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Prof. Carlos Iván Páez Rueda, M.Sc.
2010-3
TAREA No.4 - Transmisión Electromagnética La presente tarea deberá ser entregada el lunes 06 de septiembre del 2010 al inicio de la clase. 1. Un filtro de tipo de cavidad resonente, es un filtro espacial que logra un alto Q a frecuencias de microondas. Éste se construye usualmente encerrando un dieléctrico por medio de conductores ideales de diferentes secciones transversales. Un ejemplo, es un resonador de sección transversal rectangular de seis caras cuyo volumen es a · b · c en el sistema coordenado rectangular x − y − z, cuyo primer vértice se encuentra en el origen y se despliega en el octante positivo del sistema coordenado. Si este resonador se llena de un dieléctrico de permitividad relativa 3,5 y permeabilidad relativa de 1 y no tiene fuentes impresas, el fasor de la intensidad del campo eléctrico es (1) y la frecuencia de resonancia es (2). Para este resonador responda: ˜0 sin π x sin π z , 0 ˜ = 0, E E a c
1 wr = √ µ 0 µ r ε0 εr
s 2
π a
+
V m
(1)
2 π
(2)
c
1.1. Dibuje el resonador donde se detalle las dimensiones y localización en el sistema coordenado. 1.2. Determine el fasor de la intensidad del campo magnético dentro del resonador. 1.3. Determine el fasor de la corriente eléctrica en la superficie x = a/2, ∀y, z ∈ Resonador, el fasor de la corriente en la superficie y = b/2, ∀x, z ∈ Resonador y el fasor de la corriente en la superficie z = c/2, ∀x, y ∈ Resonador. 1.4. Dibuje en el contexto circuital dichas corrientes en el volumen en cada superficie. 1.5. Determine el fasor de la diferencia de potencial que existe entre el centro del resonador x = a/2, y = b/2, z = c/2 y el plano x − y siguiendo la línea de separación más corta. Realice el mismo cálculo para los planos x − z y y − z. ¿Qué concepto circuital para este circuito puede confirmar o rechazar a partir del cálculo realizado?. 1.6. Determine el fasor de la carga almacenada en un volumen de sección rectangular de dimensiones a4 · 4b · 4c en el sistema coordenado rectangular x − y − z, cuyo centroide está localizado en el centro del resonador x = a/2, y = b/2, z = c/2. 1.7. Compruebe que en todas las interfaces en donde se encuentra el conductor ideal, el fasor de la intensidad del campo eléctrico es normal y la intensidad del campo magnético es tagencial. Dibújelo en el resonador. 1.8. Determine la cantidad de energía eléctrica y magnética almacenada en esta cavidad resonante. Explique por qué estas energías mandatoriamente deben ser diferentes de cero, a través de conceptos circuitales conocidos por usted. 1.9. Determine la densidad de la potencia compleja en cualquier punto dentro del resonador y dibujela en dicha cavidad. 1.10. De una propuesta de dimensiones para este resonador, si se desea hacer un filtro a una frecuencia de 10 GHz y se sabe que para mantener el modo de propagación b m´ın(a, c) 1.11. Determine las densidades de corriente supercial en la interface de las paredes conductoras. Dibuje esas densidades de corriente en el resonador.
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1.12. Aunque en sentido contrario al concepto de corriente en una superficie, determine el fasor de la corriente promedio espacial en cada interface. Para esto considere que la unidad de esa corriente es A/m. 1.13. Determine las densidades de carga supercial en la interface de las paredes conductoras. Dibuje esas densidades de carga en el resonador. 1.14. Aunque en sentido contrario al concepto de carga en un volumen, determine el fasor de la carga promedio espacial en cada interface. Para esto considere que la unidad de esa carga es C/m2 . 2. El dipolo magnético, es una antena de alambre eléctricamente pequeña en forma de loop (una circunferencia) localizada en el plano x − y, centrada en el origen con radio a 1, conformada por un alambre de espesor despreciable y en la cual cursa una corriente constate en el alambre de valor I. Si en esta antena se encuentra que el fasor de la intensidad del campo eléctrico es (3), donde β en una constante y m ˇ se conoce como el momento del dipolo magnético (m ˇ = Iπa2 ). Responda: ˜= E
wµ0 mβ ˇ 2 1 1 0, 0, −j sin (θ) j + e−jβr 4π βr β 2 r2
!
(3)
2.1. Dibuje la antena, donde se observe la corriente sobre el alambre. 2.2. Calcule el fasor de la intensidad del campo magnético. 2.3. Calcule el fasor de la corriente que pasa por el plano interior del loop (obviamente en el plano x − y). 2.4. Si se está interesado en determinar el comportamiento de la radiación en campo cercano de radiación (r 1, pero r > a), calcule el valor de los fasores de la intensidades de los campos representativos. 2.5. Para campo cercano de radiación, calcule el vector de Pointyng y dibujelo por medio de las líneas de flujo. 2.6. Para campo cercano de radiación, calcule la potencia compleja que viaja hacia el exterior en una esfera de radio b (naturalemente b > a). 2.7. Para campo cercano de radiación, calcule la energía almacenada eléctrica y magnética en una esfera de radio b (naturalemente b > a). 2.8. Para campo cercano de radiación, determine la cantidad de carga eléctrica y magnética almacenada en una esfera de radio b (naturalemente b > a). 2.9. Si se está interesado en determinar el comportamiento de la radiación en campo lejano (r 1), calcule el valor de los fasores de la intensidades de los campos representativos. 2.10. Para campo lejano, calcule el vector de Pointyng y dibujelo por medio de las líneas de flujo. 2.11. Para campo lejano encuentre la potencia compleja que viaja hacia el exterior en una esfera de radio b. 2.12. Para campo lejano, calcule la energía almacenada eléctrica y magnética en una esfera de radio b. 2.13. Para campo lejano, determine la cantidad de carga eléctrica y magnética almacenada en una esfera de radio b. Pontificia universidad Javeriana
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˜ = 1 rˆ × E, ˜ donde η es una constante 2.14. Demuestre que en campo lejano se cumple que H η que tiene unidades mandatoriamente de Ohmios. 2.15. Del comportamiento energético del campo cercano de radiación y del campo lejano, concluya al respecto del comportamiento de radiación de esta antena.
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