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UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA (ICAI) INGENIERÍA INDUSTRIAL ESPECIALIDAD MECÁNICA
PROYECTO FIN DE CARRERA
ESTUDIO E IMPLEMENTACIÓN DE ALGORITMOS MATEMÁTICOS PARA SIMULACIONES DINÁMICAS DEL SISTEMA CATENARIA-PANTÓGRAFO
PABLO AYALA SANTAMARÍA MADRID, junio de 2007
Autorizada la entrega del proyecto del alumno:
Pablo Ayala Santamaría
EL DIRECTOR DEL PROYECTO Alberto Carnicero López
Fdo:
Fecha:
27 / VI / 2007
Vº Bº del Coordinador de Proyectos José Ignacio Linares Hurtado
Fdo:
Fecha: 28 / VI / 2007
Estudio e Implementación de Algoritmos Matemático para Simulaciones Dinámicas del Sistema Catenaria-Pantógrafo
ESTUDIO E IMPLEMENTACIÓN DE ALGORITMOS MATEMÁTICOS PARA SIMULACIONES DINÁMICAS DEL SISTEMA CATENARIA-PANTÓGRAFO Autor: Ayala Santamaría, Pablo Director: Carnicero López, Alberto Entidad colaboradora: ICAI – Universidad Pontificia Comillas
RESUMEN DEL PROYECTO El auge que están teniendo los trenes de alta velocidad como medio de transporte requiere un estudio previo mayor con el fin de abaratar el coste de los prototipos y demás costes asociados al mantenimiento. Uno de los grandes problemas que lleva asociada la alta velocidad ferroviaria es el suministro eléctrico, el cual se consigue a través del contacto entre la catenaria y el pantógrafo. La existencia de despegues produce interrupción en el suministro de la energía eléctrica y por lo tanto deficiencias en el servicio. Por otro lado cuando aparecen despegues se forman arcos eléctrico que resultan nefastos desde el punto de vista del desgaste, tanto del hilo de la catenaria como del pantógrafo (sobre todo de éste último), esto, junto con los esfuerzos mecánicos en la recuperación del contacto, reduce el periodo de vida útil de estos elementos. Este proyecto se centra en estudiar e implementar algoritmos matemáticos que simulen dinámicamente el sistema catenaria-pantógrafo. Para ello se ha realizado un estudio sobre un hilo tenso, que simula un vano de una catenaria, por el que circula un pantógrafo, de esta forma se pueden estudiar todos los fenómenos propios del sistema catenaria-pantógrafo en un tiempo de cálculo menor. En primer lugar, se ha implementado un algoritmo sofisticado de integración temporal, el método de Hilber-Hughes-Taylor (HHT), que permite calcular los desplazamientos, velocidades y aceleraciones de los nodos de toda la geometría por el método de elementos finitos. Se trata de una variante del algoritmo de Newmark, al cual se le introduce un amortiguamiento numérico lo que permite lograr menores desplazamientos con el inconveniente del incremento sustancial del tiempo de simulación, lo que restringe el uso del algoritmo a sistemas con un número de elementos finitos limitado.
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En segundo lugar, se han implementado varios elementos finitos tipo viga en 2D basados en diferentes teorías. El primer elemento está basado en la teoría de Kirchhoff, el cual tiene la característica principal de introducir los términos de orden superior asociados al esfuerzo axil lo que introduce algo más de rigidez a los elementos, y por tanto mayor tensión. Los otros dos elementos están basados en las teorías de vigas de Timoshenko y de Reissner, los cuales requieren un mallado muy fino para el cálculo estático de estructuras, por tanto, son muy sensibles al número de elementos y se desechan para simulaciones dinámicas. En tercer lugar se ha implementado un elemento de contacto tipo penalty con bloqueo, el cual introduce una rigidez muy elevada cuando existe penetración entre las distintas partes del sistema que se simule. En el caso del sistema catenariapantógrafo introduce una fuerza (rigidez) cuando el pantógrafo intenta penetrar al hilo sustentador, de manera que no se pierda el carácter real del sistema. Dicha rigidez se introduce de manera exponencial, de tal forma que en sistemas poco estables (aparezcan muchos despegues), la recuperación sea más lineal. En la Ilustración 1 se puede observar una comparativa de la fuerza de contacto en los cinco primeros vanos de una catenaria con distintos elementos de contacto (Lagrange, Penalty, Exponencial (Penalty con bloqueo)). De ella se puede concluir que a partir del tercer vano el sistema tiende a desestabilizarse con los elementos de contacto Lagrange y Penalty, mientras que con el método del Penalty con bloqueo dicho sistema nunca se desestabiliza. 700 Lagrange Penalty Exponencial (tn = 1)
Fuerza de contacto (N)
600
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1.5 tiempo (s)
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Ilustración 1
Por último se realizó una comparación a partir de un caso base estudiando las posibles mejoras que aportan las diferentes herramientas implementadas sobre un v
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sistema hilo-pantógrafo que simula los efecto que ocurren en una catenaria pudiendo interpolar los resultados a una catenaria real. En la Ilustración 1se puede observar el caso de estudio y dos gráficas que representan dos efectos significativos sobre el hilo. En una se muestra que la sensibilidad asociada a los términos de orden superior asociados al esfuerzo axil que disminuyen significativamente los valores máximos de fuerza de contacto; y en la otra gráfica aparece la sensibilidad asociada al número de elementos, que a medida que aumenta el número de elementos en el hilo menor es la fuerza de contacto máxima.
4500
2000 Incluyendo términos de orden superior asociados al esfuerzo axil Sin incluir términos de orden superior asociados al esfuerzo axil
1600
3500
Fuerza máxima
Incluyendo términos de orden superior asociados al esfuerzo axil Sin incluir términos de orden superior asociados al esfuerzo axil
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Fuerza de contacto (N)
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1400 1200 1000 800 600 400
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150 200 250 Número de elementos
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tiempo (s)
Ilustración 2
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STUDIYNG AND IMPLEMENTING MATHEMATICAL ALGORITHMS TO DYNAMIC SIMULATIONS OF CATENARY-PANTOGRAPH SYSTEM The increase enthusiasm of high speed trains as means of transportation demands a greater research in order to reduce the price of prototypes and maintenance costs. One of the main problems associated to high speed transport is the electric power supply, which is linked to the contact between catenary and pantograph. When they are not in touch, it produces a power cut and, therefore, service problems. On the other hand, in the time of catenary and pantograph is not in touch, an electrical arc might result, which damaging overhead and, above all, the pantograph. And generating in addition, great mechanical efforts when recovering the contact, which reduce the period of time of that elements to be used. This project focuses on studying and implementing mathematical algorithms that dynamically simulate the catenary-pantograph system. A study about a tighten wire has been carried out, which simulates a dropper catenary, trough move along the pantograph, so that the own phenomena of the catenary-pantograph system can be studied with less calculation time. Firstly, a sophisticated temporal integrated algorithm has been implemented, method
called
Hilber-Hughes-Taylor
(HHT),
which
allows
calculating
displacements, velocities and accelerations in every node of the geometry by using the finite element method. It is a variation of the Newmark algorithm, which introduces a numerical damping that gets lower displacements with the inconvenient of a substantial increase in the simulation time. Therefore this algorithm is limited to systems with a reduced amount of finite elements. Secondly, several 2-D beam type finite elements have been implemented based on different theories. The first element is based on Kirchhoff’s theory, which main characteristic is introducing higher-order axial terms which puts more stiffness to the elements, and therefore, more axial strain. The other two elements are based on Timoshenko and Reissner beam theories, that require a fine mesh for the static structure calculations, and therefore, they are very sensitive to the amount of elements and are dropped for dynamic simulations. Thirdly, a Penalty barrier method for contact has been implemented, which introduces higher stiffness when there is gap between the different parts of the vii
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simulated system. In the catenary-pantograph system introduces a strength when the pantograph tries to break the contact wire, without loosing the reality of the system. Mentioned stiffness is introduced in an exponential way, so that in unstable systems (there are many loss contact), the recovery is more linear. In Fig. 1 it is shown a comparative between a contact strength in the first fifth catenary droppers with different contact elements. (Lagrange, Penalty, Penalty with barrier). From it, it can be concluded that from the third dropper, the system tends to destabilize with the Lagrange and Penalty contact elements, while with Penalty with barrier method, the system never destabilizes. 700 Lagrange Penalty Exponencial (tn = 1)
Fuerza de contacto (N)
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1.5 tiempo (s)
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Fig. 1
Finally, it was carried out a comparison from a base case studying the possible improvements that the different implemented tools contribute over a wire contactpantograph system that simulates the effects that happen in a catenary, being possible to interpolate the results into a real catenary. As shown in Fig. 2, the two graphs show two effects on the wire, in one of them, the element that considers the terms with superior order associated to axial stress reduces the peak values of the forces; and in the second one, the high sensitivity to the number of elements, as when there are more elements, the maximum contact force is smaller.
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2000 Incluyendo términos de orden superior asociados al esfuerzo axil Sin incluir términos de orden superior asociados al esfuerzo axil
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Fuerza máxima
Incluyendo términos de orden superior asociados al esfuerzo axil Sin incluir términos de orden superior asociados al esfuerzo axil
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Fig. 2
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Índice: RESUMEN DEL PROYECTO ............................................... iv Índice: ....................................................................................... x Índice de figuras:....................................................................xii 1.-
Introducción .................................................................... 1
2.-
Método de Hilber, Hughes y Taylor ............................. 14 2.1.- Descripción teórica ........................................................... 14 2.2.- Discusión de losparámetros del método de Hilber, Hughes y Taylor ....................................................................................... 15 2.3.- Comparación en casos estáticos entre el método Hilber, Hughes y Taylor y el método Newmark..................................... 15 2.4.- Comparación en un caso dinámico entre el método Hilber, Hughes y Taylor y el método Newmark..................................... 21
3.-
Elemento finito tipo viga basado en deformaciones
finitas....................................................................................... 33 3.1.- Elemento tipo viga basado en deformaciones finitas contemplando los términos de orden superior asociados al esfuerzo axil ................................................................................ 33 3.2.- Verificación de la flecha en una viga en voladizo............ 36 3.3.- Comparación en una viga basado teniendo y sin tener en cuenta los términos de orden superior asociados al esfuerzo axil............................................................................................... 37 3.4.- Elementos finito tipo viga basado en deformaciones finitas basado en la teoría de Thimoshenko........................................... 41 3.5.- Elemento finito tipo viga basado en deformaciones finitas basado en la teoría de Reissner ................................................... 45 x
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3.6.- Estudio de los diferentes elemento implementados en una viga en voladizo .......................................................................... 48
4.-
Elemento de contacto tipo penalty con bloqueo .......... 60 4.1.- Descripción teórica ........................................................... 60 4.2.- Discusión del parámetro tˆN propio de contacto penalty con bloqueo........................................................................................ 63 4.3.- Comparación entre el elemento de contacto penalty y el de contacto penalty con bloqueo...................................................... 65
5.-
Simulación dinámica hilo-pantógrafo ......................... 70 5.1.- Generalidades y conceptos previos .................................. 70 5.2.- Sensibilidad al tipo de elemento finito: ............................ 75 5.3.- Sensibilidad a la longitud del cable:................................. 80 5.4.- Sensibilidad a la tensión del cable:................................... 83 5.5.- Sensibilidad al tipo de contacto:....................................... 85 5.6.- Sensibilidad al algoritmo de integración temporal de resolución:................................................................................... 88 5.7.- Conclusiones:.................................................................... 89
6.-
Líneas futuras de trabajo .............................................. 91
7.-
Bibliografía.................................................................... 93
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Índice de figuras: Figura 1: Tren de alta velocidad, AVE Madrid-Sevilla............................................. 1 Figura 2: Pantógrafo y cantenaria .............................................................................. 3 Figura 3: Aplicaciones de elementos finitos.............................................................. 3 Figura 4: Modelo simplificado del sistema catenaria-pantógrafo según [WB98] ..... 4 Figura 5: Modelo unidimensional [WB98]................................................................ 5 Figura 6: Elementos de una catenaria ........................................................................ 5 Figura 7: Catenaria aérea y catenaria rígida .............................................................. 6 Figura 8: Catenaria con dos hilos de contacto ........................................................... 7 Figura 9: Péndola en Y .............................................................................................. 8 Figura 10: Dos péndolas rígidas y otra flexible ......................................................... 8 Figura 11: Ménsula .................................................................................................... 9 Figura 12: Solapado de cantones ............................................................................. 10 Figura 13: Principio y final de un cantón................................................................. 10 Figura 14: Tensor..................................................................................................... 11 Figura 15: Poste ....................................................................................................... 12 Figura 16: Pantógrafo .............................................................................................. 12 Figura 17: Viga Empotrada...................................................................................... 16 Figura 18: Estudio de la convergencia..................................................................... 16 Figura 19: Cociente entre desplazamientos calculados por el método Newmark y el método HHT para un intervalo de Alpha [-1/3,0].................................................... 17 Figura 20: Pórtico .................................................................................................... 17 Figura 21: Estudio de la convergencia..................................................................... 18 Figura 22: Cociente entre desplazamientos calculados por el método Newmark y el método HHT para un intervalo de Alpha [-1/3,0].................................................... 18 Figura 23: Viga biempotrada ................................................................................... 19 Figura 24: Estudio de la convergencia..................................................................... 19 Figura 25: Cociente entre desplazamientos calculados por el método Newmark y el método HHT para un intervalo de Alpha [-1/3,0].................................................... 20 Figura 26: Modelo del sistema catenaria-pantógrafo según []................................. 21 Figura 27: Fuerza que se ejerce sobre la superficie superior del pantógrafo mediante el método de contacto Penalty ................................................................................. 23 xii
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Figura 28: Fuerza que se ejerce sobre la superficie superior del pantógrafo mediante el método de contacto de Lagrange ......................................................................... 23 Figura 29: Fuerza que se ejerce sobre la superficie superior del pantógrafo mediante el método de contacto Penalty con bloqueo............................................................. 24 Figura 30: Fuerza que se ejerce sobre el vano central de la catenaria mediante el método de contacto Penalty ..................................................................................... 25 Figura 31: Fuerza que se ejerce sobre el vano central de la catenaria mediante el método de contacto Lagrange .................................................................................. 26 Figura 32: Fuerza que se ejerce sobre el vano central de la catenaria mediante el método de contacto Penalty con bloqueo................................................................. 26 Figura 33: Fuerza que se ejerce sobre la superficie superior del pantógrafo mediante el método de contacto Penalty ................................................................................. 28 Figura 34: Fuerza que se ejerce sobre la superficie superior del pantógrafo mediante el método de contacto Lagrange .............................................................................. 28 Figura 35: Fuerza que se ejerce sobre la superficie superior del pantógrafo mediante el método de contacto Penalty con bloqueo............................................................. 29 Figura 36: Fuerza que se ejerce sobre el vano central de la catenaria mediante el método de contacto Penalty ..................................................................................... 30 Figura 37: Fuerza que se ejerce sobre el vano central de la catenaria mediante el método de contacto Lagrange .................................................................................. 30 Figura 38: Fuerza que se ejerce sobre el vano central de la catenaria mediante el método de contacto Penalty con bloqueo................................................................. 31 Figura 39: Desplazamiento en un elemento co-rotacional....................................... 34 Figura 40: Curvatura de un elemento co-rotacional en pequeños desplazamientos 34 Figura 41: Viga en voladizo..................................................................................... 36 Figura 42: Desplazamientos verticales en una viga en voladizo ............................. 37 Figura 43: Hilo tenso apoyado en sus extremos ...................................................... 38 Figura 44: Diferencia entre desplazamientos en coordenadas x [(U (sin axial)-U (con axial))/U (sin axial)]......................................................................................... 39 Figura 45: Diferencia entre desplazamientos en coordenadas y [(U (sin axial)-U (con axial))/U (sin axial)]......................................................................................... 39 Figura 46: Diferencia entre ángulos [(U (sin axial)-U (con axial))/U (sin axial)].. 40 Figura 47: Rotación en el nodo1.............................................................................. 41 Figura 48: Viga en voladizo..................................................................................... 43 xiii
Estudio e Implementación de Algoritmos Matemático para Simulaciones Dinámicas del Sistema Catenaria-Pantógrafo
Figura 49: Desplazamientos verticales en una viga en voladizo ............................. 44 Figura 50: Elemento tipo viga según la teoría de Reissner...................................... 45 Figura 51: Viga en voladizo..................................................................................... 47 Figura 52: Desplazamientos verticales en una viga en voladizo ............................. 48 Figura 53: Viga en voladizo..................................................................................... 49 Figura 54: Diferencia entre desplazamientos horizontales en una viga en voladizo con 10, 50 y 100 elementos...................................................................................... 50 Figura 55: Diferencia entre desplazamientos verticales en una viga en voladizo con 10, 50 y 100 elementos ............................................................................................ 51 Figura 56: Diferencia entre giros en una viga en voladizo con 10, 50 y 100 elementos ................................................................................................................. 51 Figura 57: Diferencia entre desplazamientos horizontales en una viga en voladizo con 10, 50 y 100 elementos...................................................................................... 52 Figura 58: Diferencia entre desplazamientos verticales en una viga en voladizo con 10, 50 y 100 elementos ............................................................................................ 53 Figura 59: Diferencia entre giros en una viga en voladizo con 10, 50 y 100 elementos ................................................................................................................. 53 Figura 60: Diferencia entre desplazamientos horizontales en una viga en voladizo con 10, 50 y 100 elementos...................................................................................... 54 Figura 61: Diferencia entre desplazamientos verticales en una viga en voladizo con 10, 50 y 100 elementos ............................................................................................ 55 Figura 62: Diferencia entre giros en una viga en voladizo con 10, 50 y 100 elementos ................................................................................................................. 55 Figura 63: Diferencia entre desplazamientos horizontales en una viga en voladizo con 10, 50 y 100 elementos...................................................................................... 56 Figura 64: Diferencia entre desplazamientos verticales en una viga en voladizo con 10, 50 y 100 elementos ............................................................................................ 57 Figura 65: Diferencia entre giros en una viga en voladizo con 10, 50 y 100 elementos ................................................................................................................. 57 Figura 66: Contacto nodo-elemento en dos dimensiones ........................................ 60 Figura 67: Relación entre fuerza de contacto y penetración en el método de contacto penalty con bloqueo ................................................................................................. 62 Figura 68: Modelo del sistema catenaria-pantógrafo según []................................. 63 xiv
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Figura 69: Historia de la fuerza de contacto en el sistema catenaria-pantógrafo sobre el pantógrafo en una catenaria de cinco vanos para diferentes valores de tn .......... 64 Figura 70: Historia de la fuerza de contacto en el sistema catenaria-pantógrafo sobre el pantógrafo en una catenaria de cinco vanos......................................................... 66 Figura 71: Historia de la fuerza de contacto en el sistema catenaria-pantógrafo sobre el pantógrafo en una catenaria de diez vanos........................................................... 66 Figura 72: Fuerza de contacto en la apertura de despegue en el sistema catenariapantógrafo sobre el pantógrafo ................................................................................ 67 Figura 73: Historia de la fuerza de contacto en el sistema catenaria-pantógrafo sobre el vano central en una catenaria de cinco vanos ...................................................... 68 Figura 74: Historia de la fuerza de contacto en el sistema catenaria-pantógrafo sobre el vano central en una catenaria de diez vanos ........................................................ 68 Figura 75: Hilo tenso apoyado en sus extremos con uno de ellos libre en la dirección longitudinal por el que circula un pantógrafo a velocidad v.................... 70 Figura 76: Posición estática del hilo tenso............................................................... 72 Figura 77: Simulación dinámica sobre el hilo con los parámetros base .................. 73 Figura 78: Simulación dinámica del hilo con los parámetros base sin apreciar la etapa de carga del pantógrafo .................................................................................. 74 Figura 79: Fuerza de contacto en el sistema hilo-pantógrafo estabilizado y sin estabilizar ................................................................................................................. 75 Figura 80: Estudio del efecto de los términos de orden superior asociados al esfuerzo axil ............................................................................................................. 76 Figura 81: Zoom del efecto de la onda en el estudio del efecto de los términos de orden superior asociados al esfuerzo axil ................................................................ 77 Figura 82: Simulación para 10, 50 y 100 elementos................................................ 78 Figura 83: Simulación para 50, 80 y 100 elementos............................................... 79 Figura 84: Rizado en simulaciones con diferente número de elementos................ 79 Figura 85: Valores máximos de la fuerza de contacto en la simulación del sistema hilo-pantógrafo comparando el efecto de los términos de orden superior asociados al esfuerzo axil ......................................................................................................... 80 Figura 86: Simulación del sistema hilo-pantógrafo para diferentes longitudes....... 81 Figura 87: Zoom del efecto de la onda en simulaciones del sistema hilo-pantógrafo para diferentes longitudes ........................................................................................ 82 Figura 88: Simulación del sistema hilo-pantógrafo para un hilo de 70 metros ....... 82 xv
Estudio e Implementación de Algoritmos Matemático para Simulaciones Dinámicas del Sistema Catenaria-Pantógrafo
Figura 89: Fuerzas de contacto entre sobre el pantógrafo para diferentes tensiones del cable ................................................................................................................... 84 Figura 90: Fuerzas de contacto entre sobre el pantógrafo con el cable tensado a 16000N..................................................................................................................... 84 Figura 91: Fuerzas de contacto entre sobre el pantógrafo con el cable tensado a 49000N..................................................................................................................... 85 Figura 92: Fuerza máxima de contacto para tn=0 y tn=15 ..................................... 86 Figura 93: Fuerza máxima de contacto para diferentes valores de tn...................... 87 Figura 94: Fuerza máxima de contacto para diferentes valores de tn para un hilo sin estabilizar ................................................................................................................. 87 Figura 95: Fuerza de contacto del sistema hilo-pantógrafo con el algoritmo de integración temporal de Newmark y de HHT.......................................................... 88
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1 Introducción
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1.- Introducción
A la necesidad de desplazarse en el menor tiempo posible entre dos lugares geográficos situados a distancias de varios cientos e incluso miles de kilómetros, se ofrecen algunas alternativas tales como el puente aéreo o el tren de alta velocidad. Este último se está generalizando en los últimos años debido a que tanto el punto de salida como el de llegada se pueden encontrar situado en el centro de la ciudad, mientras que los aeropuertos han de estar a una distancia prudencial de la misma, y por consiguiente es necesario tomarse un margen de tiempo extra para desplazarse al lugar de destino, donde el factor tráfico puede alterar significativamente el tiempo total del trayecto.
Figura 1: Tren de alta velocidad, AVE Madrid-Sevilla
Para que el transporte ferroviario sea una alternativa real, se han de alcanzar velocidades superiores a los 250 km/h, lo que implica numerosas investigaciones en diferentes áreas técnicas. Entre ellas se encuentra la simulación dinámica y el estudio del contacto entre catenaria y pantógrafo. El estudio del contacto entre la catenaria y el pantógrafo resulta de especial interés debido a que de él depende el suministro eléctrico a los trenes, y en el caso 1
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particular de trenes de alta velocidad supone un problema crítico. El suministro de electricidad se realiza a elevada tensión, típicamente 25 KV, así que la pérdida de contacto hace que se rompa la rigidez dieléctrica del aire provocando arcos eléctricos, por tanto la fuerza de contacto entre la catenaria y el pantógrafo debería ser lo suficientemente grande para garantizar un flujo ininterrumpido de corriente minimizando al máximo la aparición de arcos. Aunque dicha fuerza ha de estar restringida debido a que también es directamente proporcional al desgaste sufrido tanto por el hilo de contacto de la catenaria como por el patín del pantógrafo. Es importante resaltar que la fuerza de contacto, además de por la velocidad del tren, se encuentra condicionada por agentes externos como el viento o la aerodinámica del tren, que modifican el funcionamiento dinámico del pantógrafo, así que la realización de un determinado diseño de catenaria-pantógrafo se complica. De ahí que existan sistemas de control activos y de que se simule dinámicamente dicho sistema, ya que el desarrollo de prototipos y montajes resultaría de un elevado coste. La
simulación
dinámica
se
basa
en
numerosos
modelos
matemáticos
implementados mediante herramientas informáticas (lenguajes de programación, programas de simulación,…). Este estudio se lleva realizando desde hace más de cuarenta años, condicionado por el desarrollo informático, ya que el tiempo de simulación es un factor muy importante debido a que las simulaciones pueden llegar a durar varios días. Las investigaciones al respecto se han ido orientando en diferentes ámbitos, desde el estudio del contacto o del desgaste hasta el modelado de catenarias y pantógrafos, Figura 2. Por ejemplo, el estudio del contacto en el sistema catenaria-pantógrafo ha ido evolucionando en el tiempo con varios modelos, como el método del penalty, el cual introduce una rigidez cuando existe contacto, para que de esta manera no penetre el pantógrafo en la catenaria, o bien el que se apoya en el método de resolución de Lagrange, basado en derivadas parciales y su resolución ‘exacta’.
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Figura 2: Pantógrafo y cantenaria
El método de elementos finitos es una herramienta muy utilizada a la hora de realizar simulaciones de todo tipo obteniendo resultados muy acordes a la realidad. Consiste en discretizar el problema en muchos más sencillos, interrelacionados entre sí mediante la imposición de una serie de restricciones formando así una cadena entre todos los elementos que lo componen, Figura 3. Para ello es necesario caracterizar cada elemento con sus variables correspondientes según sea el tipo de problema a estudiar, en el caso de las catenarias, el estudio es enfocado desde el ámbito estructural, obteniéndose la matriz de rigidez adecuada, teniendo en cuenta los diversos esfuerzos a los que está sometida y el material de la que está compuesta. Para la simulación dinámica se implementan algoritmos matemáticos de integración temporal, o lo que es lo mismo, un conjunto de ecuaciones algebraicas resueltas mediante métodos iterativos tales como el de método de Newton-Raphson.
Figura 3: Aplicaciones de elementos finitos
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Estudio e Implementación de Algoritmos Matemático para Simulaciones Dinámicas del Sistema Catenaria-Pantógrafo
El modelado de la catenaria se realiza mediante elementos tipo viga bidimensionales, y el del pantógrafo por un conjunto de muelles, amortiguadores y masas, Figura 4.
Figura 4: Modelo simplificado del sistema catenaria-pantógrafo según [WB98]
La catenaria está compuesta principalmente por un hilo, que se encuentra en contacto por el pantógrafo, y una serie de cables que se encargan de que aquel esté en posición horizontal, hilo sustentador y péndolas, como muestra la Figura 6. De ahí que en el modelo unidimensional (descrito por [WUBR98], Figura 5), aparezca como un punto con rigidez variable, debido a que puede estar fija físicamente, (en el sustentador) donde existe una rigidez elevada, o bien se encuentre suspendida en el aire o sustentada mediante las péndolas, con una rigidez despreciable ya que trabajan a flexión. Por otro lado el pantógrafo, tal y como se aprecia en la Figura 2, en el modelo unidimensional está formado por una masa (mesilla del pantógrafo) y un amortiguador en paralelo con un muelle tanto en el brazo superior como en el inferior separados por una masa, que representa el peso de todo el mecanismo articulado del pantógrafo, Figura 5. 4
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Figura 5: Modelo unidimensional [WB98]
Sustentador
Hilo de contacto
Péndolas
Figura 6: Elementos de una catenaria
Dicho esto, el objetivo de este proyecto es el de continuar implementado herramientas informáticas que modelen el comportamiento dinámico real del sistema catenaria pantógrafo, comparando los resultados con los obtenidos analíticamente o en artículos publicados en revistas de prestigio internacional.
Tecnologías de catenaria y pantógrafo El suministro de electricidad al tren se puede realizar de diversas formas, pero en la actualidad se pueden dividir en dos grandes grupos mediante tercer carril o mediante una línea aérea. Ambos por corriente alterna o continua. El primer grupo engloba todos aquellos que utilizan como elemento activo de suministro un conductor situado en las inmediaciones de la vía y sujeto al suelo, pero aislado de éste, permitiendo que un elemento móvil del tren, denominado patín vaya rozando sobre él. Tiene el peligro de que es muy fácil acceder a él y por tanto un riesgo de accidentes elevado. Se utiliza sobre todo en algunos ferrocarriles metropolitanos. 5
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El segundo grupo está formado por los sistemas aéreos de alimentación, que forman la llamada catenaria. Están compuestos por un conjunto de cables que forman una estructura cuyo fin es el que el hilo de contacto se encuentre en posición horizontal para minimizar las pérdidas de contacto y evitar así la falta de suministro y los arcos eléctricos. Además, tiene un riesgo de accidente menor al primer grupo debido a que se sitúan aproximadamente a 5 metros de altura sobre los raíles. Por último también existen catenarias rígidas, que constan de un perfil de cobre o aluminio, y permiten el uso de un pantógrafo similar al de la catenaria ordinaria. Dicha catenaria es usada por ejemplo por el metro de Madrid, Figura 7.
Figura 7: Catenaria aérea y catenaria rígida
Elementos de una catenaria: Hilo de contacto: El hilo de contacto es quizá el elemento fundamental del conjunto de componentes empleados en las líneas aéreas de contacto. Es el elemento sobre el que el pantógrafo va realizando el frotamiento y suministrando la corriente necesaria a todo el tren para su desplazamiento y servicios auxiliares. Dicho hilo no siempre se encuentra en la misma posición para evitar que se desgaste por un único lugar. Se descentra ligeramente de su posición central, en un valor que oscila entre los 20 y los 25 cm. Se suelen emplear dos hilos de contacto en las vías generales o principales, mientras que en las vías secundarias y en las electrificaciones en corriente alterna se emplea
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un único hilo de contacto, ya que el consumo de corriente alterna es menor que el de continua, Figura 8.
Figura 8: Catenaria con dos hilos de contacto
Sustentador: Es el cable superior de la catenaria encargado de soportar el peso del hilo de contacto y de las péndolas. En algunos tipos de montajes de catenaria se utilizan unos cables intermedios entre el sustentador e hilos de contacto, denominados falsos sustentadores, que tienen como misión aportar mayor tensión al sustentador en el centro del vano homogeneizando su elasticidad conformando una determinada estructura de la catenaria, conocida como péndola en Y, Figura 9.
7
Estudio e Implementación de Algoritmos Matemático para Simulaciones Dinámicas del Sistema Catenaria-Pantógrafo
Apoyo
Falso sustentador Figura 9: Péndola en Y
Péndolas: Son tirantes con la finalidad de mantener el o los hilos de contacto a una determinada distancia del plano formado por las vías de forma homogénea, Figura 10.
Figura 10: Dos péndolas rígidas y otra flexible
Ménsulas: Es el elemento que apoyándose en el poste, permite la colocación de la catenaria en su posición adecuada, éstas pueden estar fijadas al poste de forma rígida o bien ser capaces de girar sobre el plano horizontal cuando se regula la tensión mecánica del sustentador, a cuyo efecto se intercala una rótula en el elemento de fijación del poste.
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La rótula o elemento de giro de la ménsula con respecto al poste, permite los desplazamientos lineales del sustentador y de los hilos de contacto, por efecto de la dilatación térmica.
Figura 11: Ménsula
Cantón: El tendido eléctrico de abastecimiento está compuesto por un determinado número de vanos definidos entre poste y poste de aproximadamente 50-60 m de luz. Estos vanos conforman un cantón de aproximadamente 1-1.5 km que van siendo solapados formando lo que en apariencia parece una línea continua. El solapado de los cantones se realiza haciendo coexistir ambos en una determinada distancia como se muestra en la Figura 12.
9
Estudio e Implementación de Algoritmos Matemático para Simulaciones Dinámicas del Sistema Catenaria-Pantógrafo
Figura 12: Solapado de cantones
Figura 13: Principio y final de un cantón
A su vez, cada cantón tiene un sistema para mantener el sustentador e hilo de contacto sometidos a una determinada tensión mecánica, Figura 14. Este sistema está formado por una masa colgada de cada uno de los cables y un mecanismo multiplicador de la tensión basado en una polea con amarres a distintos radios de la misma.
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Figura 14: Tensor
Postes: Son los encargados de soportar la catenaria así como los elementos auxiliares que la componen. Se fijan al suelo mediante macizos de hormigón, con una profundidad de un metro aproximadamente. Se encuentran inclinados un cierto ángulo sobre la vertical con el fin de compensar los esfuerzos debidos al peso de la ménsula, sustentador e hilo de contacto.
11
Estudio e Implementación de Algoritmos Matemático para Simulaciones Dinámicas del Sistema Catenaria-Pantógrafo
Figura 15: Poste
El pantógrafo es el elemento del tren encargado de captar la corriente eléctrica de la catenaria, Figura 16. Se encuentra situado en la parte superior del tren aislado del mismo por elemento de porcelana. El sistema está constituido por una estructura tubular articulada. Las mesillas son los elementos de captación directa de la corriente; constan de: zapata, frotadores y trocadores. Y por último, el mecanismo de elevación está formado por cilindro, muelles, resortes y válvulas que hacen ascender o descender las mesillas.
Figura 16: Pantógrafo
12
2 Algoritmos de integración temporal
Estudio e Implementación de Algoritmos Matemático para Simulaciones Dinámicas del Sistema Catenaria-Pantógrafo
2.- Método de Hilber, Hughes y Taylor
2.1.-
Descripción teórica
El método de Hilber-Hughes-Taylor (HHT) es una variante del algoritmo Newmark ( [CR00] y [BC94] ) para la resolución de sistemas de ecuaciones no dinámicas mediante su propia integración numérica directa. Se parte de esta ecuación:
x ( t + 1) + (1 + α ) ⋅ C ( t ) ⋅ xɺ ( t + 1) − α ⋅ K ( t ) ⋅ x ( t ) = F ( t + 1) M ( t ) ⋅ ɺɺ
donde [M] representa la matriz de masa del sistema, [C] la matriz de amortiguamiento, [K] la matriz de rigidez y x el vector de desplazamientos de los nodos del sistema; para generalizar, se supondrán dichas matrices variables en función del tiempo. Por su parte, xɺ y ɺxɺ denotan las sucesivas derivadas temporales del vector de desplazamientos nodales. Para la resolución del sistema, HilberHughes-Taylor proponen la siguiente aproximación:
ɺɺ x ( t + 1) = xɺ ( t + 1) =
1 1 1 ⋅ x t + 1) − x ( t ) ) − ⋅ xɺ ( t ) + − 1 ⋅ ɺɺ x (t ) 2 ( ( β ⋅ ∆t β ⋅ ∆t 2⋅β
γ
γ ⋅ ( x ( t + 1) − x ( t ) ) + 1 − β ⋅ ∆t β
γ ⋅ xɺ ( t ) + 1 − 2 ⋅β
x (t ) ⋅ ∆t ⋅ ɺɺ
El valor de x ( t + 1) se obtiene al resolver el siguiente sistema de ecuaciones algebraicas lineales:
Kˆ ⋅ x ( t + 1) = [ P ]
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1 1 1 ⋅ x (t ) + ⋅ xɺ ( t ) + − 1 ⋅ ɺɺ x (t ) 2 β ⋅ ∆t 2⋅β β ⋅ ∆t γ 1 Kˆ = (1 + α ) ⋅ [ K ] + ⋅ [ C ] + ⋅ M] 2 [ β ⋅ ∆t β ⋅ ∆t
[ P ] = F ( t ) + α ⋅ [ K ] ⋅ x ( t ) + [ M ] ⋅
En todo el desarrollo, ∆t representa el paso de tiempo empleado ∆t = tí +1 − ti ; por su parte, β y γ son los parámetros característicos del método
Newmark, mientras que el parámetro α es el característico del método HilberHughes-Taylor.
2.2.-
Discusión de los parámetros del método de Hilber, Hughes y Taylor
La correcta elección de β , γ
y α es fundamental para el buen
funcionamiento del método, ya que de ellos depende su estabilidad y precisión. Así como para sistemas lineales incondicionalmente estables:
1 ≤α ≤ 0 3
(1 − α ) β=
2
4 (1 − 2 ⋅ α ) γ= 2
2. 1
Para sistemas no lineales:
α = −0.05
2.3.-
Comparación en casos estáticos entre el método Hilber, Hughes y Taylor y el método Newmark
15
Estudio e Implementación de Algoritmos Matemático para Simulaciones Dinámicas del Sistema Catenaria-Pantógrafo
Una vez definido el nuevo método se procederá a su comparación con el método Newmark mediante una serie de estructuras sencillas donde se estudiará su convergencia mediante tiempos en simulación para un rango de valores de α con intervalos de 0.001 ( −0.3 ≤ α ≤ 0 ) . Estructura 1:
Longitud de cada barra Tensión del hilo Densidad de masa lineal Rigidez elástica
L=4m T = 10000 N m= 1.35 kg/m EI= 7000 KNm2
Densidad Área Fuerza Nº elementos
Parámetros Newmark [ ∆t , β , γ ] : [0.001, ( 2.1), (2.1)]
ρ = 3 kg A = 2.8e-4 m2 F(t) = 1000sin (100п.t) 100
Figura 17: Viga Empotrada
30
25
tiempo (s)
20
15
10
5
0 −0.35
−0.3
−0.25
−0.2
−0.15 Alpha
−0.1
−0.05
0
Figura 18: Estudio de la convergencia
16
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1.5 1.45
u (Newmark) / u (HHT)
1.4 1.35 1.3 1.25 1.2 1.15 1.1 1.05 1 −0.35
−0.3
−0.25
−0.2
−0.15 Alpha
−0.1
−0.05
0
Figura 19: Cociente entre desplazamientos calculados por el método Newmark y el método HHT para un intervalo de Alpha [-1/3,0]
Estructura 2:
Longitud de cada barra Tensión del hilo Densidad de masa lineal Rigidez elástica Parámetros Newmark
L=4m T = 10000 N m= 1.35 kg/m EI= 7000 KNm2
Densidad Área Fuerza Nº elementos
[ ∆t , β , γ ] : [0.001, ( 2.1), (2.1)]
ρ = 3 kg A = 2.8e-4 m2 F(t) = 1000sin (100п.t) 10
Figura 20: Pórtico
17
Estudio e Implementación de Algoritmos Matemático para Simulaciones Dinámicas del Sistema Catenaria-Pantógrafo
11 10 9
tiempo (s)
8 7 6 5 4 3 2 1 −0.35
−0.3
−0.25
−0.2
−0.15 Alpha
−0.1
−0.05
0
Figura 21: Estudio de la convergencia
1.09 1.08
u (Newmark) / u (HHT)
1.07 1.06 1.05 1.04 1.03 1.02 1.01 1 −0.35
−0.3
−0.25
−0.2
−0.15 Alpha
−0.1
−0.05
0
Figura 22: Cociente entre desplazamientos calculados por el método Newmark y el método HHT para un intervalo de Alpha [-1/3,0]
18
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Estructura 3:
Longitud de cada barra Tensión del hilo Densidad de masa lineal Rigidez elástica Parámetros Newmark
L=5m T = 10000 N m= 1.35 kg/m EI= 7000 KNm2
Densidad Área Fuerza Nº elementos
[ ∆t , β , γ ] : [0.001, ( 2.1), (2.1)]
ρ = 3 kg A = 2.8e-4 m2 F(t) = 1000sin (100п.t) 100
Figura 23: Viga biempotrada
30
25
tiempo (s)
20
15
10
5
0 −0.35
−0.3
−0.25
−0.2
−0.15 Alpha
−0.1
−0.05
0
Figura 24: Estudio de la convergencia
19
Estudio e Implementación de Algoritmos Matemático para Simulaciones Dinámicas del Sistema Catenaria-Pantógrafo
1.14 1.12
u (Newmark) / u (HHT)
1.1 1.08 1.06 1.04 1.02 1 0.98 −0.35
−0.3
−0.25
−0.2
−0.15 Alpha
−0.1
−0.05
0
Figura 25: Cociente entre desplazamientos calculados por el método Newmark y el método HHT para un intervalo de Alpha [-1/3,0]
Como se puede apreciar en la Figura 18, Figura 21: y Figura 24, a medida que disminuye el valor de α , el tiempo de la simulación es mayor, o lo que es lo mismo, al método HHT le cuesta más converger que al método Newmark ( α = 0 ). Por otro lado la Figura 19: Cociente entre desplazamientos calculados por el método Newmark y el método HHT para un intervalo de Alpha [-1/3,0], Figura 22 y Figura 25 muestran el cociente entre los desplazamientos calculados por el método Newmark y el método HHT en el punto donde se realiza la fuerza. A medida que disminuye α dicha diferencia puede aumentar hasta en un 50%, como se aprecia en la Figura 19. Para α = −0.05 (sistemas no lineales) se observa que la gráfica toma valores superiores a la unidad, lo que indica que los desplazamientos calculados por el método Newmark son ligeramente mayores, por tanto los desplazamientos son menores, siendo el resultado más exacto, siendo esto lógico porque α es un amortiguamiento numérico que se introduce en el sistema.
20
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2.4.-
Comparación en un caso dinámico entre el método Hilber, Hughes y Taylor y el método Newmark
Con el fin de encontrar una validación del método HHT, se realizará un estudio de comparación frente al método Newmark para diferentes casos de contacto en el sistema catenaria-pantógrafos similares a los utilizados en los artículos escrito por Wu y Brennan [WB] y López-García, Carnicero y Maroño [LC06], tal como se muestra en la Figura 26 .
Figura 26: Modelo del sistema catenaria-pantógrafo según [] V=300 km/h Pantógrafo: M1 = 8 kg M2 = 12 kg
número de vanos= 10 K1 = 10000 kg/m FL = 100 N
C1 = 120 kg/m/s C2 = 30 kg/m/s
Se realizarán dos casos, en el primero no se permitirá a la catenaria estabilizarse cuando el pantógrafo entre en contacto con ella, y en el segundo sí. De esta forma se observarán diferentes comportamientos entre los métodos a estudiar. Se comenzará por estudiar la fuerza de contacto en el pantógrafo, como se puede apreciar en las diferentes figuras, en todas ellas aparecen un conjunto de máximos, distanciados entre sí un tiempo constante, correspondiendo estos con los vanos de la catenaria ya que en dichos puntos es donde la catenaria muestra mayor rigidez y por 21
Estudio e Implementación de Algoritmos Matemático para Simulaciones Dinámicas del Sistema Catenaria-Pantógrafo
tanto la fuerza ejercida sobre la superficie superior del pantógrafo es la máxima. Estos picos aparecen diez veces, como el número de vanos escogidos en nuestro modelo. En la Figura 27 se observa una desaparición de la fuerza de contacto en el quinto vano cuando se utiliza el método de integración dinámico de Newmark y el contacto Penalty, lo que se traduce en una pérdida de contacto entre el sistema catenaria-pantógrafo. Este fenómeno se soluciona cuando se utiliza el método de integración dinámico HHT, en el que la fuerza de contacto carece de oscilaciones propias de desestabilización, las cuales se pueden apreciar en el cuarto vano cuando utilizamos el método de integración dinámico de Newmark. Cuando se utiliza el método de contacto de Lagrange tal y como se observa en Figura 28, siendo el método de integración dinámico el de Newmark, el número de oscilaciones es muy elevado lo que tiende a desestabilizar el sistema catenaria-pantógrafo, lo que se traduce en una pérdida del aspecto físico, dejándose de apreciar así la posición del pantógrafo y el número de vanos de las catenaria. Pero cuando al usar el método de integración dinámica HHT dichas oscilaciones desaparecen volviéndose a apreciar de una manera muy clara el número de vanos, de la misma manera que cuando se escoge el método de contacto Penalty, aunque con los máximos de las graficas ligeramente mayores. Por último escogiendo el método de contacto Penalty con bloqueo (descrito en el punto 5 del proyecto), Figura 29, se observa que la desestabilización y las pérdidas de contacto desaparecen utilizando cualquiera de los dos métodos de integración dinámica,
Newmark o HHT. En este caso
desaparece la uniformidad de los máximos, tomando cada uno un valor diferente todos ellos comprendidos entre 400 y 500 N, exceptuando los dos últimos vanos cuando se utiliza el método HHT, en los cuales el pico es mucho menor sin que desaparezca en ningún instante el contacto entre catenaria-pantógrafo. Por otro lado, cabe resaltar el fenómeno que aparece entre los vanos 4 y 5 cuando se usa el método de integración dinámica Newmark, donde no existiera pérdida de contacto, siendo el valor del pico de la fuerza propio del quinto vano menor que todos los demás (alrededor de los 300 N, Figura 28).
22
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500 Newmark HHT
450
fuerza de contacto (N)
400 350 300 250 200 150 100 50 0
0
1
2
3 tiempo (s)
4
5
6
Figura 27: Fuerza que se ejerce sobre la superficie superior del pantógrafo mediante el método de contacto Penalty
700 Newmark HHT 600
fuerza de contacto (N)
500
400
300
200
100
0
0
1
2
3 tiempo (s)
4
5
6
Figura 28: Fuerza que se ejerce sobre la superficie superior del pantógrafo mediante el método de contacto de Lagrange
23
Estudio e Implementación de Algoritmos Matemático para Simulaciones Dinámicas del Sistema Catenaria-Pantógrafo
Newmark HHT
600
fuerza de contacto (N)
500
400
300
200
100
0
0
1
2
3 tiempo (s)
4
5
6
Figura 29: Fuerza que se ejerce sobre la superficie superior del pantógrafo mediante el método de contacto Penalty con bloqueo
Aparece el mismo fenómeno, pero en el vano central de la catenaria tal y como muestran la Figura 30, Figura 31 y Figura 32 para los diferentes métodos de contacto, debido a que la Norma 50318 muestra especial hincapié en los fenómenos que aparecen en dicho vano. El resultado es similar al enunciado anteriormente con la fuerza ejercida sobre la superficie superior del pantógrafo. En todas las figuras aparecen dos máximos propios al cuarto y quito vano cuando el pantógrafo pasa por ellos. De esta manera se aprecian fenómenos similares a los que hemos estudiado anteriormente con la fuerza sobre la parte superior del pantógrafo. En la Figura 30 donde se estudia la fuerza de contacto sobre el vano central por medio del método de contacto Penalty, aparece el mismo fenómeno de pérdida de contacto de la Figura 27 cuando se utiliza el método de integración dinámico de Newmark. En la Figura 31 donde se muestra la fuerza de contacto sobre el vano 24
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central con el método de contacto de Lagrange vuelven a aparecer las misma oscilaciones propias del sistema tal y como se ha podido observar en la Figura 28 cuando se utiliza método de integración dinámico de Newmark, de la misma forma se aprecian similitudes cuando se utiliza el método de integración dinámico HHT donde las oscilaciones nunca aparecen. Por último, en la Figura 32 donde se muestra la fuerza de contacto sobre el vano central mediante el método de contacto Penalty con bloqueo en los dos métodos de integración dinámicos se aprecia un comportamiento normal, estable y sin pérdidas de contacto, apareciendo una fuerza de contacto menor en el cuarto vano por el método de integración dinámico Newmark.
500 Newmark HHT
450
fuerza de contacto (N)
400 350 300 250 200 150 100 50 0
2.6
2.8
3 3.2 tiempo (s)
3.4
3.6
3.8
Figura 30: Fuerza que se ejerce sobre el vano central de la catenaria mediante el método de contacto Penalty
25
Estudio e Implementación de Algoritmos Matemático para Simulaciones Dinámicas del Sistema Catenaria-Pantógrafo
500 Newmark HHT
450
fuerza de contacto (N)
400 350 300 250 200 150 100 50 0
2.6
2.8
3 3.2 tiempo (s)
3.4
3.6
3.8
Figura 31: Fuerza que se ejerce sobre el vano central de la catenaria mediante el método de contacto Lagrange
Newmark HHT
600
fuerza de contacto (N)
500
400
300
200
100
0
2.6
2.8
3 3.2 tiempo (s)
3.4
3.6
3.8
Figura 32: Fuerza que se ejerce sobre el vano central de la catenaria mediante el método de contacto Penalty con bloqueo
26
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En conclusión, cuando no se permite que se estabilice el sistema catenariapantógrafo, es decir, tras haber cargado el pantógrafo sobre la catenaria se pone en movimiento, se aprecia un mejor comportamiento con el método de integración dinámico HHT, para cualquiera que sea el método de contacto aplicado no presenta ni pérdidas de contacto ni oscilaciones. El segundo caso de estudio donde una vez cargado el pantógrafo sobre la catenaria se permite que esta se estabilice antes de que el pantógrafo entre en movimiento, se presentan las diferentes figuras, siguiendo el mismo orden que en el primer caso de estudio. Como se aprecian en las Figura 33, Figura 34 y Figura 35 al permitir estabilizarse al sistema aparece una fuerza de contacto media de 100 N, fuerza que ejerce el pantógrafo sobre la catenaria en el caso en que no existiesen efectos dinámicos debidos al movimiento del pantógrafo. En los dos primeros casos, Figura 33 y Figura 34, se aprecian los mismos fenómenos que en el caso sin carga, pérdida de contacto cuando se utiliza el método de integración dinámico Newmark con el método de contacto Penalty en la primera, y una inestabilidad del pantógrafo con el mismo método de integración dinámico pero con el método de contacto Lagrange. En el tercer caso, la Figura 35, en la que el método de contacto empleado es Penalty con bloqueo, aparece una pérdida de contacto al utilizar el método de integración dinámico HHT en el segundo vano, mientras que con el método Newmark aparecen oscilaciones en el pantógrafo y unos máximos más elevados.
27
Estudio e Implementación de Algoritmos Matemático para Simulaciones Dinámicas del Sistema Catenaria-Pantógrafo
600 Newmark HHT
fuerza de contacto (N)
500
400
300
200
100
0
0
2
4
6 tiempo (s)
8
10
12
Figura 33: Fuerza que se ejerce sobre la superficie superior del pantógrafo mediante el método de contacto Penalty
800 Newmark HHT
700
fuerza de contacto (N)
600 500 400 300 200 100 0
0
2
4
6 tiempo (s)
8
10
12
Figura 34: Fuerza que se ejerce sobre la superficie superior del pantógrafo mediante el método de contacto Lagrange
28
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1000 Newmark HHT
900
fuerza de contacto (N)
800 700 600 500 400 300 200 100 0
0
2
4
6 tiempo (s)
8
10
12
Figura 35: Fuerza que se ejerce sobre la superficie superior del pantógrafo mediante el método de contacto Penalty con bloqueo
Continuando la línea de estudio, se observa que ocurre en el vano central de la catenaria. El resultado vuelve a ser el esperado tal y como pasaba en el primer caso de estudio. Los fenómenos anormales que aparecen en las diferentes Figura 33, Figura 34 y Figura 35, son los mismos que se aprecian entre los vanos cuarto y quinto en las Figura 36, Figura 37 y Figura 38.
29
Estudio e Implementación de Algoritmos Matemático para Simulaciones Dinámicas del Sistema Catenaria-Pantógrafo
500 Newmark HHT
450
fuerza de contacto (N)
400 350 300 250 200 150 100 50 0 6.8
7
7.2
7.4
7.6 tiempo (s)
7.8
8
8.2
8.4
Figura 36: Fuerza que se ejerce sobre el vano central de la catenaria mediante el método de contacto Penalty
700 Newmark HHT 600
fuerza de contacto (N)
500
400
300
200
100
0 6.8
7
7.2
7.4
7.6 tiempo (s)
7.8
8
8.2
8.4
Figura 37: Fuerza que se ejerce sobre el vano central de la catenaria mediante el método de contacto Lagrange
30
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600 Newmark HHT
fuerza de contacto (N)
500
400
300
200
100
0 6.8
7
7.2
7.4
7.6 tiempo (s)
7.8
8
8.2
8.4
Figura 38: Fuerza que se ejerce sobre el vano central de la catenaria mediante el método de contacto Penalty con bloqueo
En conclusión, cuando se permite que se estabilice la catenaria, se continúa teniendo un mejor resultado con el método de integración dinámico HHT frente al de Newmark, salvo en el caso en que se utilice el método de contacto Penalty con bloqueo en el que aparecen pérdidas de contacto.
31
3 Elementos finitos tipo viga
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3.- Elemento finito tipo viga basado en deformaciones finitas
3.1.-
Elemento tipo viga basado en deformaciones finitas contemplando los términos de orden superior asociados al esfuerzo axil
Para poder resolver cualquier problema por el método de elementos finitos es necesario describir cada elemento a utilizar, esto es, conocer las variables de entrada y de salida, así como las condiciones de uso. Cada elemento tiene sus propias características e hipótesis. En el caso de que el problema sea de tipo estructural lo más importante será desarrollar la matriz tangente, por tanto, todo el esfuerzo se debe centrar en como se obtiene. El elemento que se va a desarrollar es un elemento co-rotacional tipo viga de dos dimensiones teniendo en cuenta los efecto de las fuerzas axiales, tal y como lo describe [CR00]. En las Figura 39 y Figura 40 aparecen las diferentes variables que se utilizarán en el desarrollo teórico del elemento.
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z
ul
2
ln d 21 d2
1
2
d1 1
x1'
lo x1
x2
x
Figura 39: Desplazamiento en un elemento co-rotacional
z
x Figura 40: Curvatura de un elemento co-rotacional en pequeños desplazamientos
34
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Como se ha dicho anteriormente el objetivo es encontrar la matriz
[ Kt ]
que
cumpla:
[ F ] = [ K t ] ⋅ [u ] Dicha ecuación se puede derivar de la aplicación del principio de los trabajos virtuales al elemento, donde F es el vector de las fuerzas en los nodos y u el desplazamiento de los mismos.
[F ]
T
= [ N , M1, M 2 ]
T
N = EA
M 1 2 EI = lo M2
ul lo
2 1 θl1 1 2 θ l2
Siendo N el esfuerzo normal en el elemento, y M 1 y M 2 los momentos en los
nodos 1 y 2 respectivamente. Tal y como describe [CR00], la matriz tangente [ K t ] consta de dos términos [ K t1 ] y [ K tσ ] .
[ Kt ] = [ Kt1 ] + [ Ktσ ] = BT [Cl ] BT + [ Ktσ ] Siendo
1 0 EA [Cl ] = 0 4r 2 lo 0 2r 2
0 2r 2 4r 2
0 0 0 Nlo C = 0 4 −1 30 0 −1 4 *
ul T l0 T 4 −1 T A 1 + r + θ [ B ] = l0 30 l −1 4 AT 0 0 1 0 0 1 1 z T AT = − T 0 0 0 0 0 1 ln z
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Estudio e Implementación de Algoritmos Matemático para Simulaciones Dinámicas del Sistema Catenaria-Pantógrafo
z T = ( sin α , − cos α , 0, − sin α , cos α , 0 )
1 M 1 + M 2 + Nlo (θ1l + θ 2l ) N (1 + ul / lo ) T rr 10 rz T + zr T K tσ = BT C * B + zz + N + ( ) ln lo ln2 T
Tal y como describe [CR00].
3.2.-
Verificación de la flecha en una viga en voladizo
Para verificar el correcto funcionamiento del elemento, se procederá a observar la deformada vertical de una viga en voladizo, Figura 41, estudiando el resultado de la flecha.
Longitud de cada barra L = 4 m Área A = 2.8e-4 m2 Densidad de masa lineal m= 1.35 Kg/m
Densidad ρ = 3 Kg Fuerza F = 1000N Rigidez elástica EI= 7000 KNm2
Figura 41: Viga en voladizo
En la Figura 42 se puede observar la deformada, siendo el valor de la flecha en el punto donde se ejerce la fuerza de 3.0476mm.
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−3
x 10
0
desplazamiento vertical (m)
−0.5
−1
−1.5
−2
−2.5
−3
−3.5
0
0.5
1
1.5
2 2.5 longitud (m)
3
3.5
4
Figura 42: Desplazamientos verticales en una viga en voladizo
Calculando analíticamente la flecha en el extremo: flecha =
FL3 1000 ⋅ 43 = = 3.04761mm 3EI 3 ⋅ 7000000
Por tanto, podemos verificar que el elemento es correcto, ya que la flecha coincide con el valor analítico.
3.3.-
Comparación en una viga basado teniendo y sin tener en cuenta los términos de orden superior asociados al esfuerzo axil
Con el fin de comprobar la influencia que tiene el efecto axial sobre los desplazamientos se realizará un estudio de comparación sobre un hilo tenso como el de la Figura 43.
37
Estudio e Implementación de Algoritmos Matemático para Simulaciones Dinámicas del Sistema Catenaria-Pantógrafo
Longitud del hilo L = 60 m Tensión del hilo T = 10000 N Densidad de masa lineal m= 1.35 Kg/m
Fuerza Rigidez Nº elementos
F= 50000N EI= 136 Nm2 nel=120
Figura 43: Hilo tenso apoyado en sus extremos
Las Figura 44, Figura 45 y Figura 46 muestran la diferencia entre las diferentes coordenadas (x, y, θ ) de cada nodo, sin tener y teniendo en cuenta el efecto axial en cada elemento. Como se observa en la Figura 44, los desplazamientos horizontales, coordenadas x, se encuentran principalmente afectadas por el efecto de la tensión del hilo, el cual se encuentra tensado en su apoyo derecho, de ahí que el máximo no se encuentre desplazado a la izquierda del medio. Por lo demás, se aprecia que los resultados son similares. En la Figura 45, donde se comparan los desplazamientos en dirección vertical, apenas se muestran diferencias, salvo en los extremos donde cualquier diferencia se dispara, ya que se está dividiendo por un desplazamiento cercano a 0. Tampoco se aprecian diferencias en esta dirección. Por último, en la aportación del momento flector, que se muestra en la Figura 46, tampoco aparecen diferencias importantes, salvo en el punto de θ = 0 , donde ocurre el mismo fenómeno que en la dirección vertical en los extremos, ya que el dividir cualquier número por otro cercano a cero tiende a infinito.
38
Escuela Técnica Superior deIingeniería- ICAI
2.5
diferencia(%)
2
1.5
1
0.5
0
0
10
20
30 longitud (m)
40
50
60
Figura 44: Diferencia entre desplazamientos en coordenadas x [(U (sin axial)-U (con axial))/U (sin axial)] 0.18 0.16 0.14
diferencia (%)
0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0
0
10
20
30 longitud (m)
40
50
60
Figura 45: Diferencia entre desplazamientos en coordenadas y [(U (sin axial)-U (con axial))/U (sin axial)]
39
Estudio e Implementación de Algoritmos Matemático para Simulaciones Dinámicas del Sistema Catenaria-Pantógrafo
200
180
160
140
error(%)
120 (U1−U2)/U1 100
80
60
40
20
0
0
10
20
30 longitud (m)
40
50
60
Figura 46: Diferencia entre ángulos [(U (sin axial)-U (con axial))/U (sin axial)]
40
Escuela Técnica Superior deIingeniería- ICAI
3.4.-
Elementos finito tipo viga basado en deformaciones finitas basado en la teoría de Thimoshenko
Descripción teórica. Se trata de un elemento finito tipo viga basado en deformaciones finitas considerando el efecto del cortante a diferencia de otros en el vector de cargas aparecen tres términos, uno asociado al esfuerzo normal, otro al cortante y por último asociado al momento. Aunque aparece algún problema, porque en un elemento tipo barra existen dos momentos de diferente valor en los extremos de la misma. Para solucionarlo se define el momento como la diferencia de ambos. A partir de la Figura 47 se definirán una serie de vectores y parámetros necesarios para implementación del elemento.
Figura 47: Rotación en el nodo1
Se define el vector de esfuerzos como qli :
41
Estudio e Implementación de Algoritmos Matemático para Simulaciones Dinámicas del Sistema Catenaria-Pantógrafo
N qli = M Q θ −θ Q = −GA 1 2 − α ; 2
M = − EI χ l ;
N = EA
ul ; lo
Así que es necesario definir los incrementos de infinitesimales de las deformaciones.
ul = loε l ;
χl =
θ l 2 − θl1 lo
rT δ ul l loδε l = loδχ = 0 0 −1 0 0 1 + − o ln loδγ lo lo 0 0 − 2
0 0 − 2
;
0T T T 0 δ p = B δ p zT
Donde δ p son los desplazamientos de los nodos. Los vectores r y z vienen determinados por:
pT = ( u1 , v1 ,θ1 , u2 , v2 ,θ 2 ) r T = ( − cos α , − sin α , 0, cos α ,sin α , 0 ) z T = ( sin α , − cos α , 0, − sin α , cos α , 0 ) Ahora aplicaremos el principio de los trabajos virtuales: Vi = δ pvT qi = lo qliT δε lv = δ pvT BT qli
Por tanto: qi = BT qli
Ahora para resolver los incrementos de esfuerzos internos en función de los desplazamientos se define la matriz de rigidez propia del elemento K t
δ qi = K tδ p Kt =
Ql 1 T N B Cl B + zz T − 2o (rz T + zr T ) lo ln ln
42
Escuela Técnica Superior deIingeniería- ICAI
EA lo Cl = 0 0
0 EI lo
0
0 0 GA lo3
Comprobación del elemento basado en deformaciones finitas Para verificar el correcto funcionamiento del elemento, se procederá a observar la deformada vertical de una viga en voladizo, Figura 41, estudiando el resultado de la flecha en función del número de elementos.
Longitud de cada barra L = 4 m Área A = 2.8e-4 m2 Densidad de masa lineal m= 1.35 kg/m
Densidad ρ = 3 kg Fuerza F = 1000N Rigidez elástica EI= 7000 KNm2
Figura 48: Viga en voladizo
En la Figura 42 se puede observar la deformada, siendo el valor de la flecha en el punto donde se ejerce la fuerza es de 3.3828mm, 3.0481mm y 3.0476mm, para 10, 100 y 1000 elementos respectivamente.
43
Estudio e Implementación de Algoritmos Matemático para Simulaciones Dinámicas del Sistema Catenaria-Pantógrafo
−3
0
x 10
10 elementos 100 elementos 1000 elementos
desplazamiento vertical (m)
−0.5
−1
−1.5
−2
−2.5
−3
−3.5
0
0.5
1
1.5
2 2.5 longitud (m)
3
3.5
4
Figura 49: Desplazamientos verticales en una viga en voladizo
Calculando analíticamente la flecha en el extremo: flecha =
FL3 1000 ⋅ 43 = = 3.04761mm 3EI 3 ⋅ 7000000
Por tanto, se puede concluir que a medida en que se aumenta el número de elementos de la estructura el resultado simulado se acerca más a la realidad, tal y como se puede apreciar en la flecha.
44
Escuela Técnica Superior deIingeniería- ICAI
3.5.-
Elemento finito tipo viga basado en deformaciones finitas basado en la teoría de Reissner
Descripción teórica Este elemento está basado en la teoría de vigas de Reissner [RE73], que también fue implementado por Vu Quo y Simo [SV87]. Pero se ha desarrollado tal y como describe Crisfield en [CR00]. Se trata de un elemento finito tipo viga basado en deformaciones finitas considerando el efecto del cortante a diferencia de otros en el vector de cargas aparecen tres términos, uno asociado al esfuerzo normal, otro al cortante y por último asociado al momento. Aunque aparece algún problema, porque en un elemento tipo barra existen dos momentos de diferente valor en los extremos de la misma. Para solucionarlo se define el momento como la diferencia de ambos. A partir de la Figura 50se definirán una serie de vectores y parámetros necesarios para implementación del elemento.
Figura 50: Elemento tipo viga según la teoría de Reissner
θ av =
θ 2 + θ1 2
45
Estudio e Implementación de Algoritmos Matemático para Simulaciones Dinámicas del Sistema Catenaria-Pantógrafo
t1T = ( cos θ av , sin θ av ) t1T = ( − sin θ av , cos θ av ) ' x21 = x21 + d 21
pT = ( u1 , v1 ,θ1 , u2 , v2 ,θ 2 ) Se define el vector de esfuerzos como qli :
N qli = M Q M = EI χ l ;
θ −θ Q = −GA l 2 l1 ; 2
N = EA
ul ; lo
Así que es necesario definir las deformaciones longitudinales y transversales, ε y
γ , necesarios para el cálculo de incrementos de infinitesimales de las deformaciones.
εl =
1 T ' t1 x21 − 1 ; lo
γ=
1 T ' t2 x21 ; lo
χl =
θ l 2 − θl1 lo
ul = loε l ;
;
r T + c2 sT δ ul loδε l = loδχ = 0 0 −1 0 0 1 = BT δ p z T + c1sT loδγ Donde s , c1 y c2 vienen determinados por:
s = ( 0, 0,1, 0, 0,1) c1 = −0.5ln c2 = 0.5γ lo 46
Escuela Técnica Superior deIingeniería- ICAI
Ahora aplicaremos el principio de los trabajos virtuales: Vi = δ pvT qi = lo qliT δε lv = δ pvT BT qli Por tanto: qi = BT qli Ahora para resolver los incrementos de esfuerzos internos en función de los desplazamientos se define la matriz de rigidez propia del elemento K t
δ qi = K tδ p Kt =
1 T N N Q Q B Cl B + ( sz T + zsT ) + c1ssT − ( sr T + rsT ) − c2 ssT lo 2 2 2 2 EA lo Cl = 0 0
0 EI lo 0
0 0 GA lo3
Comprobación del elemento basado en deformaciones finitas Para verificar el correcto funcionamiento del elemento, se procederá a observar la deformada vertical de una viga en voladizo, Figura 41, estudiando el resultado de la flecha en función del número de elementos.
Longitud de cada barra L = 4 m Área A = 2.8e-4 m2 Densidad de masa lineal m= 1.35 kg/m
Densidad ρ = 3 kg Fuerza F = 1000N Rigidez elástica EI= 7000 KNm2
Figura 51: Viga en voladizo
47
Estudio e Implementación de Algoritmos Matemático para Simulaciones Dinámicas del Sistema Catenaria-Pantógrafo
En la Figura 42 se puede observar la deformada, siendo el valor de la flecha en el punto donde se ejerce la fuerza es de 3.3828mm, 3.0482mm y 3.0476mm, para 10, 100 y 1000 elementos respectivamente. −3
x 10
0
10 elementos 100 elementos 1000 elementos
desplazamiento vertical (m)
−0.5
−1
−1.5
−2
−2.5
−3
−3.5
0
0.5
1
1.5
2 2.5 longitud (m)
3
3.5
4
Figura 52: Desplazamientos verticales en una viga en voladizo
Calculando analíticamente la flecha en el extremo: flecha =
FL3 1000 ⋅ 43 = = 3.04761mm 3EI 3 ⋅ 7000000
Por tanto, se puede concluir que a medida en que se aumenta el número de elementos de la estructura el resultado simulado se acerca más a la realidad, tal y como se puede apreciar en la flecha.
3.6.-
Estudio de los diferentes elemento implementados en una viga en voladizo
48
Escuela Técnica Superior deIingeniería- ICAI
Con el fin de establecer una comparación entre los desplazamientos que resultan de la utilización de uno u otro de los elementos implementados, se procederá a estudiar la diferencia entre los diferentes grados de libertad (desplazamientos horizontales, desplazamientos verticales y giros) en función del número de elementos de la estructura. Para ello se realizará con el caso sencillo de una viga en voladizo, tal y como se aprecia en la Figura 41.
Longitud de cada barra L = 4 m Área A = 2.8e-3 m2 Densidad de masa lineal m= 1.35 kg/m
Densidad ρ = 3 kg Fuerza F = 1000N Rigidez elástica EI= 7000 KNm2
Figura 53: Viga en voladizo
En las gráficas se estudiará la diferencia como:
Diferencia =
Desplazamiento(elemento1) − Desplazamiento(elemento 2) Desplazamiento(elemento1)
entendiendo como desplazamiento el grado de libertad de estudio en cuestión (horizontal, vertical o giro). En los tres primeros casos de estudio se tomará como elemento base (elemento1), un elemento basado en deformaciones finitas sin tener en cuenta los esfuerzos axiles, el cual ha sido comprobado que se comporta acorde a la realidad del problema, estos es, los desplazamiento que se obtienen son los mismos que los calculados teóricamente. Se comenzará por la comparación entre el elemento basado en deformaciones finitas sin tener en cuenta y teniendo en cuenta los términos de orden superior asociados al esfuerzo axil descrito en el primer apartado de este punto del proyecto. Tal y como se puede observar en las Figura 54, Figura 55 y Figura 56, donde se representan los desplazamientos horizontales, verticales y giros, respectivamente, a 49
Estudio e Implementación de Algoritmos Matemático para Simulaciones Dinámicas del Sistema Catenaria-Pantógrafo
medida en que aumenta el número de elementos la diferencia disminuye. En cualquiera de los casos, la diferencia es muy pequeña, del orden de 10-7, por lo que se puede concluir que dichos elementos son similares para el cálculo de esta estructura. Para obtener conclusiones más detalladas es necesario realizar un estudio en una estructura más complicada, teniendo en cuenta efectos dinámicos.
−7
5
−7
2
x 10
x 10
4.5 diferencia (%)
diferencia (%)
1.5
4
1
0.5
3.5 0
0.5
1
1.5
2 2.5 longitud (m)
3
3.5
4
0
0.5
1
1.5
2 2.5 longitud (m)
3
3.5
4
−7
5
x 10
4.5 4
diferencia (%)
3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0
0
0.5
1
1.5
2 2.5 longitud (m)
3
3.5
4
Figura 54: Diferencia entre desplazamientos horizontales en una viga en voladizo con 10, 50 y 100 elementos
50
Escuela Técnica Superior deIingeniería- ICAI
−7
−8
10
x 10
2.5
x 10
2.4
9
2.3
8
diferencia (%)
diferencia (%)
2.2 7 6 5
2.1 2 1.9
4
1.8
3 2
1.7
0
0.5
1
1.5
2 2.5 longitud (m)
3
3.5
1.6
4
0
0.5
1
1.5
2 2.5 longitud (m)
3
3.5
4
−9
1.2
x 10
1
diferencia (%)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2 2.5 longitud (m)
3
3.5
4
Figura 55: Diferencia entre desplazamientos verticales en una viga en voladizo con 10, 50 y 100 elementos −7
−8
x 10
2.6 2.5
10
2.4
9
2.3
diferencia (%)
11
8 7 6
2.1 2 1.9
4
1.8
3
1.7
2
0
0.5
1
1.5
2 2.5 longitud (m)
3
3.5
4
x 10
2.2
5
1.6
0
0.5
1
1.5
2 2.5 longitud (m)
3
3.5
4
−9
1.4
x 10
1.2
1
diferencia (%)
diferencia (%)
12
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2 2.5 longitud (m)
3
3.5
4
Figura 56: Diferencia entre giros en una viga en voladizo con 10, 50 y 100 elementos
51
Estudio e Implementación de Algoritmos Matemático para Simulaciones Dinámicas del Sistema Catenaria-Pantógrafo
En segundo lugar se realizará la comparación entre el elemento de basado en deformaciones finitas sin tener en cuenta los términos de orden superior asociados al esfuerzo axil y elemento basado en la teoría de vigas de Timoshenko, descrito en el apartado 3.4 del proyecto. Las conclusiones son similares a las del caso anterior, al aumentar el número de elementos, disminuye la diferencia entre los desplazamientos, Figura 57, Figura 58 y Figura 59. Aunque en este caso el orden de magnitud de las diferencias es mucho mayor, del orden de la unidad (salvo en el caso de los giros), por tanto este elemento es mucho más sensible al número de elementos. De esta forma se puede concluir que para que los resultados de este elemento sean válidos, el número de elementos de la estructura ha de ser muy elevado (la diferencia es del orden de 10-2 para los casos de 50 y 100 elementos), lo cual limita mucho el uso de este elemento, ya que en los casos dinámicos ralentizaría mucho el cálculo. 140
6
120
5
100
diferencia (%)
diferencia (%)
4 80
60
3
2 40 1
20
0
0
0.5
1
1.5
2 2.5 longitud (m)
3
3.5
4
0
0
0.5
1
1.5
2 2.5 longitud (m)
3
3.5
4
3.5
3
diferencia (%)
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2 2.5 longitud (m)
3
3.5
4
Figura 57: Diferencia entre desplazamientos horizontales en una viga en voladizo con 10, 50 y 100 elementos
52
Escuela Técnica Superior deIingeniería- ICAI
50
2.5
45 2
40
diferencia (%)
diferencia (%)
35 30 25
1.5
1
20 15
0.5
10 5
0
0.5
1
1.5
2 2.5 longitud (m)
3
3.5
0
4
0
0.5
1
1.5
2 2.5 longitud (m)
3
3.5
4
1.4
1.2
diferencia (%)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2 2.5 longitud (m)
3
3.5
4
Figura 58: Diferencia entre desplazamientos verticales en una viga en voladizo con 10, 50 y 100 elementos −6
4.9
−7
x 10
3.4
4.8
x 10
3.2
4.7 3
diferencia (%)
4.5 4.4
2.8
2.6
4.3 2.4 4.2 2.2
4.1 4
0
0.5
1
1.5
2 2.5 longitud (m)
3
3.5
4
2
0
0.5
1
1.5
2 2.5 longitud (m)
3
3.5
4
−8
1.6
x 10
1.55 1.5
diferencia (%)
diferencia (%)
4.6
1.45 1.4 1.35 1.3 1.25 1.2
0
0.5
1
1.5
2 2.5 longitud (m)
3
3.5
4
Figura 59: Diferencia entre giros en una viga en voladizo con 10, 50 y 100 elementos
53
Estudio e Implementación de Algoritmos Matemático para Simulaciones Dinámicas del Sistema Catenaria-Pantógrafo
En tercer lugar se realizará la comparación entre
el elemento de basado en
deformaciones finitas sin tener en cuenta los esfuerzos axiles y el elemento basado en la teoría de vigas de Reissner descrito en el apartado 3.5 del proyecto. Este caso tiene exactamente las mismas conclusiones que el anterior, donde es necesario un número elevado de elementos para la obtención de un resultado que se asemeje a la realidad, tal y como se aprecia en las Figura 60, Figura 61 y Figura 62. 110
6
100 5
90
4
diferencia (%)
diferencia (%)
80 70 60 50
3
2
40 30
1
20 10
0
0.5
1
1.5
2 2.5 longitud (m)
3
3.5
0
4
0
0.5
1
1.5
3
3.5
4
2 2.5 longitud (m)
3
3.5
4
4 3.5
diferencia (%)
3 2.5 2 1.5 1 0.5 0
0
0.5
1
1.5
2 2.5 longitud (m)
Figura 60: Diferencia entre desplazamientos horizontales en una viga en voladizo con 10, 50 y 100 elementos
54
Escuela Técnica Superior deIingeniería- ICAI
50
2.5
45 2
40
diferencia (%)
diferencia (%)
35 30 25
1.5
1
20 15
0.5
10 5
0
0.5
1
1.5
2 2.5 longitud (m)
3
3.5
0
4
0
0.5
1
1.5
2 2.5 longitud (m)
3
3.5
4
1.4
1.2
diferencia (%)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2 2.5 longitud (m)
3
3.5
4
Figura 61: Diferencia entre desplazamientos verticales en una viga en voladizo con 10, 50 y 100 elementos −7
−6
5.8
x 10
3.8
5.7
x 10
3.6
5.6 3.4
diferencia (%)
5.4 5.3 5.2
3.2 3 2.8
5.1 2.6 5 2.4
4.9 4.8
0
0.5
1
1.5
2 2.5 longitud (m)
3
3.5
4
2.2
0
0.5
1
1.5
2 2.5 longitud (m)
3
3.5
4
−8
3.6
x 10
3.5 3.4 3.3
diferencia (%)
diferencia (%)
5.5
3.2 3.1 3 2.9 2.8 2.7
0
0.5
1
1.5
2 2.5 longitud (m)
3
3.5
4
Figura 62: Diferencia entre giros en una viga en voladizo con 10, 50 y 100 elementos
55
Estudio e Implementación de Algoritmos Matemático para Simulaciones Dinámicas del Sistema Catenaria-Pantógrafo
Por último resulta interesante realizar un estudio entre los elementos basados en la teoría de vigas de Reissner y la teoría de vigas de Timoshenko, ya que ambas teorías tienen en cuenta el efecto del esfuerzo cortante. Como en los casos anteriores a medida que aumenta el número de elementos de la estructura la diferencia disminuye. En las Figura 63, Figura 64 y Figura 65 se aprecian las diferentes para los distintos grados de libertad, aunque con grados de magnitud de 10-4 en el primero (para los casos de 50 y 100 elementos) y de 10-7 en los otros dos. Pudiéndose concluir que los resultados obtenidos en esta estructura por ambos elementos son similares.
12
0.4 0.35
10 0.3
diferencia (%)
diferencia (%)
8
6
0.25 0.2 0.15
4 0.1 2 0.05 0
0
0.5
1
1.5
2 2.5 longitud (m)
3
3.5
4
0
0
0.5
1
1.5
2 2.5 longitud (m)
3
3.5
4
0.7
0.6
diferencia (%)
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.5
1
1.5
2 2.5 longitud (m)
3
3.5
4
Figura 63: Diferencia entre desplazamientos horizontales en una viga en voladizo con 10, 50 y 100 elementos
56
Escuela Técnica Superior deIingeniería- ICAI
−7
−8
x 10
3.7
8
3.6
7.5
3.5
7
3.4
diferencia (%)
diferencia (%)
8.5
6.5 6 5.5
3.3 3.2 3.1
5
3
4.5
2.9
4
x 10
0
0.5
1
1.5
2 2.5 longitud (m)
3
3.5
2.8
4
0
0.5
1
1.5
2 2.5 longitud (m)
3
3.5
4
−8
1.95
x 10
1.9 1.85
diferencia (%)
1.8 1.75 1.7 1.65 1.6 1.55
0
0.5
1
1.5
2 2.5 longitud (m)
3
3.5
4
Figura 64: Diferencia entre desplazamientos verticales en una viga en voladizo con 10, 50 y 100 elementos −7
10
−8
x 10
3.7
x 10
3.6 9.5
diferencia (%)
9
8.5
3.4 3.3 3.2 3.1
8 3
0
0.5
1
1.5
2 2.5 longitud (m)
3
3.5
4
2.9
0
0.5
1
1.5
2 2.5 longitud (m)
3
3.5
4
−8
1.95
x 10
1.9 1.85 1.8
diferencia (%)
diferencia (%)
3.5
1.75 1.7 1.65 1.6 1.55
0
0.5
1
1.5
2 2.5 longitud (m)
3
3.5
4
Figura 65: Diferencia entre giros en una viga en voladizo con 10, 50 y 100 elementos
57
Estudio e Implementación de Algoritmos Matemático para Simulaciones Dinámicas del Sistema Catenaria-Pantógrafo
En resumen, se puede decir que a medida que aumenta el número de elementos de la estructura, la diferencia entre los resultados obtenidos es menor, y que el uso de elementos que consideren el esfuerzo cortante dan resultados más alejados de la realidad. La segunda conclusión sólo es válida para el método de resolución utilizado (Newmark), ya que existen otros algoritmos específicos para dichos elementos, tal y como describe Crisfield en el capítulo 24, [CR00].
58
4 Elemento de contacto tipo penalty con bloqueo
Estudio e Implementación de Algoritmos Matemático para Simulaciones Dinámicas del Sistema Catenaria-Pantógrafo
4.- Elemento de contacto tipo penalty con bloqueo
4.1.-
Descripción teórica
Los problemas de contacto aparecen cuando dos o más superficies se superponen. La terminología utilizada será la que aparece en el capítulo 23 de [CR00]. En la Figura 66 se puede apreciar el contacto entre nodo y elemento con el que se procederá a la explicación del problema del contacto:
Figura 66: Contacto nodo-elemento en dos dimensiones
Como se puede ver un elemento tipo barra formada por la unión de los nodos 1-2 (elemento ‘master’) y un nodo S (nodo ‘slave’). Se definen así los vectores:
e1T = ( cos β ,sin β )
60
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e2T = ( − sin β , cos β ) Por otro lado se define como penetración (‘gap’) normal, g N : g N = ( xS − x1 ) e2 = xs1T e2 T
el cual es positivo si existe penetración y negativo en caso contrario. Para el desarrollo teórico se utilizará el principio de los trabajos virtuales, necesitando algunas variables auxiliares: pT = ( d S T , d1T , d 2T )
d1T = ( u1 , w1 ) Para obtener la variación de g N es necesario definir:
δ e2 = ( − cos β , sin β ) δβ = − T
1 T e1b δ p ln
bT = ( 0T , eT 21 − eT 2 ) Quedando la variación de la penetración, g N :
δ g N = aT δ p aT = ( e2T , − (1 − α ) e2T , −α e2T )
α=
1 T xs1e1 lN
Con ayuda de estos parámetros definimos el trabajo virtual como: V = Vb + Vc = Vb + t N δ g N = qibT δ p + qicT δ p = g T δ p Donde los subíndices b y c representan los elementos donde no existe contacto y donde sí existe contacto respectivamente. La fuerza de contacto está representado por t N . El vector qibT representa las fuerzas internas derivadas de lo elementos con ausencia de contacto. El objetivo será determinar qicT . qicT = t N a Se define la fuerza de contacto en el tipo penalty con bloqueo como : t N = tˆN + ε N g N ;
ε t N = tˆN exp N g N ; tˆN
gN > 0 gN ≤ 0 61
Estudio e Implementación de Algoritmos Matemático para Simulaciones Dinámicas del Sistema Catenaria-Pantógrafo
Figura 67: Relación entre fuerza de contacto y penetración en el método de contacto penalty con bloqueo
Donde ε N es el parámetro penalty y tˆN es la fuerza que aparece en penetración nula. Se ha de considerar también la contribución de la matriz tangente en la variación de qic , dada por:
δ qic = K tcδ p = δ t N a + t N δ a = ε tan aaT δ p + K tcσ δ p = [ K tc1 + K tcσ ] δ p Donde K tcσ puede ser interpretada como la matriz de esfuerzos iniciales para el contacto del elemento, aunque se despreciará ya que como condición inicial no existe contacto, por tanto dicho término es nulo. El término K tc1 es la matriz de rigidez convencional. K tc1 = ε tan aaT Se define el esfuerzo tangencial ε tan para el caso de contacto tipo penalty con bloqueo como:
ε tan = ε N g N ; εN gN ; tˆN
ε tan = ε N exp
gN > 0 gN ≤ 0
62
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4.2.-
Discusión del parámetro tˆN propio de contacto penalty con bloqueo
Para estudiar los valores del parámetro propio del método penalty con bloqueo para su posterior verificación por medio de su comparación con otros métodos de contacto, es necesario realizar un caso en el que aparezcan despegues. Así que se ha escogido el sistema catenaria-pantógrafos similar al usado en [WB98], tal como se muestra en la Figura 26 .
Figura 68: Modelo del sistema catenaria-pantógrafo según [] V=300 km/h Pantógrafo: M1 = 8 kg M2 = 12 kg
número de vanos= 10 K1 = 10000 kg/m FL = 100 N
C1 = 120 kg/m/s C2 = 30 kg/m/s
Para comprobar que el método penalty con bloqueo es el correcto lo representamos para diferentes valores de tˆN para el caso concreto de 10 vanos. Como se puede observar en la Figura 69 a medida que se incrementa el valor tˆN la gráfica es menos lineal, apareciendo mayor número de oscilaciones, lo que se refleja en una peor
63
Estudio e Implementación de Algoritmos Matemático para Simulaciones Dinámicas del Sistema Catenaria-Pantógrafo
convergencia tendiendo así a desestabilizar el sistema como se aprecia en el quinto vano.
700 tn = 1 tn = 5 tn = 20
Fuerza de contacto (N)
600
500
400
300
200
100
0
0
1
2
3 tiempo (s)
4
5
6
Figura 69: Historia de la fuerza de contacto en el sistema catenaria-pantógrafo sobre el pantógrafo en una catenaria de cinco vanos para diferentes valores de tn
Cabe resaltar también que el incluir un tˆN > 0 indica una pérdida de realidad física, ya que cuando el pantógrafo y la catenaria no se encuentran en contacto la fuerza de contacto debería ser 0. De ahí que a cuanto sea el valor que tome tˆN el despegue del pantógrafo se adelante. Por tanto se puede concluir que a medida en que aumenta el valor del parámetro tˆN la convergencia empeora, falseando la medida de la fuerza de contacto y aumentando considerablemente desviación típica y valores pico, parámetros muy importantes para cumplir la normativa vigente. Así que tomaremos el valor tˆN = 1 para el posterior estudio de verificación y comparación con otros métodos de contacto.
64
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4.3.-
Comparación entre el elemento de contacto penalty y el de contacto penalty con bloqueo
Para realizar la comparación entre los diferentes elementos de contacto (Lagrange, Penalty y Penalty con bloqueo) utilizaremos el mismo caso expuesto en el estudio del valor del parámetro tˆN , Figura 26. Para ello se escogen dos casos con cinco y diez vanos, Figura 70 y Figura 71. En las Figura 70 se puede apreciar como tanto en el método de Lagrange como en el de Penalty a medida en que avanza el pantógrafo el número de oscilaciones aumenta, por tanto la convergencia empeora, mientras que en Penalty con bloqueo la linealidad se mantiene constante. Por tanto se puede verificar lo que se dice en el artículo escrito por G.Zavarise [ZW98], donde se expone una mejor convergencia. Por otra parte los picos conseguidos por el método con bloqueo son similares con respecto al Penalty, y ligeramente inferior al calculado por Lagrange. Todo lo dicho hasta ahora se puede apreciar de una manera más clara en la Figura 71, donde se observa una pérdida de contacto del sistema a partir del quinto vano por el método Penalty, y las oscilaciones en la fuerza de contacto que aparecen en el quinto vano por el método Lagrange se mantienen hasta el vano décimo. Mientras que el comportamiento por el método con bloqueo es uniforme a lo largo de todo el tiempo. De esta forma también podemos concluir que se mejora considerablemente la desviación y los valores pico de la fuerza de contacto parámetro de vital importancia para pasar la normativa vigente, EN 50318.
65
Estudio e Implementación de Algoritmos Matemático para Simulaciones Dinámicas del Sistema Catenaria-Pantógrafo
700 Lagrange Penalty Exponencial (tn = 1)
Fuerza de contacto (N)
600
500
400
300
200
100
0
0
0.5
1
1.5 tiempo (s)
2
2.5
3
Figura 70: Historia de la fuerza de contacto en el sistema catenaria-pantógrafo sobre el pantógrafo en una catenaria de cinco vanos
700 Lagrange Penalty Exponential (tn = 1)
Fuerza de contacto (N)
600
500
400
300
200
100
0
0
1
2
3 tiempo (s)
4
5
6
Figura 71: Historia de la fuerza de contacto en el sistema catenaria-pantógrafo sobre el pantógrafo en una catenaria de diez vanos
66
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Realizando un zoom de la Figura 70 se puede apreciar como mejora convergencia en la apertura del despegue en el método de contacto Penalty Exponencial, Figura 72.
Lagrange Penalty Exponencial (tn = 1)
400 350
Fuerza de contacto (N)
300 250 200 150 100 50 0 1.9
2
2.1
2.2 tiempo (s)
2.3
2.4
2.5
Figura 72: Fuerza de contacto en la apertura de despegue en el sistema catenaria-pantógrafo sobre el pantógrafo
Por otro lado, en la Figura 73 y Figura 74, se puede observar que en el vano central aparecen los mismos resultados anteriormente mentados.
67
Estudio e Implementación de Algoritmos Matemático para Simulaciones Dinámicas del Sistema Catenaria-Pantógrafo
700 Lagrange Penalty Exponencial (tn = 1)
Fuerza de contacto (N)
600
500
400
300
200
100
0
1.4
1.6
1.8 2 tiempo (s)
2.2
2.4
2.6
Figura 73: Historia de la fuerza de contacto en el sistema catenaria-pantógrafo sobre el vano central en una catenaria de cinco vanos
500 Lagrange Penalty Exponential (tn = 1)
450
Fuerza de contacto (N)
400 350 300 250 200 150 100 50 0
2.6
2.8
3 3.2 tiempo (s)
3.4
3.6
3.8
Figura 74: Historia de la fuerza de contacto en el sistema catenaria-pantógrafo sobre el vano central en una catenaria de diez vanos
68
5 Simulación dinámica hilo-pantógrafo
Estudio e Implementación de Algoritmos Matemático para Simulaciones Dinámicas del Sistema Catenaria-Pantógrafo
5.- Simulación dinámica hilo-pantógrafo
5.1.-
Generalidades y conceptos previos
Se va a realizar un estudio sobre un hilo tenso por el que circulará un pantógrafo, tal y como se muestra en la Figura 75. El realizar este estudio en un hilo tenso en lugar de en una catenaria es porque se conocen el comportamiento del caso de una manera más precisa, pudiendo servir de base para simular el sistema de catenariapantógrafo con un conocimiento previo mayor. Dicho estudio constará de varias partes, en la primera se estudiará el comportamiento del hilo cuando se tiene en cuenta los términos de segundo orden del esfuerzo axil; en segundo lugar, se estudiará como afecta la tensión del hilo; y por último, se estudiará el contacto con el método penalty exponencial con bloqueo para diferentes valores de tn.
Longitud del hilo Tensión del hilo Densidad de masa lineal Rigidez
L = 60 m T = 20000 N m= 1.35 kg/m EI= 136 Nm2
Masa en movimiento Velocidad Precarga
M= 3 kg V = 60 m/s P = 50 N
Figura 75: Hilo tenso apoyado en sus extremos con uno de ellos libre en la dirección longitudinal por el que circula un pantógrafo a velocidad v
Se partirá de un caso base sobre el que se irán realizando las diferentes modificaciones para los diferentes estudios. Con respecto al contacto se partirá de uno tipo penalty con los valores α = 50000N/m
y β = 0 Ns/m , tal y como
describen A. Collina y S. Bruni, [CB02], donde estudias un caso similar, pero en
70
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lugar de utilizar un pantógrafo utilizan una masa en movimiento. . Respecto a las características del hilo, con área de 150 mm2, han sido escogidas con el fin de simular el contacto entre catenaria-pantógrafo en un tren de alta velocidad, a pesar de las simplificaciones geométricas tomadas. El número de elementos finitos utilizados será de 120, y el tipo de elemento finito será uno tipo viga basado en deformaciones finitas sin que tenga en cuenta los términos de segundo orden asociados al esfuerzo axil. La simulación consta de dos etapas; en la primera se realizará un estudio estático del hilo al que sólo le afectará las fuerzas gravitatorias y la tensión del propio hilo, Figura 76, y en la segunda etapa se procederá a la simulación dinámica. Esta simulación dinámica se puede dividir en dos subetapas, se comenzará cargando el pantógrafo sobre el hilo poco a poco con el fin de minimizar las oscilaciones sobre el cable, con una precarga de 50 N, dejando un tiempo después de cargar para asegurarnos que las ondas del cable no afecten a la simulación, y por último, se pondrá en movimiento el pantógrafo a una velocidad de 60 m/s.
71
Estudio e Implementación de Algoritmos Matemático para Simulaciones Dinámicas del Sistema Catenaria-Pantógrafo
0
−0.05
Desplazamientos
−0.1
−0.15
−0.2
−0.25
−0.3
−0.35
0
10
20
30 Longitud
40
50
60
Figura 76: Posición estática del hilo tenso
En la Figura 77 se puede apreciar el resultado de la simulación donde se muestra la fuerza de contacto sobre el pantógrafo, que es idéntica a la del hilo. Un tercio del tiempo se dedica a la carga del pantógrafo y estabilización del sistema con el fin de que no haya perturbaciones debido a que a la poca rigidez del hilo. Nuestro objetivo se centrará en los efectos que aparecen una vez entra en movimiento el pantógrafo, por lo que de ahora en adelante, sólo se mostrarán las gráficas con dicha parte para apreciar más claramente el caso de estudio, Figura 78. Pero en todas ellas se permitió estabilizar el sistema.
72
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2000 1800
Fuerza de contacto (N)
1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0
0
0.5
1
1.5
tiempo (s) Figura 77: Simulación dinámica sobre el hilo con los parámetros base
En la Figura 78, donde se observa como aumenta la fuerza de contacto entre el pantógrafo y el hilo durante los primeros pasos de tiempo, lo que es lógico ya que pasa de estar detenido a moverse lo que obliga al hilo a ocupar una posición más elevada que la de equilibrio generando así una onda en el hilo, pero una vez iniciado el pantógrafo poco a poco dicha fuerza va descendiendo estabilizándose así el sistema hasta que se encuentra con la onda inicial donde el hilo tiende a descender con una inercia grande lo que genera una fuerza de contacto mayor (0.6s < t < 0.8s), desestabilizando a partir de entonces el sistema hilo-pantógrafo apareciendo despegues (fuerza de contacto = 0 N) y picos de contacto enormes para intentar volver a estabilizar el sistema.
73
Estudio e Implementación de Algoritmos Matemático para Simulaciones Dinámicas del Sistema Catenaria-Pantógrafo
2000 1800
Fuerza de contacto (N)
1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
tiempo (s) Figura 78: Simulación dinámica del hilo con los parámetros base sin apreciar la etapa de carga del pantógrafo
La razón por la que se permite estabilizar el sistema aumentando el tiempo de simulación significativamente, es para poder apreciar de una forma real el comportamiento de una catenaria con tan sólo dos vanos, Figura 79.
74
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2000 Sistema estabilizado Sistema sin estabilizar
1800
Fuerza de contacto (N)
1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
tiempo (s)
Figura 79: Fuerza de contacto en el sistema hilo-pantógrafo estabilizado y sin estabilizar
5.2.-
Sensibilidad al tipo de elemento finito:
Como ya se comentó, el estudio previo está realizado para un elemento finito tipo viga basado en deformaciones finitas sin tener en cuenta los términos de segundo orden asociados al esfuerzo axil, el elemento a comparar sí que tendrá en cuenta este fenómeno, lo que aportará una mayor tensión axil elemento a elemento, ya que se incrementará la importancia del esfuerzo axil a la hora del cálculo de la matriz de rigidez. En la Figura 80 se muestra el efecto que producen el efecto de incluir en el elemento viga los términos de segundo orden asociados al esfuerzo axil. Su consideración implica una disminución de la fuerza de contacto en los máximos, cuando se desestabiliza el sistema logrando así una mayor estabilidad. La estabilidad se aprecia mejor en la Figura 81 cuando el pantógrafo se cruza con la
75
Estudio e Implementación de Algoritmos Matemático para Simulaciones Dinámicas del Sistema Catenaria-Pantógrafo
onda apareciendo un rizado más uniforme, siendo la diferencia entre le máximo y mínimo en cada rizado menor.
2000 Incluyendo términos de orden superior asociados al esfuerzo axil Sin incluir términos de orden superior asociados al esfuerzo axil
1800
Fuerza de contacto (N)
1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
tiempo (s) Figura 80: Estudio del efecto de los términos de orden superior asociados al esfuerzo axil
76
Escuela Técnica Superior deIingeniería- ICAI
Incluyendo términos de orden superior asociados al esfuerzo axil Sin incluir términos de orden superior asociados al esfuerzo axil
1000 900
Fuerza de contacto (N)
800 700 600 500 400 300 200 100 0 0.65
0.7
0.75 tiempo (s)
0.8
0.85
Figura 81: Zoom del efecto de la onda en el estudio del efecto de los términos de orden superior asociados al esfuerzo axil
5.3.-
Sensibilidad al número de elemento finito:
Una vez estudiado el caso para 120 elementos resulta interesante ver como se comporta el sistema hilo-pantógrafo en función del número de elementos. En la Figura 82 y Figura 83 se observan las variaciones en función del tipo de elemento. Se puede observar que a medida que el número de elementos aumenta el rizado es menor, Figura 84, tendiendo la fuerza de contacto a una línea desapareciendo así el rizado. Parece factible el haber realizado el estudio con 120 elementos, debido a que con 10 y 50 elementos el rizado oscila entre más de 200 N, mientras que en caso de cien no llega a 100 N. No se realizó para un número de elementos mucho mayor porque el tiempo de ejecución se dispararía, y el resultado no sería mucho mejor. Por otro se realizó el mismo estudio para el elemento que incluye los efectos de los términos de orden superior asociados al esfuerzo axil. La tendencia de la fuerza de contacto es similar, tal y como se ha descrito en el apartado anterior, pero la fuerza 77
Estudio e Implementación de Algoritmos Matemático para Simulaciones Dinámicas del Sistema Catenaria-Pantógrafo
máxima varía sensiblemente cuando el número de elementos del hilo esté entre 50 y 100 elementos, mientras que a medida que se incrementa el número de elementos la fuerza se mantiene constante a un valor algo superior a 1500 N, Figura 85.
4500 10 elementos 50 elementos 100 elementos
4000
Fuerza de contacto (N)
3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
tiempo (s)
Figura 82: Simulación para 10, 50 y 100 elementos
78
Escuela Técnica Superior deIingeniería- ICAI
2000 50 elementos 100 elementos 180 elementos
1800
Fuerza de contacto (N)
1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
tiempo (s)
Figura 83: Simulación para 50, 80 y 100 elementos
350
50 elementos 100 elementos 180 elementos
Fuerza de contacto (N)
300
250
200
150
0.38
0.4
0.42
0.44 tiempo (s)
0.46
0.48
Figura 84: Rizado en simulaciones con diferente número de elementos
79
Estudio e Implementación de Algoritmos Matemático para Simulaciones Dinámicas del Sistema Catenaria-Pantógrafo
4500 Incluyendo términos de orden superior asociados al esfuerzo axil Sin incluir términos de orden superior asociados al esfuerzo axil
4000
Fuerza máxima
3500
3000
2500
2000
1500
0
50
100
150 200 250 Número de elementos
300
350
400
Figura 85: Valores máximos de la fuerza de contacto en la simulación del sistema hilopantógrafo comparando el efecto de los términos de orden superior asociados al esfuerzo axil
5.3.-
Sensibilidad a la longitud del cable:
Se han realizado varias simulaciones para estudiar el comportamiento del sistema hilo-pantógrafo con distintas longitudes. En la Figura 86 se aprecia como la onda aparece más tarde a medida que aumenta la longitud del hilo, algo lógico debido a que la velocidad de la onda es la misma y ha de recorrer un mayor espacio para encontrarse con el pantógrafo. Esto hace que cada vez se encuentren más cerca del apoyo lo que desestabiliza al sistema de ahí el pico que aparece al final de las simulaciones para longitudes de 70 y 80 metros. Este efecto se aprecia mejor en la Figura 87.
80
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Para terminar se comparó el efecto entre la longitud y el efecto que ejerce sobre los elementos la consideración de los términos de orden superior asociados al esfuerzo axil, Figura 88. Observando que no existen diferencias importantes.
4000 Longitud = 60m Longitud = 70m Longitud = 80m
3500
Fuerza de contacto (N)
3000 2500 2000 1500 1000 500 0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
tiempo (s) Figura 86: Simulación del sistema hilo-pantógrafo para diferentes longitudes
81
Estudio e Implementación de Algoritmos Matemático para Simulaciones Dinámicas del Sistema Catenaria-Pantógrafo
4000 Longitud = 60m Longitud = 70m Longitud = 80m
3500
Fuerza de contacto (N)
3000 2500 2000 1500 1000 500 0 0.65
0.7
0.75
0.8 0.85 tiempo (s)
0.9
0.95
1
Figura 87: Zoom del efecto de la onda en simulaciones del sistema hilo-pantógrafo para diferentes longitudes
4000 Incluyendo términos de orden superior asociados al esfuerzo axil Sin incluir términos de orden superior asociados al esfuerzo axil
3500
Fuerza de contacto (N)
3000 2500 2000 1500 1000 500 0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
tiempo (s)
Figura 88: Simulación del sistema hilo-pantógrafo para un hilo de 70 metros
82
Escuela Técnica Superior deIingeniería- ICAI
5.4.-
Sensibilidad a la tensión del cable:
La velocidad de onda está relacionada con la tensión según la fórmula V =
T
ρ lineal
,
donde la T es la tensión del cable y ρ lineal es la densidad lineal del hilo. Por tanto a medida que la tensión del hilo aumente la velocidad de la onda hará lo propio y se cruzará antes con el pantógrafo. Este efecto se puede apreciar en la Figura 89 donde el hilo está sometido a diferentes fuerzas. Cuando se tensa el hilo con 10000 N se observa la gran oscilación del cable llegando a perder el contacto con el pantógrafo incluso antes de encontrarse con la onda. Por otro lado a medida que aumenta la tensión el valor máximo de la fuerza de contacto disminuye, siendo particularmente más estable a medida que el hilo esté más tenso, disminuyendo así el tiempo de despegue del pantógrafo. También se comparó el efecto entre la tensión y el efecto que ejerce sobre los elementos la consideración de los términos de orden superior asociados al esfuerzo axil, Figura 90 y Figura 91. Observando que a medida que el cable se encuentre más tenso la influencia será menor, lógico ya que el efecto del orden superior del esfuerzo axil tendrá menos influencia a medida que el cable esté más tenso.
83
Estudio e Implementación de Algoritmos Matemático para Simulaciones Dinámicas del Sistema Catenaria-Pantógrafo
3500 Tensión = 10000N Tensión = 16000N Tensión = 20000N Tensión = 49000N
Fuerza de contacto (N)
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
tiempo (s)
Figura 89: Fuerzas de contacto entre sobre el pantógrafo para diferentes tensiones del cable
3000 Incluyendo términos de orden superior asociados al esfuerzo axil Sin incluir términos de orden superior asociados al esfuerzo axil
Fuerza de contacto (N)
2500
2000
1500
1000
500
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
tiempo (s) Figura 90: Fuerzas de contacto entre sobre el pantógrafo con el cable tensado a 16000N
84
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700 Incluyendo términos de orden superior asociados al esfuerzo axil Sin incluir términos de orden superior asociados al esfuerzo axil
Fuerza de contacto (N)
600
500
400
300
200
100
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
tiempo (s)
Figura 91: Fuerzas de contacto entre sobre el pantógrafo con el cable tensado a 49000N
5.5.-
Sensibilidad al tipo de contacto:
En el análisis al elemento de contacto se procederá a estudiar la fuerza de contacto en función del parámetro de bloqueo del contacto penalty con bloqueo. Para ello se han realizado simulaciones en función de dicho parámetro, en la Figura 92 se muestra el estudio para valores de tn = 0 N (igual que el penalty clásico) y tn = 15 N, ambas se comportan igual siendo despreciable la diferencia entre ellas. Para precisar más en la Figura 93 se muestra el valor pico para diferentes valores de tn, (0 < tn < 31) siendo la diferencia máxima de 6 N, por lo que se puede concluir que en nuestro caso de estudio el efecto que aporta el bloqueo en el penalty es despreciable.
85
Estudio e Implementación de Algoritmos Matemático para Simulaciones Dinámicas del Sistema Catenaria-Pantógrafo
Sin embargo cuando no se permite estabilizar al hilo la diferencia entre los máximos es apreciable, 100 N, tal y como se observa en la Figura 94. Por tanto el efecto del bloqueo aparece para sistemas inestables a lo largo del tiempo, Figura 79.
2000 tn=0 tn=15
1800
Fuerza de contacto (N)
1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
tiempo (s)
Figura 92: Fuerza máxima de contacto para tn=0 y tn=15
86
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1919
Fuerza máxima de contacto (N)
1918
1917
1916
1915
1914
1913
1912
0
5
10
15 20 Parámetro tn
25
30
35
Figura 93: Fuerza máxima de contacto para diferentes valores de tn
546
Fuerza máxima de contacto (N)
544
542
540
538
536
534
0
5
10 15 Parámetro tn
20
25
Figura 94: Fuerza máxima de contacto para diferentes valores de tn para un hilo sin estabilizar
87
Estudio e Implementación de Algoritmos Matemático para Simulaciones Dinámicas del Sistema Catenaria-Pantógrafo
5.6.-
Sensibilidad al algoritmo de integración temporal de resolución:
Por último se ha procedido al estudio de sensibilidad del algoritmo de integración temporal, para ello se han realizado dos simulaciones con el método de resolución de Newmark y con el de Hilber-Hughes-Taylor (HHT), Figura 95. En ella se observa que el pantógrafo se ve afectado por la onda algo más tarde cuando utilizamos el método HHT, mientras que con el método NR el pico de la fuerza de contacto es algo menor, pero en la posterior estabilización los picos de fuerza son mayores. Con respecto al tiempo de ejecución, el del método HHT es de aproximadamente 45 minutos, mientras que el de Newmark es de 15 minutos. Por tanto el método HHT le cuesta más converger, lo que en grandes simulaciones lo convierte en un algoritmo poco útil.
2500 Newmark HHT
Fuerza de contacto (N)
2000
1500
1000
500
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
tiempo (s)
Figura 95: Fuerza de contacto del sistema hilo-pantógrafo con el algoritmo de integración temporal de Newmark y de HHT
88
Escuela Técnica Superior deIingeniería- ICAI
5.7.-
Conclusiones:
Tal y como se ha descrito para tensiones del cable no muy elevadas (20000 N) el efecto de los términos de segundo orden de los esfuerzos axiles es importante. Por otra parte la longitud del hilo no puede ser tan grande como se quiera, lo que se traduce en una limitación de distancias entre vanos en una catenaria, ya que a medida en que se aumenta las pérdidas de contacto son mayores, lo que implica falta de suministro en el tren. Otra variable a barajar será el número de elementos finitos que a medida que aumenta, los valores de la fuerza de contacto disminuyen asintóticamente hacia un valor, por lo tanto deberá existir un equilibrio en el número de elementos a utilizar en una catenaria, ya que a mayor número de elementos mayor precisión, y mayor tiempo de cálculo. Con respecto al elemento de contacto penalty con bloqueo en un sistema catenaria-pantógrafo estable no aporta diferencias a la fuerza de contacto. Para terminar mencionar que el método de integración HHT reacciona más tarde a la onda de choque y por el contrario tarda tres veces más tiempo en converger que el método de Newmark.
89
6 Líneas futuras de trabajo
Escuela Técnica Superior deIingeniería- ICAI
6.- Líneas futuras de trabajo
El proyecto fin de carrera presentado es continuación de proyectos realizados en la Escuela, [TT04], [LM05] y [OA06]. Por tanto este proyecto servirá como base de otros en el futuro. Una línea de trabajo a tomar sería la re-estructuración de las herramientas de simulación AFECTO y CATEN. El primer paso sería el crear pequeñas funciones donde cada una realice operaciones simples, facilitando así su unión para formar funciones mayores que realicen acciones más complejas. Con ello la implementación de nuevas herramientas sería mucho más fácil y directa. En segundo lugar sería conveniente a fusionar las dos herramientas, AFECTO, que actualmente está enfocada al cálculo por el método de elementos finitos, y CATEN cuyo fin es, entre otras cosas, realizar simulaciones dinámicas del sistema catenariapantógrafo. Otro posible desarrollo a realizar sería la implantación de elementos de 3D, así como de elementos de contacto de 3D para considerar también los movimientos transversales. Con dichas herramientas y una implementación de una algoritmo de simulación de 3D se podría estudiar además del sistema catenaria-pantógrafo muchos otros problemas de estructuras o cables en diferentes condiciones (bajo el agua, en el espacio, …). Y por último resultaría interesante realizar un estudio paramétrico de las diferentes herramientas desarrolladas en este proyecto en un sistema catenaria-pantógrafo con el fin de validarlos con la norma prEN 50318, lo que supone un importante trabajo para futuros desarrollos.
91
7 Bibliografía
Escuela Técnica Superior deIingeniería- ICAI
7.- Bibliografía
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