Universidad De Antioquia

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´ Algebra y Trigonometr´ıa tem atic as (CNM-108) Clase 8 – Geometr´ıa anal´ıtica: par´abolas, elipses e hip´erbolas Ma Departamento de Matem´ aticas http://ciencias.udea.edu.co/ Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Dep to. de c 2008. Reproducci´ Copyleft on permitida bajo los t´ erminos de la licencia de documentaci´ on libre GNU. ´Indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 2. Elipses 2.1. Secciones c´ onicas . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Definici´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Ecuaci´ on de la elipse . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Elipses con centro (0, 0) . . . . . . . . . . . . 2.5. Ecuaci´ on est´ andar . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Trazado de una elipse con centro en el origen 2.7. Trazado de una elipse con centro en el origen 2.8. Elipses con centro (h, k) . . . . . . . . . . . . 2.9. Trazado de una elipse con centro (h, k) . . . . 2.10. Excentricidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13 Un ive r sida dd eA ntio qui a- 1. Par´ abolas 1.1. Secciones c´ onicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Definici´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Par´ abolas con v´ertice V (0, 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Determinaci´ on del foco y la directriz de una par´ abola . . . 1.5. Determinaci´ on de la ecuaci´ on de una par´ abola . . . . . . . . 1.6. Par´ abolas con v´ertice V (h, k) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Par´ abolas con v´ertice V (h, k) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8. Trazado de una par´ abola con eje horizontal . . . . . . . . . 1.9. Determinaci´ on de una par´ abola dados su v´ertice y directriz 1.10. Ejemplo de aplicaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de to. Dep aqui ntio eA dd sida ive r Un 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 14 14 14 15 15 16 16 17 17 as . . . . . . . . . . . . . . . . tem atic . . . . . . . . Ma 3. Hip´ erbolas 3.1. Secciones c´ onicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Definici´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Hip´erbolas con centro (0, 0) . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Ecuaci´ on est´ andar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Trazado de una hip´erbola con centro en el origen . . . 3.6. Trazado de una hip´erbola con centro en el origen . . . 3.7. Determinaci´ on de una hip´erbola con condiciones dadas 3.8. Hip´erbola con centro (h, k) . . . . . . . . . . . . . . . as 1.1. Par´ abolas Secciones c´ onicas tem atic 1. de Ma Surgen al intersecar la superficie de un cono con un plano Dep • C´ırculo • Elipse • Par´ abola qui a- • Hip´erbola Definici´ on ntio 1.2. to. Dependiendo de la posici´on del plano obtenemos: eA Definici´ on 1.1 (Par´ abola). Una par´ abola es el conjunto de todos los puntos en un plano que equidistan de un punto fijo F (el foco) y una recta fija ℓ (la directriz) que est´ an en el plano. dd y P (x, y) V = 2 x P ′ (x, −p) Un p (x − 0)2 + (y − p)2 x2 = 4py 3 d(P, P ′ ) p (x − x)2 + (y + p)2 2 = y 2 + 2py + p2 x2 = 4py x + y − 2py + p ive r ℓ = 2 sida F (0, p) d(P, F ) ´o y= 1 2 4p x x2 = 4py y x2 = 4py y as Par´ abolas con v´ ertice V (0, 0) tem atic 1.3. y = −p x F (0, p) F (0, p) x Ma y = −p y y to. F (p, 0) F (p, 0) x Dep x x = −p a- x = −p 1.4. y 2 = 4px de y 2 = 4px Determinaci´ on del foco y la directriz de una par´ abola qui Ejemplo 1.1. Encuentre el foco y la directriz de la par´ abola 8y = x2 ntio y trace su gr´ afica. Soluci´ on = y = x2 1 x2 8 |{z} a 4p = p = 1 4p 1 a 1 4a ive r = = 1 4 · 18 Un a = 1 1 2 F (0, 2) 1 x sida Foco: y 2 dd 8y eA Ecuaci´ on: -3 -2 -1 1 2 3 -1 -2 = 2 4 y = −2 Determinaci´ on de la ecuaci´ on de una par´ abola as 1.5. tem atic Ejemplo 1.2. Determine la ecuaci´ on de una par´ abola que tiene v´ertice en el origen, abre a la izquierda y pasa por el punto P (−7, −3). Soluci´ on y Ecuaci´ on 3 = ay 2 −7 = a (−3) −7 = 9a -7 -3 -2 F -1 -1 x 1 = eA ntio y (x − h)2 = 4p(y − k) y x y =k−p V (h, k) F (h, k + p) dd V (h, k) 9 = −0,321428571 28 aqui (x − h)2 = 4p(y − k) F (h, k + p) − y =k−p sida x p<0 ive r p>0 5 -3 Dep 1 1
= − 28 7 4 −9 9 Par´ abolas con v´ ertice V (h, k) Un 1.6. 1 = 4a -4 1 -2 P (−7, −3) Foco: = -5 = a 7 x = − y2 9 p -6 de − 97 -8 Ma 2 2 to. x as Par´ abolas con v´ ertice V (h, k) (y − k)2 = 4p(x − h) y (y − k)2 = 4p(x − h) y x=h−p x=h−p F (h + p, k) Ma F (h + p, k) V (h, k) V (h, k) x de x p>0 p<0 to. Trazado de una par´ abola con eje horizontal Ejemplo 1.3. Trace la gr´ afica de y = x2 − 4x + 2 Soluci´ on 2 = x − 4x + 2 y−2 = x2 − 4x y − 2 + (?) ` ´2 y − 2 + −4 2 = x2 − 4x + (?) ` ´2 x2 − 4x + −4 2 ntio qui y = 2 y−2+4 = x − 4x + 4 y+2 = (x − 2)2 eA (x − h)2 = 4p(y − k) dd 4 1 3 y = −2,25 = F 2, − 4 6 2 -1 -3 ive r Un 1 -2
7 sida • F (h, k + p) = F 2, −2 +
1 2 F • h = 2, k = −2 y 4p = 1 ⇒ p = 1/4 • V (h, k) = V (2, −2) y a- Ecuaci´ on Dep 1.8. tem atic 1.7. x Determinaci´ on de una par´ abola dados su v´ ertice y directriz as 1.9. tem atic Ejemplo 1.4. Determine la ecuaci´ on de la par´ abola que tiene como v´ertice a V (3, −5) y directriz x = 2 Soluci´ on y 1 2 3 4 h=3 x k = −5 -1 -2 x=h−p ⇒ 2=3−p ⇒ p=1 (y − k)2 -4 V 2 (y − (−5)) 2 (y + 5) -7 = 4(x − 3) = 4(x − 3) Ejemplo de aplicaci´ on Dep 1.10. 4p(x − h) to. -6 = de x=2 -3 -5 Ma -1 a- Ejemplo 1.5. El radiotelescopio mostrado en la figura en forma de paraboloide tiene un ´ diametro de 120 metros y una profundidad de 20 metros. Este concentra los haces de las se˜ nales que inciden de manera paralela al eje de la par´ abola en un receptor situado en el foco. Encuentre la distancia desde el centro del disco hasta el receptor. Un ive r sida dd eA ntio qui Soluci´ on 7 y2 602 = 4px = 4p · 20 3600 = 80p p ⇓ = 360 8 = 45 metros as 2.1. Elipses Secciones c´ onicas tem atic 2. Posibilidades: • C´ırculo Ma • Elipse • Par´ abola de • Hip´erbola 2.2. qui a- Dep to. Las elipses se pueden generar. . . Definici´ on ntio Definici´ on 2.1 (Elipse). Una elipse es el conjunto de todos los puntos en un plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante positiva dd eA y F2 (c, 0) Un ive r sida F1 (−c, 0) P (x, y) 8 x x2 − 2xc + c2 + y 2 p 4a (x + c)2 + y 2 p a (x + c)2 + y 2 ` ´ a2 (x + c)2 + y 2 ` ´ a2 x2 + 2xc + c2 + y 2 = 4a2 + 4xc = a2 + xc ` 2 ´2 a + xc = a4 + 2a2 xc + x2 c2 = a4 + 2a2 xc + x2 c2 = a4 − a2 c2 ` ´ a2 a2 − c2 = 2 = 1, ` ´ dividimos por a2 a2 − c2 x2 y 2 + 2 a2 b = 1, b2 = a2 − c2 qui a- x y + a2 a2 − c2 ntio y 2 x2 + =1 a2 b 2 y eA x2 y 2 + =1 a2 b 2 y b a dd (0, b) x c F2 (c, 0) V2 (a, 0) sida V1 (−a, 0) F1 (−c, 0) as p 2a − (x + c)2 + y 2 ”2 “ p = 2a − (x + c)2 + y 2 p = 4a2 − 4a (x + c)2 + y 2 + (x + c)2 + y 2 p = 4a2 − 4a (x + c)2 + y 2 + x2 + 2cx + c2 + y 2 = Elipses con centro (0, 0) V2 (0, a) F2 (0, c) c (−b, 0) a b (b, 0) (0, −b) F1 (0, −c) ive r Un 2.4. 2a = a2 x2 + 2a2 xc + a2 c2 + a2 y 2 ` 2 2 ´ a x − x2 c2 + a2 y 2 ` ´ x2 a2 − c2 + a2 y 2 2 = tem atic x2 − 2xc + c2 + y 2 2a Ma (x − c)2 + y 2 = de d(F1 , P ) + d(F2 , P ) p (x + c)2 + (y − 0)2 + (x − c)2 + (y − 0)2 p (x − c)2 + y 2 to. p Ecuaci´ on de la elipse Dep 2.3. 9 V1 (0, −a) x as Ecuaci´ on est´ andar tem atic 2.5. Definici´ on 2.2 (Elipse). La gr´ afica de una elipse con centro en el origen est´ a dada por x2 y 2 + =1 a2 b 2 o ´ x2 y 2 + = 1, b 2 a2 a>b>0 Longitud del eje mayor: 2a Ma Longitud del eje menor: 2b c2 = a 2 − b 2 Trazado de una elipse con centro en el origen to. 2.6. de Los focos est´ an a una distancia c del origen Ejemplo 2.1. Trace la gr´ afica de 4x2 + 25y 2 = 100 y halle sus focos. Dep Soluci´ on y = 0 =⇒ 4x2 =⇒ x = 100 = ±5 0 =⇒ 25y =⇒ y = 100 = ±2 Ejes: =⇒ -4 eje mayor sobre el eje x Focos: =⇒ c2 = a2 − b2 = 25 − 4 = 21 √ =⇒ c = 21 Un ive r sida dd a=5 b=2 -5 eA 2<3 2 1 F1 ntio x = 3 qui Interseciones en y: 2 y a- Intersecciones en x: 10 F2 -3 -2 -1 1 -1 -2 -3 2 3 4 5 x as Trazado de una elipse con centro en el origen Ejemplo 2.2. Trace la gr´ afica de 9x2 + 4y 2 = 36 y halle sus focos. Soluci´ on Intersecciones en x = 0 =⇒ 9x2 =⇒ x = 36 = ±2 4 3 Interseciones en y 2 0 =⇒ 4y 2 =⇒ y = 36 = ±3 1 -3 -2 Ejes 1 2 x 3 =⇒ to. -1 eje mayor sobre el eje y -2 Focos F1 -3 -4 =⇒ c2 = a2 − b2 = c2 = 32 − 22 = 5 √ =⇒ c = 5 a- a = 3, b = 2 Elipses con centro (h, k) ntio qui 2.8. -1 Dep 2 < 3 F2 de x = y Ma y tem atic 2.7. y dd (h, k + b) y eA (x − h)2 (y − k)2 + =1 a2 b2 (y − k)2 (x − h)2 + =1 a2 b2 (h, k + a) F2 (h, k + c) F2 (h + c, k) sida (h − b, k) (h + a, k) (h + b, k) (h, k) x x (h, k − b) ive r F1 (h − c, k) (h, k) Un (h − a, k) F1 (h, k − c) 11 (h, k − a) Trazado de una elipse con centro (h, k) as 2.9. tem atic Ejemplo 2.3. Trace la gr´ afica de 16x2 + 9y 2 − 32x − 36y − 92 = 0 Soluci´ on y 16x + 9y − 32x − 36y − 92 = 0 (16x2 − 32x) + (9y 2 − 36y) = 92 16(x2 − 2x) + 9(y 2 − 4y) = 92 16(x2 − 2x + ?) + 9(y 2 − 4y + ?) = 92 (y − 2)2 (x − 1)2 + 9 16 = 2 1 144 -4 1 1 Excentricidad -3 -2 -1 1 2 3 -2 F1 (h, k − c) -3 -4 qui Definici´ on 2.3 (Excentricidad). La excentricidad e de una elipse est´ a dada por √ a2 − b 2 a ntio c e= = a donde eA a: semieje mayor b: semieje menor F2 (c, 0) (a, 0) 0 ≤ c < a x (0, −b) Un Observaciones 0 ≤ e < 1: ive r (−a, 0) F1 (−c, 0) sida (0, b) dd c: distancia del centro de la elipse a cualquiera de los focos y ⇒ 0 ≤ ⇒ c < 1 a 0 ≤ e < 1 e ≈ 0 =⇒ elipse “circular” e ≈ 1 =⇒ elipse muy “plana” 12 4 -1 a- 2.10. 92 + 16 · 1 + 9 · 4 = = 3 de 16(x − 2x + 1) + 9(y − 4y + 4) = 16(x − 1)2 9(y − 2)2 + 144 144 5 4 2 16(x − 1)2 + 9(y − 2)2 F2 (h, k + c) 6 to. 2 7 Ma 2 Dep 2 5 x Aplicaciones as 2.11. de 1. Afelio: punto m´as distante al Sol sobre la trayectoria Ma 2 to. 1 tem atic Proposici´ on 2.1 (Primera ley de Kepler). Todos los planetas se desplazan alrededor del Sol describiendo o ´rbitas el´ıpticas con el Sol en uno de sus focos. Dep 2. Perihelio: punto m´as cercano al Sol sobre la trayectoria Un ive r sida dd eA ntio qui a- 3. Distancia media: longitud del semieje mayor de la ´orbita el´ıptica descrita por el planeta. 13 as 3.1. Hip´ erbolas Secciones c´ onicas tem atic 3. Posibilidades: • C´ırculo Ma • Elipse • Par´ abola 3.2. qui a- Dep to. de • Hip´erbola Definici´ on ntio Definici´ on 3.1 (Hip´erbola). Una hip´ erbola es el conjunto de todos los puntos en un plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante positiva eA y dd P (x, y) F2 (c, 0) Un ive r x2 y 2 − a2 b 2 14 = 2a .. . x2 y2 − a 2 c2 − a 2 x sida F1 (−c, 0) |d(F1 , P ) − d(F2 , P )| = 1 = 1 as Hip´ erbolas con centro (0, 0) tem atic 3.3. y 2 x2 − =1 a2 b 2 x2 y 2 − =1 a2 b 2 y y y= b ax Ma b y = −a x F2 (0, c) y = −a bx (0, b) y= a bx F1 (−c, 0) (−b, 0) F2 (c, 0) V1 (−a, 0) x V2 (a, 0) de V2 (0, a) (b, 0) to. V1 (0, −a) F1 (0, −c) a- Ecuaci´ on est´ andar qui 3.4. Dep (0, −b) Proposici´ on 3.1. La gr´ afica de una hip´erbola con centro en el origen est´ a dada por y 2 x2 − =1 a2 b 2 eA Longitud del eje transverso: 2a o ´ ntio x2 y 2 − =1 a2 b 2 Longitud del eje conjugado: 2b dd c2 = a 2 + b 2 Un ive r sida Los focos est´ an a una distancia c del origen 15 x Trazado de una hip´ erbola con centro en el origen tem atic Ejemplo 3.1. Trace la gr´ afica de 4x2 − 9y 2 = 36 y halle sus focos. Soluci´ on Ecuaci´ on est´ andar: 2 36 y y = − 23 x = y= 3 1 2 2 x y − 9 4 = 1 √ (− 13, 0) 1 -6 -5 V1 -4 -2 -1 1 a2 = 9 ⇒ a = 3 -2 ⇒ b=2 c2 = a2 +b2 = 9+4 = 13 ⇒ c = x 4 5 √ 13 a- Trazado de una hip´ erbola con centro en el origen qui 3.6. 3 Dep -3 2 to. -1 b2 = 4 √ ( 13, 0) V2 -3 2 3x Ma 4x2 9y 2 − 36 36 = de 4x2 − 9y 2 as 3.5. Ejemplo 3.2. Trace la gr´ afica de ntio y2 x2 − =1 4 5 Soluci´ on 4 y = − √25 x = 1 dd y 2 x2 − 4 5 5 eA Ecuaci´ on est´ andar: y y= F2 2 √ x 5 2 V2 1 √ (− 5, 0) a2 = 4 ⇒ a = 2 √ b2 = 5 ⇒ b = 5 sida -5 -4 -3 -2 √ ( 5, 0) -1 1 -1 V1 -2 -3 ive r -4 c2 = a2 +b2 = 4+5 = 9 ⇒ c = 3 Un 3 -5 16 F1 2 3 4 x 5 Determinaci´ on de una hip´ erbola con condiciones dadas as 3.7. Soluci´ on Ecuaci´ on est´ andar: = y y = − 57 x 1 y= 7.0 7 5x Ma x2 y 2 − 25 b2 tem atic √
Ejemplo 3.3. Una hip´erbola tiene como v´ertices (±5, 0) y pasa por P 5 5, 14 . Determine su ecuaci´ on, focos y as´ıntotas. √
P 5 5, 14 est´ a en la hiperbola: = 196 b2 196 = 49 4 c2 = a2 +b2 = 25+49 = 74 ⇒ c = -3.5 √ 74 -7.0 qui Hip´ erbola con centro (h, k) y eA dd b y − k = −a (x − h) ntio (x − h)2 (y − k)2 − =1 a2 b2 sida (h, k) V1 (h − a, k) ive r y−k = b a (x − h) (h, k + b) F1 (h − c, k) Un 3.8. to. b2 1 Dep = -5 a- 4 √ (− 74, 0) V1 1 de 3.5 √ (5 5)2 (14)2 = − 2 25 b 196 5− 2 = b F2 (h + c, k) V2 (h + a, k) x (h, k − b) 17 √ V2 ( 74, 0) 5 x