Teoría De Juegos - Aplicaciones Al Cálculo De Costos

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Pr of. Antonio Badican MAHAVE PROFESOR EN MATEMÁTICA, FÍSICA Y COSMOGRAFÍA, EGRESADO DE LA FACULT AD DE CIENCIAS EXACTAS, FÍSICAS Y AGRIMENSURA DE LA UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDEST E. Pr ofesor de la Univer sidad T ecnológica Nacional, Facultad de Ciencias Económicas (UNNE) y Facultad de Ingenier ía (UNNE) Pr of. Car men RESCALA PROFESORA EN MAT EMÁT ICA, FÍSICA Y COSMOGRAFÍA, EGRESADA DE LA FACULT AD DE CIENCIAS EXACT AS, FÍSICAS, NAT URALES Y AGRIMENSURA DE LA UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDEST E. CONT ADORA PÚBLICA, EGRESADA DE LA FACULT AD DE CIENCIAS ECONÓMICAS DE LA UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDEST E. Docente de la Univer sidad T ecnológica Nacional, Facultad de Ciencias Económicas (UNNE) y Facultad de Ar quitectur a y Ur banismo (UNNE), Facultad de Administr ación, Economía y Negocios (UNAF) Año 2003 2 MATEMATICA APLICADA A LA ECONOMIA TEORIA DE LAS DECISIONES Y TEORIA DE JUEGOS TEORIA DE LAS DECISIONES Las organizaciones conforman sistemas cuyas administraciones requieren de conocimientos que hoy encuentran amplios y profusos campos de información y colaboración en disciplinas específicas creadas y desarrolladas para ello. A medida que surgían nuevas formas de administración, nacieron nuevas ramas de las ciencias aplicadas para proporcionarles servicios. Así, la contribución de la física y la química a la producción dio origen a la ingeniería mecánica y química, la gran difusión y avance de teorías de comercialización dan lugar a lo que hoy conocemos como mercadotecnia y marketing respectivamente; con la estadística y la sicología, se desarrolló la ingeniería industrial. Muchas fueron estas especialidades científicas (investigación de mercados, contabilidad de costos específicos, sicología y sociología industrial, determinación de modelos económicos, etc.) que con el propósito de colaborar en los problemas de la administración de organizaciones con o sin fines de lucro dieron nuevas formas a la misma. Y se produjo la retroalimentación entre formas de administración y disciplinas científicas. Mientras más especializadas eran las aplicaciones de la ciencia, (distintas ingenierías aplicadas al manejo de materiales e insumos, procesos estadísticos para el control de la calidad, calidad total, técnicas de mercadotecnia, etc.) surge el nuevo concepto de la función ejecutiva de los administradores. Este concepto nuevo y actual contempla las distintas subfunciones que encierra el administrar una organización, funciones que deben estar integradas a través de los procesos de planificación, gestión, decisión, información, control, etc. Quien administra está tomando decisiones en forma permanente, y para ello necesita poseer la información necesaria, la que fluye por los canales de comunicación que hacen al sistema de información. Un sistema de información posee a veces información perfecta y consecuentemente quien decide puede actuar con certeza, sin embargo esto no siempre es posible y en ocasiones la información se conoce con imperfecciones y en otras se desconoce. En ayuda de quienes deben decidir, concurre la Investigación de Operaciones, la que con la aplicación de métodos científicos y un trabajo interdisciplinario se aboca a la solución de problemas que comprenden el control de sistemas organizados, para que estas soluciones sirvan mejor a los propósitos de la organización como un todo. Para llegar a influir en la toma de una decisión, la I.O. plantea etapas, las que se conocen como: 1) planteamiento del problema, 2) construcción del modelo, 3)deducción de una solución, 4) prueba del modelo y evaluación de la solución, 5) ejecución y control de la solución. P r of . An t on i o B . MAH AVE - - - -C. P . y P r of . Car m en R E S CAL A 3 Si bien son muchos los problemas que atiende la investigación de operaciones, son los de naturaleza táctica los más comunes, lo que no impide que también preste su colaboración a los problemas de tipo estratégicos. Esto significa que los os problemas pueden clasificarse en tácticos o estratégicos, pero como su diferenciación es muy subjetiva, sólo diremos que un problema es más táctico que otro si su solución es de más corto alcance, cuanto mayor sea la duración del efecto de su solución más estratégico es el problema, esta característica se denomina rango. Otra característica de los problemas estratégicos es que su solución afecta a una mayor parte de la organización, es decir que el alcance de la solución es mayor. La tercera característica que nos permite reconocer cuándo un problema es estratégico es que éste implique la determinación de fines, metas u objetivos. Todos los problemas tienen forma y contenido. La forma es el modo en que se relacionan las variables y constantes del problema. El contenido se refiere a la naturaleza de esas variables y constantes. El lenguaje en el que expresamos la forma desligada del contenido es el lenguaje matemático, y el modelo matemático es la representación del problema. La investigación de operaciones ha identificado un grupo determinado de distintos tipos de problemas y ha elaborado los modelos necesarios para sus soluciones, por eso podemos decir que existen problemas prototipos y clasificarlos en problemas de: asignación, inventarios, reemplazos, líneas de espera, secuencia y coordinación, trayectorias, competencia y búsqueda. Esta clasificación no es exclusiva ni exhaustiva, y con el tiempo pueden presentarse nuevos tipos de problemas o combinarse los tipos ya existentes. Los problemas de una organización no sólo abarcan el comportamiento de los subsistemas internos del sistema en estudio, sino que también consideran las relaciones con sectores externos, relaciones que pueden alterar sus fines, metas y objetivos. En una organización debemos distinguir el ámbito interno, (socios, directorio, administradores, operarios, asesores, etc.) del contexto en el que aparecen los proveedores, clientes y competidores. Toda organización lleva implícito el proceso decisorio, en él la naturaleza de las decisiones es muy variada, ya que quien administra deberá decidir sobre planificación, metas, políticas, niveles de producción, relaciones humanas, comercialización, finanzas y presupuestos, etc. HOY EL TEMA QUE NOS OCUPA ES LA TOMA DE DECISIONES ANTE PROBLEMAS DE COMPETENCIA, sean éstos de tipo interno o externos. La investigación de operaciones, como ciencia aplicada, de carácter interdisciplinario, provee de técnicas que permiten resolver los variados tipos de problemas que hacen a la toma de decisiones. Los tomadores de decisiones, una vez fijados sus objetivos, analizados los cursos de acción de los que pueden disponer, planteadas las variables controlables y las no controlables, establecen una medida de la eficiencia que usarán para determinar cuál es la mejor alternativa, es decir qué función objetivo debe usarse como la mejor solución a un problema. Para poder fijar la mejor solución es necesario poseer conocimientos de lo que constituye la TEORIA DE LAS DECISIONES. P r of . An t on i o B . MAH AVE - - - -C. P . y P r of . Car m en R E S CAL A 4 La teoría de las decisiones nos dice que para considerar qué decisión es apta para la solución de un problema, debemos conocer primero el alcance de los resultados que suponemos están disponibles. Existen tres tipos de suposiciones, de allí que podamos dar tres tipos de problemas: Cuando se plantean problemas en los que la información disponible es perfecta, las decisiones se toman en condiciones de certeza. -1- Certidumbre: situación en la que quien decide cree que cada curso de acción conduce a un solo resultado. Si en una empresa de producción se quiere determinar qué productos y qué cantidad de los mismos se debe producir para maximizar el beneficio, y se supone que el beneficio por unidad del j-ésimo producto es cj, y xj es la variable de decisión que representa la cantidad de unidades a fabricar del producto j, la contribución al beneficio total del producto j-ésimo es cjxj. Cuando la información disponible es imperfecta o parcial, las decisiones se realizan con riesgo o con incertidumbre. -2- Riesgo: situación en la que el tomador de decisiones cree que para cada curso de acción pueden existir resultados alternativos, cuyas probabilidades se conocen o pueden suponerse. Para el riesgo, el grado de desconocimiento o ignorancia, se expresa en una función de densidad de probabilidad, la que establece datos, mientras que en la incertidumbre no existe esa función densidad de probabilidad. -3- Incertidumbre: situación en la cual quien toma decisiones no conoce para cada curso de acción cuáles son los posibles resultados y por lo tanto no puede asignar probabilidades a los posibles resultados. Los problemas de certidumbre (conocimiento completo de los resultados) e incertidumbre (desconocimiento total o ignorancia absoluta de los resultados) se pueden considerar como casos límite de los problemas de riesgo. En el ejemplo de la empresa productora de bienes, trabajando bajo condiciones de riesgo, el beneficio cj, no es un dato fijo, sino una variable aleatoria de la que se desconoce su valor exacto. El valor de cj se obtiene asociándole algún enunciado de probabilidad. La contribución del j-ésimo producto al beneficio total cjxj es también una variable aleatoria cuyo valor exacto se desconoce. En situación de incertidumbre no se conoce o no puede determinarse la función densidad de probabilidad. La incertidumbre no es ignorancia completa del problema, significa que quien investiga para luego aportar a la decisión final, no tiene la información necesaria para asociar probabilidades y actúa con incertidumbre. La información completa y perfecta para decidir con certeza nos permite modelos de decisión aptos para maximizar beneficios o minimizar costos, cuando se actúa con situaciones de riesgo o incertidumbre, existen varios criterios, entre ellos el de maximizar la utilidad esperada. La economía moderna ha comenzado a incorporar la incertidumbre al análisis de la conducta de las empresas y de las economías domésticas. Un estudio completo y exhaustivo de la vida económica debe considerar la interrelación que existe entre la incertidumbre y las estrategias o cursos de acción que pueden ejercer los agentes económicos. P r of . An t on i o B . MAH AVE - - - -C. P . y P r of . Car m en R E S CAL A 5 La actividad económica, que es compleja, presenta como principal complicación la incertidumbre de la vida económica, y como segunda complicación la interdependencia de los agentes económicos. Si queremos ver el riesgo y la incertidumbre desde el punto de vista de la economía, debemos entender que existen instituciones que tienen un mercado para repartir los riesgos, porque cuando se materializa lo que era un riesgo, alguien tiene que pagar los costos de lo sucedido. Los mercados hacen frente a los riesgos repartiéndolos, de manera tal que el riesgo que sería muy grande para una persona, su vuelve pequeño para un gran número de ellas, a través de los seguros. Los individuos son renuentes al riesgo, prefieren una cosa segura a un nivel de consumo incierto, por eso las actividades que reducen el riesgo y la incertidumbre del consumo de los individuos son las que contribuyen al bienestar económico. Generalizando podemos afirmar que en los problemas de decisión, la solución se halla seleccionando el mejor curso de acción de una cantidad (finita o infinita) de opciones disponibles. Para realizar la discusión de los problemas sobre los cuales hay que tomar una decisión, resulta conveniente representar las situaciones a través de matrices; en esas matrices las filas representan los cursos de acción posibles y las columnas los resultados obtenidos. Es conveniente también que los conjuntos de resultados y de cursos de acción sean finitos, siendo exclusivos y exhaustivos, de forma tal que sólo uno pueda ocurrir o seleccionarse. Ejemplo: resultados r1 r2 … rj ... rn c1 c2 . cursos de acción F-1- . . ci aij . . . cn Esta matriz recibe el nombre de MATRIZ DE PAGOS o TABLA DE GANANCIAS El pago aij para cada par (ci-,rj), es la utilidad de la diferencia entre la salida rj y la entrada ci. El pago es lo que recibe ci, por el uso de ese curso de acción, es su “costo”. P r of . An t on i o B . MAH AVE - - - -C. P . y P r of . Car m en R E S CAL A 6 En el siguiente ejemplo, para una situación de riesgo, la matriz de pagos es: r1 c1 3 r2 c2 1 2 F-2- 4 Si sabemos o podemos estimar la probabilidad de cada suceso, para cada curso de acción, P(rj / ci ), entonces podremos calcular la UTILIDAD ESPERADA de cada curso de acción (UE). Si hacemos P(r1 / c1)=0,4 P(r1 / c2)=0,7 P(r2 / c1)=0,6 P(r2 / c2)=0,3 UE(c1)=0,4 (3)+0,6 (1)=1,8 UE(c2)=0,7 (2)+0,3 (4)=2,6 Para quien decide, lo lógico es elegir el segundo curso de acción, ya que c2 maximiza la utilidad esperada. Este criterio es el más aceptado en la solución de problemas de riesgo.  Generalizando: máx .ci UE (ci ) =  n ∑ j =1  P (rj /ci ) aij   En los problemas de certidumbre se conoce la probabilidad o se supone que ésta es uno o cero, y el criterio que se utiliza para resolverlos es el caso límite de maximizar la utilidad esperada, sustituyendo en la fórmula dada los valores de uno y cero para la probabilidad: P (rj /ci ) Luego la fórmula será: máx ci [UE (ci )] = aij este valor es la maximización de la utilidad. En los problemas de incertidumbre los investigadores no conocen las probabilidades y buscan información sobre las mismas en lo ya se ha trabajado sobre el problema. Existen varios criterios para resolver estos problemas, el más difundido y que aquí trataremos es el CRITERIO DEL MAXIMIN O MINIMAX. En este criterio se busca el máximo de los mínimos posibles o el mínimo de los máximos, cuando estos dos valores coinciden, el problema está resuelto y el valor obtenido se llama PUNTO DE SILLA. En el siguiente ejemplo la matriz de pagos es: r1 c1 c2 1 r2 5 2 F-3-. 3 P r of . An t on i o B . MAH AVE - - - -C. P . y P r of . Car m en R E S CAL A 7 Si la elección es c1, la ganancia mínima que se obtiene es 1. Si la elección es c2, la ganancia mínima que se obtiene es 2. Se elige entonces la mayor de esas ganancias mínimas que es 2. 2 es el máximin o máximo de los mínimos posibles. Si miramos del lado de quien paga, razonamos de la siguiente forma: Si la elección es r1, la pérdida máxima es 2. Si la elección es r2, la pérdida máxima es 5. Se elige entonces la menor de esas pérdidas máximas que es 2. 2 es el minimax o mínimo de los máximos posibles. Por lo tanto: máx ci mín r j a  = mín r j máx ci a  = 2  ij   ij  2 es el valor más alto en su columna y el más bajo en su fila. La teoría que estudia los problemas de competencia, establece que ellos pueden caracterizarse en tres modelos, llamados LUCHAS, (el objetivo es vencer al oponente), JUEGOS (el objetivo es sacar ventaja del oponente), y DEBATES, (el objetivo es convencer al oponente). La teoría competitiva que se ocupa de las luchas y los juegos, surge con el trabajo de von Neumann y Morgenstern, llamado LA TEORIA DE JUEGOS Y EL COMPORTAMIENTO ECONOMICO. TEORIA DE JUEGOS ¿Qué es un juego? ¿A qué se llama juego? Siguiendo a Russell ACKOFF y Maurice SASIENI diremos que un juego es una situación en la que dos o más tomadores de decisiones ( en adelante llamados jugadores) seleccionan cursos de acción y en la que el resultado se ve afectado por la combinación que pueden hacer de esas selecciones tomadas colectivamente. En todo juego existen: -1-Una cantidad n de tomadores de decisiones, con n≥2. Si n=2, el juego se llama juego de dos personas, si n>2, el juego se llama juego de n personas. -2-Un conjunto de reglas que especifican cuáles cursos de acción se pueden seleccionar, es decir qué jugadas se pueden realizar, y los jugadores las conocen. -3-Un conjunto bien definido de estados finales que especifican en qué momento termina la competencia, es decir cuándo se gana o se pierde o se retira el jugador. -4-Pagos asociados con cada estado final posible, los que se determinan a priori y cada jugador los conoce. No siempre se cumplen las condiciones 2, 3, y 4, es por ese motivo que no a todas las situaciones competitivas es factible aplicarle modelos de la teoría de juegos. Al conjunto de reglas que especifican cuál de las alternativas o cursos de acción debe seleccionar el jugador en cada jugada, lo llamamos estrategia de ese jugador, y cuando un jugador selecciona su propio curso de acción decimos que realizó una jugada. Estrategia: regla predeterminada que especifica por completo cómo se intenta responder a cada circunstancia posible del juego. P r of . An t on i o B . MAH AVE - - - -C. P . y P r of . Car m en R E S CAL A 8 En el juego, los jugadores son racionales, los oponentes juegan con inteligencia, tratando de optimizar su propia decisión, a costa de los otros. Ejemplos de juegos son las batallas, las campañas publicitarias, los concursos, licitaciones, etc. La aplicación de la Teoría de Juegos en la economía, le brinda a ésta los elementos necesarios para el análisis que involucra a los individuos, las empresas y los países en un permanente juego competitivo. En ese juego se manifiesta la interdependencia estratégica de las empresas, las economías domésticas, los estados y otros agentes. La teoría de juegos analiza la forma en que dos o más agentes económicos, que se relacionan en una estructura que es el mercado, eligen un curso de acción o unas estrategias que afectan conjuntamente a todos los participantes. (ECONOMÍA - Paul A. SAMUELSON Y William D. NORDHAUS). La Teoría de Juegos plantea modelos matemáticos para la toma de decisiones, modelos que contienen estrategias que convenientemente jugadas permiten maximizar o minimizar una función objetivo. Esa función objetivo a maximizar es alguna función de las utilidades de los pagos al tomador (o tomadores) de decisiones. En el juego un jugador (o jugadores) busca maximizar el pago que recibe, el otro jugador (o jugadores) trata de minimizar sus pérdidas. Se llama juego de suma cero a aquél en el que la pérdida que sufre un jugador (o jugadores) es igual a la ganancia que recibe el otro jugador (o jugadores). Un juego de suma cero de dos personas puede representarse en una matriz de pagos (la que los economistas suelen llamar tabla de ganancias) de la siguiente manera: Tabla para el Jugador I Tabla para el Jugador II Jugador II 1 2 1 3 5 2 2 3 Jugador II 1 Jugador I 2 1 -3 -5 2 -2 -3 Jugador I F-4- Estas matrices muestran que en el juego de suma cero los pagos al jugador II son iguales a menos los pagos al jugador I. Si ambos seleccionan la estrategia 1, el jugador I gana 3 y el jugador II pierde 3. El juego de suma no cero tiene un tercer componente o parte, “la casa” o una “polla”, quien recibe o realiza algún pago. Jugador II 1 1 2 1 1 3 0 2 -3 3 F-5- Jugador I 2 -2 2 -4 4 0 1 P r of . An t on i o B . MAH AVE - - - -C. P . y P r of . Car m en R E S CAL A 9 En la figura F-5- la matriz de pagos ilustra un juego de dos personas de suma no cero; en cada casillero aparecen dos valores, el superior derecho representa el pago que recibe el jugador II y el inferior izquierdo corresponde al pago que recibe el jugador I. Las jugadas que involucran los pares (1;1), (1;2), (2;3) representan pagos cuyas sumas no son cero. ¿Cuándo termina el juego? Cuando se arriba a una solución que implica la mejor estrategia para cada jugador. La mejor estrategia es la función objetivo específica de la jugada, y depende de los conocimientos que tengan los jugadores a priori, sobre las alternativas de los otros. Si la información que posee cada jugador es perfecta y conoce exactamente qué estrategia elegirá el o los oponentes, el jugador está ante una situación de certeza, y la función objetivo a maximizar es la utilidad. Si la información que posee cada jugador no es perfecta, pero puede suponer las probabilidades para las estrategias de los oponentes, se estará ante una situación de riesgo. Si el jugador desconoce las probabilidades de las alternativas, el juego es de incertidumbre. Para las situaciones de incertidumbre el criterio más aplicado es el maximin ( minimax). Es tarea de la Teoría de Juegos convertir una situación de incertidumbre en una de certeza utilizando ciertas suposiciones racionales con respecto a los jugadores. Las suposiciones permiten calcular cual será la estrategia que usará un jugador para maximizar su ganancia mínima o para minimizar su pérdida máxima. En la tabla de la F-4-, el jugador I supone que el jugador II es racional y que por ello elegirá la estrategia 1, donde la mayor pérdida es 3, que es menor que 5, pérdida máxima de la alternativa 2. Este tipo de razonamiento elimina la incertidumbre. La dificultad radica aquí en creer que el jugador seguirá una conducta racional para maximizar su ganancia o minimizar su pérdida. No existe un criterio único que garantice la racionalidad del actuar del jugador, la teoría de juegos parte de la suposición de que los jugadores son racionales y que actúan eligiendo alternativas que les permitirán maximizar las ganancias mínimas, pero esas alternativas fueron seleccionadas arbitrariamente. JUEGO DE DOS PERSONAS DE SUMA CERO En este tipo de juego los jugadores tienen intereses opuestos y algunos los llaman juegos estrictamente competitivos. Para iniciar el juego se plantean primeramente las condiciones dadas por von NEWMANN: *-Los dos jugadores conocen la matriz de pagos.- Ambos la pueden construir. *-Cada jugador tiene un número finito o infinito de estrategias. Cada jugador conoce las estrategias que tiene y las de su oponente. *-Ambos jugadores son racionales. *-Los dos jugadores son conservadores, juegan con precaución y seguridad. *-Ambos jugadores eligen sus estrategias sólo para promover su propio bienestar.- Juegan con intereses opuestos. Cada jugador aspira a optimizar su propia decisión, pero a costa del otro. *-Siempre son dos jugadores, aunque sean muchos los que juegan. Uno es el jugador I y todos los demás son II. P r of . An t on i o B . MAH AVE - - - -C. P . y P r of . Car m en R E S CAL A 10 Los resultados o pagos de un juego se resumen como funciones de diferentes estrategias para cada jugador. Cuando se trata de un juego de dos jugadores de suma cero, la ganancia de uno es igual a la pérdida del otro, lo que es suficiente para expresar la matriz de pago en términos de los pagos al jugador I, cuyas estrategias figuran en las filas de la matriz. Hemos dicho ya que la selección de un criterio para resolver un problema de decisión depende de la información de la que se dispone. En la teoría de los juegos los oponentes inteligentes están trabajando en un medio circundante conflictivo. Existe un criterio conservador, propuesto para resolver el juego de dos personas de suma cero. El criterio se llama minimax-maximin. En este aspecto la teoría de juegos se diferencia de la teoría de las decisiones, donde el tomador de decisiones está jugando un juego contra un oponente pasivo, no malo, que es la naturaleza. En la teoría de los juegos cada jugador es inteligente, activo y trata de derrotar a los demás. El criterio minimax-maximin elige la estrategia -pura o mixta- de cada jugador que proporciona el mejor de los resultados posibles. Este criterio establece que la solución óptima se alcanza cuando ningún jugador encuentra beneficioso alterar su estrategia. En ese momento el juego es estable o se encuentra en equilibrio. Como la matriz de pago se hace en términos de los pagos al jugador I, el criterio requiere que I seleccione la estrategia (pura o mixta) que maximice su ganancia mínima -el mínimo se toma sobre las estrategias de II-. Naturalmente, el jugador II, elegirá la estrategia que minimice sus máximas pérdidas -el máximo se toma sobre todas las estrategias del jugador I. JUEGOS DE PUNTO DE SILLA Ejemplo: La siguiente matriz de pagos representa la ganancia del jugador I, en un juego donde cada jugador tiene tres estrategias. Jugador II 1 Jugador I 2 máx.columna 1 2 3 9 8 2 6 3 mín.fila 7 7 5 -2 9 8 2 5 3 -2 55 minimax P r of . An t on i o B . MAH AVE - - - -C. P . y P r of . Car m en R E S CAL A F-6maximin 11 Si el jugador I, de sus estrategias puras selecciona la estrategia 1, puede ganar 9,8 o 2. La ganancia mínima es 2. Si selecciona la estrategia 2, la ganancia mínima es 5 y en la estrategia 3 es –2. El jugador I elegirá la segunda estrategia porque maximiza su ganancia mínima. El valor 5 es el maximin, al que representaremos con v . El jugador II, que quiere minimizar su pérdida, si elige la primera estrategia puede perder 9, 6 o 7. La pérdida máxima es 9. Si selecciona la estrategia 2, la pérdida máxima es 8 y en la estrategia 3 es 5. El jugador II elegirá entonces la estrategia pura 3, la que minimiza su pérdida máxima. El valor 5 es el minimax, al que llamaremos: v , o valor del juego, es 5 y corresponde al par (2;3) de estrategias óptimas. El valor del juego, v , cumple con la relación: v≤v≤v Cuando en el juego el valor del maximin es igual que el valor del minimax, ése es el valor del juego, v, y recibe el nombre de punto de silla. En el ejemplo el valor del juego es 5 y corresponde al par (2;3) de estrategias óptimas. Las estrategias puras que corresponden a ese valor se llaman estrategias óptimas. En el juego ningún jugador desea abandonar las estrategias óptimas, porque si no su oponente puede jugar eligiendo otra estrategia que le proporcione menor pago. Un elemento aij es punto de silla si es el mínimo de su fila y el máximo de su columna. Si el jugador I escoge la fila i, gana cuando menos aij ya que los demás elementos de la fila i lo superan, si I elige otra fila distinta de i, por ejemplo m, no está seguro de que ganará tanto como aij, porque el jugador II puede elegir j y amj ser menor que aij para todo m≠i.. Por lo tanto el jugador I elegirá i y el jugador II j. ¿Qué son las dominancias en una matriz de pago? Para explicarlo se considera la matriz de la figura F-6-. Si ningún elemento de una columna cualquiera (en nuestro ejemplo consideramos la tercera columna) es mayor que el correspondiente de otra columna (la primera de nuestra matriz), el jugador II nunca seleccionará la primera, la que puede eliminarse sin que se altere el valor del juego. La columna que se elimina se llama columna dominante. ai1 ≥ ai3
 ∀i es ai1 dominante La matriz de la figura F-6-, por dominancias se reduce a: 8 2 7 5 -2 3 F-7- Si ningún elemento de una fila (en nuestro ejemplo la segunda) es menor que el correspondiente de otra fila (en el ejemplo la tercera), entonces I no elegirá nunca la tercera fila, la que puede eliminarse sin que altere el valor del juego. La fila que se elimina se llama fila dominada. a2j ≥ a3j ∀j a3j dominada 
P r of . An t on i o B . MAH AVE - - - -C. P . y P r of . Car m en R E S CAL A 12 La matriz que resulta es: 8 2 7 5 F-8- Como la primera columna es dominante puede eliminarse, con lo que resulta: 2 F-9- 5 Al ser la segunda fila dominada, puede eliminarse, con lo que obtenemos: 5 F-10- El punto de silla El orden de eliminación de fila y columna es indistinto. Si la matriz tiene punto de silla, con la eliminación de columnas dominantes y filas dominadas se llega a él. Si la matriz no tiene punto de silla queda reducida a una matriz de menores dimensiones. JUEGOS CON ESTRATEGIAS MIXTAS Si el juego no tiene punto de silla, la Teoría de los Juegos aconseja a cada jugador asignar una distribución de probabilidad sobre el conjunto de sus estrategias, las que dejan de llamarse estrategias puras para llamarse estrategias mixtas. Al no existir punto de silla, las estrategias puras maximin y minimax dejan de ser óptimas y el juego es inestable. Los jugadores buscarán otras estrategias que puedan mejorar sus pagos. Cada jugador jugará todas sus estrategias, pero cada una con una frecuencia, de manera tal que la suma de todas esa frecuencias sea igual al número de jugadas que realiza. La frecuencia de cada estrategia sobre el número total de jugadas es la probabilidad con que juega cada alternativa. Los valores que representan las probabilidades son no negativos y sumados dan uno. Cada jugador jugará ahora sus estrategias (no puras) de acuerdo con un conjunto predeterminado de probabilidades. En el caso de las dominancias las filas y columnas eliminadas se juegan con probabilidad cero. Sean las estrategias mixtas: x i = probabilidad de que el jugador I use la esrategia i, con i =1,2 ,...m y j = probabilidad de que el jugador II use la esrategia j, con j =1,2 ,...n m y n son el número de estrategias disponibles de los jugadores I y II respectivamente. Entonces: xi , y j ≥ 0 ∧ m ∑ xi i =1 = n ∑ yj j =1 = 1 ∀ i, j P r of . An t on i o B . MAH AVE - - - -C. P . y P r of . Car m en R E S CAL A 13 En el caso de las dominancias las filas y columnas eliminadas se juegan con probabilidad cero. En el siguiente cuadro matricial se representa en forma teórica la matriz de pago para un juego con estrategias mixtas. Jugador II x1 x2 y1 y2 … yj … yn a11 a21 a12 a22 a1j a2j a1n a2n ai1 ai2 aij ain am1 am2 . . F-11- . Jugador I xi . . . xm amj amn Al hacer extensivo el criterio minimax a juegos que no tienen punto de silla y que por lo tanto necesitan estrategias mixtas, se dice que el jugador II debe elegir la estrategia mixta que minimice la máxima pérdida esperada. Si lo que se analiza es el comportamiento del jugador I, el criterio maximin, establece que éste seleccionará la estrategia mixta que maximice el pago esperado mínimo. Por pago esperado mínimo se entiende el pago esperado más pequeño que puede resultar de cualquier estrategia mixta que el oponente pueda usar. Máxima pérdida esperada significa la pérdida esperada más grande, que puede resultar de las jugadas del otro jugador. La estrategia mixta óptima para el jugador I es la que le proporciona la garantía (garantía aquí significa pago mínimo esperado) de que es la mejor ( máxima). El valor de este mayor pago mínimo esperado es el maximin v . La estrategia mixta óptima para el jugador II es la que le proporciona la mejor garantía (garantía aquí significa máxima pérdida esperada y mejor significa mínimo) que de todas las pérdidas máximas esperadas ésa es la menor. El valor de esa menor pérdida máxima esperada es el minimax v . Si ambos jugadores usaran estrategias puras estos juegos no tendrían una solución estable, porque v < v , entonces ambos cambiarían las estrategias para mejorar su posición. Para salvar la estabilidad o equilibrio del juego se usan las estrategias mixtas, con las que se llega a la solución óptima que es estable y en la que v = v . m m  m  máx mín  ∑ ai xi , ∑ ai xi , ... ∑ ain xi  = maximin = v . x  i =1 2 i =1  i =1 1  i   n  n n min máx ∑ a1 j y j , ∑ a2 j y j ,.. ∑ amj y j  = minimax = v .  j =1  y  j =1 j =1 j   Cuando las xi , y j corresponden a la solución óptima, los dos valores se igualan y son iguales al valor esperado del juego. P r of . An t on i o B . MAH AVE - - - -C. P . y P r of . Car m en R E S CAL A 14 Usaremos la siguiente simbología para los óptimos: x*i , y*j , v* , entonces el m n valor esperado es: v* = ∑ ∑ aij x*i y*j i =1 j =1 Los juegos con estrategias puras o mixtas pueden resolverse gráficamente en el plano siempre que las matrices de pago (originales u obtenidas luego de las eliminaciones por dominancias), sean de clase (2xn) o (mx2), esto significa que por lo menos uno de los jugadores tiene sólo 2 estrategias Si las estrategias de los dos jugadores fueran tres, la representación gráfica de las estrategias en el espacio de tres dimensiones serían planos. Si consideramos la siguiente matriz de pagos: Jugador II x1 y1 y2 … yj … yn a11 a12 a1j a1n a21 a22 a2j a2n Jugador I F-12x2= (1- x1) Las probabilidades x y x = 1 − x , son no negativas y su suma x1 + x2 = 1 1 2 1 Los pagos esperados o esperanzas del jugador I , para las estrategias puras del jugador II son: E11 = a11 x1 + a21 x2 = a11 x1 + a21( 1 − x1 ) = a11 x1 − a21 x1 + a21 = (a11 − a21 )x1 + a21 En forma similar se calculan las demás esperanzas, las que figuran en la F-13-: Estrategia pura de II 1 2 Pago esperado de I E11 = (a11 − a21 )x1 + a21 E12 = (a12 − a22 )x1 + a22 F-13- . . . n E1n = (a1n − a2 n )x1 + a2 n Según el criterio del maximin, el jugador I debe escoger la x1 que maximice sus pagos esperados. Gráficamente podemos representar trazando líneas rectas de variable independiente x1. El ejemplo que damos a continuación se resuelve aplicando la teoría desarrollada sobre estrategias mixtas y también el método gráfico. Ejemplo: Dada la siguiente matriz de pago, encontrar las estrategias óptimas y el valor del juego. P r of . An t on i o B . MAH AVE - - - -C. P . y P r of . Car m en R E S CAL A 15 Jugador II 1 mín. fila 1 2 3 5 4 -3 -3 F-14 2 -2 maximin -4 Jugador I 2 0 3 máx.columna -2 2 3 -4 5 4 2 minimax v = −2 ∧ v = 2 ⇒ − 2 ≤ v ≤ 2 , cumple con v ≤ v≤ v Como la tercera estrategia del jugador I está dominada por la primera, se puede eliminar la estrategia 3, con lo que la tabla queda: Jugador II 1 1 2 3 5 4 -3 0 -2 2 F-15- Jugador I 2 Como la primera estrategia del jugador II domina a la segunda estrategia, se puede eliminar. A continuación escribiremos la tabla considerando las probabilidades: Jugador II Probabilidades y2 Ep 2 y3 Ep: estrategias puras 3 F-16- x1 1 4 -3 1-x1 2 -2 2 Jugador I Al calcular las esperanzas tenemos: EI2 = [ 4 − (− 2 )] x + (− 2) = 6 x − 2 1 1 3 EI = [-3 − ( 2 ) ] x + ( 2 ) = -5 x + 2 1 1 P r of . An t on i o B . MAH AVE - - - -C. P . y P r of . Car m en R E S CAL A 16 Es el momento de comenzar la representación gráfica, para ello se trazan dos líneas paralelas separadas por una distancia que hacemos igual a la unidad y marcamos sobre ella una escala. A continuación se trazan las dos líneas que representan las dos estrategias disponibles para el jugador I. Si x1 = 0 ⇒ 6.0 − 2 = −2 Si x1 = 0 ⇒ -5.0 + 2 = 2 ∧ ∧ x1 = 1 ⇒ 6.1 − 2 = 4 x = 1 ⇒ -5.1 + 2 = −3 1 4 3 punto máximo 2 1 F-171 4 1 3 4 11 2 4 x 1 1 -1 -2 -3 el valor de x1, hacemos: 6 x − 2 = −5 x + 2 , y resolviendo 1 1 4 7 obtenemos: x1 = ; luego x2 = . El punto de abscisa x1 es el máximo de todos los 11 11 mínimos. Para calcular ( ) 4 7  x* = x* ; x* ; x* =  ; ; 0  es la estrategia óptima para el jugador I. 1 2 3  11 11  Las dos rectas determinan un polígono convexo donde todos los v del jugador I son menores que el v del juego, por eso el jugador I hará crecer v , hasta llegar a v* . Para determinar el maximin, podemos realizar la siguiente tabla, aplicando:  m máx mín ∑ ai1 xi , x   i =1 i  ∑ ai 2 xi ,...∑ ain xi  = maximin = v . m m i =1 i =1  P r of . An t on i o B . MAH AVE - - - -C. P . y P r of . Car m en R E S CAL A 17 x1 2 ∑ ai1xi i =1 2 ∑ ai 2 xi i =1 0 -2 2 -2 1/4 -1/2 3/4 -1/2 4/11 2/11 2/11 2/11 1/2 1 -1/2 -1/2 3/4 5/2 -7/4 -7/4 1 4 -3 -3 v = v* = máx mínimo máx. min. x* = ( 4/11; 7/11; 0) 2/11 { mín (6 x1 − 2; − 5x1 + 2) }= 112 es el valor del juego y se verifica que es mayor que el maximin (-2) de la tabla original. E1II = (4 + 3) y2 − 3 = 7 y2 − 3 E 2II = −(2 + 2 ) y2 + 2 = −4 y2 + 2 Para el jugador II: 5 Procediendo de igual forma que para el jugador I, obtenemos: y2 = , 11 6 luego y = . El punto de abscisa y2 es el mínimo de todos los máximos. 3 11  5 6 y* = y* ; y* ; y* =  0; ;  es la estrategia óptima para el jugador II. 1 2 3  11 11  ) ( 4 punto mínimo 3 2 1 F-181 5 1 3 4 11 2 4 1 y 2 -1 -2 -3 P r of . An t on i o B . MAH AVE - - - -C. P . y P r of . Car m en R E S CAL A 18 Para determinar el minimax, podemos realizar la siguiente tabla, aplicando:   n  n n min máx ∑ a1 j y j , ∑ a2 j y j ,.. ∑ amj y j  = minimax = v .  j =1  y  j =1 j =1 j   y2 3 ∑ a1 j y j j =2 3 ∑ a2 j y j máximo mín.. máx. j =2 0 -3 2 2 1/4 -5/4 1 1 5/11 2/11 2/11 2/11 1/2 1/2 0 1/2 3/4 9/4 -1 9/4 1 4 -2 4 { máx (7 y2 − 3 ; 2/11 y* = ( 0; 5/11; 6/11) )} 2 , es el valor del juego y se 11 verifica que es menor que el minimax (2) de la tabla original. v = v* = mín − 4 y2 + 2 = 2 =v Hemos obtenido el valor del juego: v = v* = 11 Este valor también puede calcularse a través del álgebra matricial: v = v = v* = x*. A. (y*) t x* ∈ K1xm A ∈ K mxn x* ∈ K1x3 A∈ K 3x3  y *  t∈ K nx1      *t 3x1 y  ∈K   P r of . An t on i o B . MAH AVE - - - -C. P . y P r of . Car m en R E S CAL A 19 El producto x*. A es: 4 11 7 11 0 5 4 -3 0 -2 2 2 3 -4 20 11 2 11 2 11 El producto x*. A. (y*) t es: 0 5 11 6 11 20 11 2 11 2 11 2 11 valor del juego P r of . An t on i o B . MAH AVE - - - -C. P . y P r of . Car m en R E S CAL A 20 APLICACIÓN AL CALCULO DE COSTOS El problema que nos ocupa es el de repartir, asignar o distribuir, en forma equitativa, racional y objetiva, un determinado beneficio, gasto, utilidad, bien material, costo, etc., entre dos o más individuos. Este tipo de repartos puede admitir distintos métodos de solución, conforme con la naturaleza misma del problema. Estas soluciones, en algunas oportunidades pueden ser simples y fáciles de resolver, en base a una ley, acuerdo previo o una función matemática que permita determinar las proporciones del bien a repartir que corresponde a cada una de las partes interesadas. Por ejemplo, si se establece una sociedad entre tres personas, que representamos por A, B y C, que al final rinde una utilidad de $ 1.200,00 y se convino previamente en que las ganancias o pérdidas serían asumida por cada socio en proporción al capital aportado; el socio A contribuyó a la formación de ese capital con $ 1.000,00, el B con $2.000,00 y el C con 3.000,00; la utilidad o beneficio que corresponde a cada uno de ellos se determina fácilmente con la fórmula: bi = beneficio total capital aportado por i capital total aportado ( con i = A, B, C ) Así resultan los siguientes valores: bA = 12000 1000 = 200 6000 bB = 12000 2000 = 400 6000 bC = donde bA , bB , bC son las utilidades que corresponde a respectivamente y además se verifica que: bA + bB + bC 12000 3000 = 600 6000 los socios A, B y C, = 200 + 400 + 600 = 1.200 ( beneficio total ) En este ejemplo la distribución del beneficio conjunto obtenido por un equipo o asociación, resultó fácil porque previamente se estableció o acordó una regla o función matemática para repartir las ganancias. Esta regla es: b bi = t Ai At donde integrado por los tres socios y capital. - bt es el beneficio total a repartir; Ai At es el aporte total, es el aporte del socio i = A,B.C, a la integración del En la mayoría de los casos el problema no es tan sencillo y, según la naturaleza de los bienes, gastos, o efectos que se deben repartir, se pueden adoptar distintas metodologías, algunas clásicas, otras nuevas, las que tienden a disminuir la carga de arbitrariedad y subjetividad que siempre acompaña estos procedimientos, para más, muchas son las veces en las que la ley de distribución no puede establecerse a priori.- P r of . An t on i o B . MAH AVE - - - -C. P . y P r of . Car m en R E S CAL A 21 Para dar una idea de la variedad de problemas que pueden considerarse citaremos a continuación los siguientes ejemplos: 1) La asignación de recursos a cada una de las unidades académicas para la distribución del presupuesto de una Universidad. Por cantidad de alumnos?, Por cantidad de carreras? Por el tipo de carreras? Por cantidad o tipo de laboratorios, instalaciones o equipamientos a mantener? . . . Este es un problema complejo que no pretendemos resolverlo, ni siquiera tratarlo, pero seguramente, si se adoptara una fórmula de reparto, la misma deberá contener las variables que representen a cada uno de estos factores, y algunos más, acompañados por coeficientes de peso para cada uno de ellos, con el fin de efectuar las correcciones o valoraciones tendientes a encuadrar la distribución dentro de las políticas educativas que se desean llevar adelante. - Muchos de estos elementos se fijan arbitrariamente en base a acuerdos y muchas de las valoraciones deben ser necesariamente subjetivas. 2) La asignación de espacios físicos disponibles para la práctica de dos o más disciplinas en la planificación de un campo de deportes. 3) La distribución de un costo conjunto entre dos o más artículos que salen de una planta de producción, a los efectos de poder establecer el beneficio de cada uno de esos productos y, como consecuencia, la conveniencia o no de su fabricación. Precisamente, de este último tipo de problemas es del que nos ocuparemos. - ASIGNACIÓN DE COSTOS CONJUNTOS Supongamos que en una planta industrial se produce un elemento básico del que se obtienen posteriormente dos o más productos derivados, que representaremos por A, B, C, ..., con valores agregados propios. Distinguiremos dos etapas de producción: La primera, hasta la producción del elemento básico, tiene un costo (alquileres, mantenimiento de equipos, personal, combustibles, materias primas, insumos, etc.), que debe ser absorbido por toda la producción final, al que llamaremos costo conjunto, C c . La segunda, para la elaboración y terminación de los productos derivados, que agrega nuevos costos autónomos o individuales para cada uno de estos artículos, perfectamente determinados, que representaremos por Cia (donde i = A, B, C,...) Para poder calcular el beneficio real que la producción y venta de cada uno de estos productos brinda a la empresa, es necesario determinar previamente, con la mayor objetividad posible, la parte del costo conjunto que corresponde a cada uno de los productos por separado. Una vez resuelta esta cuestión se podrá determinar el costo total por artículo: Ct (i ) = Cic + Cia y luego, conociendo el Ingreso por producto I i , calcular el beneficio aportado por el mismo, Bi = Ii − Ct (i ) , siendo i = A, B, C, ... P r of . An t on i o B . MAH AVE - - - -C. P . y P r of . Car m en R E S CAL A 22 Nuestra cuestión entonces, consistirá en hallar las partes del costo conjunto para cada i. Existen distintos métodos para resolverlo, cuya elección depende de los datos disponibles y de la naturaleza misma del problema. Entre estos métodos, citaremos algunos tradicionales y otros nuevos, que tienden a disminuir la carga de arbitrariedad y subjetividad que siempre inevitablemente acompaña a estos cálculos. - MÉTODOS TRADICIONALES 1) MÉTODO BASADO EN LAS CANTIDADES DE MATERIAL PRODUCIDO Si es posible medir en unidades homogéneas la cantidad, peso, o dimensión de cada uno de los artículos A, B, ..., que representaremos Pi (i =A, B, ...), el costo conjunto se puede distribuir proporcionalmente a esos pesos, correspondiendo a cada uno de ellos las cantidades dadas por la fórmula: Cic = donde Pt Cc Pi Pt y ∑C c c i =C es el peso total que resulta de sumar los pesos de todos los productos A,B, ... Este método, que ya casi no se usa puede tener dos grandes objeciones: 1) La calidad, el valor y el costo mismo de los productos derivados pueden no guardar relación con sus pesos, de modo que la solución sería arbitraria e inadecuada. 2) Los productos derivados, por su distinta naturaleza pueden venir medidos en unidades no homogéneas, por ejemplo, líquidos y sólidos, lo que hace impracticable el método. - 2) MÉTODO BASADO EN EL VALOR DE LAS VENTAS Si se conocen los ingresos que produce cada producto Ii , el método consiste en cargar a cada producto una parte del costo conjunto, proporcional a dichos ingresos, mediante la fórmula: Cic = Cc Ii It y ∑C c c i =C Se pueden realizar las siguientes objeciones 1) Los costos reales de producción no están en relación, en todos los casos, con los ingresos que cada producto proporciona. 2) Tampoco considera este método la capacidad de los costos autónomos para producir ingresos como valor agregado. - P r of . An t on i o B . MAH AVE - - - -C. P . y P r of . Car m en R E S CAL A 23 3) MÉTODO DEL VALOR NETO DE REALIZACIÓN Considerando valor neto de realización de cada producto a la diferencia entre el ingreso producido por el mismo y su costo auténtico: VNRi = Ii − Cia y valor neto de realización total: VNRt = ∑I i Podemos distribuir el costo conjunto proporcionalmente a estos valores mediante la fórmula: Cic = Cc VNRi VNRt y ∑C c c i =C Este método, si bien supera a los anteriores ya que considera a los costos autónomos no alcanza para salvar todas las objeciones formuladas. - NUEVOS MÉTODOS. Para la distribución de costes existen modernos métodos que tienden a disminuir los aspectos arbitrarios o subjetivos de los anteriores, aunque estos problemas siempre existen en alguna medida. Estos métodos, que como contrapartida aumentan en complejidad, se han desarrollado principalmente en las tres últimas décadas. Consideraremos entre ellos: 1. - COSTES ALTERNATIVOS DE MORIARITY En este caso la distribución se hace en proporción al beneficio estimativo obtenido por cada uno de los productos. Para ello es necesario contar como datos, además del costo conjunto y costos autónomos, los ingresos por producto, para poder establecer el beneficio que cada uno de ellos aporta, como la diferencia entre ingresos y costes totales correspondientes. – La novedad que introduce el método se basa en la posibilidad de que la empresa, en lugar de fabricar cada producto pueda adquirirlo en el mercado, al precio más bajo posible; o bien considerar que cada uno de los productos absorbe en el proceso de fabricación propia, la totalidad del coste conjunto, que es el valor máximo que podría tener su producción. - Se obtienen así, dos valores para un mismo producto, entre los que debe elegirse: El coste total del producto i, a mejor precio de mercado: Cio El coste máximo de producción propia de i, cargándole el coste conjunto: C c + Cia Entre estas dos posibilidades se elige la mínima para cada producto, que llamaremos mejor alternativa: Yi = min {C oi , C c + C ai } P r of . An t on i o B . MAH AVE - - - -C. P . y P r of . Car m en R E S CAL A 24 La suma de las mejores alternativas de adquisición o fabricación de los productos i = A, B, C, ... menos el costo total de fabricación propia de los mismos, permite evaluar el ahorro que obtiene la empresa en la elaboración propia. Representaremos dicho ahorro por: H = ∑ Yi − C t . Calculado así este ahorro total H , se lo puede asignar a cada uno de los productos en partes proporcionales a las mejores alternativas Yi . Para cada producto i = A, B, ... corresponderá un ahorro por fabricación propia: Hi = H Yi ∑ Yi En consecuencia, el coste total por producto será: mejor alternativa menos el ahorro por producción propia). Cit = Yi − Hi (valor de la Esto permite determinar la parte del coste conjunto por producto Cic = Cit − Cia El modelo de Moriarity, que posee considerables ventajas sobre los métodos clásicos, puede, en algunos casos, asignar costos negativos resultantes de su aplicación. Los modelos de Louderback y de Balachandran y Ramakrisman introducen variables tendientes a superar estos problemas. Para un desarrollo completo del tema recomendamos el libro CONTABILIDAD DE COSTOS Y CONTABILIDAD DE GESTION. Angel Sáez, Antonio Fernández Fernández y Gerardo Gutierrez Díaz. MÉTODO DE LOS JUEGOS La teoría de los juegos se aplica para resolver situaciones de conflicto o incertidumbre, donde dos personas compiten inteligentemente por un mismo objetivo. Cada jugador desarrolla sus estrategias para derrotar a su rival, en base a reglas preestablecidas. Según Samuelson “La teoría de los juegos analiza la forma en que dos o más agentes, que se interrelacionan en una estructura como el mercado, eligen un curso de acción o unas estrategias que afectan conjuntamente a todos los participantes”. “La estructura básica de un juego comprende a los jugadores que tienen distintos cursos de acción o estrategias, y las ganancias, que describen los beneficios que obtienen los jugadores en cada resultado. El nuevo concepto clave es la tabla de ganancias de un juego, que muestra las estrategias y las ganancias o beneficios de los diferentes jugadores”. “La clave para elegir las estrategias en la teoría de los juegos consiste en que los jugadores analicen tanto sus propios objetivos como los del adversario, sin olvidar nunca que éste hace lo mismo”. “En economía, o en cualquier otro campo, se debe suponer que el adversario elegirá sus mejores opciones, y se debe elegir la estrategia que maximice nuestro beneficio, suponiendo siempre que el adversario analizará de la misma manera nuestras opciones.” P r of . An t on i o B . MAH AVE - - - -C. P . y P r of . Car m en R E S CAL A 25 En el problema que nos ocupa, de la distribución de costos conjuntos entre dos o más productos, el método más moderno consiste en aplicar elementos de la teoría de los juegos, considerando a cada uno de los artículos en cuestión como jugadores que compiten por la asignación de un beneficio común. Lo que cada artículo (jugador) puede obtener de ese beneficio corresponde exactamente a lo que pierden los demás en el reparto. La estrategia que cada jugador, o producto, aplicará, será la de jugar individualmente o asociado a los otros jugadores y el beneficio que recibirá será el que le corresponda por su actuación personal más los de su participación en los equipos formados con los demás jugadores. Si bien el método de juegos, que desarrollaremos, aumenta en complejidad, brinda una nueva e interesante forma de repartir costos, que también puede aplicarse a otros problemas de distribución. Para ver un desarrollo completo del método recomendamos la lectura de CONTABILIDAD DE COSTOS Y CONTABILIDAD DE GESTION. Angel Sáez, Antonio Fernández Fernández y Gerardo Gutierrez Díaz. P r of . An t on i o B . MAH AVE - - - -C. P . y P r of . Car m en R E S CAL A 26 UNA ASIGNACIÓN DE COSTOS CONJUNTOS Nos proponemos, a continuación, resolver el problema de asignar la parte correspondiente del costo conjunto, que se produce en una primera etapa de fabricación de material básico, del que se extraen posteriormente tres productos, A, B y C, con costos agregados autónomos de 400, 600 y 800, respectivamente, por cada 1000 del costo conjunto de la etapa inicial. Simbólicamente, representaremos a éstos por: Costo conjunto: C C = 1000, Costos autónomos: C a (A) = 400, C a (B) = 600 y C a (C) = 800 Entre la información, disponible del ejercicio de la misma empresa, que se puede usar para resolver el problema de distribución de costos autónomos, se cuenta con los siguientes datos: a) La cantidad de unidades, o el peso, de cada producto: P(A) = 1400, P(B)= 1000, P(C) = 800 b) Los ingresos por producto: I(A) = 2000, I(B) = 2400, I(C) = 3600. Aplicaremos los siguientes métodos: 1) MÉTODO PROPORCIONAL A LOS PESOS Si consideramos peso total en: P = ∑ P(i) , donde i = A, B, C. Para nuestro problema: Peso total: P = P(A) + P(B) + P(C) = 3200 A cada producto le asignamos como parte del coste conjunto: C c (A) = C c (B) = C c (C) = Cc P Cc P Cc P P(A) = P(B) = P(C) = 1000 3200 1000 3200 1000 3200 1400 = 438 1000 = 312 800 = 250 Coste conjunto total: C c = 1000 La aceptación o no de esta distribución de costos conjuntos entre los tres productos, aún cuando estas cantidades puedan medirse en unidades homogéneas, será una cuestión de carácter subjetivo, que deben resolver los administradores de la empresa, en razón de que los pesos o cantidad de producción guarden relación real con los gastos, los beneficios o utilidades aportados por cada artículo. En general este método se usa muy poco actualmente. – P r of . An t on i o B . MAH AVE - - - -C. P . y P r of . Car m en R E S CAL A 27 2) MÉTODO BASADO EN EL VALOR DE LAS VENTAS Si consideramos ingreso total en: I = ∑ I(i) , donde i = A, B, C. Para nuestro problema: Ingreso total: I = I(A) + I(B) + I(C) = 8000 A cada producto le asignamos como parte del coste conjunto: C c (A) = C c (B) = C c (C) = Cc I Cc I Cc I I(A) = I(B) = I(C) = 1000 8000 1000 8000 1000 8000 2000 = 250 2400 = 300 3600 = 450 Coste conjunto total : C c = 1000 Si bien esta distribución tiene la ventaja de considerar la capacidad de cada producto para soportar sus propios costos, no supera en general, las observaciones hechas al método aplicado anteriormente. Entre las muchas objeciones, se señala que no se considera la capacidad que tienen los costos autónomos para producir aumentos en los ingresos por producto. - 3) METODO BASADO EN EL VALOR NETO DE REALIZACION Este método tiende a superar las observaciones formuladas al anterior, en lo que respecta a la consideración de los costos autónomos. Se llama Valor Neto de Realización de un producto i, a la diferencia entre el ingreso producido por ese producto y su costo autónomo VNR(i) = I(i) - C a (i) En este caso: donde i = A, B, C VNR(A) = 2000 - 400 = 1600 VNR(B) = 2400 - 600 = 1800 VNR(C) = 3600 - 800 = 2800 y Valor Neto de Realización (total) : VNR = ∑ VNR(i) = 6200 La asignación del costo conjunto C c = 1000, en forma proporcional a estos valores netos de realización, resulta : C c (A) = C c (B) = C c (C) = Cc VNR Cc VNR Cc VNR VNR(A) = VNR(B) = VNR(C) = 1000 6200 1000 6200 1000 6200 1600 = 258 1800 = 290 2800 = 452 Coste conjunto total: C c =1000 P r of . An t on i o B . MAH AVE - - - -C. P . y P r of . Car m en R E S CAL A 28 NUEVAS METODOLOGÍAS 4)METODO DE MORIARITY Como se dijo antes, la empresa puede considerar dos alternativas para la obtención de los productos. Una es la de adquirirlos a los mejores precios de mercado, en lugar de fabricarlos. Consideremos que las mejores propuestas obtenidas en este sentido (Costos de oferta), para la adquisición de los productos A, B y C, sean respectivamente : C o (A) = 1200, C o (B) = 1400, C o (C) = 2000 La otra alternativa es considerar la posibilidad de producir únicamente un producto, en cuyo caso debe cargarse a éste las totalidad del costo conjunto. Se obtienen así como costos máximos de producción los valores C c + C a (A)=1400, C c + C a (B)=1600 y C c + C a (C) = 1800, respectivamente, para A, B y C. Entre las dos alternativas, la empresa elige la más conveniente, que representamos por: { } Y(i) = mín C o (i ), C c + C a (i ) Resulta: Y(A) = 1200, para cada i = A, B, C Y(B) = 1400, Y(C) = 1800 La empresa considera el ahorro total resultante de producir sus propios productos con respecto a las mejores alternativas descriptas, ahorro total que se calcula como diferencia entre la suma de las mejores alternativas y el costo total de producción y representamos por: H= ∑ Y( i) − ( C + ∑ C c a (i)) = 4400 - 2800 = 1600 Si se asigna el Ahorro total obtenido a cada producto, proporcionalmente con respecto a la mejor oferta, se obtiene para cada uno de éstos, una participación de : H(A) = H ∑Y Y(A) = 1600 4400 1200 = 436 H(B) = H ∑Y Y(B) = 1600 4400 1400 = 510 H(C) = H ∑Y Y(C) = 1600 4400 1800 = 654 P r of . An t on i o B . MAH AVE - - - -C. P . y P r of . Car m en R E S CAL A 29 Como consecuencia de esta distribución del ahorro, el costo total por producto es: C t (A) = Y(A) - H(A) = 1200 - 436 = 764 C t (B) = Y(B) - H(B) = 1400 - 510 = 890 C t (C) = Y(C) - H(C) = 1800 - 654 = 1146 y la asignación del costo conjunto resulta de restar a la parte correspondiente del costo total el costo autónomo correspondiente: C c (A) = C t (A) - C a (A) = 764 - 400 = 364 C c (B) = C t (B) - C a (B) = 890 - 600 = 290 C c (C) = C t (C) - C a (C) = 1146 - 800 = 346 Coste conjunto total: C c =1000 La siguiente tabla resume los pasos y resultados anteriores: PRODUCTOS Cc Ca Cc + C Co a (i) Mejor alternativa Y(i) Ahorro total H Distribución del Ahorro H(i) Participación en el costo total C t (i) Parte del costo conjunto C c (i) A B C 400 1400 600 1600 800 1800 1200 1400 2000 1200 1400 1800 totales 1000 1800 4400 4400(1000+1800) = = 1600 436 510 654 1600 764 890 1146 2800 364 290 346 1000 P r of . An t on i o B . MAH AVE - - - -C. P . y P r of . Car m en R E S CAL A 30 5 MÉTODO DE JUEGOS Para aplicar el método de los juegos emplearemos como datos los mejores costos alternativos del método de Moriaritiy, que se resume en la siguiente tabla: PRODUCTOS A B C totales 1000 1800 c C Ca c C + C a (i) Co 400 1400 1200 600 1600 1400 800 1800 2000 Y(i) 1200 1400 1800 Este método consiste en considerar a cada uno de los productos A, B, y C, como jugadores en disputa por llevar la mayor parte de un pozo común Este pozo estará constituido por el beneficio total que obtiene la empresa y, una vez .repartido permitirá calcular la parte del costo común con que participó cada artículo. La estrategias que cada jugador, o producto, aplicarán en este juego, serán las de participar solos (individualmente), o bien formando equipos con los otros jugadores. Por eso la tabla anterior de datos disponibles, debe ser ampliada para atender a la totalidad de los equipos que entran en juego. A B C AB AC BC ABC 1200 3200 2200 5600 1400 3400 2400 6000 1800 4600 2800 8000 c C C ai C oi C c + C ai I(S) 400 1200 1400 2000 600 1400 1600 2400 800 2000 1800 3600 1000 2600 2000 4400 totales 1000 En este tabla I(S) representa los ingresos que obtiene cada jugador o equipo de jugadores como suma de lo aportado por cada participante. La variable S representa a cada uno de los jugadores o equipos S = A, B, C, AB, AC, BC, ABC En el cuadro se han sombreado los datos iniciales del problema. Tendremos en cuenta para nuestro cálculo, las mejores alternativas para la adquisición de estos productos o conjuntos de estos productos, que representaremos por { } Y(S) = min Co ( S ), C c + C a ( S ) . Estos datos se consignan en la fila sexta de la siguiente tabla y resultan de comparar los de las filas 3 y 4. Para completar nuestro trabajo de asignación de beneficios conjuntos convendremos en fijar previamente los siguientes convenios o axiomas. - P r of . An t on i o B . MAH AVE - - - -C. P . y P r of . Car m en R E S CAL A 31 a) la utilidad o beneficio que cada equipo obtenga, cualquiera sea el número o asociación de jugadores, representada por S, estará determinada por la función característica: V(S) = I(S) - Y(S) Diferencia entre el ingreso aportado por la asociación S (fila 5) y el mejor costo del equipo (fila 6). Los valores de esta función característica, para cada equipo de jugadores, se consignan en la fila 7. b) El beneficio así obtenido por cada equipo V(S), debe ser igual a la suma de las contribuciones residuales de cada uno de los jugadores que lo componen, actuando individualmente o en asociaciones, incluido el mismo grupo S.- Este axioma permite calcular las contribuciones residuales para cada S, así : Cuando un equipo está compuesto por un solo jugador, la utilidad de S coincide con el aporte residual único: CR(A) = V(A) = 800 CR(B) = V(B) = 1000 CR(C) = V(C) = 1800 Para asociaciones de dos jugadores, por ejemplo, para S= AB, calculamos: V(AB) = CR(A) + CR(B) + CR(AB) ⇒ CR(AB) = V(AB) - CR(A) - CR(B) Con el mismo razonamiento se obtienen las contribuciones residuales : CR(AB) = V(AB) - CR(A) - CR(B) CR(AB) = V(AB) - CR(A) - CR(B) Con los datos de nuestro problema resultan : CR(AB) = 2400 - (800 +1000) = 600 CR(AB) = 3400 - (800 + 1800) = 800 CR(AB) = 32600 - (1000 + 1800) = 800 Para el grupo de jugadores integrado por A,B y C, es: V(ABC) = CR(A) + CR(B) + CR(C) + CR(AB) + CR(AC) + CR(BC) + CR(ABC) Despejando aquí la CR(ABC) y sustituyendo las otras contribuciones residuales por las fórmulas obtenidas antes, resulta : CR(ABC) = V(AVC) - V(AB) -V(AC) - V(BC) + V(A) + V(B) + V(C) En nuestro caso: CR(ABC) = 5200 - (2400 + 3400 + 3600) - (800 + 1000 + 1800) = - 600 P r of . An t on i o B . MAH AVE - - - -C. P . y P r of . Car m en R E S CAL A 32 La suma de las contribuciones residuales, igual a la utilidad total del conjunto ABC, es de 5200.. Los valores correspondientes a las contribuciones residuales para cada grupo S, están consignadas en la fila 8 de la tabla. Un segundo axioma o acuerdo determina que el producido de cada grupo se reparte en partes iguales entre sus integrantes. Para eso se fija a cada grupo un factor de distribución o peso W(S) = 1 r , donde r es el número de integrantes con que cuenta cada equipo. En este problema, W(A) = W(B) = WC) = 1, W(AB) = W(AC ) = W (BC) = 1 2 y W(ABC) = 1 3 Datos consignados en fila 9. c) d) Por último, se conviene que el total obtenido por cada jugador debe ser igual a la suma de sus producidos en cada uno de los grupos en los que intervino, de acuerdo con la siguiente función de beneficio: b(i) = ∑ Wi (S)CR(S) donde i = A, B, C y W(S) si i ∈ S Wi (S) =   0 si i ∉ S Los beneficios por producto serán para este ejercicio : b(A) = 800 + 1 2 600 + 1 2 800 - 1 3 600 = 1300 b(B) = 1000 + 1 2 600 + 1 2 800 - 1 3 600 = 1500 b(C) = 1800 + 1 2 800 + 1 2 800 - 1 3 600 = 2400 Beneficio total : A 1) C c 2) C ai 3) C oi 4) 1300 + 1500 +2400 = 5200 Estos datos se consignan en la fila 10 B C AB AC BC ABC 400 1200 1400 600 1400 1600 800 2000 1800 1000 2600 2000 1200 3200 2200 1400 3400 2400 1800 4600 2800 2000 2400 3600 4400 5600 6000 8000 1200 1400 1800 2000 2200 2400 2800 800 800 1 1300 300 1000 1000 1 1500 300 1800 1800 1 2400 400 2400 600 3400 800 3600 800 5200 - 600 12 12 12 13 totales 1000 C c + C ai 5) I(S) 6) Y(S) o c a min C i , C + C i 7){V(S) =} I(S) − Y(S) 8) C R (S) 9) W(S) 10) b(i) 11) C c (i) P r of . An t on i o B . MAH AVE - - - -C. P . y P r of . Car m en R E S CAL A 5200 5200 1000 33 Obtenidas así, aplicando principios de la teoría de los juegos, las partes del beneficio común asignadas a cada uno de los productos A,B y C, cuyos valores están consignados en la fila 10 del cuadro anterior, resulta fácil ahora determinar las partes del costo conjunto que corresponde a cada uno de ellos: Beneficio = Ingreso - costo total ⇒ ⇒ C c (i) b(i) = I(i) - ( C c (i) + C a (i)) ⇒ = I(i) - b(i) - C a (i)) En el presente problema : C c (A) = 2000 - 1300 - 400 = 300 C c (B) = 2400 - 1500 - 600 = 300 C c (C) = 3600 - 2400 - 800 = 400 C i0 C c+ C i0 Y(S) A 1200 1400 1200 B 1400 1600 1400 C 2000 1800 1800 AB 2600 2000 2000 AC 3200 2200 2200 BC 3400 2400 2400 ABC 4600 2800 2800 Máximos 4600 2800 Minimax P r of . An t on i o B . MAH AVE - - - -C. P . y P r of . Car m en R E S CAL A Maximin 34 B IB L IOGR AF A 1) TEORÍA DE JUEGOS. Ken BINMORE. Editorial McGRAW-Hill/ INTERAMERICANA DE ESPAÑA. Primera Edición, Madrid, 1994. 2) INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES. Hamdy TAHA. ALFAOMEGA GRUPO EDITOR. Quinta Edición, México D:F:, 1995. Editorial 3) INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES. Frederick S. HILLER y Gerald J. LIEBERMAN. Editorial McGRAW-Hill/ INTERAMERICANA DE MÉXICO. Quinta Edición, México D.F., 1993. 4) FUNDAMENTOS DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES. Russell L. ACKOFF y Maurice W. SASIENI. Editorial LIMUSA, GRUPO NORIEGA. Octava Edición, México D.F., 1991. 5) ECONOMIA. Paul A. SAMUELSON y William D. NORDHAUS. Editorial McGRAW-Hill / INTERAMERICANA DE ESPAÑA. Decimocuarta Edición, Madrid, 1993. 6) CONTABILIDAD DE COSTOS Y CONTABILIDAD DE GESTIÓN. Ángel SÁEZ TORRECILLA, Antonio FERNÁNDEZ FERNÁNDEZ y Gerardo GUTIÉRREZ DÍAZ. Editorial McGRAW-Hill / INTERAMERICANA DE ESPAÑA. Primera Edición, Madrid, 1993. Volumen I. P r of . An t on i o B . MAH AVE - - - -C. P . y P r of . Car m en R E S CAL A