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´ PRACTICA TIPO TEST MAYO’05 MODELO 2 1. El polinomio de McLaurin de grado 3 de f (x) = (ex + 1)2 es: (a) 4 − 4x + 3x2 − 5x3 /3
(b) −4 + 4x − 3x2 + 5x3 /3 (c) 4 + 4x + 3x2 + 5x3 /3
(d) Ninguna de las anteriores es cierta. 2. Sea u(x, y, z) = ln(xy 2 z 3 ) la funci´on de utilidad de un consumidor, con x > 0, y > 0, z > 0. Calc´ ulese el valor m´aximo de dicha funci´on de utilidad teniendo en cuenta que los precios de los bienes x, y, z son p1 = 1, p2 = 2, p3 = 3, respectivamente, y su renta es de 7 u.m. (a) u ≈ 0.924904.
(b) u ≈ 11.675461.
(c) u ≈ 10.750557.
(d) Ninguna de las anteriores es cierta. 3. Determ´ınese el grado de homogeneidad 3 3 3 x/y √ −z e de la funci´on: f (x, y, z) = x +y 2 2 x +y
(a) La funci´on es homog´enea de grado 2. (b) La funci´on es homog´enea de grado 1. (c) La funci´on no es homog´enea. (d) Ninguna de las anteriores es cierta. 4. Dado el problema no lineal: opt. (x − 1)2 + (y − 2)2 s.a. −x + y ≤ 1 x+y ≤2 x, y ≥ 0 (a) Tiene un m´ınimo local en x = 0, y = 0. (b) Tiene un m´ınimo local en y = 3/2, x = 1/2. (c) Tiene un m´aximo local en x = 1, y = 4.
(d) Ninguna de las anteriores es cierta. 5. Una compa˜ n´ıa tiene dos talleres. El primer taller puede operar un m´aximo de 40 horas semanales y el segundo un m´aximo de 60 horas por semana. Cada hora de trabajo en el primer taller da como resultado 3 toneladas de producto terminado, mientras que en el segundo taller se producen 4 toneladas. La compa˜ n´ıa tiene compromisos con sus clientes para vender por lo menos 175 toneladas semanales. Adem´as, por razones de pol´ıtica sindical, la compa˜ n´ıa quiere operar como m´ınimo el mismo n´ umero de horas en el segundo taller que en el primero. Sabiendo que x e y son el n´ umero de horas semanales trabajadas en los talleres I y II y que la funci´on de coste de la empresa es: C(x, y) = x2 + y 2 − 50x − 10y + 650, las ecuaciones que nos permiten encontrar el m´ınimo coste son: (a) min C(x, y) = x2 +y 2 −50x−10y + 650 s.a. 3x + 4y ≥ 175 x ≤ 40 y ≤ 60 y≤x x, y ≥ 0
(b) min C(x, y) = x2 +y 2 −50x−10y + 650 s.a. 3x + 4y ≥ 175 x ≤ 40 y ≤ 60 x, y ≥ 0 (c) min C(x, y) = x2 +y 2 −50x−10y + 650 s.a. 3x + 4y ≥ 175 x ≤ 40 y ≤ 60 y≥x x, y ≥ 0
(d) Ninguna de las anteriores.
6. Dado el problema lineal: min 10x + 6y + 4z s.a. 8x + 4y + 4z ≥ 10 4x + 2y + 4z ≥ 6 2x + 3y + 4z ≥ 5 x, y, z ≥ 0 (a) El o´ptimo se alcanza en x = 2, y = 2, z = 1. (b) El o´ptimo se alcanza en x = 1, y = 0, z = 0.
x+y+z =5 El o´ptimo se alcanza en: (a) x = −15/4, y = 1/2, z = 3/4.
(b) x = 1/2, y = 3/4, z = 15/4.
(c) x = 15/4, y = 1/2, z = 3/4. (d) Ninguna de las anteriores es cierta. 9. La√derivada el´astica de la funci´on (x + 3 1) x en el punto x=e-1 vale: (a) (e − 1).
(c) El o´ptimo se alcanza en x = 0, y = 0, z = 5/2.
(b) (e −
(d) Ninguna de las anteriores es cierta.
(c) 0.
7. El programa dual del primal: max x − 3y s.a. x−y ≤1 6x + y ≥ 4 −5x + 2y ≤ 8 x, y ≥ 0 es: (a) min u − 4v + 8w s.a. u − 6v − 5w ≥ 1 −u − v + 2w ≥ −3 u, v, w ≥ 0 (b) min u − 4v + 8w s.a. u − 6v − 5w ≤ 1 −u − v + 2w ≤ −3 u, v, w ≥ 0 (c) min u + 4v + 8w s.a. u + 6v − 5w ≥ 1 −u + v + 2w ≥ −3 u, v, w ≥ 0 (d) Ninguna de las anteriores es cierta. 8. Dado el problema: min. z s.a. x + y 2 = 4
1)( √ 3 2 3(e−1)
+
√
3(e−1) ). e
(d) Ninguna de las anteriores es cierta. 10. La funci´on: f (x, y) = (x2 + 2y)ey (a) Alcanza un m´aximo en x = 0, y = 0. (b) Alcanza un m´ınimo en x = −1, y = −1.
(c) Alcanza un m´ınimo en x = 0, y = −1.
(d) Alcanza un m´aximo en x = 0, y = 1. Notas:
• Tiempo m´aximo: 2 h. • Anotar el grupo: LE, LADE. • Acierto = 1 pto. Error o respuesta doble = -0.25 ptos. Pregunta blanco = 0 ptos.