −→ R | f es infinitamente diferenciable} y sea D : V −→ V tal que D(f ) = f 0 . Calcula el kernel de D. 14. Consideremos el K-espacio vectorial V = Mm×m (K). P a) Sea T : Mm×m (K) −→ K definida por T (A) = m on de Ker(T ) i=1 aii . Calcula la dimensi´ y encuentra una base de Ker(T ). b) Demuestra que Mm×m (K) = W1 ⊕ W2 , donde W1 es el subespacio de las matrices sim´etricas y W2 es el subespacio de las matrices antisim´etricas. 15. Sea P : Mm×m (K) −→ Mm×m (K) definida por P (A) =
A+At 2 .
a) Demuestra que P es una transformaci´on lineal. 2
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´ Tarea 3 de Algebra Lineal I b) Muestra que Ker(P ) es el subespacio de las matrices antisim´etricas y calcula la dimens´ıon de Ker(P ). 16. Sean V y W K-espacios vectoriales. Sea V × W := {(v, w) | v ∈ V, w ∈ W }. Si definimos la suma como (v1 , w1 ) + (v2 , w2 ) := (v1 + v2 , w1 + w2 ) y para λ ∈ K definimos λ(v1 , w1 ) := (λv1 , λw1 ). Demuestra que V × W es un K-espacio vectorial. Si dimK (V ) = n y dimK (W ) = m, demuestra que dimK (V × W ) = m + n. Si U ⊆ V es un subespacio vectorial de V , demuestra que D = {(u, u) | u ∈ U } es un subespacio de V × V . 17. Sea V un K-espacio vectorial de dimensi´on finita. Demuestra que si U y W son subespacios de V , entonces dimK (U ) + dimK (W ) = dimK (U + W ) + dimK (U ∩ W ). Hint: Considera la funci´on T : U × W −→ V tal que T (u, w) = u − w. 18. Sean V y W K-espacios vectoriales de dimensi´on finita y T : V −→ W una transformaci´ on K-lineal. a) Demuestra que si dimK (V ) > dimK (W ), entonces Ker(T ) 6= {0V }. b) Demuestra que si dimK (V ) = dimK (W ) y Ker(T ) = {0V }, entonces T es un isomorfismo. 19. Sean F : V −→ W y G : W −→ Z transformaciones K-lineales tales que F y G son invertibles. Demuestra que GF es invertible y que (GF )−1 = F −1 G−1 . 20. Sea T : R3 −→ R3 definida por a) T (x, y, z) = (x − y, x + z, x + y + 2z) b) T (x, y, z) = (2x − y + z, x + y, 3x + y + z). Demuestra que en cada caso que T es un isomorfismo. 21. Sea T : V −→ V una transformaci´on K-lineal. Demuestra que si T 2 = 0, entonces IV − T es invertible. 22. Sea T : V −→ V K-lineal tal que tal que T 2 + 2T + IV = 0, demuestra que T es invertible. 23. Sea V un K-espacio vectorial y T : V −→ V lineal tal que T 2 = T . Demuestra que V = Ker(T ) ⊕ Im(T ). Hint: escribe a cada elemento v ∈ V como v = v − T (v) + T (v). 24. Sean V y W K-espacios vectoriales de dimensi´on finita. Demuestra que si dimK (V ) = dimK (W ), entonces V y W son isomorfos. 25. Sean V y W Q-espacios vectoriales de dimensi´on finita. Sea T : V −→ W es una funci´ on tal que T (v + v 0 ) = T (v) + T (v 0 ) para todos v, v 0 ∈ V . Demuestra que T es Q-lineal. 26. Sea T : R3 −→ R una transformaci´on R-lineal. a) Demuestra que existen escalares a, b, c ∈ R tal que T (x, y, z) = ax + by + cz. Generalizar el resultado para T : Rn −→ R y T : Rn −→ Rm . b) Describe geom´etricamente las posibilidades para el Kernel de T .
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