Transcript
Introducción a los espacios vectoriales
Ejercicios propuestos
Obtener una relación de dependencia lineal entre los vectores del plano de coordenadas (1, -2), (-1, -2) y (1, -1). (LOGSE. Septiembre 1999) Definir independencia lineal de vectores. Si tres vectores son linealmente independientes, ¿se sigue necesariamente que dos de ellos son linealmente independientes? (LOGSE. Septiembre 1996) a) Concepto de dependencia e independencia lineal de vectores. b) ¿Para qué valores de “a” son linealmente dependientes los vectores (a, 1, 1), (1, a, 1), (1, 1, a)? (COU. Junio 1997) Determinar un valor de λ para que los vectores de coordenadas (1, 1, λ), (0, λ, 1-λ), (1, -2, λ) sean linealmente dependientes. b) Para el valor de λ obtenido, hallar una relación de dependencia lineal entre esos tres vectores. (COU. Junio 1997)
a)
a) Concepto de dependencia e independencia lineal en espacios vectoriales b) Determinar los valores de “a” para los que resultan linealmente dependientes los vectores (-2, a, a), (a, -2, a) y (a, a, -2). c) Obtener en esos casos una relación de dependencia entre los vectores. (COU. Junio 1994) Determinar los valores del parámetro “a” para que los vectores de coordenadas (1, a, 1), (a+2, -1, 1), (0,1,1) sean linealmente dependientes y, en cada caso, hallar una relación de dependencia. (COU. Junio 2001) Determinar un valor de λ para que los vectores de coordenadas (2,1,1+λ), (-2,1+λ,1) y (1,1,λ) sean linealmente dependientes. b) Para el valor de λ obtenido, hallar una relación de dependencia lineal entre esos tres vectores.
a)
(COU. Septiembre 2002) a) Concepto de dependencia e independencia lineal. b) Probar que si los vectores u, v y w son linealmente independientes, también lo son, y1 = u, y2 = u + v, y3 = u + v + w. (COU. Junio 1991) a)
Concepto de independencia lineal de una familia de vectores. Base de un espacio vectorial.
v1 , v2 , v3 constituyen una base de R 3 , ¿sucede lo mismo con los vectores v1 − v2 , − v2 + 2v1 , v3 − v1 + v2 ? ¿Y con los vectores v1 + v2 − v3 , v1 − v2 + v3 , 2v1 + 3v2 − 3v3 ?
b) Si los vectores
(COU. Junio 1995) a) Definir los conceptos de independencia lineal, generadores y base. b) Si los vectores e1 , e2 , e3 son linealmente independientes, ¿también lo son los vectores
e1 + e2 − 2e3 , e1 + 2e2 − e3 , e1 + 3e2 ? ¿ y los vectores e1 + e2 , e1 − 2e2 ? (COU. Junio 1996) Concepto de base de un espacio vectorial. ¿Forman base en
v2 = (0,4,−1) , v3 = (2,−4,6 ) ?
(R ,+,⋅) 3
los vectores
v1 = (1,−3,2) ,
(COU. Septiembre 1992)
Introducción a los espacios vectoriales
Dados los vectores
Ejercicios propuestos
v1 = (2,1,0) , v2 = (− 1,0 − 1) , v3 = (6,2,−2 ) . ¿Forman base del espacio vectorial
(R ,+,⋅) ? ¿Se puede expresar alguno como combinación lineal de los demás? 3
(COU. Septiembre 1991) a)
Definir el concepto de base de un espacio vectorial.
u = (− 1,1,1) , v = (1,−1,1) , w = (1,1,−1) forman una base de R 3 . c) Determinar las coordenadas del vector (2,4,−2 ) en dicha base. b) Probar que los vectores
(Modelo COU. 1993/1994. COU. Junio 93) a) Base y dimensión de un espacio vectorial b) Obtener según los valores de λ, la dimensión del subespacio generado por los vectores
(2,−λ ,2,0) , (3,0,3, λ ) y una base de este subespacio.
(λ ,1,1,1) ,
(COU. Septiembre 1994)
a = (1,1,0,2) , b = (0,1,1,1) ,
Encontrar la dimensión del subespacio engendrado por los vectores
c = (1,2,1,3) , d = (− 2,−2,0,−4) .
(COU. Septiembre 1989) Si los lados de un rectángulo miden 2cm y 6cm, calcular: a) La distancia de un vértice O a las recta que pasa por los puntos medios A’ y B’ de los lados que no pasan por O. b) El coseno del ángulo que forman la diagonal AB con OA’.
A
A’
B’
O
B
(Modelo LOGSE. Curso 1996/97)
a) b)
Calcular los valores del parámetro t para que los vectores de coordenadas
(t ,2,1 − t ) ; (2 + t ,1,−t ) ;
(t ,3,1 − t ) sean linealmente dependientes y, en tal caso, hallar una relación de dependencia. ¿Para qué valores de t están alineados los puntos (t ,2,1 − t ) ; (2 + t ,1,−t ) ; (t ,3,1 − t ) ?
(Modelo COU. Curso 1995/96) Definir el concepto de producto escalar de vectores y enunciar su relación con los conceptos de ángulo y distancia entre dos puntos. (LOGSE. Junio 2001)
Introducción a los espacios vectoriales
Ejercicios propuestos
a)
Definir el producto escalar de vectores y relacionarlo con los conceptos de perpendicularidad y distancia. b) Sea e un vector de módulo 2 de un plano. ¿Existe algún vector v en ese plano tal que el producto escalar e ⋅ v sea igual a − 3 ?. (COU. Septiembre 1998) a)
Definir el producto escalar de vectores y relacionarlo con los conceptos de perpendicularidad y distancia. b) Sea v un vector de módulo 2 de un plano. ¿Cuántos vectores e hay en ese plano que tengan módulo 2 y tales que el producto escalar e ⋅ v sea nulo? (COU. Septiembre 2003)
Sea e un vector de módulo 1 ¿Cuántos vectores v hay de módulo 2 en el espacio tales que el producto escalar e ⋅ v sea − 1 ?, ¿y tales que e ⋅ v = 2 ?, ¿y tales que e ⋅ v = −3 ? (Modelo COU 1999/00 e Incidencias Junio 97) Sean e y v dos vectores, de módulos 1 y 2 respectivamente, que formen un ángulo de 60º. Hallar todas la combinaciones lineales de e y v que sean ortogonales a e y que tengan módulo 3. (COU. Septiembre 1996) ¿Qué ángulo deben formar dos vectores no nulos e y v para que ambos tengan el mismo módulo que su diferencia? (LOGSE. Septiembre 2001) Probar que si dos vectores a y b tienen el mismo módulo
a = b , entonces (a + b ) ⋅ (a − b ) = 0 (LOGSE. Junio 1995)
Proponer un ejemplo de un vector que forme un ángulo de 60º con el vector de coordenadas un sistema de ejes rectangulares.
(3,1,−1) en
(LOGSE. Septiembre 1997) 3
Encontrar un punto P de R tal que el vector OP forme un ángulo de 30º con el eje Y. (LOGSE. Septiembre 1995) Proponer un ejemplo de un vector que sea ortogonal al vector e de coordenadas doble que e.
(1,−2,1) y tenga módulo (LOGSE. Junio 1998)
a) Enunciar las propiedades del producto vectorial. b) Encontrar los posibles valores de a, b, c para que el producto vectorial de un vector unitario con la dirección del eje OX.
(a,b,0) por (c,0,1) sea (LOGSE. Junio 1994)
Calcular un vector de módulo 1 que sea ortogonal a los vectores de coordenadas
(1,0,2) y (2,1,0) . (LOGSE. Junio 2001)
Introducción a los espacios vectoriales
Ejercicios propuestos
Definir el producto vectorial de dos vectores. ¿Cómo deben estar situados dos vectores de módulo 2 para que su producto vectorial también tenga módulo 2? (Modelo COU 2000/01) Calcular el área del triángulo cuyos vértices son los puntos
A(1,2,3) ; B(3,2,1) y C (− 1,2,1) . (COU. Septiembre 1992)
a)
Probar que cualquiera que sea el valor de λ, los puntos de coordenadas
(1,1, λ ) ; (0, λ ,1 − λ ) ;
(1,−2, λ ) nunca están alineados. b) Obtener en función de λ el área del triángulo que determinan estos tres puntos.
(COU. Junio 1997)