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Procesamiento de Señales 1D El mundo análogo de señales y sistemas Problema de difusión
Se tiene un sistema H
D: constante de difusión isotrópica usando La solución en formulación de convolución con
con la transf. de Fourier
se puede descomponer
.:. En general
la salida
Cálculo de los coeficientes de una serie Se puede aproximar una función x0(t) por una función x(t) Para nuestro caso, bajo ciertas condiciones (si ω1, ω2 y ω3 son múltiplos de una frecuencia fundamental ω0) ¿Cómo se puede calcular a1, a2 y a3? Por mínimos cuadrados Las funciones base son ortogonales
La ortogonalidad de las funciones base evita la complejidad de la inversión de la matriz F
Entonces, hay que resolver el sistema lineal:
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/ * 3 4 ,
0 1 2
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θ = θ + θ
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⋅ ⋅ π + ⋅ π +
α
Filtrado suavizante: O podemos convolucionar con una función triangular En general se realiza teóricamente mediante una convolución conun kernel gaussiano
Podemos también convolucionar con un kernel rectangular (promedio de media móvil)
Pero, β 2 (x) = β 1 * β 1(x)
Al convolucionar la función f(x) con hA(x) Al aplicar el kernel a una función de entrada
La salida en una posición "x" corresponde a el promedio de la función de entrada en la región x-A/2 y x+A/2. Esta operación es fácil de implementar Generalizando, podemos tener una función En el límite n→∞, β n (x) tiende a una función gaussiana (por teorema central del límite) Se puede aproximar una convolución con un kernel gaussiano por una serie de medias móviles concatenadas A parte de los kérneles cuadrado (β 1) y triangular (β 2), se utilizan los splines cuadráticos (β 3) y cúbicos (β 4)
Filtro de Gradiente
Similaridad + Reg. Gradiente def LaplacianSmoothingGrad(img, iters=200, alfa=4.0, delta=0.02): u = img.copy() negLaplau = np.empty(u.shape, dtype=float) for k in xrange(iters): deltau = u[:,:] - img[:,:] ATFunc.negative_Laplacian_2D(u, negLaplau) deltaLaplau = deltau + alfa*negLaplau u -= 2.0*delta*(deltaLaplau) return u
Solución mediante método del gradiente
def negative_Laplacian_2D(v, nlaplac, boundary1=None, boundary2=None): sizes = v.shape if (boundary1==None): b1 = bound.boundary(sz=[0, sizes[0]]) else: b1 = boundary1 if (boundary2==None): b2 = bound.boundary(sz=[0, sizes[1]]) else: b2 = boundary2 nlaplac[b1.ranIn,b2.ranIn] = 4.0*v[b1.ranIn,b2.ranIn] - (v[b1.ranInpp,b2.ranIn] \ + v[b1.ranIn,b2.ranInpp] + v[b1.ranInmm,b2.ranIn] + v[b1.ranIn,b2.ranInmm]) nlaplac[b1.ranIn,b2.start] = 4.0*v[b1.ranIn,b2.start] - v[b1.ranInpp,b2.start] \ - v[b1.ranInmm,b2.start] - v[b1.ranIn,b2.start+1] - v[b1.ranIn,b2.lower] nlaplac[b1.start,b2.ranIn] = 4.0*v[b1.start,b2.ranIn] - v[b1.start,b2.ranInpp] \ - v[b1.start,b2.ranInmm] - v[b1.start+1,b2.ranIn] - v[b1.lower,b2.ranIn] nlaplac[b1.ranIn,b2.stop] = 4.0*v[b1.ranIn,b2.stop] - v[b1.ranInpp,b2.stop] \ - v[b1.ranInmm,b2.stop] - v[b1.ranIn,b2.stop-1] - v[b1.ranIn,b2.upper] nlaplac[b1.stop,b2.ranIn] = 4.0*v[b1.stop,b2.ranIn] - v[b1.stop,b2.ranInpp] \ - v[b1.stop,b2.ranInmm] - v[b1.stop-1,b2.ranIn] - v[b1.upper,b2.ranIn] nlaplac[b1.start,b2.start] = 4.0*v[b1.start,b2.start] - v[b1.start+1,b2.start] \ - v[b1.start,b2.start+1] - v[b1.start,b2.lower] - v[b1.lower,b2.start] nlaplac[b1.stop,b2.start] = 4.0*v[b1.stop,b2.start] - v[b1.stop,b2.start+1] \ - v[b1.stop-1,b2.start] - v[b1.stop,b2.upper] - v[b1.upper,b2.start] nlaplac[b1.start,b2.stop] = 4.0*v[b1.start,b2.stop] - v[b1.start+1,b2.stop] \ - v[b1.start,b2.stop-1] - v[b1.start,b2.upper] - v[b1.lower,b2.stop] nlaplac[b1.stop,b2.stop] = 4.0*v[b1.stop,b2.stop] - v[b1.stop,b2.stop-1] \ - v[b1.stop-1,b2.stop] - v[b1.stop,b2.upper] - v[b1.upper,b2.stop] return nlaplac
Aproximación de una función por una base triangular (β2) Si nosotros queremos aproximar una función x0 por una base de funciones β 2
Una base de funciones triangulare, no es una base ortogonal. Los productos internos entre diferentes funciones (posiciones) no son todos cero. Sin embargo, estos productos son casi todos nulo. Bases que sean ortogonales ante la traslación:
Digital MS Ambrosio-Tort. P0 elem. (β β 1 spline) def MSATSmoothingGrad(img, iters=800, alfa=1.0, gamma=0.2, epsilon=1.0, delta=0.01): u = img.copy() usz = img.shape dsm2du= np.empty(usz, dtype=float) uszmm = np.array(usz) - 1 v = np.ones(uszmm, dtype=float) dsm2dv= np.empty(uszmm, dtype=float) dATdv = np.empty(uszmm, dtype=float) for k in xrange(iters): deltau = u[:,:] - img[:,:] ATFunc.derivatives_Functional_2D(u, v, dsm2du, dsm2dv) ATFunc.negative_Laplacian_2D(v, dATdv) deltaU = deltau + (0.5*alfa)*dsm2du deltaV = alfa*dsm2dv + (gamma*2.0*epsilon)*dATdv \ + (gamma*0.5/epsilon)*(v-1) u -= delta * deltaU v -= delta * deltaV return u,v
Gradient Algorithm: