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1º BCS - 14. Distribución normal
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PASO A PASO 1. Define un procedimiento para calcular la probabilidad en una distribución N(0, 1). Calcula: a) P(z < 1,21) b) P(z > 1,21) c) P(0,47 < z < 1,78) Solución:
a) En la Hoja1 copia los datos iniciales que hay en la tabla anterior. b) En la celda B3 introduce la fórmula: =DISTR.NORM.ESTAND(A3) Debes obtener: 0,8869 c) En la celda C3 introduce la fórmula: =1–B3 Debes obtener: 0,1131 d) En la celda C6 introduce la fórmula: =DISTR.NORM.ESTAND(B6)– DISTR.NORM.ESTAND(A6) Debes obtener: 0,2816 e) Cuando hayas terminado elige Guardar y guárdalo en tu carpeta con el nombre Normal 2. Define un procedimiento para calcular el valor de k conociendo la probabilidad en una distribución N(0, 1). Calcula: Si P(z < k) = 0,8869 en una N(0, 1), halla k Solución:
a) En la Hoja2 copia los datos iniciales que hay en la tabla anterior. b) En la celda B3 introduce la fórmula: =DISTR.NORM.ESTAND.INV(A3) Debes obtener: 1,21 c) Haz clic en Guardar.
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3. Define un procedimiento para calcular la probabilidad en una distribución N(µ, σ). Aplícalo al siguiente problema: Se sabe que el peso de las personas mayores de 18 años de una ciudad se distribuye normalmente con una media de 72 kg y una desviación típica de 6 kg. Calcula la probabilidad de que tomada una persona al azar pese: • Menos de 80 kg • Pese más de 80 kg • Pese entre 70 y 80 kg Aplicando la estrategia de resolución de problemas. a) x ≡ Peso de las personas. b) N(72, 6) c) Se piden las probabilidades • P(x < 80) = P(x ≤ 80) • P(x > 80) = P(x ≥ 80) • P(70 < x < 80) = P(70 ≤ x ≤ 80) Solución:
a) En la Hoja3 copia los datos iniciales que hay en la tabla anterior. b) En la celda E3 introduce la fórmula: =DISTR.NORM(A3;B3;C3;D3) Debes obtener: 0,9088 c) En la celda F3 introduce la fórmula: =1–E3 Debes obtener: 0,0912 d) En la celda F6 introduce la fórmula: =DISTR.NORM(B6;C6;D6;E6)– DISTR.NORM(A6;C6;D6;E6) Debes obtener: 0,5393 e) Haz clic en Guardar. 4. Define un procedimiento para calcular el valor de k conociendo la probabilidad en una distribución N(µ, σ) Calcula: a) Si P(x < k) = 0,456 en una N(65, 5), halla k
Solución:
d) Inserta una hoja y muévela al final. e) En la Hoja4 copia los datos iniciales que hay en la tabla anterior. f) En la celda D3 introduce la fórmula: =DISTR.NORM.INV(A7;B7;C7) Debes obtener: 80 g) Haz clic en Guardar.
d) Para dibujar la N(0, 1), introduce en la celda de la media un 0 y en la celda de la desviación típica un 1, automáticamente se obtiene la gráfica de la N(0, 1) 6. Dibuja las distribuciones binomiales: B(5; 0,5), B(10; 0,5), B(20; 0,5), B(30; 0,5) Observa como se van pareciendo cada vez más a la normal. Solución:
5. Haz un procedimiento para dibujar la gráfica de cualquier distribución normal. Toma como primer modelo la distribución normal N(3; 1,2). A partir de ella dibuja la N(0, 1) Solución:
a) En la Hoja5 copia los datos de las filas 1, 2, 3 y 4 b) En la celda A5 escribe – 4 y en la celda A6 escribe – 3,75, selecciona el rango A5:A6 y arrastra el Controlador de relleno hasta la celda A37, genera los números del – 4 al 4 con un paso de 0,25 c) En la columna B tienes que obtener la suma de la columna A más la media. d) En la columna C tienes que obtener la probabilidad correspondiente a los datos de la columna B Representación gráfica a) Haz la representación gráfica de los datos correspondientes al rango B5:C37, elige en tipo de gráfico Líneas y en subtipo Línea. Presenta tendencias a lo largo del tiempo o entre categorías.
a) En la Hoja6 copia los datos de las filas 1y2 b) Escribe en la celda A3 un cero, y en la celda A4 un uno, selecciona el rango A3:A4 y arrastra el Controlador de relleno hasta la celda A33, genera los 30 primeros números. c) En la celda B3 introduce la fórmula: =DISTR.BINOM($A3;B$2;0,5;0) y arrastra el Controlador de relleno de dicha celda hasta la celda B8 d) En la celda C3 introduce la fórmula: =DISTR.BINOM($A3;C$2;0,5;0) y arrastra el Controlador de relleno de dicha celda hasta la celda C13 e) En la celda D3 introduce la fórmula: =DISTR.BINOM($A3;D$2;0,5;0) y arrastra el Controlador de relleno de dicha celda hasta la celda D23 f) En la celda E3 introduce la fórmula: =DISTR.BINOM($A3;E$2;0,5;0) y arrastra el Controlador de relleno de dicha celda hasta la celda D33 Representación gráfica e) Haz la representación gráfica de los datos correspondientes al rango B3:E33, elige en tipo de gráfico Líneas y en subtipo Líneas con marcadores en cada valor de datos.
b) Mejora la presentación del gráfico. c) Haz clic en Guardar.
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f) Mejora la presentación del gráfico. g) Haz clic en Guardar. 7. Define un procedimiento para hacer la normalización y la tipificación. Como ejemplo aplícalo al siguiente problema: En el control de calidad de una fábrica de CD vírgenes se ha obtenido que el 3% son defectuosos. Si se compran 500 CD, qué probabilidad hay de que haya 20 o menos defectuosos. a) x ≡ Nº de CD defectuosos. b) B(500; 0,03) c) P(x ≤ 20) Solución:
a) En la Hoja7 copia los datos de las filas 1, 2 y 3 y de la fila 4 el rango A4:D4 b) En la celda E4 introduce la fórmula: =A4+0,5 c) En la celda F4 introduce la fórmula: =B4*C4 d) En la celda G4 introduce la fórmula: =RAIZ(B4*C4*(1–C4)) e) En la celda H4 introduce la fórmula: =E4 f) En la celda I4 introduce la fórmula: =(E4–4)/G4 g) En la celda D5 introduce la fórmula: =DISTR.BINOM(A4;B4;C4;D4) h) En la celda G5 introduce la fórmula: =DISTR.NORM(E4;F4;G4;1) i) En la celda I5 introduce la fórmula: =DISTR.NORM.ESTAND(I4) j) Haz clic en Guardar.
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8. Define un procedimiento para hacer un ajuste de un conjunto de datos obtenidos experimentalmente a una distribución normal. Como ejemplo aplícalo al siguiente problema: Los alumnos de un grupo de alumnos de 1º de Bachillerato se han pesado y se han obtenido los resultados de la tabla siguiente. ¿Se ajusta este conjunto de datos a una distribución normal? Peso xi Nº alumnos [55, 60] 57,5 1 [60, 65] 62,5 6 [65, 70] 67,5 11 [70, 75] 72,5 6 [75, 80] 77,5 1 Solución:
a) En la Hoja8 copia los datos de las filas 1, 2 y 3, excepto el 25 de la celda G3 que debes obtener sumando las frecuencias absolutas. Copia también los textos de la columna A b) En la fila 4 calcula las frecuencias relativas. c) En la fila 5 calcula las marcas de clase, en la celda B5 introduce la fórmula: =B2+(C2–B2)/2 d) En el rango B6:F6 calcula los productos indicados y en la celda G6 calcula su suma. e) En la celda G7 calcula la media. f) En el rango B8:F8 calcula la operación indicada y en la celda G8 calcula su suma. g) En la celda G9 calcula la varianza. h) En la celda G10 calcula la desviación típica. i) En la fila 11 calcula los extremos de los intervalos tipificados j) En la fila 12 calcula las probabilidades de los intervalos tipificados utilizando la desviación normal estándar. Como las frecuencias relativas y las probabilidades de cada intervalo son muy parecidas, se pude ajustar. h) Haz clic en Guardar.
9. Genera la tabla de la N(0, 1) Solución:
a) En la Hoja9, en la celda A1 escribe la letra k b) Escribe los datos de la celda A2 y A3, selecciona el rango A2:A3 y y arrastra PRACTICA 10. En un centro se eligen todos los alumnos que estudian 1º de Bachillerato y se toma como muestra 1º B. Se obtiene un total de 25 alumnos. Estudia la distribución de frecuencias de la variable estatura y haz el histograma de frecuencias relativas xi ni
160-165 162,5 3
165-170 167,5 7
170-175 172,5 9
175-180 177,5 6
180-185 182,5 2
11. Utilizando la Hoja1, calcula en una N(0, 1) las siguientes probabilidades: a) P(z ≤ 0,5) b) P(z ≤ 1,72) c) P(z ≥ 2,4) d) P(z ≤ – 3,56)
el Controlador de relleno hasta la celda A42 c) Escribe los datos de la celda B1 y C1, selecciona el rango B1:C1 y arrastra el Controlador de relleno hasta la celda K1 d) En la celda B2 introduce la fórmula: =DISTR.NORM.ESTAND($A2+B$1) e) Arrastra el Controlador de relleno de la celda B2 hasta la celda K2 f) Teniendo seleccionado el rango anterior Controlador de B2:K2 arrastra el relleno hasta la fila 42
15. Utilizando la Hoja4, calcula el valor de k en los siguientes casos: a) P(z ≤ k) = 0,7777 en una N(5, 2) b) P(z ≥ k) = 0,1258 en una normal N(80, 6) 16. El peso de los recién nacidos sigue una distribución normal de media 3,5 kg y una desviación típica de 0,6 kg. Calcula la probabilidad de que un recién nacido pese entre 2,7 kg y 4 kg 17. El número de libros prestados semanalmente en la biblioteca de un centro escolar sigue una distribución normal de media 25 y desviación típica 1,5. Calcula la probabilidad de que en una semana se presten entre 25 y 30 libros.
12. Utilizando la Hoja1, calcula en una N(0, 1) las siguientes probabilidades: a) P(1,5≤ z ≤ 2) b) P(– 2,3 ≤ z ≤ 3,7) c) P(– 3,4 ≤ z ≤ – 1,8) d) P(– 1,6 ≤ z ≤ 1,6)
18. Tras estudiar el número de días que 600 insectos viven en unas determinadas condiciones obteniéndose los siguientes resultados:
13. Utilizando la Hoja2, calcula el valor de k en los siguientes casos: a) P(z ≤ k) = 0,9582 b) P(z ≥ k) = 0,7612
19. Dibuja la gráfica de las siguientes normales a) N(3; 0,4) b) N(7; 1,3) c) N(– 2; 0,5) d) N(0, 1)
14. Utilizando la Hoja3, calcula en una N(20, 4) las siguientes probabilidades: a) P(x ≤ 25) b) P(x ≥ 17) c) P(23 ≤ x ≤ 27) d) P(15 ≤ x ≤ 18)
Nº días
0-5 5-10 10-15 15-20 20-25
Nº insectos 60
70
350
80
40
¿Se ajustan los datos a una distribución normal?
20. Dibuja la gráfica de las siguientes binomiales a) N(5; 0,25) b) N(10; 0,25) c) N(20; 0,25) d) N(30, 0,25)
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