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La conservacio´n del momento cin´etico I R. Castilla y P.J. Gamez-Montero Curso 2011-2012 ´ Indice
´Indice 1. Ecuaci´ on integral de la conservaci´ on del momento cin´ etico
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2. C´ alculo de momentos en un VC
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1.
Ecuaci´ on integral de la conservaci´ on del momento cin´ etico
Ecuaci´ on integral de la conservaci´ on del momento cin´ etico Es posible aplicar la forma general de conservaci´on de una magnitud f´ısica al momento cin´etico. Recordemos que para una part´ıcula, su momento cin´etico respecto de un punto O se define como ~ 0 = ~r0 × m~v L y la f´ısica de part´ıculas dice que la derivada de esta magnitud es igual a la suma de los momentos de las fuerzas que act´ uan sobre la part´ıcula X ~0 dL ~T = ~r0 × F~ = M dt
es
Apliquemos esto a un Volumen de Control relacionado con un fluido. Para un Sistema de Control, el momento cin´etico ˆ ~0 = L (~r0 × ~v ) ρdV Sist C
y, aplicando el teorema de transporte de Reynolds, con F = ~r0 × m~v y f = ~r0 × ~v , la variaci´ on de esta magnitud para un Volumen de Control, es ˆ ˛ ~ ∂ (~r0 × ρ~v ) ~ T = dL0 = ~ M dV + (~r0 × ~v ) ρ~vr · dS dt ∂t VC SC Importante : no olvidar, igual que en la conservaci´on de la cantidad de movimiento, el caracter vectorial de esta relaci´ on. Omitiendo el sub´ındice 0, en componentes esta relaci´on es ˆ ˛ ∂ρ (yvz − zvy ) ~ MT x = dV + ρ (yvz − zvy ) ~vr · dS ∂t VC SC ˆ ˛ ∂ρ (zvx − xvz ) ~ MT y = dV + ρ (zvx − xvz ) ~vr · dS ∂t VC SC ˆ ˛ ∂ρ (xvy − yvx ) ~ MT x = dV + ρ (xvy − yvx ) ~vr · dS ∂t VC SC ~ T es el producido por todas las fuerzas externas, m´asicas y superficiales. El momento total M 1
2.
C´ alculo de momentos en un VC
C´ alculo de momentos en un VC Sistema de referencia inercial Supongamos como caso m´ as simple un Volumen de Control no deformable y inercial, tal que todas las propiedades del fluido (densidad, velocidad, posici´ on,. . . ) pueden ser consideradas uniformes en las secciones de entrada y salida (es decir, el flujo puede ser considerado unidimensional). En este caso, la conservaci´ on del momento cin´etico se expresa como ˆ X X ∂ (~r0 × ρ~v ) ~T = dV + (~r × ~v ) m ˙ sal − (~r × ~v ) m ˙ ent M ∂t VC salidas
entradas
Ejemplo 1:
1k
A h1
l #l ~v1 # #l @ # # # h2 @ @## @ @ @ @ 2k ~v @ @ 2 @ @ @ Queremos calcular el momento sobre el punto A, usando el Volumen de Control mostrado en la siguiente figura. A ~r1 l l ~v1 # # AA ~r @# 2 # θ1 @ @ A A y @ @ ~v A 2 @ θ2 VC z `b x
Suponemos que las propiedades del fluido (velocidad, densidad, presi´on) son uniformes en la entrada y en la salida, que el flujo es estacionario y que el peso del fluido y la tuber´ıa son menospreciables, asi como los efectos del rozamiento. Con estas hip´ otesis, la conservaci´ on del momento cin´etico es h i h i ~T = M ~ A + ~r1 × −p1 S ~1 + ~r2 × −p2 S ~2 M = (~r2 × ~v2 ) m ˙ 2 − (~r1 × ~v1 ) m ˙1 ~ A es el momento realizado por la tuber´ıa sobre el fluido y transmitido a trav´es del brazo al empotramiento en A. M Dado que el flujo es unidimensional y los vectores de posici´on solo tienen componentes en x y en y, los momentos son en la direcci´ on z.
Los m´ odulos de los momentos que hacen las presiones son ~1 = r1 p1 S1 sin θ1 = p1 S1 h1 ~r1 × −p1 S ~2 = −r2 p2 S2 sin θ2 = −p2 S2 h2 ~r2 × −p2 S La variaci´ on de momento cin´etico del fluido es (~r2 × ~v2 ) m ˙ 2 − (~r1 × ~v1 ) m ˙ 1 = (r2 v2 sin θ2 − r1 v1 sin θ1 ) m ˙
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= (h2 v2 − h1 v1 ) m ˙ Combinando todo, obtenemos MA , MA = (h2 v2 − h1 v1 ) m ˙ − p1 S1 h1 + p2 S2 h2 = h2 (v2 m ˙ + p2 S2 ) − h1 (v1 m ˙ + p1 S1 )
Ejemplo 2: Un irrigador por aspersion de radio R da vueltas con una velocidad angular ω ~ = ω~k y expulsa un caudal Q por una tuber´ıa ~ ~ de secci´ on S. El rozamiento sobre el eje es Mr = −Mr k. Queremos encontrar en el equilibrio una expresi´ on para ω.
~v
R
y
ω
i
Mr x
Suponemos que el flujo es estacionario e incompresible, y que el peso del fluido y del irrigador son menospreciables. Despreciamos tambien los efectos de la fricci´ on en el fluido. El brazo del irrigador no es estacionario, pero s´ı lo es el VC, de forma que la velocidad v2 que pasa a trav´es de la SC en la salida no es v = Q S , sino v2 = v − ωR
En el equilibrio, se cumple que ~ T = −Mr~k = (~r2 × ~v2 ) m M ˙ 2 − (~r1 × ~v1 ) m ˙1 Dado que r1 = 0, tenemos
−Mr~k = (R~ × v2~ı) m ˙ = −Rv2 m ˙ ~k Mr = ρQR (v − ωR) ω=
Mr Q Mr v − = − R ρQR2 RS ρQR2
Sistema de referencia no inercial La u ´nica diferencia es que hay que a˜ nadir a los momentos realizados por las fuerzas externas, los momentos de las aceleraciones ficticias, ˆ ˆ ˛ ∂ (~r0 × ρ~v ) ~T − ~ M ρ (~r0 × ~a0 ) dV = dV + (~r0 × ~v ) ρ~vr · dS ∂t VC VC SC donde, tal y como vimos en el tema de conservaci´on de la cantidad de movimiento, ~a0 =
~ d2 R 2 |dt {z }
ac. lineal del SR
+
~ dΩ × ~r |dt{z }
ac. angular del SR
~ × ~v + Ω ~ × Ω ~ × ~r + 2 Ω | {z } | {z } ac. de Coriolis
ac. centr´ıfuga
Actividad 1: Resolver el ejemplo 2, pero con un VC no inercial. Ahora el VC rota solidario con el irrigador, con una velocidad angular ω. Se debe obtener el mismo resultado.
Bibliograf´ıa Bibliograf´ıa 3
Referencias [1] Frank M. White. Mec´ anica de Fluidos. McGraw-Hill, M´exico, 1988. [2] V. L. Streeter, E. B. Wylie, and K. W. Bedford. Mec´ anica de los Fluidos. McGraw-Hill, M´exico, 2000. [3] I. H. Shames. Mec´ anica de Fluidos. McGraw-Hill, Colombia, 1995. [4] L. Virto. Mec` anica de Fluids. Fonaments I. Edicions UPC, Barcelona, 1993.
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