28 El Campo Eléctrico 28.1. Los Campos

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Capítulo 28 28 El campo eléctrico El 25 de agosto de 1989, doce años después de su lanzamiento, la nave espacial Voyager 2 pasó cerca del planeta Neptuno, a una distancia de 4.4 ×109 km. de la Tierra. Entre otros descubriminetos, el Voyager reportó la observación de seis lunas previamente desconocidas de Neptuno y un sistema de anillos. La clave para entender este tipo de comunicación está en el campo electromagnético. Los electrones que se mueven en los circuitos eléctricos del Voyager establecen un campo eléctrico y las variaciones de su movimiento causan perturbaciones en el campo para viajar a la velocidad de la luz. Más de 4 horas más tarde, los electrones en los cricuitos de la Tierra detectan estos cambios en el campo y se mueven en concordancia con estas. 28.1. Los campos En la matemática se estudia a los campos escalares y a los campos vectoriales. Las distribuciones de temperatura o presión en un recinto son ejemplos de campos escalares que asocian un valor numérico a cada punto en el espacio, en tanto que una Halliday, Resnick, Krane 1 Fisica II Capítulo 28 distribución de velocidades en un fluído y la aceleración gravitacional son ejemplos campos vectoriales que asocian un vector a cada punto en el espacio. Cuando se estudió al campo gravitacional g, se definió como la fuerza gravitacional F por unidad de masa de prueba m 0 , o F . (28.1) m0 Este es un campo vectorial y es, generalmente, estático cuando la distribución de masas del cuerpo gravitacional permanece constante. Cerca de la superficie de la Tierra, y en puntos cercanos entre sí, el campo es uniforme, lo que significa que g tiene la misma magnitud y dirección en los puntos vecinos. En el caso gravitacional se tiene que una masa interactúa directamente con otra g= masa masa pero más propiamente la interacción se puede expresar como masa campo masa . Halliday, Resnick, Krane 2 Fisica II Capítulo 28 28.2. El campo eléctrico E Haciendo una analogía con la fuerza gravitacional, la fuerza de Coulomb entre las cargas invita a representar la interacción entre cargas como carga carga. Y si de nuevo se tiene a un intermediario, entonces carga campo carga. Esto es, la primera carga establece un campo eléctrico y la segunda interactúa con dicho campo. Así, el problema de determinar la interacción entre las cargas se reduce a: (1) determinar, mediante mediciones o cálculos, el campo eléctrico establecido por la primera carga en cada punto del espacio y (2) calcular la fuerza que el cmapo ejerce sobre la segnuda carga puesta en un punto particular del espacio. Así, por analogía con el caso gravitacional, y usando una carga de prueba positiva q 0 en un punto partivcular, se tiene E= Halliday, Resnick, Krane F . q0 3 (28.2) Fisica II Capítulo 28 La dirección de E es la misma que la de F ya que q 0 > 0. En el SI la unidad de medida es (N/C). Figura 28.1 La figura 28.1 ilustra el campo eléctrico que actúa como intermediario en la interacción entre dos cargas. En la figura 1a, la carga q 1 establece un campo eléctrico en el espacio que la rodea. El campo actúa sobre la carga q 2 , que resulta en la fuerza F2 . La figura 1b muestra la situación simétrica. Halliday, Resnick, Krane 4 Fisica II Capítulo 28 Estrictamente lo correcto es considerar F . q 0 →0 q 0 E = l´ım (28.3) Ejercicio 1. Se coloca a un protón dentro de un campo eléctrico uniforme E. ¿Cuál debe ser la magnitud y dirección de la fuerza electrostática que actúe sobre el protón para balancear justo su peso? Solución. De la ecuación (28.2), reemplazando q 0 por e y F por mg, se tiene E= F mg (1.67 × 10−27 kg)(9.8 m/s2 ) = 1.0 × 10−7 N/C = = q0 e 1.60 × 10−19 C que apunta verticalmente hacia arriba. 28.3. El campo eléctrico debido a cargas puntuales Sea q 0 una carga de prueba positiva colocada a una distancia r de una carga puntual q. La magnitud de la fuerza que experimenta q 0 debida a la presencia de q es Halliday, Resnick, Krane 5 Fisica II Capítulo 28 F= Figura 28.2 1 qq 0 . 4π²0 r 2 La magnitud del campo eléctrico en el sitio en el que se encuentra q 0 es E= F 1 q = . q 0 4π²0 r 2 (28.4) La figura 28.2 muestra la magnitud y dirección de E en varios puntos alrededor de una carga puntual. Cuando se tienen N cargas puntuales se aplica el principio de superposición para calcular el campo eléctrico en un punto dado (diferente de la localización de las cargas puntuales), de modo que E en el punto de interés es E = E1 + E2 + E3 + . . . = N X Ei . (28.5) i =1 Halliday, Resnick, Krane 6 Fisica II Capítulo 28 Ejercicio 2. En un átomo de helio ionizado (un átomo de helio en el que se ha eliminado a uno de sus dos electrones), el electrón y el núcleo están separados por una distancia de 26.5 pm. ¿Cuál es el campo eléctrico debido al núcleo en la localización del electrón? Solución. De la ecuación (28.4), con q 0 (la carga total del núcleo) igual a +2e : E= 2´ 1 q ³ 2(1.60 × 10−9 C) 9N·m = 8.99) × 10 = 4.086 × 1012 N/C. 4π²0 r 2 C2 (26.5 × 10−12 m)2 Ejercicio 3. La figura 28.3 muestra una carga q 1 =+1.5 µC y una carga q 2 = +2.3 µC. La primera carga está en el origne del eje x y la segunda está en una posición x = L, donde L = 13 cm. ¿En cuál punto P, a lo largo del eje x el campo eléctrico es cero? De la ecuación (28.4) se tiene que 1 q1 1 q2 = , 2 4π²0 x 4π²0 (L − x)2 Halliday, Resnick, Krane 7 Fisica II Capítulo 28 q1 x q2 E2 P E1 L x Figura 28.3 Solución. El punto debe estar entre las posiciones de las cargas debido a que sólo en esta región las fuerzas ejercidas por q 1 y q 2 sobre una carga de prueba se oponen mutuamente. Si E1 es el campo eléctrico debido a q 1 y E2 el debido a q 2 , las magnitudes de estos vectores deben ser iguales, o E1 = E2. donde x es la coordenada del punto P. Resolviendo para x x= 13cm L = = 5.8 cm. p p 1 + q 2 /q 1 1 + 2.3µC/1.5µC Halliday, Resnick, Krane 8 Fisica II Capítulo 28 El dipolo eléctrico q z q d r x q r P E q x q E q E La figura 28.4 muestra una carga positiva y una negativa de la misma magnitud, q, y separadas una disdtancia d; a esta configuracion se le llama dipolo eléctrico. Se pretende calcular E en el punto P, a una distancia x a lo largo del bisector perpendicular de la línea que pasa a través a las cargas. Figura 28.4 E = E+ + E− . E+ = E− = 1 q 1 q = , 2 2 4π²0 r 4π²0 x + (d/2)2 (28.6) es la magnitud del campo. Haciendo el desarrollo en forma vectorial: las posiciones de las cargas son (0, d/2) Halliday, Resnick, Krane 9 Fisica II Capítulo 28 para q + , (0, − d/2) para q − y (x, 0) para el punto P. Así que µ ¶ q xˆi − (d/2)ˆj − qd ˆj xˆi + (d/2)ˆj 1 E= − . = 4π²0 [x2 + (d/2)2 ]3/2 [x2 + (d/2)2 ]3/2 4π²0 [x2 + (d/2)2 ]3/2 Como puede verse, coincide con el resultado que se muestra en la figura 28.4. Así, se define a p como el momento dipolar eléctrico: p = qd. (28.7) El momento dipolar eléctrico es una propiedad fundamental de las moléculas, que con frecuencia tienen una carga positiva y una carga negativa de la misma magnitud, separadas por una distancia definida. En muchas ocasiones se observa al campo eléctrico de un dipolo desde puntos P desde una distancia x À d. Usando la expansión binomial (1 + y)n = 1 + n y + n(n − 1) 2 y +..., 2! se puede aproximar · µ ¶2 ¸−3/2 · µ ¶µ ¶2 ¸ 1 p 1 1 p d 1 p 3 d E= = 1+ = 1+ − 4π²0 x3 [x2 + (d/2)2 ]3/2 4π²0 x3 2x 4π²0 x3 2 2x Halliday, Resnick, Krane 10 Fisica II Capítulo 28 E= ¸ ¶µ ¶2 · µ 3 d 1 p + . . . 1 + − 4π²0 x3 2 2x por lo que E= 1 p . 4π²0 x3 (28.8) 0 2 E(x) x1010 6 4 8 La figura 28.5 muestra la magnitud del campo eléctrico como función de la distancia. 1 2 3 4 x x10-10 5 6 Figura 28.5 Halliday, Resnick, Krane 11 Fisica II Capítulo 28 Tal como se esperaba, a medida que crece la distancia entre P y el dipolo ambas expresiones dan resultados cada vez más parecidos. Tarea: Complete la Tabla 1 considerando el cálculo del campo eléctrico alrededor de una carga puntual q = 5µC, localizada en (5, 5)m. Los valores de E x , E y y E proceden de un factor multiplicativo de 1/8000 para efectos del trazo de los vectores. Las direcciones están dadas en grados (°). Tabla 1. El vector campo eléctrico en las proximidades de una carga puntual q=5 mC, localizada en (5, 5)m. x [m] 5.5 5.3 5.0 4.5 4.0 3.3 2.7 2.2 1.9 1.7 1.8 2.2 2.9 Halliday, Resnick, Krane y [m] 5.9 6.3 6.6 6.8 6.8 6.7 6.3 5.7 5.0 4.1 3.2 2.2 1.4 Ex [N/C] 2.1 0.7 0.0 ‐0.3 ‐0.5 ‐0.6 ‐0.6 ‐0.5 ‐0.5 ‐0.4 ‐0.3 ‐0.2 ‐0.1 Ey [N/C] 3.6 2.5 1.8 1.3 0.9 0.6 0.3 0.1 0.0 ‐0.1 ‐0.2 ‐0.2 ‐0.2 12 E [N/C] 4.1 2.6 1.8 1.3 1.0 0.8 0.7 0.5 0.5 0.4 0.3 0.3 0.3 Direccion ° 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210 225 240 Fisica II Capítulo 28 28.4. Las líneas de fuerza Michael Faraday no apreció el concepto del vector campo eléctrico pues lo consideraba en términos de líneas de fuerza. 1 Las líneas de fuerza indican la dirección del campo eléctrico en cualquier punto. 2 Las líneas de fuerza se originan en las cargas positivas y teminan en las negativas. 3 Las líneas de fuerza se trazan de manera que el número de líneas por unidad de sección transversal (perpendicular a las líneas) sea proporcional a la magnitud del campo eléctrico. 28.5. El campo eléctrico debido a distribuciones continuas de carga Aunque la carga eléctrica está cuantizada, una colección de un gran número de cargas elementales se puede ver como una distribución continua de carga. Halliday, Resnick, Krane 13 Fisica II Capítulo 28 El campo establecido por una distribución continua de cargas se puede calcular dividiendo a la distribución en elementos infinitesimales dq. Cada elemento de carga establece un campo dE en un punto P, y el campo resultante se en P se encuentra usando el principio de superposicion, de modo que Z E = dE. (28.9) En coordenadas rectangulares Z Z E x = dE x , E y = dE y Z y Ez = dE z . Por lo que 1 dq , (28.10) 4π²0 r 2 donde r es la distancia entre el elemento de carga dq y el punto P. Una distribución continua de carga está descrita por su denisdad de carga. En una distribución lineal, con densidad lineal de carga λ se tiene dE = dq = λ ds, Halliday, Resnick, Krane 14 (28.11) Fisica II Capítulo 28 Si la distribución de cargas es uniforme entonces λ es constante y si L es la longitud del objeto q dq = ds. (28.12) L Si la carga está distribuida sobre una superficie, con densidad superficial de carga σ se tiene dq = σ d A, (28.13) Si la distribución de cargas es uniforme entonces σ es constante y si A es el área superficial del objeto q dq = d A. (28.14) A Cuando la carga está distribuida en tres dimensiones, con densidad volumétrica de carga ρ se tiene dq = ρ dV , (28.15) Si la distribución de cargas es uniforme entonces ρ es constante y si V es el volumen del objeto Halliday, Resnick, Krane 15 Fisica II Capítulo 28 dq = q dV . V (28.16) Un anillo de carga La figura 28.6 muestra un anillo delgado de radio R que porta una densidad lineal de carga uniforme λ alrededor de su circunferencia. z dE cos q dE dE q q P q r z y R ds x Figura 28.6 ¿Cuál es el campo eléctrico en el punto P, a una distancia z del plano del anillo y Halliday, Resnick, Krane 16 Fisica II Capítulo 28 a lo largo de su eje central? Considere un elemento ds del anillo en alguna posición arbitraria del mismo. El elemento de carga es dq = λ ds, y establece un elemento diferencial de campo dE en el punto P. 1 λ ds − xˆi − yˆj + zkˆ dE = (28.17) p 4π²0 x2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2 es la contribución al campo. Considerando un elemento ds del lado diametralmente opuesto (haciendo una rotación de180° alrededor del eje z), se localizará en (− x, − y, z), así el elemento diferencial del campo eléctrico es dE = xˆi + yˆj + zkˆ 1 λ ds p 4π²0 x2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2 Por lo que sumando estas dos contribuciones se tiene dE = Halliday, Resnick, Krane 1 λ ds zkˆ p 4π²0 x2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2 17 (28.18) Fisica II Capítulo 28 Este resultado es el mismo para cada pareja de elementos ds que sean diametralmente opuestos, asqí que µZ ¶ 1 zλ ds E= kˆ (28.19) 4π²0 (R 2 + z2 )3/2 Entonces, zλ E= 4π²0 µZ ds ¶ (R 2 + z2 )3/2 kˆ = zλ(2πR) µ 4π²0 (R 2 + z2 )3/2 ¶ ˆ k. (28.20) Pero q = λ(2πR), así que E= qz 4π²0 (R 2 + z2 )3/2 ˆ k. (28.21) La magnitud de E en la ecuación (28.21), ¿da la dirección correcta para el campo cuando z < 0?, y ¿cuando q < 0? Para puntos z À R se tiene µ ¶ 1 q ˆ E≈ k (z À R). (28.22) 4π²0 z2 Halliday, Resnick, Krane 18 Fisica II Capítulo 28 ¡A grandes distancias la distribución de cargas se parece a una carga puntual! Un disco de carga La figura 28.8 muestra un disco circular de plástico de radio R, que porta una densidad de carga superficial uniforme σ en su superficie superior. ¿Cuál es del campo eléctrico en el punto P, a una distancia z del disco a lo largo de su eje? z dE P z dw y w R x Figura 28.7 Conviene dividir al disco en sectores anulares de radio w y anchura dw, de modo Halliday, Resnick, Krane 19 Fisica II Capítulo 28 que su carga es dq = σ d A = σ(2πw)dw. (28.23) Usando el resultado del ejercicio anterior se tiene µ dE = zσ2πw dw ¶ 4π²0 (z2 + w2 )3/2 Así Z dE = E= σz ¶ µ σz 2 ˆ (z + w2 )−3/2 (2w)dw k. kˆ = 4² 0 R µZ 4² 0 0 2 ¶ ˆ (2w)dw k. (28.24) (disco cargado). (28.25) 2 −3/2 (z + w ) Integrando se obtiene E= σ 2² 0 µ 1− p z ¶ z2 + R 2 kˆ Para R À z se tiene que la magnitud del campo es E= Halliday, Resnick, Krane σ 2² 0 (hoja infinita). 20 (28.26) Fisica II Capítulo 28 La línea infinita de carga La figura 28.8 muestra una sección de una línea infinita de carga con λ constante. ¿Cuál es el campo E a una distancia “y” de la línea de carga? z r z y -z dz dEz q P q dE q dEy y r dq x Figura 28.8 De acuerdo con la figura 28.8, la posición del punto P es (0, y, 0) y la posición de dq es (0, 0, z) así, la contribución de dq al campo total es Halliday, Resnick, Krane 21 Fisica II Capítulo 28 1 yˆj + zkˆ λ ds p 2 2 4π²0 y + z y2 + z 2 dE = (28.27) y considerando un elemento dq en el lado diametralmente opuesto se tiene dE = yˆj − zkˆ λ ds 1 p 2 2 4π²0 y + z y2 + z 2 (28.28) dE = λ ds 2yˆj 1 . p 4π²0 y2 + z2 y2 + z2 (28.29) por lo que la suma da Por lo que E= 2π²0 o bien E= Halliday, Resnick, Krane ÃZ λ λ 2π²0 z=∞ z=0 µZ ! dz ˆj, p 2 2 y2 + z2 y + z y z=∞ z=0 cos θ 22 ¶ dz ˆj. y2 + z 2 (28.30) (28.31) Fisica II Capítulo 28 De la figura 28.8 se observa que z = y tan θ . Derivando se tiene dz = y sec2 θ d θ . Así, E= λ θ =π/2 µZ 2π²0 θ =0 por lo que µ λ ¶ cosθ d θ ˆj, ¶ ˆj. (28.32) 2π²0 r Como puede verse, este resultado corresponde a un sistema de referencia en coordenadas rectangulares, así que considerando la simetría cilíndrica del problema se tiene, en coordenadas cilíndricas: µ ¶ λ rˆ . (28.33) E= 2π²0 r E= Halliday, Resnick, Krane 23 Fisica II Capítulo 28 28.6. Una carga puntual dentro de un campo eléctrico ¿Qué sucede cuando se coloca una carga puntual dentro de un campo eléctrico? Se sabe que F = qE, así que el movimiento de la partícula se puede describir con la segunda ley de Newton. Se considerará que F es constante, ver la figura 28.9, donde E es uniforme y por ello constante en la región central entre las placas. Se omiten los efectos de borde. y qE E mg Figura 28.9 Ejercicio 5. Se mantiene en equilibrio a una gota de aceite cargada, de radio R =2.76µm y densidad ρ =920kg/m3 , bajo la influencia combinada de su peso y un campo eléctrico que apunta hacia abajo, E =1.65×106 N/C, ver la figura 28.9. (a) Calcule la magnitud y signo de la carga en la gota. Exprese el resultado en términos de la carga elemental e. (b) La gota se expone a una fuente radiactiva que emite electrones. Dos electrones se impactan con la gota y esta los captura, cambiando su Halliday, Resnick, Krane 24 Fisica II Capítulo 28 carga en dos unidades. Si el campo eléctrico mantiene su valor constante, calcule la aceleración resultante de la gota. Solución. (a) Para mantener a la gota en equilibrio, mg=qE. La condición de equilibrio es ΣF = mg + qE = 0, o bien − mg + q(−E) = 0 así que q=− 4 πR 3 ρ g mg =−3 = −4.8 × 10−19 C. E E Por lo tanto n= q = 3. −e (b) Si se añaden dos electrones, entonces q0 = (n + 2)(− e) = 5(−1.6 × 10−19 C = −8.0 × 10−19 C. De la segunda ley de Newton ΣF = mg + q0 E = ma, Halliday, Resnick, Krane por lo que 25 a = − g − (q0 E/m) = +6.5 m/s2 . Fisica II Capítulo 28 Ejercicio 6. La figura 28.10 muestra el sistema de electrodos para la desviación de una impresora de inyección de tinta. Una gota de tinta cuya masa m es 1.3×10−10 kg porta una craga q de −1.5×10−13 C y entra en el sistema de placas para la desviación con una rapidez v = 18 m/s. La longitud L de las placas es 1.6 cm y la magnitud del campo eléctrico E entre las placas es 1.4×106 N/C. ¿Cuál es la desviación vertical de la gota al alcanzar el borde de las placas? Ignore las variaciones del campo eléctrico en los bordes de las placas. Input signals y E Drop generator Deflecting plates Charging unit L Gutter m, q E x (a) (b) Figura 28.10 Halliday, Resnick, Krane 26 Fisica II Capítulo 28 Solución. Sea t el tiempo de paso de la gota a través del sistema de desviación. Los desplazamientos vertical y horizontal están dados por 1 y = at2 2 y L = vt, por lo que y= 28.7. − qEL2 = 0.64 mm. 2mv2 Un dipolo en un campo eléctrico La dirección de la fuerza sobre la carga positiva del dipolo tiene dirección opuesta a la ejercida sobre la carga negativa. Aquí se define al vector p (= qd) con dirección que parte de − q y termina en q. La figura 28.11 muestra a un dipolo dentro de un campo eléctrico uniforme, E. La torca neta alrededor del centro del dipolo tiene magnitud τ=F Halliday, Resnick, Krane d d sin θ + F sin θ = F d sin θ , 2 2 27 (28.34) Fisica II Capítulo 28 q d F q p -F E q t q p (a) E (b) Figura 28.11 con lo que τ = (qE)d sin θ = (qd)E sin θ = pE sin θ , (28.35) τ = p × E. (28.36) o bien Así, cuando las fuerzas son conservativas Z W= Halliday, Resnick, Krane Z dW = θ θ0 τ · dθ = 28 Z θ θ0 (−τ d θ ) , (28.37) Fisica II Capítulo 28 por lo que Z W= θ θ0 − pE sin θ d θ = pE(cos θ − cos θ0 ). (28.38) Considerando el teorema del trabajo y la energía ∆U ≡ U(θ ) − U(θ0 ) = −W = − pE(cos θ − cos θ0 ), (28.39) y si θ0 = 90°, entonces U = − pE cos θ , (28.40) U = −p · E. (28.41) o bien Entonces, el mínimo se alcnza cuando p y E son paralelos. Halliday, Resnick, Krane 29 Fisica II