Tablas De Mortalidad Dinámicas Para Espa˜na

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Tablas de mortalidad din´ amicas para Espa˜ na. Una aplicaci´ on a la hipoteca inversa Deb´on Aucejo, Ana Montes Suay, Francisco Sala Garrido, Ram´on La redacci´on de este texto y el desarrollo de la aplicaci´on E-VITA que le acompa˜ na, han sido posibles gracias a la ayuda financiera concedida a los autores por parte de la Fundaci´on ICO ´Indice general Introducci´ on 1 1. Tablas de mortalidad 1.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Probabilidades relacionadas con el tiempo de supervivencia 1.3. Estimaci´on de las curvas de supervivencia . . . . . . . . . 1.3.1. Algunos modelos para la distribuci´on del tiempo de vencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Tablas de mortalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Estructura y clasificaci´on de las tablas de mortalidad . . . 1.4.1. Estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2. Clasificaci´on: tablas est´aticas y tablas din´amicas . . 1.5. Evoluci´on de la mortalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5 5 7 . . . . . . 7 9 12 12 13 15 2. Revisi´ on de los modelos din´ amicos para la graduaci´ on de lidad 2.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Modelos param´etricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Modelos estructurales . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Modelos no estructurales . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Modelos no param´etricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Suavizado con p-splines . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Algoritmo Median-polish . . . . . . . . . . . . . . . ´ 2.4. Ultimas propuestas para la graduaci´on de tablas din´amicas 2.4.1. Modelizaci´on de los residuos . . . . . . . . . . . . . 2.4.2. Modelos fr´agiles (Frailty models) . . . . . . . . . . 2.4.3. Riesgo de la longevidad . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. La esperanza de vida residual . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Intervalos de confianza para la predicci´on . . . . . . . . . . i . . . . . . . . . . . . . . . supervi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . la morta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 21 22 23 31 35 36 37 38 38 39 39 39 40 ii ´INDICE GENERAL 3. An´ alisis y predicci´ on de la mortalidad espa˜ nola. Periodo 1980-2025 3.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Descripci´on de los datos y an´alisis preliminar . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Tratamiento de las edades superiores a 85 a˜ nos . . . . . . . . 3.3. Aplicaci´on del modelo de Lee-Carter . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Resultados del ajuste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Bondad de ajuste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Predicci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Predicci´on de qxt para el periodo 2006-2025 . . . . . . . . . . 3.4.2. Predicci´on de ext para el periodo 2006-2025 . . . . . . . . . . 43 45 45 46 47 50 51 52 53 55 4. C´ alculo de la hipoteca inversa 4.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Rentas vitalicias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Determinaci´on del valor de las rentas vitalicias 4.2.2. Determinaci´on del valor de las rentas vitalicias 4.3. Perspectiva general de la hipoteca inversa . . . . . . . 4.4. El planteamiento de la hipoteca inversa del ICO . . . 59 61 62 63 67 69 70 . . . . . . . . . . . . . . . . anuales . . . fraccionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ap´ endices A. Aplicaci´ on E-VITA A.1. Ventana Presentaci´on . . . . . A.2. Ventana Hipoteca Inversa . . . A.3. Ventana Ajustes Lee-Carter . . A.4. Ventana Par´ametros del modelo A.5. Ventana Proyecci´on . . . . . . 75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 77 78 79 79 81 B. C´ odigo en R 83 Bibliograf´ıa 87 ´Indice de figuras 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. Gr´afico de descenso de la mortalidad para algunas Rectangularizaci´on y expansi´on para los hombres. Rectangularizaci´on y expansi´on para las mujeres. Evoluci´on de la esperanza de vida. . . . . . . . . edades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 16 16 17 2.1. Descomposici´on de la Ley de Heligman y Pollard . . . . . . . 2.2. Regresi´on con B-splines (izquierda) y con p-splines (derecha) . 2.3. Residuos para un ajuste de Lee-Carter (izquierda) y residuos pendientes (derecha) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 . . . . 37 inde. . . . 38 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7. 3.8. 3.9. . . . . . . . . . Probabilidades de muerte para los hombres. . . . Probabilidades de muerte para las mujeres. . . . . Valores estimados para el modelo de Lee-Carter. . Residuos Deviance para el modelo de los hombres. Residuos Deviance para el modelo de los mujeres. Proyecciones para el periodo 2006-2025. . . . . . . Predicciones para algunas edades. . . . . . . . . . Predicciones para edades avanzadas. . . . . . . . Esperanza de vida residual para edades elevadas. A.1. A.2. A.3. A.4. La ventana Presentaci´on . . . . . . . . . . . La ventana Hipoteca Inversa . . . . . . . . . La ventana Ajuste de Lee-Carter . . . . . . . Gr´afica de los par´ametros ax que muestra la modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.5. Gr´afica de los par´ametros bx que muestra la modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.6. Gr´afica de los par´ametros kt que muestra la modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.7. La ventana Proyecci´on . . . . . . . . . . . . iii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ventana Par´ametros . . . . . . . . . . . ventana Par´ametros . . . . . . . . . . . ventana Par´ametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . del . . del . . del . . . . . . . . . . . . . 48 48 50 51 51 52 54 55 57 . 78 . 79 . 80 . 80 . 81 . 82 . 82 ´Indice de tablas 4.1. Expresiones para las rentas vitalicias con cuotas constantes . . . . . . 4.2. Expresiones para las rentas vitalicias con cuotas en progresi´on aritm´etica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Expresiones para las rentas vitalicias fraccionas con cuotas constantes 4.4. Estimaci´on de los gastos de formalizaci´on y gesti´on . . . . . . . . . . 4.5. Rentas percibidas a lo largo de los n a˜ nos . . . . . . . . . . . . . . . . v 65 66 68 72 73 Pr´ ologo Una de las m´as importantes derivaciones obtenidas a partir de los datos censales son las tablas de mortalidad de la poblaci´on, instrumentos relevantes tanto para el c´alculo actuarial (c´alculo de primas y/o indemnizaciones) como para el estudio de la evoluci´on de la poblaci´on y sus movimientos. El profesional del seguro de vida ha de ser capaz de determinar adecuadamente las primas para garantizar as´ı las cantidades que habr´a de pagar la compa˜ n´ıa a la muerte del asegurado. En consecuencia, la predicci´on adecuada de las probabilidades de muerte constituye un elemento principal en la reducci´on del riesgo que se asume. Otra caracter´ıstica de inter´es ligada a las tablas de mortalidad es la esperanza de vida de un individuo para las distintas edades. Se trata tambi´en de un indicador de la capacidad de supervivencia de una sociedad y su incremento supone, en todos los aspectos, una mejora de las condiciones de vida de la misma. A pesar de la importancia de ambas caracter´ısticas, probabilidad de muerte y esperanza de vida, y de la indudable influencia que la edad y el tiempo del calendario (a˜ no) ejercen sobre ellos, son pocos los trabajos que las han estudiado conjuntamente para los datos de mortalidad espa˜ noles. El objetivo final de este trabajo ha sido la construcci´on de tablas de mortalidad din´amicas a partir de los datos de mortalidad y poblaci´on publicados por el INE correspondientes al periodo 1980-2006, y la obtenci´on de predicciones de la mortalidad y de la esperanza de vida para los a˜ nos venideros. El presente texto presenta una exposici´on exhaustiva y actual de los distintos m´etodos de ajuste de tablas din´amicas, intentando encontrar el equilibrio entre el rigor te´orico que los especialistas exigen y la claridad que los usuarios t´ecnicos desean. S´olo uno de estos m´etodos ser´a utilizado para obtener el producto final buscado, las tablas din´amicas de mortalidad espa˜ nola. La elecci´on se ha basado en criterios de bondad tanto para el ajuste como para la predicci´on, y el resultado se ofrece en forma del software interactivo E-VITA accesible a trav´es de la direcci´on http://www.uv.es/evita. La estructura del texto es la siguiente: El Cap´ıtulo 1 est´a dedicado a la definici´on de los conceptos fundamentales que se utilizan en una tabla de mortalidad est´atica, finalizando con un an´alisis de la evoluci´on de la mortalidad en Espa˜ na durante el u ´ltimo siglo. Se persigue con ello evidenciar la necesidad de introducir modelos que 1 2 Pr´ologo recojan y expliquen dicha evoluci´on. El Cap´ıtulo 2 se ocupa de este tipo de modelos, los din´amicos, que introducen el tiempo del calendario. En algunos casos se trata de modelos cl´asicos adaptados a esta nueva circunstancias, otros son modelos ex-novo. Resumir convenientemente la informaci´on contenida en las tablas de mortalidad es una tarea que tradicionalmente se le ha encomendado a la esperanza de vida. A su definici´on y predicci´on se ha dedicado el final del Cap´ıtulo 2. El Cap´ıtulo 3 se ocupa del an´alisis de la mortalidad espa˜ nola en los u ´ltimos 25 a˜ nos, ajustando a los datos del periodo 1980-2005 una tabla din´amica mediante el modelo de Lee-Carter, el que presenta mejor comportamiento global entre los expuestos en el cap´ıtulo anterior. El Cap´ıtulo 4 introduce el concepto de hipoteca inversa, un producto financiero que est´a adquiriendo gran popularidad a medida que envejece la poblaci´on y menguan las pensiones. Un simulador de c´alculo de la hipoteca inversa, y del seguro asociado para poder hacer frente a la eventualidad de sobrevivir al periodo para la que fue contratada, ha sido incorporado al software E-VITA, cuyo manual de uso se detalla en el Ap´endice A. En el Ap´endice B se reproduce el c´odigo R utilizado para obtener los resultados del Cap´ıtulo 3. El texto se cierra con una exhaustiva y actualizada bibliograf´ıa que los autores esperan sea de utilidad para los lectores que deseen profundizar en parte o todos de los temas tratados. Valencia, julio de 2008 Cap´ıtulo 1 Tablas de mortalidad 1.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Probabilidades relacionadas con el tiempo de supervivencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3. Estimaci´ on de las curvas de supervivencia . . . . . . . . 7 1.3.1. Algunos modelos para la distribuci´on del tiempo de supervivencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.2. Tablas de mortalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4. Estructura y clasificaci´ on de las tablas de mortalidad . . 12 1.4.1. Estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.2. Clasificaci´ on: tablas est´aticas y tablas din´amicas . . . . . 13 1.5. Evoluci´ on de la mortalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3 1.1 Introducci´on 1.1. 5 Introducci´ on La tabla de mortalidad, tambi´en llamada tabla de vida, es un modelo te´orico que permite medir las probabilidades de vida o de muerte de una poblaci´on en funci´on de la edad. Las probabilidades de muerte asociadas a cada edad constituyen la piedra angular en todo cuanto se relaciona, directa o indirectamente, con la demograf´ıa de un grupo humano, desde el nivel y tendencia de la mortalidad hasta los sistemas de previsi´on y seguros, pasando por los estudios de fecundidad, la evaluaci´on de programas de salud o el estudio de los movimientos de poblaci´on. Estos son s´olo alguno de los campos de aplicaci´on de las tablas de mortalidad. Centr´andonos en el campo de los seguros y el sistema de pensiones, tanto p´ ublico como privado, las tablas de mortalidad son utilizadas, entre otras actividades, para: i) estimar las reservas actuariales que garanticen el pago de la obligaciones previsionales del sistema p´ ublico de pensiones, ii) efectuar los c´alculos del otorgamiento de pensiones y capital asegurado que administran los seguros de rentas vitalicias y los seguros de invalidez y supervivencia en el caso del Sistema Privado de Pensiones y, iii) determinar las primas de seguros vida y la constituci´on de las reservas t´ecnicas en el caso del sistema asegurador. El inter´es de las tablas de mortalidad queda fuera de toda duda a la vista de las distintas aplicaciones mencionadas en los dos p´arrafos anteriores. Hemos de se˜ nalar que la probabilidad de muerte para cada edad es la primera y m´as inmediata forma de medir las mortalidad, basta para ello con conocer los datos absolutos de defunciones y la poblaci´on expuesta a riesgo de morir. Existen sin embargo otras medidas alternativas de gran utilidad que se recogen en una tabla de mortalidad. El cap´ıtulo est´a dedicado a introducir todos aquellos conceptos que permiten obtener una tabla de mortalidad, la descripci´on de su contenido y la clasificaci´on de los distintos tipos de tablas. Y finaliza con una descripci´on de los cambios sufridos en la mortalidad espa˜ nola durante el periodo 1908-2002. 1.2. Probabilidades relacionadas con el tiempo de supervivencia Denotemos por x la edad de un individuo, con x ∈ [0, ω], donde ω representa el l´ımite superior de supervivencia. Para dicho individuo, T o Tx , representa su tiempo futuro de supervivencia, una variable aleatoria a la que podemos asociarle ξ = T +x, la edad de fallecimiento. La funci´on de distribuci´on de probabilidad de T , G(t) = P (T ≤ t), t ≥ 0, 6 Cap´ıtulo 1. Tablas de mortalidad representa la probabilidad que el individuo tiene de morir dentro de los t a˜ nos siguientes. A partir de G(t) podemos definir la funci´on de supervivencia s(t) = 1 − G(t). Para cualquier t > 0, s(t) es la probabilidad que el individuo tiene de sobrevivir t a˜ nos, de ah´ı que la hayamos denominado funci´on de supervivencia. De su definici´on se derivan las dos propiedades siguientes: es una funci´on no creciente, y en los extremos del intervalo de supervivencia toma los valores s(0) = 1, puesto que G(0) = 0, y s(ω) = 0, por tratarse de la edad m´axima alcanzable. Algunos autores sugieren (Villal´on, 1997) que es razonable y conveniente suponer que s(t) es una funci´on continua de t. Probabilidades y valores esperados de inter´es pueden ser expresados en t´erminos de las funciones g y G. La comunidad internacional de actuarios utiliza una notaci´on propia para designar alguno de estos valores (Gerber, 1997). As´ı, t qx = G(t) = 1 − s(t) es la probabilidad de que un individuo de edad x muera en t a˜ nos. De igual forma t px = 1 − G(t) = s(t), (1.1) denota la probabilidad de que un individuo de edad x sobreviva al menos t a˜ nos. Otra notaci´on habitualmente utilizada es s|t qx = P (s < T < s + t) = G(s + t) − G(s) = s+t qx − s qx , que denota la probabilidad de que un individuo de edad x sobreviva s a˜ nos y muera dentro de los t a˜ nos siguientes. De igual forma se usan frecuentemente s+t px = 1 − G(s + t) = (1 − G(s)) 1 − G(s + t) = s px · t px+s 1 − G(s) y G(s + t) − G(s) = s px · t qx+s . 1 − G(s) Si t = 1, el ´ındice t se omite en los s´ımbolos, por ejemplo qx denota la probabilidad de morir durante el a˜ no siguiente. Una medida de mortalidad muy utilizada es la llamada fuerza de mortalidad de x a la edad x+t, tambi´en conocida como funci´on de riesgo o tasa de hazard, definida mediante g(t) d µx+t = = − ln (1 − G(t)) . (1.2) 1 − G(t) dt s|t qx = G(s + t) − G(s) = (1 − G(s)) 1.3 Estimaci´on de las curvas de supervivencia 7 Se trata de una probabilidad condicionada, en concreto la de morir inmediatamente despu´es del tiempo t, t + dt, siendo as´ı que se ha sobrevivido hasta t. De (1.1) se obtiene d µx+t = − ln (t px ) , dt e integrando  Z  t t px = exp − µx+s ds . (1.3) 0 1.3. Estimaci´ on de las curvas de supervivencia La estimaci´on de las curvas de supervivencia puede plantearse desde dos enfoques distintos, que como veremos dan lugar a su vez a modelos espec´ıficos. El primero de ellos consiste en postular una distribuci´on de probabilidad para la variable T . El segundo, que podr´ıamos denominar enfoque actuarial, supone la construcci´on de una tabla de mortalidad. 1.3.1. Algunos modelos para la distribuci´ on del tiempo de supervivencia La modelizaci´on de T a partir de una funci´on de distribuci´on expl´ıcita, G, tiene la ventaja de permitir su estimaci´on mediante un reducido n´ umero de par´ametros. Ventaja nada desde˜ nable cuando se dispone de pocos datos. A lo largo del tiempo diversos autores han propuesto modelos para el comportamiento probabil´ıstico de T . Entre los m´as utilizados, los que se exponen a continuaci´on. De Moivre (1724) postula la existencia de una edad ω m´axima y supone que T se distribuye uniformemente entre las edades 0 y ω − x, de forma que g(t) = µx+t = 1 , 0 < t < ω − x, ω−x 1 , 0 < t < ω − x. ω−x−t Gompertz (1825) supone que la fuerza de mortalidad crece exponencialmente µx+t = Bcx+t , t > 0, lo que expresa mejor el comportamiento de T y adem´as no requiere la hip´otesis de la edad m´axima ω. 8 Cap´ıtulo 1. Tablas de mortalidad Makeham (1860) a˜ nade una componente constante A > 0 al crecimiento exponencial y postula la siguiente ley µx+t = A + Bcx+t , t > 0. La probabilidad de supervivencia en este modelo es   B x t c (c − 1) . t px = exp −At − ln c Weibull (1939) sugiere que la fuerza de mortalidad crece como una potencia de t en lugar de hacerlo exponencialmente µx+t = k(x + t)n , siendo k > 0 y n > 0 par´ametros fijos. La probabilidad de supervivencia se expresa ahora  
k n+1 n+1 (x + t) −x . t px = exp − n+1 Otros autores proponen modelos m´as sofisticados, en la creencia que una sola ley no recoge adecuadamente toda la experiencia de mortalidad. Thiele (1972) propone un modelo que relaciona la fuerza de mortalidad con la edad de distinta forma seg´ un el rango de ´esta u ´ltima,   1 2 µx = a1 exp(−b1 x) + a2 exp − b2 (x − c) + a3 exp(b3 x), 2 donde el primer t´ermino representa la mortalidad infantil, el u ´ltimo, que es una curva Gompertz, corresponde a la mortalidad para edades avanzadas y el central es una curva normal. Perks (1825) introduce una nueva familia de curvas cuya expresi´on general es, µx = A + Bcx . Kc−x + 1 + Dcx Estas leyes son s´olo aplicables a las edades adultas y muchas fallan al representar lo que conoce como la joroba de los accidentes en las edades adultas. Heligman y Pollard (1980) mejoran la propuesta de Perks con el modelo
qx c = A(x+B) + D exp −E(log x − log F )2 + GH x , px 1.3 Estimaci´on de las curvas de supervivencia 9 cuyo n´ umero de par´ametros puede parecer excesivo. Sin embargo, todos ellos tienen una interpretaci´on real. As´ı, A es q1 , C mide la ratio con la que los ni˜ nos se adaptan al entorno, G indica el nivel de mortalidad de las edades elevadas mientras que H mide el incremento de esa mortalidad, D representa la intensidad de la joroba de los accidentes, que m´as adelante se describe, F la sit´ ua y E indica su velocidad. Una descripci´on m´as detallada y un listado m´as exhaustivo de las leyes de mortalidad puede encontrarse en Benjamin y Pollard (1992), Gerber (1997) y Tabeau, van den Berg Jeths y Heathcote (Eds) (2001). 1.3.2. Tablas de mortalidad A partir de T podemos definir una variable aleatoria discreta, K = ⌊T ⌋, que representa el n´ umero entero de a˜ nos futuros vividos. Su distribuci´on de probabilidad viene dada por P (K = k) = P (k ≤ T < k + 1) = k px · qx+k , k = 0, 1, 2 . . . y su valor esperado, la esperanza de vida abreviada, ex = ∞ X kP (K = k) = k=1 o, alternativamente, ex = ∞ X kk ·k px · qx+k , k=1 ∞ X k=1 P (K ≥ k) = ∞ X k px . k=1 Si S representa la fracci´on del a˜ no de muerte durante la cual el individuo de edad x sobrevive, se tiene T = K + S. Esta nueva variable, S, es continua y toma valores en [0, 1[. Suponiendo su distribuci´on uniforme, podemos aproximar su valor esperado por 1/2, y 1 e˙ x = E[T ] ≈ ex + . 2 La distribuci´on de probabilidad del tiempo de vida futuro puede ser construida a partir de lo que denominamos una tabla de mortalidad. Se trata, esencialmente, de una tabla que recoge las probabilidades de morir en el a˜ no siguiente a la edad que se ha sobrevivido, qx , y que definen completamente la distribuci´on de K. La distribuci´on de T puede obtenerse a partir de una tabla de mortalidad mediante interpolaci´on, para lo cual son necesarias hip´otesis sobre el comportamiento probabil´ıstico de u qx , o de la fuerza de mortalidad, µx+u , para edades intermedias x + u, con x entero positivo y 0 < u < 1. Veamos alguna de estas hip´otesis. 10 Cap´ıtulo 1. Tablas de mortalidad A) Linealidad de u qx Si suponemos que u qx es una funci´on lineal de u, la interpolaci´on entre u = 0 y u = 1 conduce a u qx = uqx , luego u px = 1 − uqx , y µx+u = qx . 1 − uqx B) µx+u constante Si µx+u = µx+ 1 ∀u ∈]0, 1[, de (1.3) se sigue 2 u px uµx+ 1 =e 2 µx+ 1 u 2 ] = (px )u . = [e Se deduce de aqu´ı que la distribuci´on de S, dado K = k, es una distribuci´on exponencial truncada que depende de k, P (S ≤ u|K = k) = 1 − pux+k . 1 − px+k (1.4) Las variables S y K no son independientes en este caso. C) Linealidad de 1−u qx+u Esta hip´otesis se conoce como la hip´otesis de Balducci. A semejanza de lo que ocurre en A), 1−u qx+u = (1 − u)qx . De forma que, u px = 1 − qx px = 1 − (1 − u)qx 1−u px+u y µx+u = qx . 1 − (1 − u)qx Finalmente, P (S ≤ u|K = k) = u , 1 − (1 − u)qx+k (1.5) muestra que tampoco ahora las variables aleatorias S y K son independientes. 1.3 Estimaci´on de las curvas de supervivencia 11 Observemos que en los tres supuestos considerados la fuerza de mortalidad es discontinua en los valores enteros, pero lo m´as llamativo y poco cre´ıble es que bajo la hip´otesis de Balducci la fuerza de mortalidad decrece entre dos enteros consecutivos. Cuando las probabilidades de muerte son muy peque˜ nas, en las hip´otesis B) y C) las expresiones (1.4) y (1.5) conducen a una distribuci´on uniforme para S independiente de K. La problem´atica de los tantos interanuales, seg´ un las tres hip´otesis consideradas, la resume Betzuen (1995) en el siguiente cuadro, en el que t ∈ [0, 1] y lx es el n´ umero de supervivientes con edad x. Hip´ otesis A t qx = a + bt t qx = tqx lx+t = lx − tqx 1−h qx+t Hip´ otesis B = (1 − h)qx 1 − tqx µx+t = µ t qx = 1 − exp(−µt) lx+t = lx exp(−µt) Hip´ otesis C 1−t qx 1−t qx+t lx+t = 1−h qx+t = = a + bt = (1 − t)qx lx lx+t lx+1 + tdx (1 − h)qx 1 − (h − t)qx Se˜ nalemos por u ´ltimo que la asignaci´on de la edad de un individuo incide en los resultados del estudio, tal como se˜ nala Betzuen (1995). El problema surge porque existen diferentes criterios para llevar a cabo dicha asignaci´on. Los dos m´as utilizados en la pr´actica dan lugar a los conceptos de edad actuarial y edad entera alcanzada. Edad actuarial.- Se trata de un m´etodo muy popular entre los actuarios y consiste en atribuir como edad de fallecimiento la edad entera m´as pr´oxima al cumplea˜ nos. Se asigna la edad x a todos los individuos con edad comprendida en el intervalo [x − 1/2, x + 1/2[. Edad entera alcanzada.- Consiste en atribuir la edad como n´ umero de a˜ nos enteros vividos, es decir, la forma habitual de asignar la edad a un individuo. Se asigna la edad x a todos los individuos con edad comprendida en el intervalo [x, x + 1[. 12 Cap´ıtulo 1. Tablas de mortalidad 1.4. Estructura y clasificaci´ on de las tablas de mortalidad Las tablas de mortalidad surgen de la necesidad de establecer reservas apropiadas con las que hacer frente a las obligaciones derivadas de los contratos de seguros de larga duraci´on. El problema exige establecer una distriuci´on de probabilidad, una estad´ıstica de la mortalidad y un instrumento matem´atico adecuados. Detalles acerca de los or´ıgenes de las tablas y su evoluci´on pueden consultarse en el libro de Nieto y Vegas (1993), qui´en atribuye a Halley (1693) el primer trabajo conocido de tablas de mortalidad completas construidas a partir de la hip´otesis de estacionariedad, de la que m´as tarde nos ocuparemos. Posteriormente, Nicol´as Titens, Jorge Barret y F. Bayly introdujeron los llamados s´ımbolos de conmutaci´on que permitieron agilizar el c´alculo de las operaciones de seguro. 1.4.1. Estructura Palacios (1996) define la tabla de mortalidad como una serie temporal que indica la reducci´on paulatina de un grupo inicial de individuos debido a los fallecimientos. As´ı pues, lo que realmente contiene la tabla es el n´ umero de individuos que sobreviven. La tabla de mortalidad es una abstracci´on matem´atica que representa un modelo del comportamiento de la evoluci´on y constante decrecimiento de un colectivo, construida a partir de las observaciones de un colectivo real. Su estructura b´asica, como nos describe Villal´on (1994), debe estar constituida, al menos, por cinco columnas, encabezadas por los s´ımbolos x, lx , dx , qx y px . La primera, x, representa la edad del individuo en el rango , 0 ≤ x ≤ ω, siendo ω la edad l´ımite. La segunda, lx , representa el n´ umero de individuos que sobreviven a la edad x. La tercera, dx , representa el n´ umero de los individuos que fallecen entre las edades x y x + 1, dx = lx − lx+1 . La cuarta, qx , es el tanto anual de fallecimiento a la edad x, proporci´on de los individuos que fallecen entre las edades x y x + 1, qx = dx . lx 1.4 Estructura y clasificaci´on de las tablas de mortalidad 13 La quinta, px , es el tanto anual de supervivencia a la edad x, px = lx+1 . lx Una tabla b´asica como la descrita permite la obtenci´on de algunas caracter´ısticas de inter´es, como por ejemplo la esperanza de vida residual a la edad x, que representa los a˜ nos que le restan por vivir a un individuo que ha cumplido x a˜ nos. Su expresi´on es Tx (1.6) ex = , lx donde Tx es el totalP de a˜ nos que todos los individuos que sobreviven a la edad x esperan vivir, Tx = i≥x Li , siendo Lx = l(x+1) + dx /2 el correspondiente n´ umero de personas-a˜ nos. Las tablas pueden completarse, y habitualmente lo hacen, con los s´ımbolos de conmutaci´on: Dx , Nx , Sx , Cx , Mx y Rx . Estos s´ımbolos son relaciones que facilitan los c´alculos de primas, reservas y otras operaciones de seguros. Est´an calculados para un determinado tipo de inter´es, denominado tipo de inter´es t´ecnico i, a partir del cual se obtiene el llamado factor de actualizaci´on, v x , o factor de descuento ´ compuesto. Este factor permite convertir un capital futuro a n a˜ nos en un capital inicial, al eliminar el efecto de los intereses, vx = 1 . (1 + i)x Las expresiones de los s´ımbolos de conmutaci´on son las siguientes: Dx Nx Sx Cx Mx Rx 1.4.2. = = = = = = lx v x Dx + Dx+1 + . . . + Dω Nx + Nx+1 + . . . + Nω dx v x+1 Cx + Cx+1 + . . . + Cω Mx + Mx+1 + . . . + Mω . Clasificaci´ on: tablas est´ aticas y tablas din´ amicas El fen´omeno de la supervivencia viene caracterizado porque sus sucesos hacen referencia al hecho de que un individuo cualquiera perteneciente a un grupo espec´ıfico, alcance y supere una edad concreta. Al intentar modelizarlo aparece la edad como como par´ametro fundamental. A la edad se la denomina tambi´en en ocasiones tiempo biol´ogico, para diferenciarla del tiempo cronol´ogico que es el tiempo f´ısico o del 14 Cap´ıtulo 1. Tablas de mortalidad calendario. Esta distinci´on es necesaria cuando, por ejemplo, se quiere comparar la mortalidad de individuos de la misma edad en periodos distintos. Los hip´otesis b´asicas, que constituyen la base fundamental de las deducciones que han de conducirnos a la construcci´on de una tabla de mortalidad (Vegas, 1982), son: Principio de homogeneidad.- Los individuos del grupo son equivalentes en lo que se refiere a mortalidad, en el sentido de que tienen la misma funci´on de distribuci´on de probabilidad para la variable edad de muerte ξ. El grupo es homog´eneo. Principio de independencia.- Los individuos que integran el grupo se definen con variables estoc´asticamente independientes. Esto equivale a decir que las variables asociadas la supervivencia de los individuos del grupo son mutuamente independientes. Principio de estacionariedad.- La probabilidad de que un individuo de no sobreviva a una edad concreta es independiente del a˜ no de su c´alculo. Con estas hip´otesis la probabilidad de que n individuos no sobrevivan a las edades x1 , x2 ,. . . , xn , respectivamente, viene dada por P (ξ1 < x1 , ξ2 < x2 , . . . , ξn < xn ) = Gx1 (x1 − ξ1 ) · Gx2 (x2 − ξ1 ) . . . · Gxn (xn − ξn ) = x1 −ξ1 qx1 · x2 −ξ2 qx2 · . . . · xn −ξn qxn Es evidente que si el estudio del fen´omeno de la supervivencia se refiere s´olo al tiempo biol´ogico es porque se admite impl´ıcitamente la hip´otesis de estacionariedad del fen´omeno. Si todas las consideraciones y formulaciones que se hacen vienen referidas al tiempo biol´ogico o edad, con exclusi´on de toda referencia al tiempo cronol´ogico, la tabla de mortalidad resultante es una tabla de mortalidad est´ atica o de momento. Un estudio completo deber´ıa abarcar ambos conceptos temporales, puesto que en su formulaci´on m´as general la estacionariedad puede estar ausente y la expresi´on matem´atica del fen´omeno de la supervivencia depende entonces de ambos tiempos. Se obtiene entonces una tabla de mortalidad din´amica. Como reflexi´on a la comparaci´on te´orica de las tablas est´aticas y din´amicas, hemos de a˜ nadir que las primeras nacen con una fecha de caducidad impl´ıcita, puesto que la mortalidad desciende y la esperanza de vida aumenta con el paso de los a˜ nos, de forma que necesitar´ıamos pedirle al asegurado una dotaci´on adicional cuando pasaran un n´ umero determinado de a˜ nos, mientras que con las segundas las posibles modificaciones son menores. 1.5 Evoluci´on de la mortalidad 1.5. 15 Evoluci´ on de la mortalidad −1 −2 −3 −4 −6 −5 log(qx) −4 −6 −5 log(qx) −3 −2 −1 Antes de introducir y desarrollar los diferentes modelos din´amicos de tablas de mortalidad, consideramos importante poner de relieve las diferencias existentes entre las experiencias de mortalidad correspondientes a diferentes periodos. Esta secci´on esta dedicada a ilustrar dichas diferencia mediante un ejemplo concreto. Se pretende con ello justificar la necesidad de introducir modelos din´amicos que permitan una mejor predicci´on de la mortalidad futura. Los datos utilizados en el ejemplo corresponden a la mortalidad observada en Espa˜ na durante el periodo de 1908-2002 para un rango de edades de 0 a 110, y han sido obtenidos de H.D.M. (2005). La Figura 1.1 permite observar como, en general, las probabilidades de muerte han descendido en el transcurso del tiempo, aunque con diferente comportamiento para los distintos grupos de edad. Al igual que otros pa´ıses desarrollados, en Espa˜ na han sido especialmente llamativos el descenso que que ha sufrido la mortalidad infantil, el aumento de mortalidad en la u ´ltima d´ecada para edades intermedias y la estabilidad, e incluso ligero aumento, para las edades elevadas debido al aumento de poblaci´on longeva que se ha producido en los u ´ltimos a˜ nos. −7 edats 0 30 50 70 95 −8 −8 −7 edats 0 30 50 70 95 1920 1940 1960 any (a) Hombres 1980 2000 1920 1940 1960 1980 2000 any (b) Mujeres Figura 1.1: Gr´afico de descenso de la mortalidad para algunas edades Las tendencias recientes de la mortalidad han sido descritas entre otros por Olivieri (2001), quien define al respecto dos procesos: el de expansi´ on y el de rectangularizaci´on de la curva de supervivientes, Figuras 1.2 (a) y 1.3 (a) para hombres y mujeres, respectivamente. La curva de supervivientes se desplaza hacia edades muy elevadas, aspecto que se ha denominado expansi´ on y que se traduce tambi´en en un desplazamiento de las moda de la curva de muertes, Figuras 1.2 (b) y 1.3 (b), hacia esas mismas edades. Un incremento de la concentraci´on de muertes en torno a la moda de la curva de muertes implica a su vez, que la curva de supervivientes se 16 Cap´ıtulo 1. Tablas de mortalidad 1 e+00 qx dx 0 20 40 60 80 100 1 e−03 1908 1938 1958 1978 2002 1 e−04 0 0 e+00 2 e+04 5000 4 e+04 lx 1908 1938 1958 1978 2002 1 e−02 10000 6 e+04 1 e−01 8 e+04 15000 1 e+05 transforme adoptando la forma de un rect´angulo, de ah´ı el nombre de rectangularizaci´ on que Olivieri (2001) da al fen´omeno. Todo este proceso va acompa˜ nado de un incremento de las esperanzas de vida que puede observarse en la Figura 1.4. Adicionalmente aparecen niveles de mortalidad altos y gran dispersi´on en las edades j´ovenes e intermedias particularmente para los hombres, ve´anse en las Figuras 1.2 (c) y 1.3 (c). Este fen´omeno, observado tambi´en en otros pa´ıses, se conoce como joroba de los accidentes porque algunos autores lo asocian a los accidentes de tr´afico. 0 20 40 edat 60 80 100 0 20 40 edat (a) lx 60 80 100 edat (b) dx (c) qx 1 e+00 1 e−01 qx dx 0 1 e−04 2 e+04 0 e+00 0 20 40 60 edat (a) lx 80 100 1908 1938 1958 1978 2002 1 e−03 5000 4 e+04 lx 1908 1938 1958 1978 2002 1 e−02 6 e+04 10000 8 e+04 1 e+05 15000 Figura 1.2: Rectangularizaci´on y expansi´on para los hombres. 0 20 40 60 edat (b) dx 80 100 0 20 40 60 edat (c) qx Figura 1.3: Rectangularizaci´on y expansi´on para las mujeres. 80 100 80 60 40 Esperança de vida 60 40 e0 e65 20 e0 e65 20 Esperança de vida 80 1.5 Evoluci´on de la mortalidad 1920 1940 1960 any (a) hombres 1980 2000 1920 1940 1960 any (b) mujeres Figura 1.4: Evoluci´on de la esperanza de vida. 1980 2000 17 18 Cap´ıtulo 1. Tablas de mortalidad Cap´ıtulo 2 Revisi´ on de los modelos din´ amicos para la graduaci´ on de la mortalidad 2.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2. Modelos param´ etricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.1. Modelos estructurales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.2. Modelos no estructurales 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Modelos no param´ etricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3.1. Suavizado con p-splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3.2. Algoritmo Median-polish . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ´ 2.4. Ultimas propuestas para la graduaci´ on de tablas din´ amicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.4.1. Modelizaci´ on de los residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.4.2. Modelos fr´ agiles (Frailty models) . . . . . . . . . . . . . . 39 2.4.3. Riesgo de la longevidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.5. La esperanza de vida residual . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.6. Intervalos de confianza para la predicci´ on . . . . . . . . . 40 19 2.1 Introducci´on 2.1. 21 Introducci´ on Hist´oricamente la ciencia actuarial y la demograf´ıa se han preocupado por la modelizaci´on y predicci´on de la mortalidad. El primer paso, y quiz´as una de las partes fundamentales en las que interviene la Estad´ıstica, es la graduaci´on de los datos de mortalidad. Haberman y Renshaw (1996) definen la graduaci´on como “el conjunto de principios y m´etodos por los que las probabilidades de muerte observadas (o brutas) se ajustan para proporcionar una base suavizada que permita hacer inferencias y c´alculos pr´ acticos de primas y reservas”. La graduaci´on es necesaria (London, 1985) porque la secuencia de estimaciones iniciales de las probabilidades de muerte presenta en la mayor´ıa de las ocasiones cambios bruscos, lo que no se corresponde con la hip´otesis plausible de que la diferencia entre las probabilidades de muerte de dos edades consecutivas no debe de ser excesivamente grande. La graduaci´on mediante m´etodos param´etricos ha sido tratada, entre otros, por Forfar, McCutcheon y Wilkie (1988), Renshaw (1991) y Deb´on, Montes y Sala (2005), y mediante m´etodos no param´etricos en Gavin, Haberman y Verrall (1993, 1994, 1995) y Deb´on, Montes y Sala (2006b), entre otros. Todos estos trabajos fijan su atenci´on solamente en la influencia que la edad tiene sobre qx , analizando datos correspondientes a un a˜ no determinado, o acumulados a lo largo de un cierto periodo, y construyendo en consecuencia tablas de mortalidad est´aticas. Un hecho reconocido por la literatura actuarial m´as reciente es la evoluci´on de la mortalidad con el transcurrir de los a˜ nos, el ejemplo de la Secci´on 1.5 del Cap´ıtulo 1 corrobora esta afirmaci´on. Por esta raz´on, la literatura actuarial m´as actual analiza el fen´omeno de la mortalidad desde una perspectiva din´amica, incorporando tambi´en la influencia del tiempo del calendario en su an´alisis. Una tabla de mortalidad din´amica persigue la obtenci´on de estimaciones sin cambios bruscos, qˆxt , de las desconocidas verdaderas probabilidades de muerte, qxt , a partir del conjunto de estimaciones brutas, q˙xt , para cada edad x y a˜ no t. La estimaci´on bruta para cada par (x, t) est´a basada en el n´ umero de muertes observadas, dxt , y el n´ umero de individuos inicialmente expuestos al riesgo, Ext . Una recopilaci´on de la t´ecnicas de an´alisis y construcci´on de tablas de mortalidad din´amicas puede encontrarse en Benjamin y Pollard (1992); Tuljapurkar y Boe (1998); Felipe y Guill´en (1999); Tabeau, van den Berg Jeths y Heathcote (Eds) (2001); Pitacco (2004b); Deb´on, Montes y Sala (2006a). Especial atenci´on al riesgo que la longevidad tiene para el asegurador se presta en Pitacco (2004b), que recopila las contribuciones m´as recientes como tambi´en lo hace Booth (2006). Los modelos para la graduaci´on de tablas de mortalidad din´amicas pueden clasificarse, atendiendo a los m´etodos empleados, en dos grandes grupos: 1. Modelos param´ etricos.- Son modelos que ajustan a las medidas de la mortalidad una funci´on f dependiente de unos par´ametros. Para ello son dos, b´asicamente, los tratamientos, 22 Cap´ıtulo 2. Revisi´on de los modelos din´amicos para la graduaci´on de la mortalidad a) considerar que la influencia del tiempo del calendario s´olo afecta a los par´ametros, lo que constituyen los modelos que denominaremos estructurales, o bien, b) incorporar el tiempo cronol´ogico como variable t en la funci´on, que es lo que hacen los modelos que denominaremos no estructurales. 2. Modelos no param´ etricos.- Son generalizaciones de las t´ecnicas de smoothing, de forma que dependen de la edad y el tiempo. La mayor´ıa de los modelos desarrollados son param´etricos, porque como se˜ nala Congdon (1993) este tipo de modelos facilitan la comparaci´on a lo largo del tiempo. Los modelos no param´etricos se utilizan en cambio como an´alisis exploratorio de los datos, previamente a la graduaci´on mediante cualquier ley de mortalidad. Esta situaci´on est´a cambiando debido, entre otras razones, a la ventaja que representa no necesitar ninguna hip´otesis inicial acerca de la distribuci´on de las observaciones. Un ejemplo de modelizaci´on no param´etrica previa es el art´ıculo de Felipe, Guillen y Nielsen (2001), en el que se combinan ideas b´asicas de procesos estoc´asticos (Macdonald, 1996a,b,c) con el uso de un kernel de suavizado ya descrito para el caso univariante en Gavin, Haberman y Verrall (1993, 1994, 1995). Una publicaci´on del CMI Bureau (CMI, 2005) recomienda la utilizaci´on de m´etodos semiparam´etricos basados en p-splines (Currie, Durban y Eilers, 2004) para analizar la mortalidad en el Reino Unido. El contenido de este cap´ıtulo est´a estructurado de la siguiente forma. La Secci´on 2.2 se dedica a la descripci´on de los modelos param´etricos. En su apartado 2.2.1 se describen los modelos estructurales: el modelo de Heligman y Pollard (1980), el modelo de Lee-Carter (1992), el modelo edad-periodo-cohorte (APC) y el modelo de Lee-Carter con cohorte (APC). El apartado 2.2.2 se ocupa de los modelos no estructurales: las funciones Gompertz-Makeham ajustadas mediante modelos lineales generalizados, GLM (McCullagh y Nelder, 1989), y los factores de reducci´on de la mortalidad. En la Secci´on 2.3 se describen algunos modelos no param´etricos, entre ellos el suavizado mediante un kernel, mediante p-splines y mediante el algoritmo de suavizaci´on de las medianas (median polish). La Secci´on 2.4 es una revisi´on de las propuestas m´as recientes que permite al lector conocer el estado actual de la investigaci´on en este campo. El cap´ıtulo concluye con las Secciones 2.5 y 2.6 dedicas al concepto de esperanza de vida residual y a la obtenci´on de intervalos de confianza para las predicciones. 2.2. Modelos param´ etricos La graduaci´on mediante modelos param´etricos persigue alcanzar un equilibrio entre el n´ umero de par´ametros y la bondad de ajuste. Como advierte Congdon 2.2 Modelos param´etricos 23 (1993) este objetivo no es f`acil de conseguir. Se˜ nala el autor que muchos estudios de graduaci´on demogr´afica han enfatizado la bondad de ajuste sin considerar la estabilidad estad´ıstica de los par´ametros implicados en la regresi´on, lo que suele conducir a una sobreparametrizaci´on del modelo, que puede ponerse de manifiesto cuando se observan errores est´andar demasiado grandes para los par´ametros estimados, altas correlaciones entre ellos y fallos de la convergencia en las rutinas iterativas de ajuste no lineal. La sobreparametrizaci´on tiene adem´as implicaciones pr´acticas sobre el uso de la graduaci´on. Por ejemplo, en la comparaci´on de las series temporales de los par´ametros obtenidas al ajustar datos de mortalidad correspondientes a diferentes a˜ nos, la predicci´on de valores para a˜ nos futuros pueden mostrar fluctuaciones err´aticas irregulares que dificulten la predicci´on. Existen pues sobradas razones para preferir funciones parsimoniosas, con pocos par´ametros, a´ un a costa de ligeras p´erdidas de bondad de ajuste. La forma de las funciones que se ajustan a los datos son diversas y vienen sugeridas fundamentalmente por el perfil que presentan las estimaciones brutas de la medida de mortalidad utilizada. Se˜ nalemos, no obstante, que la graduaci´on de tablas din´amicas mediante modelos param´etricos consiste, con alguna notable excepci´on (Lee y Carter, 1992) que luego estudiaremos, en la adaptaci´on de los modelos construidos para el caso est´atico con el fin de que captar la evoluci´on de la mortalidad a lo largo del tiempo del calendario. Se trata de modelos propuestos por autores cl´asicos que dieron buenos resultados para datos de finales del siglo XIX y principios del siglo XX, el de Gompertz-Makeham ser´ıa un ejemplo o el de Heligman y Pollard (1980) que surge ante la dificultad que aqu´el muestra a la hora de recoger la evoluci´on de la mortalidad. Todos ellos se hallan recogidos y detalladamente descritos en Gerber (1997) y Benjamin y Pollard (1992). 2.2.1. Modelos estructurales Los modelos estructurales consideran que el tiempo del calendario afecta s´olo a los par´ametros. Consecuentemente con ello, se aplican a trav´es de los dos pasos siguientes: 1. ajustan el mismo modelo o ley a la medida de mortalidad elegida para los distintos a˜ nos, obteniendo as´ı una secuencia temporal de par´ametros estimados, y a continuaci´on 2. analizan la serie temporal resultante para cada par´ametro. Las series temporales ajustadas se utilizan para obtener estimaciones futuras de los par´ametros, que sustituidas en la ley de mortalidad nos permite realizar predicciones de la medida de mortalidad elegida. Un modelo de estas caracter´ısticas es el modelo logit propuesto por Brass (1969), cuya descripci´on y aplicaci´on puede 24 Cap´ıtulo 2. Revisi´on de los modelos din´amicos para la graduaci´on de la mortalidad encontrarse en Benjamin y Soliman (1993). Se trata de un modelo emp´ırico (Felipe y Guill´en, 1999) del que nos ocuparemos. S´ı lo haremos de propuestas m´as depuradas como las que siguen. Modelo de Heligman y Pollard Las leyes de Heligman y Pollard (1980) han sido ampliamente utilizadas por diferentes pa´ıses de nuestro entorno europeo (Inglaterra, Suecia, Alemania y Espa˜ na) y por otros pa´ıses desarrollados (Estados Unidos de Am´erica y Australia), desde que la ONU promovi´o el ajuste de la mortalidad a trav´es de la primera de estas leyes. Los autores, inspir´andose en Thiele (1972), ajustan una nueva ley de mortalidad en la Australia de la posguerra, cuya expresi´on gen´erica es n X
qx Ai exp −Bi (fi (x) − Ci )Di , = 1 − qx i=1 donde Ai , Bi , Ci , Di , i = 1, 2, . . . , n, son los par´ametros a estimar, y donde para fi (x) suele utilizarse x o ln(x). Normalmente con n = 3 se obtienen buenos ajustes. Las tres expresiones que realmente se ajustaron a la mortalidad australiana fueron Primera ley de Heligman y Pollard • Versi´on 1 qx C = A(x+B) + D exp(−E(ln x − ln F )2 ) + GH (x−x0 ) , 1 − qx o su equivalente, • Versi´on 2 (x+B)C qx = A GH x + D exp(−E(ln x − ln F ) ) + . 1 + GH x 2 Segunda ley de Heligman y Pollard C qx = A(x+B) + D exp(−E(ln x − ln F )2 ) + GH x . 1 + KGH x Tercera ley de Heligman y Pollard k (x+B)C qx = A GH x . + D exp(−E(ln x − ln F ) ) + 1 + GH xk 2 (2.1) 2.2 Modelos param´etricos 25 -2 0 Cada uno de los tres t´erminos de la ecuaci´on b´asica representa una componente distinta de la mortalidad, el primer t´ermino la mortalidad infantil, el segundo la joroba de los accidentes y el tercero la mortalidad natural causada por senectud (Heligman y Pollard, 1980). El gr´afico de la Figura 2.1 muestra esta descomposici´on. El n´ umero de par´ametros puede parecer excesivo, pero como se se˜ nala en la p´agina 8 al introducir por primera vez la ley de Heligman y Pollard, todos ellos est´an asociados a un aspecto concreto de la mortalidad. A representa la ratio de mortalidad infantil; B representa la probabilidad de muerte para un ni˜ no de un a˜ no de edad; C est´a relacionado con la adaptaci´on de los individuos a su entorno. Los tres toman valores en el intervalo (0,1). D, E y F se refieren a la joroba de los accidentes, D indica la severidad de la joroba y toma valores en (0,1), E con valores elevados, entre (0,∞), indica la concentraci´on de la joroba y F de indica la edad de localizaci´on del m´aximo de la joroba y toma valores de 15 en adelante. Finalmente, G indica el nivel base de la mortalidad senil, y H es la tasa de crecimiento de dicha mortalidad senil y sus valores var´ıan en (0,1) y (0,∞), respectivamente. -12 -10 -8 log(qx) -6 -4 Infantil Adult Senil 0 20 40 60 80 edat Figura 2.1: Descomposici´on de la Ley de Heligman y Pollard Los par´ametros se estiman para cada uno de los a˜ nos mediante m´ınimos cuadrados ponderados no lineales para todo el rango de edades, X ωx (qx − F (x))2 , x donde ωx−1 es proporcional a la varianza de la observaci´on a la edad x, F (x) es la ley de Heligman y Pollard elegida para el ajuste, habitualmente la segunda (2.1), 26 Cap´ıtulo 2. Revisi´on de los modelos din´amicos para la graduaci´on de la mortalidad y qx son las probabilidades de muerte observadas. La necesidad de introducir pesos en el ajuste es debida a la desigualdad de varianzas, puesto que siendo Binomial el qx (1 − qx ) . De aqu´ı que los pesos propuestos sean 1/qx modelo elegido var(qx ) = Ex o alguna potencia suya, como por ejemplo hacen Felipe y Guill´en (1999); Felipe, Guill´en y P´erez-Mar´ın (2002) y ya hicieron Heligman y Pollard. El u ´ltimo paso para la predicci´on es ajustar una serie temporal para cada una de las series de los par´ametros que el ajuste para los distintos a˜ nos proporciona. La utilizaci´on que del modelo de Heligman y Pollard se hace en Mcnown y Rogers (1989) ha sido adaptada al modelo espa˜ nol por Felipe y Guill´en (1999) y Felipe, Guill´en y P´erez-Mar´ın (2002) que emplean en dicha adaptaci´on s´olo la segunda ley. En la aplicaci´on de este modelo a datos de la Comunidad Valenciana, Deb´on, Montes y Sala (2006a) han encontrado algunos problemas achacables a la sobreparametrizaci´on a la que antes se alud´ıa y a la ausencia de joroba de los accidentes entre las mujeres. Los detalles y la soluci´on aplicada pueden consultarse en el art´ıculo citado. El problema de la sobreparametrizaci´on puede surgir en este tipo de modelos con mayor frecuencia de la deseada. Su presencia puede afectar a la estabilidad de los par´ametros a lo largo del tiempo (Congdon, 1993), y suponer una limitaci´on del modelo para las potenciales proyecciones (Booth, Maindonald y Smith, 2002). A se˜ nalar, por ultimo, que los m´etodos cl´asicos de ajuste presentan en ocasiones problemas num´ericos, para evitarlos Dellaportas, Smith y Stavropoulos (2001) propone una aproximaci´on Bayesiana para las leyes de Heligman y Pollard utilizando m´etodos MCMC. Modelo de Lee-Carter A diferencia del modelo de Heligman y Pollard, el modelo de Lee-Carter fue desarrollado exclusivamente para la graduaci´on de tablas din´amicas. Ha disfrutado, desde su publicaci´on (Lee y Carter, 1992), de gran aceptaci´on en el mundo actuarial por su sencillez y por la bondad de sus resultados. El modelo consiste en expresar la medida de mortalidad elegida como una funci´on exponencial que depende de la edad y del tiempo. En concreto, mxt = exp(ax + bx kt + ǫxt ), (2.2) ln(mxt ) = ax + bx kt + ǫxt . (2.3) o de forma equivalente Respecto de los par´ametros cabe decir que, 1. la sucesi´on de valores ax describe el perfil general del esquema de mortalidad a lo largo de la edad, 2.2 Modelos param´etricos 27 2. la sucesi´on bx  nos informa de c´o mo responde la medida de mortalidad a los dkt d ln mxt , = bx cambios en kt dt dt 3. los valores kt representan la tendencia de la mortalidad a lo largo del periodo t Los errores ǫxt , con media cero y varianza σǫ2 , reflejan influencias hist´oricas que no son capturadas por el modelo. Las expresiones (2.2) y (2.3) son en realidad versiones reducidas del modelo de Lee-Carter. Su forma m´as general, aplicada a las probabilidades de muerte qxt , es ln(qxt ) = ax + r X bix kti + ǫxt , (2.4) i=1 donde r es el rango de la matriz ln(qxt ) − ax . Algunos autores, v´ease Deb´on, Montes y Puig (2008), prefieren modelizar el logit(qxt ) en lugar de su neperiano, logit(qxt ) = ln  qxt 1 − qxt  = ax + r X bix kti + ǫxt . (2.5) i=1 Existe una doble raz´on para este cambio, la primera la proporciona el propio Lee (2000) cuando advierte que (2.3) puede conducir a estimaciones de qxt que superen el valor 1, este problema puede evitarse modelizando su logit. La segunda, como indican Booth, Maindonald y Smith (2002) y Renshaw y Haberman (2003b), es que la interacci´on entre la edad y el tiempo puede ser capturada mejor agregando t´erminos a (2.2) o (2.3). La estructura del modelo es invariante bajo cualquiera de las siguientes transformaciones de los par´ametros, (ax , bx /c, ckt ) o (ax + cbx , bx , kt − c), ∀c, por lo que los X X i par´ametros han de ser normalizados, bx = 1 y kti = 0, para que el modelo tenx t ga una u ´nica soluci´on. El modelo no puede ser ajustado por las t´ecnicas habituales de regresi´on puesto que los valores del ´ındice kt no son observables. La estimaci´on de los par´ametros en (2.5) se puede llevar  mediante la descomposici´on en  a cabo qxt ˆx (Lee y Carter, 1992), modevalores singulares (SVD) de la matriz ln 1−qxt − a los lineales generalizados (GLM) condicionales (Currie et al., 2004) o el m´etodo de m´axima verosimilitud, tal como proponen Brouhns, Denuit y Vermunt (2002). Es este caso es de gran ayuda el paquete gnm, de reciente creaci´on en el c´odigo R (R Development Core Team, 2005), desarrollado por Turner y Firth (2006). Detalles sobre la estimaci´on de los par´ametros seg´ un estos tres m´etodos pueden encontrarse en Deb´on, Montes y Puig (2008). 28 Cap´ıtulo 2. Revisi´on de los modelos din´amicos para la graduaci´on de la mortalidad El u ´ltimo paso del m´etodo de Lee-Carter consiste en ajustar una serie temporal a los valores de los ´ındices de mortalidad, {kˆt }. En muchas de las aplicaciones se obtiene un buen resultado con el modelo kˆt = p + kˆt−1 + ut , con p constante y ut un ruido blanco. La predicci´on para los a˜ nos tn +s, s = 1, 2, . . . , posteriores al u ´ltimo tn , se realiza sustituyendo en el modelo de Lee-Carter la predicci´on kˆtn +s obtenida a partir de la serie temporal ajustada,   qˆx,tn +s = ax + ˆbx kˆtn +s , s > 0. ln 1 − qˆx,tn +s Un m´etodo alternativo de predicci´on es el propuesto en Lee (2000) y Renshaw y Haberman (2003b) haciendo uso de los u ´ltimos datos como punto de partida. Sugieren obtener los ratios de mortalidad proyectados aline´andolos con los u ´ltimos ratios brutos de mortalidad estimados mediante la expresi´on (Renshaw y Haberman, 2006),     qˆx,tn +s q˙xtn ln = ln + ˆbx (kˆtn +s − kˆtn ), s > 0. 1 − qˆx,tn +s 1 − q˙xtn Algunos autores han aportado sugerencias y modificaciones al m´etodo. Entre ellos Carter y Lee (1992), Wilmoth (1993), el propio Lee (2000) en un art´ıculo en el que compara su m´etodo con otras alternativas como la de McNown y Rogers (1989, 1992), Booth, Maindonald y Smith (2002) y Li y Lee (2005) que proponen modificaciones al m´etodo de Lee-Carter con el fin de poder predecir la mortalidad para pa´ıses que forman parte de un grupo, en lugar de considerarlos individualmente. M´as recientemente, Czado, Delwarde y Denuit (2005) y Pedroza (2006) introducen una estimaci´on Bayesiana de los par´ametros, esta u ´ltima mediante modelos statespace. La principal cr´ıtica al modelo de Lee-Carter es que los par´ametros ax y bx dependen s´olo de la edad y que la predicci´on de futuros valores de la mortalidad se basa s´olo en kt , lo que supone admitir que no existe interacci´on entre la edad y el tiempo. Sus ventajas son, entre otras, la f´acil interpretaci´on de sus par´ametros y su parsimonia (Lee, 2000; Booth, Maindonald y Smith, 2002). El modelo goza actualmente de mucha popularidad debido a sus buenos resultados y a su simplicidad, por lo que hay una amplia literatura de su tratamiento y mejora. Modelo edad-periodo-cohorte (APC) Tabeau, van den Berg Jeths y Heathcote (Eds) (2001) describen en su libro los modelos de graduaci´on y predicci´on recientemente desarrollados y concluyen con la 2.2 Modelos param´etricos 29 necesidad de integrar t´ecnicas de distintas disciplinas con el objetivo de conseguir predicciones satisfactorias. En uno de sus documentos de trabajo (CMI, 2004) el CMI Bureau aconseja adoptar por parte de los actuarios los modelos edad-periodocohorte (en adelante APC), insistiendo en ello en un documento posterior (CMI, 2007) en el que se analiza detenidamente el modelo de Lee-Carter. Los modelos APC han mostrado buenos resultados en el campo de la epidemiolog´ıa (Clayton y Schifflers, 1987a,b; Holford, 1983) y constituyen una evoluci´on natural de los modelos din´amicos al incorporar el efecto del a˜ no de nacimiento (cohorte), y la extensi´on natural de los modelos edad-periodo, AP, y edad-cohorte, AC. La edad, el periodo y la cohorte est´an ligados por la relaci´on1 a = p − c. Esta relaci´on implica que el n´ umero total de par´ametros del modelo APC es 1 + (A − 1) + (P − 1) + (C − 2), una unidad inferior al que cabr´ıa esperar. La exacta dependencia lineal entre los tres factores que la relaci´on supone es el mayor problema que se plantea en los modelos APC. Hay diferentes soluciones a dicho problema, la que propone Holford (1983) consiste en ajustar primero el modelo con cualquier parametrizaci´on de los efectos, y llevar luego a cabo una regresi´on de cada conjunto de estimaciones sobre su correspondiente factor. Veamos como proceder. Si se ajusta un modelo con un cierto conjunto de par´ametros logit[q(a, p)] = αa + βp + γc , (2.6) la ecuaci´on es equivalente si se a˜ nade a cada par´ametro cualquier valor, µa , µp y µc de forma que µa + µp + µc = 0. Dada la relaci´on existente entre a, p y c, para cualquier constante δ se verifica δ(a − p + c) = 0. Incorporando ambas igualdades a (2.6) se obtiene logit[q(a, p)] = αa − µp − µc + δa + βp + µp − δp + γc + µc + δc (2.7) Esta expresi´on sugiere una descomposici´on de los efectos en una parte lineal y otra no lineal. De acuerdo con Holford (1983) se efectua una regresi´on de las estimaciones de cada efecto sobre su factor para, una vez sustituidas en (2.6) las regresiones calculadas, obtener una nueva expresi´on semejante a (2.7), logit[q(a, p)] = α ˜a + µ ˆa + δˆa a + β˜p + µ ˆp + δˆp p + γ˜c + µ ˆc + δˆc c. (2.8) Todas las pendientes deben ser iguales y estimar la pendiente te´orica com´ un δ. Este problema puede resolverse haciendo alguna hip´otesis sobre la importancia relativa 1 Observar´ a el lector un cambio en la notaci´on hasta ahora utilizada, x y t han sido reemplazadas por a y p. Hemos querido con ello seguir la notaci´on habitual en la literatura de los modelos APC. 30 Cap´ıtulo 2. Revisi´on de los modelos din´amicos para la graduaci´on de la mortalidad de los efectos. Por ejemplo, si se considera a la edad como el efecto m´as importante y al periodo como el menos importante, se puede elegir una reparametrizaci´on basada en las siguientes hip´otesis: los efectos periodo deben tener media cero, los efectos cohorte deben ser un riesgo relativo a alguna cohorte central, y los efectos edad deben representar las probabilidades de muerte para cada edad en la cohorte central de referencia, previa correcci´on de los efectos periodo para que tengan media cero. Comenzando por el primer punto, a partir de la ecuaci´on (2.8) se puede utilizar como efecto periodo, g(p) = β˜p = βp − µ ˆp − δˆp p, precisamente porque los residuos tiene de media cero. Al sustituir en (2.8) logit[q(a, p)] = α ˜a + µ ˆa + δˆa a + g(p) + µ ˆp + δˆp p + γ˜c + µ ˆc + δˆc c = αa + g(p) + µ ˆp + δˆp p + γc , (2.9) sumando y restando la cohorte de referencia, c0 , y su efecto, γc0 , y teniendo en cuenta que p = c + a, tendremos logit[q(a, p)] = [αa + µ ˆp + δˆp (a + c0 ) + γc0 ] + g(p) + [γc − γc0 + δˆp (c − c0 )] = f (a) + g(p) + h(c), (2.10) donde h(c) = γc − γc0 + δˆp (c − c0 ), representa el efecto de la cohorte, que vale cero para c0 y tiene la pendiente correcta, y f (a) = αa + µ ˆp + δˆp (a + c0 ) + γc0 , representa el efecto de la edad. Otra soluci´on al problema de la identificabilidad es la que propone el m´etodo secuencial. Supone ajustar primero el modelo AC y, a continuaci´on, ajustar a los residuos un modelo que depende u ´nicamente del periodo. A diferencia de la propuesta de Holford (1983), este m´etodo secuencial permite construir intervalos de confianza para los efectos estimados. Detalles acerca de ambos m´etodos pueden encontrarse en Carstensen y Keiding (2005). La predicci´on de los ratios de mortalidad m´as all´a de los a˜ nos ajustados puede llevarse acabo de diferentes formas. La forma m´as simple y robusta (Carstensen y Keiding, 2005; Osmond, 1992) es predecir a trav´es de una regresi´on lineal ajustada a las u ´ltimas estimaciones de los efectos correspondientes al periodo y la cohorte, la 2.2 Modelos param´etricos 31 extrapolaci´on de la edad es innecesaria pues no se desea ampliar el rango de edad. El n´ umero de estimaciones y el tipo de regresi´on son las u ´nicas decisiones a tomar. Un punto d´ebil de los modelos APC presentados en la expresi´on (2.6) es que asumen efectos independientes para la edad y el periodo, algunos autores (Pitacco y Olivieri, 2005) opinan, sin embargo, que el impacto de la mejoras en la mortalidad a lo largo del tiempo pueden ser variables con la edad. Modelo de Lee-Carter con efecto cohorte En uno de sus u ´ltimos documentos de trabajo (CMI, 2007), el CMI Bureau aconseja el uso del modelo Lee-Carter con efecto cohorte a˜ nadido (Lee-Carter APC), propuesto por Renshaw y Haberman (2006), para la graduaci´on de tablas din´amicas. Dicho modelo, aplicado a los logit de la probabilidades de muerte a la edad x en el a˜ no t, se expresa   qxt = ax + b1x kt + b2x ιc + ǫxt , (2.11) ln 1 − qxt P P con las restricciones x b1x = 1, x b2x = 1 y ιt1 −xk = 0 (o kt1 = 0). El sub´ındice c en (2.11) hace referencia a la cohorte. El significado de los coeficientes en (2.11) es el que ya dimos en la p´agina 26, con la salvedad que supone la inclusi´on de dos nuevos conjuntos de par´ametros, b2x y ιc , cuyos significados respecto de la cohorte c son an´alogos a los b1x y kt respecto del periodo t. El ajuste del modelo presenta dificultades debido a la relaci´on existente entre los tres factores, a = p − c, por ello Renshaw y Haberman (2006) proponen llevar a cabo la estimaci´on de forma secuencial, en un primer paso se ajusta ax seg´ un el modelo original de Lee-Carter mediante el m´etodo SV D, X  qxt  ln 1 − qxt t , a ˆx = T los restantes par´ametros se ajustan en un segundo paso utilizando el algoritmo que describen en su trabajo basado en un GLM con distribuci´on Poisson para las muertes, fijando los valores de a ˆx mediante un t´ermino offset, y que en el caso de la ecuaci´on 2.11 puede modificarse a un GLM con distribuci´on Binomial. Las futuras predicciones con el nuevo modelo requieren la modelizaci´on de las series temporales kt y ιc . 2.2.2. Modelos no estructurales Los modelos no estructurales incluyen expl´ıcitamente el tiempo en la expresi´on de su funci´on de mortalidad. Algunos de ellos, como ya ocurr´ıa en el caso de los 32 Cap´ıtulo 2. Revisi´on de los modelos din´amicos para la graduaci´on de la mortalidad modelos estructurales, son adaptaciones de modelos originalmente pensados para la graduaci´on de tablas est´aticas. Funciones Gompertz-Makeham con respecto a la edad y el tiempo Las funciones originales de Gompertz-Makeham de tipo (r,s) son funciones con r + s par´ametros, dependientes de la edad x, que tienen por expresi´on ! r r+s X X αi xj−r−1 , αi xi−1 + exp GMαr,s (x) = i=1 j=r+1 en las que se conviene que si r = 0 s´olo poseen parte exponencial y si s = 0 s´olo est´a presente el t´ermino polin´omico. Derivadas de las anteriores podemos considerar los Logit Gompertz-Makeham de tipo (r,s) (LGM(r,s)) cuya la expresi´on es LGMαr,s (x) = GMαr,s (x) . 1 + GMαr,s (x) Estas funciones han sido adaptadas por Renshaw, Haberman y Hatzopoulos (1996) al caso din´amico, mediante la inclusi´on del tiempo como variable. El modelo propuesto para el logit de qxt es, ln  qxt 1 − qxt  = β0 + s X j=1 ′ βj Lj (x ) + r X i=1 ′i αi t + s r X X ′ γij Lj (x′ )t i , (2.12) i=1 j=1 sujeto a la convenci´on que algunos de los t´erminos γij pueden ser cero. En (2.12) x′ y t′ son transformaciones de la edad y el tiempo, respectivamente, de forma que sus valores est´en dentro de intervalo [−1, 1] y Lj (x′ ) son los polinomios de Legendre generados por Ln+1 (x) = xLn (x) − nLn−1 (x), donde n ≥ 1, L0 (x) = 1 y L1 (x) = x. Reescribiendo la ecuaci´on(2.12) de la forma " # " r ! # s s X X X qxt ′ = exp β0 + βj Lj (x′ ) exp αi + γij Lj (x′ ) t i , (2.13) 1 − qxt j=1 i=1 j=1 el primer t´ermino de esta expresi´on puede interpretarse como una funci´on GompertzMakeham LGM (0, s + 1) correspondiente a la graduaci´on en funci´on de la edad. El segundo t´ermino puede ser interpretado como t´ermino de ajuste del efecto del a˜ no del calendario, de forma que cuando al menos uno de los γij es no nulo la edad tambi´en est´a presente en este t´ermino e interacciona con el tiempo. Un ejemplo de esta interacci´on se produce con el incremento de muertes de hombres adultos y j´ovenes debido al SIDA. 2.2 Modelos param´etricos 33 Bajo la hip´otesis que Dxt , n´ umero de muertes a edad x en el a˜ no t, sigue una distribuci´on Binomial, Dxt ∼ Bi(Ext , qxt ), con valores observados dxt , la forma de proceder para determinar los par´ametros αi , βj y γij , es considerar el esquema de modelo lineal generalizado (GLM ) con familia Binomial y link logit. Para ello, 1. los valores elegidos para r y s son aquellos m´aximos a partir de los cuales los incrementos de la Deviance no resultan estad´ısticamente significativos, a continuaci´on, 2. los coeficientes γij se eligen de forma que el incremento de la Deviance resulte significativo, 3. paralelamente, se determinan los errores est´andar de la estimaciones de los par´ametros y su significaci´on mediante la prueba usual t-Student. Sithole, Haberman y Verrall (2000) aplican este modelo, pero el objetivo principal de su trabajo no s´olo es encontrar un modelo que proporcione un buen ajuste de los datos, sino que se comporte adecuadamente con las proyecciones. Consideran adecuado el modelo para realizar proyecciones si todas las medidas de mortalidad predichas progresan suavemente con respecto a la edad y el tiempo, y se observa una reducci´on en los tantos de mejora en la mortalidad a edades muy avanzadas. En definitiva, se trata de alcanzar un equilibrio entre el ajuste y la predicci´on. Como se˜ nalan Wong-Fupuy y Haberman (2004), las dos principales conclusiones a extraer de del trabajo anterior son: 1. los valores ´optimos de r y s para el ajuste no generan tendencias plausibles para las proyecciones, lo que obliga a rebajar los ´ordenes de los polinomios sacrificando la bondad de ajuste, 2. para todos los conjuntos de datos analizados los resultados m´as satisfactorios se obtuvieron con r = 1 y s = 3 y con una interacci´on de orden 1. Existe tambi´en una versi´on estructural para las funciones Gompertz-Makeham que consiste en ajustar el modelo para cada a˜ no y despu´es predecir a partir de las series temporales ajustadas para los par´ametros, esta versi´on puede consultarse en Sithole (2004). Tambi´en existe una versi´on bayesiana de dicha funci´on cuyos detalles pueden encontrarse en Khalaf-Allah y Haberman (2006). Modelos basados en factores de reducci´ on de la mortalidad Los factores de mejora de la mortalidad, RF (x, t) son valores que permiten proyectar las tablas de mortalidad a lo largo del tiempo al tener en cuenta los cambios que la medida de mortalidad considerada ha sufrido en el transcurrir de los a˜ nos. El procedimiento se lleva a cabo en dos pasos. 34 Cap´ıtulo 2. Revisi´on de los modelos din´amicos para la graduaci´on de la mortalidad 1. Los datos de un determinado periodo son graduados mediante alguno de los modelos dise˜ nados para tablas est´aticas con el fin de obtener una tablas base, la pr´actica habitual es graduar seg´ un los procedimientos expuestos en Forfar, McCutcheon y Wilkie (1988) y Renshaw (1991). 2. A continuaci´on se construyen las tablas de mortalidad proyectadas aplicando para ello los factores de reducci´on, RF (x, t), para un individuo que ha alcanzado la edad x en el tiempo t, estando t medido en a˜ nos a partir de un origen apropiado, t = 0, situado en el centro del periodo base. La probabilidad de mortalidad proyectada al tiempo t viene dada por qxt = qx0 RF (x, t), (2.14) donde qx0 es el tanto de mortalidad de la tabla base correspondiente a la edad x. Los factores de reducci´on en (2.14) est´an sujetos a las restricciones RF (x, 0) = 1 ∀x ≥ 0, 0 < RF (x, t) ≤ 1 ∀x ≥ 0, ∀t ≥ 0. Los modelos utilizados para representar el comportamiento de los factores de reducci´on, que permiten tambi´en su estimaci´on y predicci´on para a˜ nos futuros, han sido recopilados en varios trabajos, entre ellos la Secci´on 4 del Informe 10 del CMI Bureau Bureau (1990) que contiene una descripci´on completa de este m´etodo. Posteriormente el CMI Bureau ha propuesto un nuevo modelo para la proyecci´on de la mortalidad para pensionistas y anualidades (Informe 17, 1999) con tablas de mortalidad basadas en experiencias del periodo 1991-1994. Sithole, Haberman y Verrall (2000) asimilan el segundo factor del segundo t´ermino de la ecuaci´on (2.13) a un factor de reducci´on, RFGLM (x, t), y lo comparan con los RFCM I (x, t), obtenidos mediante el m´etodo habitual del CMI Bureau, para analizar la consistencia de ambos tipos de factores. Los trabajos de Renshaw y Haberman (2003a,b,c) proponen m´etodos alternativos para la estimaci´on de los factores de reducci´on. El primero utiliza el GLM con un modelo binomial y link logit para ajustar a qxt el predictor, ηxt = g(qx0 ) + βx t, (2.15)  qx0 se calcula aplicando el link a los valores graduados donde g(qx0 ) = log 1 − qx0 del periodo base. En los otros dos trabajos se adapta la metodolog´ıa de Lee-Carter a la construcci´on de los factores de reducci´on de la siguiente forma,   qxt log = ax + log(RF (x, t)) 1 − qxt = ax + bx kt . (2.16)  2.3 Modelos no param´etricos 35 En una de sus u ´ltimas aportaciones, los mismos autores (Renshaw y Haberman, 2006) utilizan el modelo de Lee-Carter para estudiar la posibilidad para extender los modelos basados en factores de reducci´on a la modelizaci´on y proyecci´on de efectos hist´oricos de la edad, el periodo y la cohorte. Lo hacen con un modelo de la forma,   qxt = ax + log(RF (x, t)) log 1 − qxt = ax + b1x kt + b2x ιc + ǫxt . (2.17) Los principales problemas de los modelos basados en factores de reducci´on de la mortalidad son dos. 1. Para aquellas edades en las los valores de la graduaci´on del periodo base difieren de los valores brutos porque la funci´on no ajusta adecuadamente, los factores de mejora, que necesariamente han de pasar por los graduados, no representan bien la tendencia y se alejan claramente de los valores brutos. 2. Cuando la tendencia var´ıa de un a˜ no a otro de forma no lineal, por ejemplo primero crece y luego decrece, el factor de mejora tampoco ser´a adecuado pues se ajustar´a a la tendencia predominante o mostrar´a una estabilidad inexistente. En Deb´on, Montes y Sala (2006a) se muestran gr´aficamente estos dos problemas al aplicar los factores de reducci´on a datos de mortalidad de la Comunidad Valenciana. 2.3. Modelos no param´ etricos La representaci´on de datos de mortalidad mediante modelos no param´etricos ha atra´ıdo la atenci´on de actuarios, dem´ografos y estad´ısticos a lo largo del pasado siglo XX. La diferencia fundamental con los modelos param´etricos es que no necesitan suponer una funci´on dependiente de la edad, lo cual supone una ventaja cuando no se tiene informaci´on del modelo subyacente Entre los m´etodos no param´etricos de graduaci´on ocupan un lugar importante las t´ecnicas de smoothing, que suavizan las probabilidades brutas obtenidas directamente de los datos. Una revisi´on de los m´etodos de smoothing aplicados a tablas de mortalidad puede encontrarse en Wang, M¨ uller y Capra (1998) y Wang (2005). En Nielsen (2003) se revisan art´ıculos sobre smoothing y predicci´on, la mayor´ıa de ellos con consideraciones te´oricas, y se discuten aplicaciones a la ciencia actuarial, a la bioestad´ıstica y a las finanzas. Los trabajos de Felipe, Guillen y Nielsen (2001) y Fledelius et al. (2004) aplican m´etodos no param´etricos a la graduaci´on de tablas din´amicas usando un kernel bivariante. Algunos autores, (Guillen, Nielsen y P´erez-Mar´ın, 2006) han utilizado los m´etodos no param´etricos, en concreto un kernel bivariante, como una t´ecnica de an´alisis 36 Cap´ıtulo 2. Revisi´on de los modelos din´amicos para la graduaci´on de la mortalidad exploratorio de los datos previa a su graduaci´on mediante cualquier ley de mortalidad. No obstante, tanto la graduaci´on como la predicci´on de las tablas din´amicas puede llevarse a cabo con diferentes m´etodos no param´etricos. A continuaci´on describimos dos de ellos, el primero basado en una t´ecnica de suavizado mediante splines penalizados (p-splines) y el segundo en un algoritmo de suavizado de las medianas. 2.3.1. Suavizado con p-splines La breve descripci´on que aqu´ı realizamos del m´etodo por p-splines puede consultarse en Richards et al. (2007), qui´enes lo utilizan para ajustar el modelo edadcohorte y edad-periodo y analizar la importancia del efecto cohorte frente al efecto periodo en diferentes pa´ıses. En un modelo de p-splines se asume que Dxt , n´ umero de muertes a edad x en el c c a˜ no t, sigue una distribuci´on Poisson, Dxt ∼ P o(Ext µxt ), donde Ext son los expuestos centrales al riesgo y µxt es la fuerza de mortalidad. El sub´ındice t puede denotar tanto el a˜ no de muerte como el a˜ no de nacimiento, seg´ un que se considere un modelo edad-periodo o un modelo edad-cohorte, respectivamente. El modelo es log µxt = K X Bk (xt)θk k=1 siendo θk los coeficientes de regresi´on a estimar y Bk (t) los splines pertenecientes a una base de splines c´ ubicos. Se trata de un GLM que puede ajustarse con cualquier software standard (R Development Core Team, 2005) mediante m´axima verosimilitud. Para evitar que el ajuste sea demasiado flexible se introduce una penalizaci´on, P (θ), que se incorpora a la funci´on de log-verosimilitud L(θ) dando lugar a la funci´on de veromilitud penalizada, 1 P L(θ) = L(θ) − λP (θ). 2 El par´ametro λ es la constante de suavizaci´on y juega el mismo papel que el bandwidth en la suavizaci´on kernel. En Currie, Durban y Eilers (2004), donde originalmente se proponen los p-splines para suavizar la mortalidad, se utiliza el criterio de informaci´on Bayesiano (BIC) para la elecci´on de λ. Otras posibilidades son el criterio de informaci´on de Akaike (AIC ) y la validaci´on cruzada generalizada (GVC), pero hay evidencia que AIC y GVC tienden a suavizar poco los datos. BIC penaliza la complejidad del modelo de forma m´as acusada que el criterio de informaci´on de Akaike (AIC) particularmente cuando el n´ umero de datos es elevado. El efecto de la penalizaci´on puede observarse en la Figura 2.2, tomada de Richards et al. (2007). La ausencia de ´esta produce un linea de regresi´on poco suave (izquierda) que se suaviza al penalizar la curvatura (derecha). 2.3 Modelos no param´etricos 37 Figura 2.2: Regresi´on con B-splines (izquierda) y con p-splines (derecha) 2.3.2. Algoritmo Median-polish La tabla de mortalidad din´amica puede ser considerada como un conjunto de datos sobre una rejilla igualmente espaciada en la direcci´on vertical (edad) y horizontal (a˜ no). En este contexto, la tendencia determinista de los ratios de mortalidad puede ser descompuesto en suma de tres efectos qxt = µ + rx + ct , (2.18) un efecto general, µ, un efecto fila debido a la edad, rx , y un efecto columna, ct , debido al a˜ no. El algoritmo de suavizaci´on de medianas, median-polish (Tukey, 1977), se usa para estimar el efecto general µ ˜, los efectos fila, r˜x , y los efectos columna, c˜t . Las propiedades generales del ajuste mediante este algoritmo pueden consultarse en Cressie (1993), a destacar en todo caso que se trata de un m´etodo no param´etrico, poco sensible a los outliers y con menor sesgo del que produce la estimaci´on de los efectos mediante las medias. Para la predicci´on qˆxt de qxt , para un tiempo t m´as all´a del m´aximo del periodo observado, tn , se utiliza la expresi´on ctn − c˜tn −1 ), ∀x ∈ D, t > tn , qˆxt = µ ˜ + r˜x + c˜tn + (t − tn )(˜ (2.19) donde D es el rango de edades. Este algoritmo ha sido utilizado en Deb´on et al. (2008) para suavizar datos espa˜ noles, dando mejores resultados en la predicci´on a corto plazo que el modelo de Lee-Carter con uno y dos t´erminos. El algoritmo puede ejecutarse con la funci´on medpolish que forma parte del paquete stats del software R (R Development Core Team, 2005). 38 Cap´ıtulo 2. Revisi´on de los modelos din´amicos para la graduaci´on de la mortalidad 2.4. 2.4.1. ´ Ultimas propuestas para la graduaci´ on de tablas din´ amicas Modelizaci´ on de los residuos Los m´etodos de graduaci´on expuestos hasta ahora, particularmente los param´etricos, adolecen de un defecto com´ un a todos ellos, no estudian la estructura de los residuos en coherencia con la hip´otesis inicial de independencia de las observaciones que todos ellos asumen. Esta es una hip´otesis dif´ıcil de mantener cuando se lleva a cabo una representaci´on gr´afica de los residuos como en la Figura 2.3, que muestra una gr´afica de los residuos obtenidos para un ajuste din´amico de datos de mortalidad espa˜ noles mediante un modelo de Lee-Carter (Deb´on et al., 2008), junto con la gr´afica de residuos normales independientes con igual media y varianza. La gr´afica de los residuos de Lee-Carter muestran un estructura dif´ıcilmente compatible con la hip´otesis de independencia, que entre otras cosas pone de manifiesto la existencia de un efecto cohorte (diagonales con valores similares), lo que a su vez implica, de forma m´as general, la existencia de una estructura de dependencia entre los residuos. Este fen´omeno ha llevado a algunos autores (Booth, Maindonald y Smith, 2002; Renshaw y Haberman, 2003b) a plantearse la necesidad de estudiarla y modelizarla. 80 residuos normales 80 residuos 0.0 40 −0.4 20 −0.4 0 40 −0.2 0 −0.2 20 edad 0.0 edad 0.2 60 60 0.2 1980 1985 1990 año 1995 1980 1985 1990 1995 año Figura 2.3: Residuos para un ajuste de Lee-Carter (izquierda) y residuos independientes (derecha) La soluci´on al problema ha abierto la posibilidad de introducir nuevos modelos. En Deb´on et al. (2008) se estudia la soluci´on que la Geoestad´ıstica puede aportar al problema, en la medida que las t´ecnicas geoestad´ısticas fueron concebidas para modelizar estructuras de dependencia espacial o espacio-temporal entre las observaciones (Matheron, 1962, 1963, 1971; Huijbregts, 1978). Los resultados obtenidos para el ajuste y la predicci´on para a˜ nos futuros se han mostrado mejores que los obtenidos con un modelo de Lee-Carter con 1 y 2 t´erminos, este u ´ltimo sugerido por 2.5 La esperanza de vida residual 39 algunos autores (Booth, Maindonald y Smith, 2002; Renshaw y Haberman, 2003b) para mejor capturar la interacci´on entre la edad y el tiempo. 2.4.2. Modelos fr´ agiles (Frailty models) Una fuente de incertidumbre en el estudio y predicci´on de la mortalidad es la heterogeneidad de las poblaciones. De la influencia de la heterogeneidad en la modelizaci´on de la supervivencia y en problemas actuariales se tiene conciencia desde hace largo tiempo Pitacco (2004a). Ya en Gini (1924) se hace referencia a ella en relaci´on a los ratios de embarazo, y en Blumen, Kogan y McCarthy (1955) se estudia su efecto sobre la migraci´on. En Vaupel, Manton y Stallard (1979) los autores analizan dicha influencia sobre la mortalidad e introducen el concepto de frailty, representado como una variable no observable, y describen sus implicaciones para los m´etodos est´andar de tablas de mortalidad. En Butt y Haberman (2004) se consideran aspectos pr´acticos para seleccionar la familia de modelos fr´agiles aplicable a seguros basados en datos de mortalidad, as´ı como la posible interpretaci´on de dichos modelos. 2.4.3. Riesgo de la longevidad Un aspecto clave en el cambio reciente y la evoluci´on futura de la mortalidad es su comportamiento en edades avanzadas, 85 y m´as a˜ nos, (Tuljapurkar y Boe, 1998). Las principales dificultades a la hora de mejorar la modelizaci´on para este grupo de edad son las inexactitudes en los datos disponibles y la variabilidad debida a los valores peque˜ nos de los expuestos al riesgo para dichas edades, tal como se˜ nalan Wong-Fupuy y Haberman (2004) en un trabajo que recoge tambi´en las soluciones propuestas m´as interesantes. La tendencia de la mortalidad en las edades avanzadas introduce un riesgo importante para el asegurador que es conocido como riesgo de la longevidad, al que se presta especial atenci´on en Pitacco (2004b). En un trabajo de revisi´on m´as reciente, Pitacco y Olivieri (2006), los autores presentan una extensa introducci´on a algunos temas de gran inter´es concernientes al riesgo de la longevidad en el ´area de las anualidades vida. 2.5. La esperanza de vida residual La longevidad cada vez mayor de los habitantes de los pa´ıses m´as desarrollados hace necesario que las investigaciones en este campo presten especial atenci´on a la mortalidad en edades elevadas, por cuanto suponen un grave riesgo para el asegurador ante la eventualidad de no poder hacer frente al pago de las contraprestaciones, y tambi´en para el asegurado que puede ver en peligro el cobro de las mismas. 40 Cap´ıtulo 2. Revisi´on de los modelos din´amicos para la graduaci´on de la mortalidad Pero si una buena modelizaci´on de las medidas de mortalidad es importante, como las anteriores consideraciones ponen de manifiesto, existen otros indicadores relacionados con la mortalidad que podr´ıamos calificar de imprescindibles en el mundo actuarial. Un indicador ampliamente utilizado por los dem´ografos y actuarios es la esperanza de vida cuyo valor resume la evoluci´on de la mortalidad para los diferentes a˜ nos. Sus representantes m´as utilizados son la esperanza de vida al nacer e0t y la esperanza de vida residual a partir de los 65, e65t , valores que indican los a˜ nos que espera vivir una persona que en el a˜ no t tenga una edad de 0 y 65 a˜ nos, respectivamente. El inter´es de e65t reside en que los 65 a˜ nos es la edad m´as frecuente de jubilaci´on. Este indicador proporciona, adem´as, informaci´on sobre la capacidad de supervivencia de una sociedad y su incremento a lo largo de los a˜ nos supone, como ya se dijo anteriormente, una mejora de las condiciones de vida de una sociedad en todos los aspectos. El modelo de Lee-Carter est´a dise˜ nado para proyectar la esperanza de vida residual a diferentes edades. Para un a˜ no t, el hipot´etico n´ umero de personas vivas al principio de cada intervalo de edad [x, x + 1) est´a dado por la f´ormula iterativa l(x+1)t = lxt (1 − qxt ), con arbitrario valor l0 . Esto nos permite calcular el n´ umero de muertes dxt = lxt − l(x+1)t , y el correspondiente n´ umero de personas-a˜ nos Lxt = l(x+1)t + 1/2dxt . El futuro tiempo de vida residual total de Lxt personas que P han alcanzado la edad x es Txt = i≥x Lit . El futuro tiempo de vida residual para los individuos del grupo de edad x viene dado por ext = Txt . lxt Los indicadores demogr´aficos pueden obtenerse utilizando los ratios de mortalidad correspondientes a una edad x en un a˜ no t, o bien, recorriendo la diagonal correspondiente a su cohorte t − x, es lo que ha venido a denominarse indicadores periodo o cohorte respectivamente. En los trabajos de Denuit (2007) y Renshaw y Haberman (2008) se analizan los efectos de las predicciones de los ratios de mortalidad sobre la esperanza de vida. En el primero, se analiza la distribuci´on de dichos indicadores en el esquema de Lee-Carter y con modelo ARIMA(0,1,0) para la predicci´on de kt . En el segundo se revisan las t´ecnicas de simulaci´on para obtener intervalos de confianza y las recomienda frente a la anterior porque estas son mucho m´as vers´atiles. 2.6. Intervalos de confianza para la predicci´ on Todas las medidas de mortalidad y los indicadores a los que hemos aludido con anterioridad pueden calcularse a partir de las tablas de mortalidad ya graduadas, no 2.6 Intervalos de confianza para la predicci´on 41 obstante su valor num´erico no deja de ser aproximado y por ello es conveniente una valoraci´on de su error y la obtenci´on de un intervalo de confianza para la estimaci´on obtenida. Recientemente se ha sugerido en la literatura actuarial la utilizaci´on de m´etodos bootstrap que permiten tener en cuenta en la estimaci´on todas las fuentes de incertidumbre. Una recopilaci´on de dichos m´etodos puede consultarse en Renshaw y Haberman (2008). Los modelos de predicci´on habitualmente no utilizan medidas de sensibilidad e incertidumbre. Pedroza (2006), entre otros, argumenta que las medidas de incertidumbre en la predicci´on de la mortalidad son necesarias y puntualiza que deben llevarse a cabo mediante la construcci´on de intervalos de confianza para las estimaciones obtenidas. Un intento de subsanar esta deficiencia consiste en obtener intervalos de confianza para las probabilidades de muerte proyectadas con el modelo de Lee-Carter y para la correspondiente esperanza de vida residual e65t , utilizando en ambos casos t´ecnicas bootstrap. En su articulo original, Lee y Carter obtienen intervalos de confianza para la esperanza de vida teniendo en cuenta s´olo el error en la predicci´on del ´ındice de mortalidad kt obtenido a partir del modelo ARIM A ajustado a su serie temporal, obviando otras fuentes de error, como por ejemplo la que introducen las estimaciones de los otros par´ametros del modelo. Una forma de combinar estas dos fuentes de incertidumbre es utilizar procedimientos de bootstrap como se hace en Brouhns, Denuit y Keilegom (2005) y Koissi, Shapiro y H¨ogn¨as (2006). En el primer trabajo los autores utilizan bootstrap param´etrico, mientras que en el segundo se utiliza el no param´etrico. En el caso espa˜ nol esta metodolog´ıa ha sido utilizada por Deb´on, Montes y Puig (2008), obteniendo intervalos de confianza para las predicciones proporcionadas por el modelo de Lee-Carter con uno y dos t´erminos. Se obtuvieron dos tipos de intervalos, resultado de aplicar bootstrap param´etrico y no param´etrico. En ambos casos se utiliza la distribuci´on binomial, a diferencia de los trabajos de Brouhns, Denuit y Keilegom (2005) y Koissi, Shapiro y H¨ogn¨as (2006) que utilizan la distribuci´on de Poisson. Adem´as, en el caso de bootstrap no param´etrico se muestrea sobre los residuos dados en la expresi´on (2.20) y no sobre los deviance, como hacen Koissi, Shapiro y H¨ogn¨as (2006). El procedimiento utilizado para el caso param´etrico es el siguiente. Partiendo de las observaciones (Ext , dxt ), se simulan N muestras bootstrap (Ext , dnxt ), n = 1, 2, . . . , N , donde dnxt son realizaciones de una Binomial de par´ametros (Ext , q˙xt ). Para cada muestra bootstrap, se estiman los aˆx , ˆbx y kˆt a continuaci´on se proyectan los kt mediante el correspondiente modelo ARIM A seleccionado de los datos originales. Esto proporciona N realizaciones de a ˆnx , ˆbnx , kˆtn y kˆtn proyectados que se usan para proyectar los qxt y calcular la esperanza de vida. El intervalo de confianza se obtiene a partir de los percentiles 2,5 y 97,5, IC95 = [p0,025 , p0,975 ]. 42 Cap´ıtulo 2. Revisi´on de los modelos din´amicos para la graduaci´on de la mortalidad Para el caso no param´etrico, las N muestras bootstrap se simulan a partir de los residuos \xt ), ǫˆxt = logit(q˙xt ) − logit(q (2.20) obtenidos con los datos originales. Cada muestra proporciona unas estimaciones n \xt ) a partir de la f´ormula inversa logit(q n \xt ) = logit(q˙xt ) − ǫˆn , logit(q xt donde los logit(q˙xt ) se obtienen de las observaciones iniciales (Ext , dxt ). Desde este punto se procede igual que en el caso param´etrico. La extensi´on de los m´etodos bootstrap a otros modelos , a la esperanza de vida residual y a otros indicadores actuariales, es inmediata. Sorprende a muchos autores la escasa amplitud de los intervalos confianza obtenidos. Entre ellos, Lee y Carter (1992), Lee (2000), Booth, Maindonald y Smith (2002) y Koissi, Shapiro y H¨ogn¨as (2006), que proporcionan algunas explicaciones a este hecho. En el trabajo de Li, Hardy y Tan (2006) se achaca el fen´omeno a la rigidez de la estructura del modelo de Lee-Carter, y para evitarlo relajan dicha estructura incorporando la heterogeneidad propia de cada celda edad-periodo. Cap´ıtulo 3 An´ alisis y predicci´ on de la mortalidad espa˜ nola. Periodo 1980-2025 3.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2. Descripci´ on de los datos y an´ alisis preliminar . . . . . . 45 3.2.1. Tratamiento de las edades superiores a 85 a˜ nos . . . . . . 46 3.3. Aplicaci´ on del modelo de Lee-Carter . . . . . . . . . . . . 47 3.3.1. Resultados del ajuste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.3.2. Bondad de ajuste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.4. Predicci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.4.1. Predicci´on de qxt para el periodo 2006-2025 . . . . . . . . 53 3.4.2. Predicci´on de ext para el periodo 2006-2025 . . . . . . . . 55 43 3.1 Introducci´on 3.1. 45 Introducci´ on Lee y Carter proponen en 1992 (Lee y Carter, 1992) su famoso modelo para graduar las tablas de mortalidad din´amicas y estudiar y proyectar con ´el los ratios de mortalidad en USA. Desde entonces han sido muchos los art´ıculos publicados que, haciendo uso de dicho modelo, estudian la mortalidad en otros pa´ıses desarrollados tales como Canada (Lee y Nault, 1993), Chile (Lee y Rofman, 1994), Jap´on (Wilmoth, 1996), B´elgica (Brouhns, Denuit y Vermunt, 2002), Austria (Carter y Prkawetz, 2001), Inglaterra y Gales (Renshaw y Haberman, 2003a), Australia (Booth y Tickle, 2003) y Espa˜ na (Guillen y Vidiella-i-Anguera, 2005; Deb´on, Montes y Puig, 2008). Los dem´ografos han centrado tradicionalmente su trabajo en el estudio de la esperanza de vida, pero como se˜ nala Booth et al. (2006) es dif´ıcil de establecer una relaci´on directa entre la precisi´on con la que se predice o estima esta medida de mortalidad y la precisi´on relativa a los ratios de mortalidad, que es la medida realmente modelizada. Por ello, este autor pone especial ´enfasis en se˜ nalar que con ser importante lograr predicciones precisas de la esperanza de vida, la evaluaci´on del error en los ratios de mortalidad estimados o predichos es esencial. Por otra parte, la longevidad cada vez mayor de los habitantes de los pa´ıses m´as desarrollados, hace necesario que las investigaciones en este campo presten especial atenci´on a la mortalidad en edades elevadas, por cuanto puede llegar a suponer un grave riesgo para el asegurador, ante la eventualidad de no poder hacer frente al pago de las contraprestaciones, y tambi´en para el asegurado que puede ver en peligro el cobro de las mismas. Por todo ello, este cap´ıtulo tiene un doble objetivo, de una parte aplicar el modelo de Lee-Carter al estudio de la mortalidad espa˜ nola modelizando su comportamiento durante el periodo 1980-2005, y de otra llevar a cabo predicciones de las probabilidades de muerte y de la esperanza de vida residual para a˜ nos futuros, todo ello en un rango de edades lo suficientemente grande como para incluir las edades elevadas. El an´alisis depara especial atenci´on al estudio de los errores en las predicciones de ambas medidas de mortalidad, obteniendo intervalos de confianza para las mismas. En aras de simplificar el procedimiento y reducir al m´aximo los tiempos de computaci´on los intervalos de confianza se han obtenido, siguiendo la sugerencia de Lee y Carter (1992), a partir de la incertidumbre que provoca la predicci´on del ´ındice de mortalidad, kt , de su modelo. 3.2. Descripci´ on de los datos y an´ alisis preliminar Los datos de mortalidad de hombres y mujeres en Espa˜ na, correspondientes al periodo comprendido entre 1980 y 2005 y un rango de edades de 0 hasta 125, son lo analizados es en este cap´ıtulo. Como se ha se˜ nalado en el apartado anterior, el 46 Cap´ıtulo 3. An´alisis y predicci´on de la mortalidad espa˜ nola. Periodo 1980-2025 especial inter´es que tienen las edades superiores a 99 a˜ nos justifica un rango de edades tan extenso, aun a riesgo de parecer excesivo. Las estimaciones brutas de la ratio de mortalidad, qxt , que constituyen el input necesario para los modelos din´amicos, se han obtenido con el procedimiento utilizado por el Instituto Nacional de Estad´ıstica (INE), 1/2(dxt + dx(t+1) ) , (3.1) Pxt + 1/2dxt donde dxt son los fallecidos en el a˜ no t a la edad x, dx(t+1) son los fallecidos en el no t tiene edad a˜ no t + 1 a la edad x, y Pxt poblaci´on que a 31 de diciembre del a˜ x. La f´ormula (3.1) puede ser aplicada para todas las edades comprendidas entre 1 y 99 a˜ nos, pero la edad 0, debido a la concentraci´on de defunciones en los primeros meses de vida, requiere esta otra expresi´on, q˙xt = q˙0t = 0,85d0t + 0,15d0(t+1) . P0t + 0,85d0t (3.2) Obs´ervese que tanto en (3.1) como en (3.2), el denominador es una estimaci´on de los inicialmentes expuestos al riesgo, Ext . Los datos necesarios, tanto de poblaci´on como de defunciones, son los datos oficiales elaborados por el INE. Para el periodo 1991-2005, las cifras de poblaci´on est´an publicadas en la p´agina web del INE (www.ine.es) en edades simples de 0 hasta 100 y m´as a˜ nos, para las del periodo previo, 1980-1991, el rango de dades finaliza en 85 o m´as a˜ nos, raz´on por la que hubo de solicitarse al INE los datos faltantes. 3.2.1. Tratamiento de las edades superiores a 85 a˜ nos Los ratios brutos de mortalidad para edades avanzadas producen resultados muy poco fiables a causa del peque˜ no n´ umero de expuestos al riesgo. El patr´on para edades elevadas y muy elevadas est´a altamente influenciado por fluctuaciones aleatorias debido a la escasez de datos. Cossette et al. (2007) recogen un gran n´ umero de trabajos en los que dem´ografos y actuarios sugieren diversas t´ecnicas para calcular y completar las medidads de mortalidad en edades elevadas. Merecen ser citados por su influencia, los trabajos de Coale y Guo (1989), Coale y Kisker (1990), Thatcher, Kannisto y Vaupel (1998), Lindbergson (2001) y Thatcher, Kannisto y Andreev (2002). Un extensa y completa lista de trabajos referidos a esta cuesti´on puede consultarse en Booth (2006). Se ha utilizado aqu´ı una adaptaci´on del modelo que sugieren Denuit y Goderniaux (2004) variando u ´nicamente el ajuste de dicho modelo. El punto de partida del m´etodo original es un modelo de regresi´on log-cuadr´atica de la forma ln(qxt ) = at + bt x + ct x2 + ǫxt , (3.3) 3.3 Aplicaci´on del modelo de Lee-Carter 47 con ǫxt independientes e id´enticamente distribuidos, N (0, σ 2 ). El modelo es ajustado separadamente para cada a˜ no de calendario t y para edades superiores a 75 a˜ nos. Se imponen dos restricciones, la primera que q130t = 1, ∀t, y la segunda que ∂qx (t) |x=130 = 0. Estas dos restricciones llevan a la siguiente relaci´on entre los coefi∂x cientes, at + bt x + ct x2 = ct (130 − x)2 , ∀t. (3.4) Sustituyendo 3.4 en 3.3 se obtiene la ecuaci´on ln(qxt ) = ct (130 − x)2 . La adaptaci´on propuesta consiste en ajustar la ecuaci´on anterior mediante un modelo lineal generalizado con link log, dado que se asume una distribuci´on Binomial para las defunciones. El conjunto de datos con el que se llevar´a a cabo cualquier an´alisis posterior est´a formado, finalmente, por los valores originales de q˙xt para x = {0, 1, . . . , 85}, y para x = {86, . . . , 125} por los q˙xt procedentes del ajuste de la regresi´on cuadr´atica. La comparaci´on de ambos conjuntos de valores puede observarse en las Figuras 3.1 y 3.2, en las que el efecto de suavizado en la edades avanzadas es evidente. Una vez completados los datos, se ajustar´a un modelo que permita obtener una superficie de mortalidad lo suficientemente suave y, adem´as, pueda ser utilizada para proyectar las probabilidades de muerte a largo plazo. A partir del modelo ajustado hemos obtenido proyecciones de los ratios de mortalidad para los 20 a˜ nos siguientes, es decir, de 2006 a 2025. 3.3. Aplicaci´ on del modelo de Lee-Carter Varios autores han estudiado la mortalidad espa˜ nola con modelos din´amicos. Felipe, Guill´en y P´erez-Mar´ın (2002), utilizan la ley de Heligman-Pollard (Heligman y Pollard, 1980) para evaluar la influencia del tiempo (1975-1993) en los patrones de mortalidad de la poblaci´on espa˜ nola para un rango de edades de 0 a 90. Guillen y Vidiella-i-Anguera (2005), recurren a la version log-bilinear Poisson del modelo de Lee-Carter, propuesta por Wilmoth (1993) y Brouhns, Denuit y Vermunt (2002), para analizar los datos espa˜ noles de mortalidad correspondientes al periodo 1975-1998 y un rango de edades de 0 a 105 a˜ nos. En Deb´on, Montes y Puig (2008) los autores aplican el modelo de Lee-Carter con dos t´erminos a datos del periodo 1980-1999 y edades en el rango de 0 a 96 a˜ nos, consiguiendo mejorar los resultados obtenidos por los anteriores autores debido a la mejor adaptabilidad del modelo a la mortalidad observada en las edades intermedias. Por u ´ltimo, en Deb´on et al. (2008) se analiza la mortalidad desde una nueva perspectiva al introducir t´ecnicas geoestad´ısticas, dise˜ nadas en principio para datos con implantaci´on espacio-temporal, que mejoran 48 Cap´ıtulo 3. An´alisis y predicci´on de la mortalidad espa˜ nola. Periodo 1980-2025 Originales Suavizadas 0 −2 −2 es Hombr −4 −4 −6 −6 −8 −8 2005 2005 2000 2000 1995 1995 80 1990 40 1985 100 1990 60 1985 50 20 1980 0 1980 0 Figura 3.1: Probabilidades de muerte para los hombres. Originales Suavizadas 0 −2 −2 Mujeres −4 −4 −6 −6 −8 −8 2005 2005 2000 2000 1995 1995 80 1990 60 40 1985 100 1990 1985 50 20 1980 0 1980 0 Figura 3.2: Probabilidades de muerte para las mujeres. todos los resultados anteriormente obtenidos si bien al precio de sofisticar el modelo y aumentar el tiempo de computaci´on. Es, sin duda, una nueva aproximaci´on prometedora que, estando en ciernes, no parece adecuada para ser utilizada en el contexto de un trabajo con fines pr´acticos y divulgadores como es el presente texto. Son estas razones las que han llevado a elegir el m´as sencillo de los modelos de Lee-Carter, aqu´el con un s´olo t´ermino, para desarrollar el an´alisis cuyos resultados se describen con detalle a continuaci´on. La expresi´on del modelo viene dada por la ecuaci´on (2.5) que a continuaci´on recordamos,   qxt = ax + bx kt + ǫxt . (3.5) ln 1 − qxt y su elecci´on ha venido tambi´en motivada por la sencillez de su c´alculo y por la f´acil 3.3 Aplicaci´on del modelo de Lee-Carter 49 interpretaci´on de sus par´ametros. Como se dijo anteriormente, el ajuste se efect´ ua con los datos completos obtenidos despu´es de las trasformaciones previas descritas en la Secci´on 3.2, que comprenden el periodo temporal 1980-2005 y un rango de edades de 0 a 125 a˜ nos. Recordemos (ver Secci´on 2.2.1) que el modelo (3.5) no puede ser ajustado por las t´ecnicas habituales de regresi´on puesto que los valores del ´ındice kt no son observables. La librer´ıa gnm de R Development Core Team (2005), desarrollada por Turner y Firth (2006), permite el ajuste por m´axima verosimilitud que es el que mejores resultados proporciona seg´ un Deb´on, Montes y Puig (2008). El c´odigo escrito por Turner y Firth (2006) ajusta la fuerza de mortalidad, µxt , bajo la distribuci´on Poisson y link log, por lo que ha sido necesario adaptarlo para ajustar la probabilidad de muerte, qxt , bajo la distribuci´on Binomial y link logit. En particular, su funci´on gnm permite utilizar modelo lineales generalizados con t´erminos multilineales a trav´es de la opci´on Mult. Una segunda dificultad del modelo de Lee-Carter la suponen los problemas de identificabilidad, porque recordemos que una dada una soluci´on de (3.5), (ax , bx , kt ), cualquier transformaci´on del tipo (ax , bx /c, ckt ) o (ax + cbx , bx , kt − c), ∀c, es tambi´en soluci´on. Para evitar el problema, y conseguir una u ´nica soluci´on, algunas restricciones deben ser impuestas a los par´ametros. Lee y Carter (1992) proponen la normalizaci´on X X bx = 1 y kt = 0, x t (a′x , b′x , kt′ ) de forma que dada una soluci´on cualquiera puede conseguirse una soluci´on (ˇ ax , ˇbx , kˇt ) que cumpla las restricciones, con las siguientes transformaciones, X a ˇx = a′x − b′ kt′ P x − X b′x x ′ ˇbx = Pbx ! ′ x bx kˇt = X x b′x ! kt′ ′ x bx x b′x ! kt′ , donde A¯ denota la media aritm´etica de A. Por u ´ltimo hay que se˜ nalar que debido a la estructura de los datos, series anuales para un mismo rango de edades, los valores de bx presentan un patr´on irregular que hace necesaria un suavizado que evite ciertas anomal´ıas localizadas en grupos concretos de edad (Renshaw y Haberman, 2003c,b), efecto indeseable desde un punto de vista actuarial. Para el suavizado se han utilizado splines c´ ubicos. El c´odigo R utilizado para los ajustes puede consultarse en el Ap´endice B. 50 Cap´ıtulo 3. An´alisis y predicci´on de la mortalidad espa˜ nola. Periodo 1980-2025 3.3.1. Resultados del ajuste 30 −10 0.010 −4 0 0.015 −2 10 0.020 0 20 0.025 2 4 0.030 Debido al elevado n´ umero de par´ametros estimados en este modelo, 126×2+26 = 278 para cada sexo, su presentaci´on num´erica exigir´ıa largas y tediosas tablas, por lo que se ha preferido su presentaci´on en forma de gr´afico en la Figura 3.3, que tiene adem´as la ventaja de permitir comprender con facilidad su evoluci´on a lo largo del tiempo, para kt , o de la edad en el caso de ax y bx . −6 Hombres −20 −8 0.005 Mujeres Hombres Hombres Mujeres 0 20 40 60 (a) ax 80 100 120 −30 −10 0.000 Mujeres 0 20 40 60 (b) bx 80 100 120 1980 1985 1990 1995 2000 2005 (c) kt Figura 3.3: Valores estimados para el modelo de Lee-Carter. Un primer comentario general concierne al distinto comportamiento de ax seg´ un el sexo, que en el caso de las mujeres muestra que su mortalidad es m´as baja que la de los hombres. Por otra parte, la elevaci´on en forma joroba que el gr´afico de los hombres muestra entre las edades 15 y 40 revela un incremento en la mortalidad para este rango de edades, que posiblemente se explica por las muertes debidas a accidentes y que algunos autores denominan, por esta raz´on, joroba de los accidentes. Los valores positivos de bx (Figura 3.3(b)) para todas las edades indican que la mortalidad disminuye con el tiempo. No obstante, algunos autores (Deb´on, Montes y Puig, 2008) han encontrado valores negativos de bx para edades intermedias y avanzadas, lo que indicar´ıa un incremento de la mortalidad a medida que avanza el calendario. Para el rango de edades de 24 a 40 a˜ nos este incremento se explicar´ıa (Felipe, Guill´en y P´erez-Mar´ın, 2002; Guillen y Vidiella-i-Anguera, 2005) por el efecto de la epidemia del SIDA en el periodo de tiempo estudiado. Sin embargo, la inclusi´on de un segundo t´ermino en el modelo de Lee-Carter mejora el ajuste espec´ıficamente para esas edades y el efecto observado es mucho menos menor (Deb´on, Montes y Puig, 2008). El ´ındice de mortalidad, kt , (Figura3.3(c)) muestra una clara tendencia decreciente, m´as pronunciada en las mujeres que en los hombres. 3.3 Aplicaci´on del modelo de Lee-Carter 3.3.2. 51 Bondad de ajuste 2 −2 −6 residuos 6 Para realizar un diagn´ostico del modelo ajustado se han representado en las Figuras 3.4 y 3.5 los residuos Deviance para ambos sexos frente a la edad, a˜ no de calendario y la cohorte. 0 20 40 60 80 100 120 2 −2 −6 residuos 6 edad 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2 −2 −6 residuos 6 periodo 1850 1900 1950 2000 cohorte 2 0 −4 residuos 4 Figura 3.4: Residuos Deviance para el modelo de los hombres. 0 20 40 60 80 100 120 2 0 −4 residuos 4 edad 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2 0 −4 residuos 4 periodo 1850 1900 1950 2000 cohorte Figura 3.5: Residuos Deviance para el modelo de los mujeres. Los residuos tendr´ıan un comportamiento realmente satisfactorio si variaran en el intervalo [−2, 2], cosa que no sucede, como se observa en ambas figuras, entre las 52 Cap´ıtulo 3. An´alisis y predicci´on de la mortalidad espa˜ nola. Periodo 1980-2025 edades de 20 a 40 a˜ nos, durante el periodo 1990-1995 y las cohortes correspondientes a los nacidos entre 1950 y 1975. En estos intervalos los residuos son mucho mayores que en el resto. Tambi´en es claramente notable la mejor calidad del ajuste para las mujeres, ello es debido a que los logit de sus ratios de mortalidad tienen menor variabilidad y un comportamiento mas lineal. 3.4. Predicci´ on La predicci´on de los ratios de mortalidad con los modelos de Lee-Carter se efectua a partir de los ´ındices de mortalidad, lo que requiere ajustar una serie temporal a la sucesi´on estimada de dichos ´ındices. Las funciones auto.arima y forecast, de la librer´ıa forecast (Hyndman, 2008) de R, proporcionan de manera autom´atica el ajuste del correspondiente modelo ARIMA y la predicci´on de futuros valores. Los modelos m´as apropiados han resultado ser una ARIM A(2, 1, 1) para hombres y una ARIM A(0, 1, 0) para las mujeres. Con la series temporal ajustada, {kˆt }, para los tiempos t = 1980, . . . , 2005, se predicen los futuros valores para t = 2006, . . . , 2025, que sustituidos en (3.5) proporcionan las proyecciones de logit(qxt ) para dichos a˜ nos. La superficie de las proyecciones obtenidas para hombres y mujeres se muestra en la Figura 3.6. Hombres Mujeres −2 −2 −4 −4 −6 −6 −8 −8 2005 2005 2000 2000 1995 1995 100 1990 50 1985 1980 0 100 1990 1985 50 1980 0 Figura 3.6: Proyecciones para el periodo 2006-2025. Para cada predicci´on hemos obtenido un intervalo de confianza como forma de medir la incertidumbre asociada (Pedroza, 2006). En la Secci´on 2.6 se describen dos posibles m´etodos de obtenci´on de intervalos de confianza, uno de ellos mediante 3.4 Predicci´on 53 t´ecnicas bootstrap param´etricas (Koissi, Shapiro y H¨ogn¨as, 2006) y el otro mediante t´ecnicas no param´etricas (Brouhns, Denuit y Keilegom, 2005). Sin embargo el originalmente propuesto por Lee y Carter (Lee y Carter, 1992), y que aqu´ı se utiliza, entre otras razones porque los intervalos de confianza obtenidos mediante t´ecnicas bootstrap son computacionalmente m´as costosos, propone obtener dichos intervalos a partir de los errores de predicci´on en los par´ametros kt proyectados por los modelos ARIM A. El procedimiento es muy sencillo, basta con sustituir los valores del intervalo de confianza seg´ un la serie ARIM A, [ktinf , ktsup ] en la f´ormulas de qxt y ext para obtener los extremos respectivos de sus intervalos de confianza. Esta aproximaci´on supone asumir que la principal fuente de incertidumbre es kt y permite obviar los errores debidos a ax y bx . 3.4.1. Predicci´ on de qxt para el periodo 2006-2025 El ajuste del modelo para los a˜ nos 1980 a 2005 y la predicci´on de las probabilidades de muerte de 2006 a 2025 con ´el obtenidas se muestran en la Figura 3.7. Para facilitar su interpretaci´on s´olo se han representado algunas las edades, las cinco decenas de 10 a 50. Se observa en la figura que el modelo presenta tendencias futuras razonables sin inconsistencias, entendiendo por tales que la tendencia decreciente que se predice para algunas edades no llega a cruzarse con las predicciones para edades mayores. En parte este buen comportamiento es debido al suavizado, antes aludido, de los valores estimados de bx (Renshaw y Haberman, 2003c). Conviene se˜ nalar aqu´ı que Delwarde, Denuit y Eilers (2007) proponen una versi´on de Lee-Carter cuyos par´ametros se estiman mediante una log-verosimilitud penalizada, consiguiendo directamente estimaciones suaves para bx . En la Figura 3.7 se han representado tambi´en los intervalos de confianza de logit(qxt ) para las predicciones m´as all´a de 2005. En el caso de la edades elevadas, que por las razones antes expuestas son las de mayor inter´es, se han representado los quinquenios comprendidos entre 70 y 95 a˜ nos, ambos inclusive. Se observa en la Figura 3.8 que todas ellas presentan tendencias futuras poco pronunciadas. La desaceleraci´on en la probabilidad de muerte a medida que transcurren los a˜ nos, puede explicarse porque de manera natural se produce una selecci´on de los individuos m´as saludables en edades elevadas (Horiuchi y Wilmoth, 1998). Hemos de insistir una vez m´as en la reducida amplitud de los intervalos de confianza, a´ un cuando los que se muestran aqu´ı han sido obtenidos siguiendo el m´etodo propuesto por Lee y Carter. Este hecho es m´as evidente en el caso de los hombres, debido a que las fluctuaciones de la mortalidad de los varones para las edades de la joroba de los accidentes en el per´ıodo de tiempo considerado son dif´ıciles de captar, de forma que los par´ametros bx reflejan poca disminuci´on de los ratios de mortalidad, reduciendo as´ı la amplitud de los intervalos cuya expresi´on para todos 54 Cap´ıtulo 3. An´alisis y predicci´on de la mortalidad espa˜ nola. Periodo 1980-2025 −8 −9 logit(qx) −7 −6 −5 Hombres −10 Ages 10 20 30 40 50 1980 1990 2000 2010 2020 2010 2020 periodo −8 −9 logit(qx) −7 −6 −5 Mujeres −10 Ages 10 20 30 40 50 1980 1990 2000 periodo Figura 3.7: Predicciones para algunas edades. los casos es bx ·(ktsup −ktinf ). En el caso de las mujeres la evoluci´on de la mortalidad es m´as lineal y homog´enea, lo que implica valores mayores para bx (v´ease Figura 3.3(b)) e intervalos m´as amplios. Esto, que parece contrario a la l´ogica, es consecuencia de no haber incorporado la incertidumbre de las estimaciones de los bx en el c´alculo de los intervalos de confianza, lo que constituye una debilidad del m´etodo y exige la b´ usqueda de alternativas. Un raz´on adicional para explicar la escasa amplitud de los intervalos de confianza, habr´ıa que buscarla en el proceso de suavizado seguido para las edades superiores a 85 a˜ nos, cuyo resultado elimina fluctuaciones que repercuten, 3.4 Predicci´on 55 −4 logit(qx) −3 −2 −1 Hombres −6 −5 Ages 70 75 80 85 90 1980 1990 2000 2010 2020 2010 2020 periodo −4 logit(qx) −3 −2 −1 Mujeres −6 −5 Ages 70 75 80 85 90 1980 1990 2000 year Figura 3.8: Predicciones para edades avanzadas. como hemos dicho, en bajos valores para bx . 3.4.2. Predicci´ on de ext para el periodo 2006-2025 Un indicador de la evoluci´on de la mortalidad a lo largo del tiempo, ampliamente utilizado por los actuarios, es la esperanza de vida residual a la edad x en el a˜ no t, 56 Cap´ıtulo 3. An´alisis y predicci´on de la mortalidad espa˜ nola. Periodo 1980-2025 ext . Cuya expresi´on, recordemos, viene dada por ext = Txt , lxt donde lxt y Txt representan, respectivamente, el total de personas que han cumplido x a˜ nos en el a˜ no del calendario t y la suma de los a˜ nos que todas ellas esperan vivir. Su inter´es es evidente en todas aquellas operaciones financieras y actuariales cuya duraci´on depende, en mayor o menor medida, de la edad residual del causante de las mismas. El caso de la hipoteca inversa, de la que nos ocupamos en el siguiente cap´ıtulo, es un ejemplo paradigm´atico de este tipo de operaciones. La Figura 3.9 muestra la esperanza de vida residual para las edades 70, 75, 80, 85 y 90, estimadas en el periodo 1980-2005 y proyectadas para el periodo 2006-2025, as´ı como los intervalos de confianza de estas u ´ltimas. El incremento de la esperanza de vida a lo largo del tiempo, evidente para ambos sexos, es mayor para las mujeres. Tambi´en ahora llama la atenci´on la reducida amplitud de los intervalos de confianza, que es mayor para las mujeres por las razones expuestas en el apartado anterior. En Deb´on, Montes y Puig (2008) se han calculado los intervalos de confianza aplicando t´ecnicas bootstrap param´etrico y no param´etrico. Los valores medios obtenidos son muy similares, particularmente el correspondiente x = 65, de especial importancia por ser la edad de jubilaci´on mayoritaria. En lo que a precisi´on se refiere, los intervalos que se obtuvieron por medio de bootstrap param´etrico muestran amplitudes similares a las que aqu´ı se muestran, el caso no param´etrico proporciona mayores amplitudes quiz´as porque recoge la influencia de todos los factores presentes en el fen´omeno de la mortalidad. 3.4 Predicci´on 5 logit(qx) Ages 70 75 80 85 90 10 15 20 Hombres 1980 1990 2000 2010 2020 2010 2020 periodo 5 logit(qx) Ages 70 75 80 85 90 10 15 20 Mujeres 1980 1990 2000 periodo Figura 3.9: Esperanza de vida residual para edades elevadas. 57 58 Cap´ıtulo 3. An´alisis y predicci´on de la mortalidad espa˜ nola. Periodo 1980-2025 Cap´ıtulo 4 C´ alculo de la hipoteca inversa 4.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.2. Rentas vitalicias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.2.1. Determinaci´ on del valor de las rentas vitalicias anuales . . 63 4.2.2. Determinaci´ on del valor de las rentas vitalicias fraccionadas 67 4.3. Perspectiva general de la hipoteca inversa . . . . . . . . 69 4.4. El planteamiento de la hipoteca inversa del ICO . . . . . 70 59 4.1 Introducci´on 4.1. 61 Introducci´ on La hipoteca inversa es una operaci´on consistente en la obtenci´on de un pr´estamo sobre la vivienda habitual con el objetivo de generar al beneficiario una renta durante el periodo de tiempo prefijado. Est´a regulada de forma gen´erica en la Ley 41/2007. El modelo de hipoteca inversa que se describe a continuaci´on es m´as restrictivo que el gen´erico regulado por la ley antes citada, porque se trata de un modelo dise˜ nado para discapacitados o personas mayores de 70 a˜ nos que perciban rentas mensuales bajas. Esta modalidad de hipoteca inversa es un complemento a Ley 39/2006 conocida como Ley de Dependencia. La hipoteca inversa no es el u ´nico producto financiero que permite trasformar los activos inmobiliarios en rentas, existen otras f´ormulas y negocios que pueden facilitar a las personas mayores una renta adicional, como es el caso de la denominada vivienda pensi´on, hipoteca pensi´on o la cesi´on para alquiler de la vivienda a una entidad tercera. Detalles acerca de estas alternativas pueden consultarse en Herranz-Gonzalez (2006) quien se ocupa tambi´en de productos similares existentes en otros pa´ıses, la home-equity reversion en el Reino Unido o la Home Equity Conversion Mortgage(HECM) en los Estados Unidos, m´as detalladamente comentados en Taffin (2006). Para una revisi´on en profundidad de la principales f´ormulas y variables utilizadas en la HECM los lectores interesados pueden consultar Skarr (2008), qui´en adem´as compara varias posibilidades para su c´alculo. Aunque pueda ser menos representativos, existen tambi´en productos similares en otros pa´ıses desarrollados, Australia, Canad´a, Dinamarca, Finlandia, Irlanda, Jap´on, Pa´ıses Bajos, Noruega y Suecia. La hipoteca inversa es un cr´edito con garant´ıa inmobiliaria, es decir, un producto por el cual una persona que posee un inmueble recibe cada mes una renta, determinada por varios factores, y a su fallecimiento los herederos deber´an frente al pago del pr´estamo o la entidad, en u ´ltimo caso, proceder´a a ejecutar la garant´ıa, lo que puede traducirse en la venta del inmueble para satisfacer la deuda y la entrega a los herederos del dinero restante de la venta, si lo hubiera. La esperanza de vida residual a la edad de contrataci´on y las rentas temporales son factores determinantes a la hora de valorar la renta a percibir (Herranz-Gonzalez, 2006). De aqu´ı que la hipoteca inversa pueda verse como una aplicaci´on de las tablas de mortalidad obtenidas en el Cap´ıtulo anterior. En efecto, su utilidad es doble. Por un lado la esperanza de vida residual estimada para cada edad limitar´a la duraci´on te´orica de la percepci´on de la renta financiera. Por otra parte, el c´alculo de una renta vitalicia que ha de establecerse complementariamente a la renta financiera requiere la obtenci´on de los s´ımbolos de conmutaci´on necesarios para determinar los valores actuales de las rentas actuariales. Las rentas actuariales, a diferencia de las rentas financieras, incorporan el elemento de supervivencia como clave en su operativa. La correcta valoraci´on de todas estas cantidades exige tablas de mortalidad bien 62 Cap´ıtulo 4. C´alculo de la hipoteca inversa calibradas, entendiendo por tal que recojan adecuadamente la evoluci´on de la mortalidad el transcurso del tiempo, lo que nos sit´ ua nuevamente en el inter´es de las tablas din´amicas de mortalidad. El objetivo primordial del presente Cap´ıtulo, la hipoteca inversa, es una interesante y actual aplicaci´on que muestra el uso de las tablas din´amicas de mortalidad para el c´alculo de operaciones actuariales. En la Secci´on 4.2 se explica c´omo calcular las rentas vitalicias anuales y las fraccionadas en distintas periodicidades: trimestral, mensual, . . . . A continuaci´on se presenta, resumidamente, una revisi´on de diferentes trabajos internacionales sobre la hipoteca inversa. La u ´ltima secci´on est´a dedicada al procedimiento utilizado para el c´alculo de la hipoteca inversa seg´ un las bases establecidas por del Instituto de Cr´edito Oficial (ICO). 4.2. Rentas vitalicias En esta secci´on se resumir´a brevemente una parte de la extensa bibliograf´ıa que recoge los conceptos b´asicos para analizar las operaciones demogr´afico-financieras, que son necesarios a lo largo de todo este cap´ıtulo. Para estos conceptos b´asicos se usar´a el texto de Levi (1973) y Villal´on (1997). Las rentas vitalicias es el nombre que reciben las rentas actuariales cuando se aplican al caso de vida y se denominan anualidades si las cuotas son anuales. Cuando dichas cuotas se hacen efectivas al principio de cada periodo se llaman prepagables, y si es al final del mismo, pospagables. Una clasificaci´on muy general de estas rentas es, Vitalicia Temporal, cuando las cuotas tiene una duraci´on fija de un determinado n´ umero de periodos. Vitalicia de Vida Entera, cuando las cuotas se extienden hasta el fallecimiento de la persona, es decir, hasta la edad ω. Cada una de las cuales se clasifica a su vez en, Inmediata, cuando las cuotas comienzan al principio de la contrataci´on. Diferida, cuando ha de pasar un determinado tiempo hasta que comiencen a hacerse efectivas las cuotas. Existen dos etapas, una primera de m periodos, llamada plazo del aplazamiento, y una segunda de n periodos, denominada etapa de pagos. Toda operaci´on de rentas supone la consideraci´on del tiempo, y por tanto de un tipo de inter´es i para la operaci´on. 4.2 Rentas vitalicias 4.2.1. 63 Determinaci´ on del valor de las rentas vitalicias anuales Cuotas constantes Comenzaremos con el caso m´as sencillo, que consiste en obtener lo que se denomina capital diferido. Se trata de que una persona de edad x perciba un capital K al cabo de n a˜ nos. Es por tanto un suceso aleatorio en la medida que depende de n px , probabilidad de supervivencia introducida en el Cap´ıtulo 1 seg´ un la expresi´on (1.1), aplicada para t = n. El precio, U , que el individuo deber´a pagar en el momento presente vendr´a dado por, U = K(1 + i)−n n px , (4.1) donde i es el denominado inter´es t´ecnico, y el factor (1 + i)−n eval´ ua en el momento presente (0 ) el capital a percibir al cabo de los n a˜ nos. Se le suele denotar v = (1 + i)−1 , de forma que la expresi´on (4.1) se reduce a, U = Kv n n px . Supuesto que K = 1, aparece el denominado factor de actualizaci´on demogr´ afico financiero −n −n lx+n . n Ex = (1 + i) n px = (1 + i) lx Es muy importante se˜ nalar que esta operaci´on, y en general todas las operaciones actuariales, solamente tienen sentido desde el punto de vista t´ecnico si se realizan para una colectividad grande de personas, que en aplicaci´on de la teor´ıa de los grandes n´ umeros producen la compensaci´on de las desviaciones, positivas y negativas, sobre estos sucesos. Este factor de actualizaci´on permite deducir su inverso, el factor de capitalizaci´ on demogr´ afico financiero, que permite calcular un capital futuro despu´es de n a˜ nos n Ix = (1 + i)n lx lx+n . Para facilitar los c´alculos, como ya avanz´abamos en el Cap´ıtulo 1, se utilizan los s´ımbolos de conmutaci´on, que incluyen los dos factores de forma simultanea, el demogr´afico y el financiero. Los s´ımbolos de conmutaci´on aparecieron a finales del siglo XIX en la obra de Titens, Barret y Bayly (Nieto y Vegas, 1993), para facilitar la labor del c´alculo de los valores actuariales. El primer s´ımbolo a considerar es Dx cuya expresi´on viene dada por Dx = lx v x = lx (1 + i)−x , 64 Cap´ıtulo 4. C´alculo de la hipoteca inversa que representa el numero de supervivientes lx descontados al tipo de inter´es por un tiempo equivalente a su edad, v x . Con este s´ımbolo podremos expresar el factor de actualizaci´on como n Ex = (1 + i)−n lx+n v x lx v x lx+n v x+n lx vx Dx+n = . Dx = El c´alculo del valor actual de una renta vitalicia consiste en trasladar hasta el momento presente el valor de cada una de las cuotas anuales utilizando para ello el factor de actualizaci´on demogr´afico financiero. Si denotamos mediante a ¨x una renta de vida entera, inmediata y prepagable, su valor actual se obtiene a partir de a ¨x = 0 Ex + 1 Ex + . . . + ω−x Ex Dx + Dx+1 + . . . + Dω . = Dx Para simplificar estos c´alculos se introduce el s´ımbolo, Nx = Dx + Dx+1 + . . . + Dω , (4.2) de forma que la expresi´on queda como a ¨x = Nx Dx (4.3) An´alogamente se pueden obtener las expresiones para el resto de rentas en funci´on de los s´ımbolos de conmutaci´on, que aparecen en la Tabla 4.1. Cuotas variables Si se considera el caso de capitales variables, tambi´en es sencillo obtener las expresiones de las rentas. Concretamente dos son los casos comunes, rentas cuyos t´erminos var´ıan periodo a periodo en progresi´on aritm´etica y aquellas que lo hacen en progresi´on geom´etrica. Si las cuotas a partir de la edad x var´ıan en progresi´on aritm´etica definida por, α + tr, donde t = 0, 1, . . . , ω − x, introducimos un nuevo s´ımbolo, Sx , para la simplificaci´on de las expresiones de las rentas, Sx = Nx + Nx+1 + . . . + Nω . 4.2 Rentas vitalicias prepagable Nx Dx a ¨x = inmediata pospagable De vida entera ax = ¨x m/ a prepagable = diferida pospagable m/ ax prepagable a ¨x:n| = inmediata pospagable ax:n| = Temporal prepagable ¨x m/n a diferida pospagable m/n ax = = Nx+1 Dx = Nx+m Dx Nx+m+1 Dx Nx − Nx+n Dx Nx+1 − Nx+n+1 Dx Nx+m − Nx+m+n Dx Nx+m+1 − Nx+m+n+1 Dx Tabla 4.1: Expresiones para las rentas vitalicias con cuotas constantes 65 66 Cap´ıtulo 4. C´alculo de la hipoteca inversa prepagable (V a ¨)x = α inmediata pospagable De vida entera (V a)x = α m/ (V prepagable Nx+1 Sx+2 +r Dx Dx a ¨)x = α diferida pospagable m/ (V prepagable a)x = α Sx+1 Nx +r Dx Dx Sm+1 Nx+m +r Dx Dx Nx+m+1 Sm+2 +r Dx Dx (V a ¨)x:n| = α +r inmediata pospagable Sx+1 − Sx+n (n − 1)Nx+n − Dx Dx (V a)x:n| = α +r Temporal prepagable diferida pospagable a ¨)x = α Nx+m − Nx+m+n Dx Sx+m+1 − Sx+m+n (n − 1)Nx+m+n − Dx Dx m/n (V +r Nx+1 − Nx+n+1 Dx Sx+2 − Sx+n+1 (n − 1)Nx+n+1 − Dx Dx m/n (V +r Nx − Nx+n Dx a)x = α Nx+m+1 − Nx+m+n+1 Dx Sx+m+2 − Sx+m+n+1 (n − 1)Nx+m+n+1 − Dx Dx Tabla 4.2: Expresiones para las rentas vitalicias con cuotas en progresi´on aritm´etica 4.2 Rentas vitalicias 67 Las rentas correspondientes son las que se muestran en la Tabla 4.2. Si consideramos α = r = 1 en la renta de vida entera inmediata, tenemos que (I¨ a)x = Sx Nx Sx+1 + = Dx Dx Dx Nx+1 Sx+2 Sx+1 + = . Dx Dx Dx En el caso en que las cuotas a partir de la edad x var´ıen en en progresi´on geom´etrica definida por, αrt , donde t = 0, 1, . . . , ω − x, (Ia)x = considerando α = 1 y r = 1 + β, las rentas se pueden calcular a partir de la Tabla 4.1 sustituyendo los s´ımbolos Nx y Dx por Nx∗ y Dx∗ , calculados con un nuevo inter´es cuya expresi´on es, 1+i − 1, (4.4) j= 1+β porque el valor actual de las rentas actuariales de t´erminos variables en progresi´on geom´etrica equivale al de una renta actuarial constante calculado con un tanto de inter´es diferente (Levi, 1973). 4.2.2. Determinaci´ on del valor de las rentas vitalicias fraccionadas Hasta este momento solamente se han considerado las rentas con periodo anual, pero en el mercado del seguro se utilizan tambi´en otras fracciones de tiempo. Si las bases de c´alculo coinciden con dicho periodo, no habr´a problema, pero cuando no coinciden se presenta el problema de su adaptaci´on puesto que las tablas actuariales vienen en bases anuales. La soluci´on t´ecnica, sin necesidad de volver a calcular la tabla, es la de reducir la operaci´on o el valor fraccionario a operaciones o valores equivalentes. Por ejemplo, si se consideran h periodos en el a˜ no podemos obtener las expresiones de las rentas fraccionadas de manera aproximada a partir de las anuales, en funci´on de los s´ımbolos de conmutaci´on tal y como se muestra en la Tabla 4.3. Otra soluci´on para aproximar la renta fraccionaria pospagable de vida entera a partir de la anual, es la conocida como f´ormula de Woolhouse cuya expresi´on es a ¨(h) ¨x − x ≃ a h − 1 h2 − 1 − (µx + δ) 2h 12h2 si bien se utiliza una simplificaci´on de la misma, ¨x − a ¨(h) x ≃ a h−1 . 2h 68 Cap´ıtulo 4. C´alculo de la hipoteca inversa Nx h − 1 − Dx 2h (h) prepagable a ¨x = inmediata prepagable ax = (h) ¨x m/ a = diferida pospagable prepagable Nx+1 h − 1 + Dx 2h (h) pospagable De vida entera (h) m/ ax = Nx+m (h − 1) Dx+m − Dx 2h Dx Nx+m+1 (h − 1) Dx+m + Dx 2h Dx (h) a ¨x:n| = Nx − Nx+n Dx Dx −Dx+n − (h−1) 2h Dx inmediata pospagable (h) ax:n| = Nx+1 − Nx+n+1 Dx Dx −Dx+n + (h−1) 2h Dx Temporal prepagable (h) ¨x m/n a = Nx+m − Nx+m+n Dx Dx −Dx+m+n − (h−1) 2h Dx diferida pospagable (h) m/n ax = Nx+m+1 − Nx+m+n+1 Dx Dx −Dx+m+n + (h−1) 2h Dx Tabla 4.3: Expresiones para las rentas vitalicias fraccionas con cuotas constantes 4.3 Perspectiva general de la hipoteca inversa 69 En el caso de cuotas variables en progresi´on geom´etrica las rentas se pueden calcular a partir de la Tabla 4.3 sustituyendo los s´ımbolos Nx y Dx por Nx∗ y Dx∗ calculado a partir del inter´es (4.4). 4.3. Perspectiva general de la hipoteca inversa La hipoteca inversa, de la que hemos dado una breve definici´on en la Introducci´on, es objeto de estudio en el trabajo de Costa-Font, Gil y Mascarilla (2006) que la consideran una opci´on interesante para la poblaci´on espa˜ nola. Los autores estudian las preferencias de la poblaci´on en relaci´on a instrumentos complementarios de financiaci´on de los cuidados personales asociados, como la vivienda pensi´on, la hipoteca inversa o los seguros de rentas vitalicias. Concluyen que la hipoteca inversa es esencialmente u ´til para aquellos que desean envejecer en casa (la opci´on preferida de los espa˜ noles), solos o con la asistencia de alguien externo contratado en caso de dependencia, y necesitan complementar una pensi´on de jubilaci´on modesta, aumentar su calidad de vida y/o porque no tienen hijos a quienes dejar sus propiedades. En otro trabajo (Blay-Berrueta, 2007) se analiza la poblaci´on espa˜ nola dependiente y se propone la hipoteca inversa como alternativa al seguro privado de dependencia. En general, este instrumento combina dos tipos de riesgos tradicionales: el riesgo de la longevidad del prestatario, gestionado por aseguradoras, y el riesgo de tipos de inter´es, que resulta muy familiar para las entidades de cr´edito. Existe tambi´en un tercer riesgo, probablemente el menos identificado y entendido (Taffin, 2006), asociado al valor de la propiedad una vez el pr´estamo es amortizado. El capital prestado depende, principalmente, de la edad del prestatario, los tipos de inter´es y las predicciones sobre el crecimiento de los precios de la vivienda. Dada la naturaleza vitalicia de la hipoteca inversa, cuanta menor edad tenga el prestatario, menor ser´a el capital concedido, la consecuencia es que esta clase de pr´estamos van preferentemente dirigidos a personas de edad avanzada. La edad media del prestatario se estima alrededor de los 75 a˜ nos. Existe un umbral te´orico que en Estados Unidos se fija en los 62 a˜ nos, mientras que en el Reino Unido se sit´ ua en los 60 a˜ nos, a veces incluso en los 55. El art´ıculo de Wang, Valdez y Piggott (2007) propone un m´etodo para transferir y financiar la gran variedad de riesgos, que desde el punto de vista del proveedor tiene la hipoteca inversa. Es de particular inter´es el que en la literatura se denomina riesgo crossover , aqu´el que ocurre cuando el saldo pendiente del pr´estamo supera el valor de la vivienda. Seg´ un los autores, este riesgo es la combinaci´on de otros riesgos, como por ejemplo, 1. Riesgo de ocupaci´ on y riesgo de longevidad . El riesgo de ocupaci´on es el riesgo de que el contratante de la hipoteca inversa pueda vivir en la casa hipotecada demasiado tiempo, de forma que el valor acumulado del pr´estamo llegue a 70 Cap´ıtulo 4. C´alculo de la hipoteca inversa exceder el valor de la vivienda. Debido al aumento de la esperanza de vida, el riesgo de longevidad tiene un papel crucial en el producto hipoteca inversa. 2. Ratio de inter´es y riesgo del precio de la vivienda. Puesto que el pago del pr´estamo debe ser cubierto por el precio de la vivienda, un entorno con ratio de inter´es elevado y un mercado real en crisis con inter´es elevado puede exacerbar el riesgo de crossover. Un estudio en profundidad del riesgo de crossover puede consultarse en Chiloy y Megbolugbe (1994). Adem´as de los riesgos citados, otros importantes riesgos son el riesgo de mantenimiento. Este riesgo, tambi´en llamado moral hazard, es debido a que los contratantes de una hipoteca inversa pueden no hacer las reparaciones necesarias de la vivienda para su mantenimiento, y se encuentra bien tratado en Miceli y Sirmans (1994), Shiller y Weiss (2000) y Davidoff y Welke (2007). En el trabajo de Rasmunssen, Megbolugbe y Morgan (1997) se discute que las hipotecas inversas son una buena herramienta financiera fundamentalmente para tres tipos de segmento de mercado bien identificados: personas mayores que viven solas, otros propietarios mayores y propietarios no mayores. Dado adem´as el desarrollo del producto, la tendencia demogr´afica a largo plazo y realidades pol´ıticas, el mercado de la hipoteca inversa parece preparado para un crecimiento sostenido. Un contribuci´on importante a la literatura sobre hipoteca inversa es la de Kutty (1998), que enfoca dicho producto como una forma de aliviar la pobreza, dado que la poblaci´on mayor es pobre en ingresos pero propietaria de su casa y, por tanto, rica en ese sentido. En el caso espa˜ nol ya hemos citado anteriormente el trabajo de Blay-Berrueta (2007), que presenta la hipoteca inversa como una alternativa al seguro privado para la cofinanciaci´on de la dependencia en Espa˜ na. Tras un estudio detallado de la dependencia en Espa˜ na, incluso un c´alculo de su coste, el autor hace una revisi´on comparativa de la hipoteca inversa en Estados Unidos, Reino Unido y en Espa˜ na. Por lo que respecta a la hipoteca inversa en Espa˜ na describe y calcula las hipotecas inversas lanzadas ya en nuestro pais por tres entidades financieras: Caixa Terrasa, la Caixa e Ibercaja, comparando sus resultados. Por nuestra parte, a continuaci´on describimos con detalle la hipoteca inversa que ha dise˜ nado el Instituto Cr´edito Oficial y el m´etodo para su c´alculo. 4.4. El planteamiento de la hipoteca inversa del ICO La hipoteca inversa que se describe en este apartado es m´as restrictiva que la regulada por la Ley 41/2007 y ha sido propuesta por el ICO a trav´es de una L´ınea de Mediaci´on. Su finalidad es complementar, mediante una renta mensual, los ingresos 4.4 El planteamiento de la hipoteca inversa del ICO 71 que, bien de la Seguridad Social o de cualquier otro origen, perciben las personas con residencia en Espa˜ na y de edad igual o superior a los 70 a˜ nos, que sean propietarios de una vivienda de primera residencia localizada en cualquier municipio espa˜ nol. Sus caracter´ısticas principales son: Prestatarios finales.- Residentes en Espa˜ na durante al menos los u ´ltimos 5 a˜ nos, con edad igual o superior a 70 a˜ nos, que sean propietarios de una vivienda que constituya su vivienda habitual, localizada en cualquier municipio espa˜ nol, susceptible de ser hipotecada, con independencia de su estado civil. L´ımite m´ aximo de financiaci´ on por pr´ estamo final.- El l´ımite m´aximo de la l´ınea de cr´edito del Prestatario Final no superar´a el 70 % del valor actual de tasaci´on de la vivienda m´as el coste de la prima u ´nica correspondiente al seguro de supervivencia. Renta mensual del prestatario final.- La renta mensual m´axima se calcular´a igualando el valor actual neto de las rentas mensuales durante la vida esperada del beneficiario final con el 70 % del valor actual de tasaci´on, con un l´ımite de 2.000 euros mensuales. Dicha renta mensual se incrementar´a cada a˜ no en un porcentaje aproximado del 3 %. Duraci´ on esperada de la operaci´ on.- Ser´a la esperanza de vida del Prestatario Final en el momento de formalizar la operaci´on m´as un margen de 5 a˜ nos. Seguros.- Ser´a obligatoria la contrataci´on por el prestatario final de los siguientes seguros: 1. Seguro en la modalidad de prima u ´nica, que cubra la recepci´on de la renta mensual en caso de supervivencia m´as all´a de la fecha l´ımite de vencimiento prevista para la operaci´on, as´ı como los intereses que se devenguen a favor de la entidad financiera por el saldo vivo de la cuenta. 2. Seguro de la vivienda objeto de garant´ıa (multirriesgo hogar ). Para planteamiento matem´atico de la operaci´on hay de calcular todos los t´erminos que intervienen en ella y recurrir despu´es al principio de equivalencia, que supone que el pr´estamo concedido ha de ser igual a todas las rentas percibidas valorados ambos en el mismo momento, en este caso al principio de la operaci´on. A continuaci´on se detalla la obtenci´on de estos t´erminos. El Valor Actual de la Vivienda, VAV, es el valor presente o descontado del Valor Tasado de la Vivienda, VTV, que a un tipo de inter´es i y para un periodo de n a˜ nos vale V AV = V T V (1 + i)−n . 72 Cap´ıtulo 4. C´alculo de la hipoteca inversa Hay que tener en cuenta los gastos de de la operaci´on, G. Dadas las caracter´ısticas exigibles al prestatario, habr´a exenci´on del Impuesto de Actos Jur´ıdicos Documentados, IAJD, y existir´a tambi´en una reducci´on en los gastos de Notar´ıa y Registro. Todo ello permite una estimaci´on del porcentaje de los mismos que se muestra en la Tabla 4.4. Concepto Notaria Registro Gestoria Apertura Total Porcentaje 0.30 % 0.25 % 0.18 % 0.33 % 1.06 % Tabla 4.4: Estimaci´on de los gastos de formalizaci´on y gesti´on En consecuencia, G = 0,0106 · V T V. ´ La Prima Unica de los Intereses a favor del banco, en caso de supervivencia del prestatario, es una renta mensual constante y diferida, PUI, cuyo valor se obtiene mediante la expresi´on P U I = 12 · V T V · im · n /ax = 12 · V T V · im  Nx+n+1 11 Dx+n + Dx 24 Dx  , donde im es el tipo de inter´es financiero mensual, im = (1 + i)1/12 − 1. El importe del Pr´estamo Real Concedido, PRC, a partir del cual se determina el valor de la renta mensual a percibir tanto en la parte financera operaci´on (a˜ nos de duraci´on de la operaci´on) como la parte actuarial de la misma (renta vitalicia si se supera la duraci´on), es P RC = V AV − G − P U I. (4.5) ´ Al PRC debiera descont´arsele la Prima Unica del seguro de supervivencia, PUR, pero como ´esta depende de la renta mensual obtenida, su valor se deducir´a posteriormente cuando se conozca dicha renta. A cambio de este importe el propietario recibe una renta mensual de cuant´ıa a, durante el plazo estipulado, renta que de acuerdo con las caracter´ısticas fijadas por el ICO debe actualizarse cada a˜ no en un porcentaje aproximado del 3 %. La Tabla 4.5 muestra las rentas percibidas a lo largo de los n a˜ nos. 4.4 El planteamiento de la hipoteca inversa del ICO a˜ no mes Renta Valor actual 1 1 a a(1 + im )−1 1 2 a a(1 + im )−2 1 ··· ··· ··· 1 12 a a(1 + im )−12 ··· ··· ··· ··· j 1 aq j−1 aq j−1 (1 + im )−1 j 2 aq j−1 aq j−1 (1 + im )−2 j ··· ··· ··· j 12 aq j−1 aq j−1 (1 + im )−12 ··· ··· ··· ··· n 1 aq n−1 aq n−1 (1 + im )−1 n 2 aq n−1 aq n−1 (1 + im )−2 n ··· ··· ··· n 12 aq n−1 aq n−1 (1 + im )−12 Tabla 4.5: Rentas percibidas a lo largo de los n a˜ nos 73 74 Cap´ıtulo 4. C´alculo de la hipoteca inversa El valor total de las rentas percibidas el a˜ no j, valorado a principio de dicho a˜ no, es Tj = aq j−1 (1 + im )−1 + aq j−1 (1 + im )−2 + . . . + a(1 + im )−12 = aq j−1 [(1 + im )−1 + (1 + im )−2 + . . . + (1 + im )−12 ] 1 − (1 + im )−12 = aq j−1 im j−1 = aq a12|im , donde 1 − (1 + im )−12 , im denota una renta financiera, que se diferencia de las vitalicia en que no est´a ligada a la supervivencia del individuo. Sumando ahora para j = 0, 1, . . . , n − 1, se obtiene a12|im =   T = a · a12|im 1 + q(1 + i)−1 + q 2 (1 + i)−2 + . . . + q n−1 (1 + i)−(n−1) , (4.6) donde la expresi´on entre corchetes es la suma de los t´erminos de una progresi´on geom´etrica de raz´on, r = q(1 + i)−1 , cuyo valor es S= (1 + i)[1 − q n (1 + i)−n ] . 1+i−q (4.7) Sustituyendo (4.7) en (4.6) el valor actual de T ser´a T = a · a12|im (1 + i)[1 − q n (1 + i)−n ] . 1+i−q (4.8) ´ La Prima Unica correspondiente al seguro de supervivencia, PUR, ha de valorarse a partir del valor de a, pues representa lo que debe pagarse al principio de la operaci´on para seguir cobrando la renta revalorizada al final del a˜ no n, caso de sobrevivir al periodo estipulado. Su expresi´on es P U R = 12 · a · q n−1 · n /ax = 12 · a · q n−1  ∗ ∗ Nx+n+1 11 Dx+n + Dx∗ 24 Dx∗  , (4.9) donde, al igual que en la expresi´on (4.10), los s´ımbolos con * est´an calculados con el inter´es t´ecnico i2 que es 1+i−q i2 = . q 4.4 El planteamiento de la hipoteca inversa del ICO 75 La ecuaci´on de equivalencia resultante de la operaci´on se obtiene al igualar el pr´estamo, (4.5), al valor total de la renta de todos los a˜ nos valorado al principio de los n periodos (4.8) m´as el pago u ´nico del seguro para seguir percibiendo la prima actualizada en caso de supervivencia (4.9). Es decir, (1 + i)[1 − q n (1 + i)−n ] + 12 · a · q n−1 P RC = a · a12|im 1+i−q  ∗ ∗ Nx+n+1 11 Dx+n + Dx∗ 24 Dx∗  . Despejando a, P RC a= a12|im (1+i)[1−q n (1+i)−n ] 1+i−q + 12q n−1  ∗ Nx+n+1 Dx∗ + ∗ 11 Dx+n 24 Dx∗ , que es el importe a percibir el primer a˜ no, y se actualiza cada a˜ no de acuerdo con q. El u ´ltimo valor a obtener es el importe mensual de la prima prepagable del seguro multiriesgo hogar, P Mm , que obligatoriamente ha de suscribir el prestatario. Fijando la prima en un p por mil y actualiz´andola en la misma proporci´on que la renta, su valor se obtiene de la igualdad p 12 · P Mm · a ¨(12) = V T V ax x 1000  ∗  Nx 11 Nx∗ p 12 · P Mm · − V T V , = Dx∗ 24 1000 Dx∗ y de aqu´ı N∗ p · V T V x∗ D  ∗ x . P Mm = Nx 11 12000 − ∗ Dx 24 (4.10) 76 Cap´ıtulo 4. C´alculo de la hipoteca inversa Ap´ endice A Aplicaci´ on E-VITA Como complemento a la exposici´on te´orica y pr´actica contenida en los anteriores Cap´ıtulos, se ha desarrollado la aplicaci´on on-line, E-VITA, cuyo objetivo es proporcionar una herramienta de c´alculo que permite obtener: 1. Los datos m´as relevantes de una Hipoteca Inversa, seg´ un la modalidad desarrolla por el ICO, a partir de las caracter´ısticas personales de un supuesto prestatario. 2. Tablas din´amicas para la mortalidad espa˜ nola graduadas a partir de los datos correspondientes al periodo 1980-2005 y para un rango de edad de 0 a 125 a˜ nos. 3. Tablas de mortalidad espa˜ nola proyectadas para un periodo de 20 a˜ nos, del 2006 al 2025. La aplicaci´on es accesible en la direcci´on http://www.uv.es/evita y tanto el periodo de los datos de mortalidad graduados como de los proyectados se ir´an actualizando a medida que los datos de poblaci´on y defunciones sean publicados por el Instituto Nacional de Estad´ıstica. La aplicaci´on consta de cinco ventana, una primera de presentaci´on y otras cuatro que acceden a las utilidades que se describen e ilustran a continuaci´on. A.1. Ventana Presentaci´ on Al acceder a la direcci´on mencionada aparece por defecto la ventana Presentaci´on que contiene una descripci´on detallada del resto de ventana y enlaces a la mismas, a las que tambi´en puede accederse mediante pesta˜ nas situadas en el marco superior de la ventana. La descripci´on de cada una de las restantes ventanas consiste en los datos requeridos como entrada y la salida que proporcionan, con algunas expresiones y f´ormulas cuando se requieren. 77 78 Ap´endice A. Aplicaci´on E-VITA La Figura A.1 muestra un fragmento de la ventanas. El desplazamiento por el resto se lleva a cabo mediante el ascensor situado en su margen derecho. Figura A.1: La ventana Presentaci´on A.2. Ventana Hipoteca Inversa Esta ventana, como se observa en la Figura A.2, consta de dos partes claramente diferenciadas. La parte superior recoge los datos de entrada que debe proporcionar el interesado y, tras pulsar el bot´on Calcular, muestra en su parte izquierda los datos de la hipoteca resultante. Se trata de una hipoteca inversa calculada de acuerdo con lo establecido por el ICO y descrito en el Cap´ıtulo 4. A se˜ nalar que al desplazar el cursor sobre cada item se despliega un bocadillo que lo define brevemente. La parte inferior es una tabla que recoge, para todos los a˜ nos del periodo de duraci´on de la hipoteca, el valor de la renta a percibir cada mes, la prima del seguro multirriesgo y, por diferencia, la renta neta resultante. Renta y prima se actualizan de a˜ no a a˜ no seg´ un la tasa de crecimiento que se haya fijado. A.3 Ventana Ajustes Lee-Carter 79 Figura A.2: La ventana Hipoteca Inversa A.3. Ventana Ajustes Lee-Carter Esta ventana muestra los resultados de la graduaci´on de los datos de mortalidad espa˜ noles del modelo de Lee-Carter con un s´olo t´ermino. Es un complemento al Cap´ıtulo 3 en el que se describe con detalle la aplicaci´on del modelo a los datos de mortalidad espa˜ noles correspondientes al periodo 1980-2005. En la parte superior de la ventana se eligen sexo y a˜ no y se genera autom´aticamente una tabla de mortalidad para el a˜ no elegido y el siguiente y para un rango de edades de 0 a 125. La tabla se muestra en la parte inferior y existe la opci´on de obtener la tabla en formato Excelr pulsando sobre el icono que aparece al final de la misma. A.4. Ventana Par´ ametros del modelo Los par´ametros del modelo ajustado mediante la ventana anterior son accesibles en esta ventana. La elecci´on del par´ametro y del sexo genera autom´aticamente la gr´afica del par´ametro elegido, cuyos valores num´ericos en forma de tabla se obtienen al pulsar sobre el icono de Excelr . La Figuras A.4, A.5 y A.6 reproducen la ventana de cada uno de los tres par´ametro. Cuando se solicitan los par´ametros ax o bx la tabla que se obtiene es la misma y contiene los valores de ambos par´ametros para el conjunto de edades, no as´ı las 80 Ap´endice A. Aplicaci´on E-VITA Figura A.3: La ventana Ajuste de Lee-Carter gr´aficas que corresponde s´olo al par´ametro elegido. Figura A.4: Gr´afica de los par´ametros ax que muestra la ventana Par´ametros del modelo A.5 Ventana Proyecci´on 81 En la Figura A.5, que muestra una ventana en la que se eligi´o el par´ametro bx , se observa que la gr´afica recoge tanto los valores originales como los suavizados, que son los que se utilizar´an posteriormente en la proyecci´on de la mortalidad futura. La tabla de valores tambi´en contiene los suavizados. Figura A.5: Gr´afica de los par´ametros bx que muestra la ventana Par´ametros del modelo A.5. Ventana Proyecci´ on La estructura de la ventana es semejante a la de los Ajustes de Lee-Carter, entrada del sexo y a˜ no y como salida una tabla. La de esta ventana contiene las proyecciones de la probabilidad de muertes, qx , y la esperanza de vida residual, ex , con los extremos de los respectivos intervalos de confianza. Tanto las proyecciones como los extremos de los intervalos de confianza se obtienen a partir de las proyecciones de las kt aplicando la metodolog´ıa de Lee y Carter (1992). Los detalles se pueden consultar en la Secci´on 3.4 del Cap´ıtulo 3. Como antes, tambi´en ahora puede generarse la correspondiente tabla Excelr pulsando el icono situado al final de la tabla que muestra la ventana. 82 Ap´endice A. Aplicaci´on E-VITA Figura A.6: Gr´afica de los par´ametros kt que muestra la ventana Par´ametros del modelo Figura A.7: La ventana Proyecci´on Ap´ endice B C´ odigo en R #l e e m o s l o s d a t o s de Espa˜ na #en e l d i r e c t o r i o de t r a b a j o setwd ( ”F : / ana debon / p r o y e c t o s /ICO/ s o f w a r e t c f i n a l ” ) d a t o s . f i n a l <−r e a d . t a b l e ( ” d a t o s q e s i c o . t x t ” , h e a d e r=T) #4 columnas : edad , #tiempo , p r o b a b i l i d a d e s de muerte ( qx ) , #i n i c i a l m e n t e e x p u e s t o s a l r i e s g o ( ex ) summary ( d a t o s . f i n a l ) ##################################################################### ´ #COMPLETAR LA TABLA CON EL METODOD DE DENUIT Y GORDENIAUX ( 2 0 0 4 ) ##################################################################### #obtenemos c t a j u s t a n d o de i n i t . a j u s t en a d e l a n t e #s e completa l a t a b l a reemplazando l o s qx de i n i . emp h a s t a 130 i n i . a j u s t <−75 i n i . emp<−86 o l d . ages<−d a t o s . f i n a l [ ( d a t o s . f i n a l $ e d a d >=i n i . a j u s t ) , ] t r a n s <−(130−( i n i . a j u s t : 9 9 ) ) ˆ 2 v i e j o s <−(130−( i n i . emp : 1 3 0 ) ) ˆ 2 #s i creamos l o s r a t i o s c o m p l e t o s h a s t a 130 v i e j o s . a j u s t <−matrix ( 0 , n c o l =26 , nrow=131− i n i . emp) o l d . r a t i o s <−matrix ( o l d . ages$qx , nrow=100− i n i . a j u s t , n c o l =26) o l d . p e s o s <−matrix ( o l d . ages$ex , nrow=100− i n i . a j u s t , n c o l =26) #hacemos un a j u s t e para cada a˜ n o , cada columna de l a s m a t r i c e s a n t e r i o r e s ct<−NULL f o r ( i i n 1 : 2 6 ) { f i t 3 <−glm ( o l d . r a t i o s [ , i ] ˜−1+t r a n s , f a m i l y = b i n o m i a l ( l i n k=l o g ) , w e i g h t s=o l d . p e s o s [ , i ] ) v i e j o s . a j u s t [ , i ]<−exp ( c o e f ( f i t 3 ) ∗ v i e j o s ) } 83 84 Ap´endice B. C´odigo en R #creamos l o s r a t i o s c o m p l e t o s r a t i o s <−matrix ( d a t o s . f i n a l $ q x , nrow =100 , n c o l =26) r a t i o s . completos <−r a t i o s [ 1 : i n i . emp , ] r a t i o s . completos <−r b i n d ( r a t i o s . completos , v i e j o s . a j u s t ) #creamos l o s e x p u e s t o s a l r i e s g o c o m p l e t o s p o b l a . completa<−matrix ( 0 , nrow =131 , n c o l =26) p o b l a . completa [1 ,] < − r e p ( 1 0 0 0 0 0 , 2 6 ) #c o n t i e n e l x de l a edad c e r o f o r ( i in 1 : 130) { p o b l a . completa [ i +1,]<− p o b l a . completa [ i , ] ∗ ( 1 − r a t i o s . c o m p l e t o s [ i , ] ) } #creamos l o s d a t o s c o m p l e t o s d a t o s . completos <−data . frame ( edad=r e p ( 0 : 1 3 0 , 2 6 ) , tiempo=r e p ( 1 9 8 0 : 2 0 0 5 , each =131) , qx=matrix ( r a t i o s . completos , n c o l =1) , ex=matrix ( p o b l a . completa , n c o l =1)) ########################################## #AJUSTE DEL MODELO DE LEE−CARTER PERIODO # ########################################## l i b r a r y (gnm) #vamos a r e a l i z a r e l a j u s t e s o l o para e d a d e s de h a s t a 125 d a t o s . completos <−d a t o s . c o m p l e t o s [ d a t o s . completos$edad <126 ,] #para e n c o n t r a r puntos i n i c i a l e s de l o s que p a r t i r y c o n v e r j a s i e m p r e emptymodel<−gnm( qx˜−1+ f a c t o r ( edad ) , w e i g h t s=ex , f a m i l y=q u a s i b i n o m i a l , data=d a t o s . c o m p l e t o s ) b i p l o t S t a r t <−residSVD ( emptymodel , f a c t o r ( d a t o s . c o m p l e t o s $ e d a d ) , f a c t o r ( datos . completos$tiempo ) , 1 ) #para que cumpla l a s r e s t r i c c i o n e s e l punto i n i c i a l bx [ 1 ] = 1 y kt [ 1 ] = 0 #dos r e s t i c c i o n e s para que l a s o l u c i o´ n s e a u ´nica a i n i <−c o e f ( emptymodel)+ b i p l o t S t a r t [ 1 ] ∗ b i p l o t S t a r t [ 1 2 7 ] ∗ biplotStart [1:126]/ biplotStart [1] b i n i <−b i p l o t S t a r t [ 1 : 1 2 6 ] / b i p l o t S t a r t [ 1 ] k i n i <−b i p l o t S t a r t [ 1 ] ∗ b i p l o t S t a r t [ 1 2 7 : 1 5 2 ] − b i p l o t S t a r t [ 1 ] ∗ b i p l o t S t a r t [ 1 2 7 ] a j u s t e . l c 1 <−gnm( qx˜−1+ f a c t o r ( edad)+Mult ( f a c t o r ( edad ) , f a c t o r ( tiempo ) ) , w e i g h t s=ex , c o n s t r a i n=c ( 1 2 7 , 2 5 3 ) , c o n s t r a i n T o=c ( 1 , 0 ) , f a m i l y=q u a s i b i n o m i a l , data=d a t o s . c o m p l e t o s , s t a r t=c ( a i n i , b i n i , k i n i ) ) summary ( a j u s t e . l c 1 ) #para que cumpla l a s r e s t r i c c i o n e s h a b i t u a l e s sum ( bx)=1 y sum ( kt )=0 a x a j u s t e . l c 1 <−a s . numeric ( c o e f ( a j u s t e . l c 1 ) [ 1 : 1 2 6 ] +mean ( c ( 0 , c o e f ( a j u s t e . l c 1 ) [ 2 5 4 : 2 7 8 ] ) ∗ sum ( c ( 1 , c o e f ( a j u s t e . l c 1 ) [ 1 2 8 : 2 5 2 ] ) ) ) ∗ c ( 1 , c o e f ( a j u s t e . l c 1 ) [ 1 2 8 : 2 5 2 ] ) / sum ( c ( 1 , c o e f ( a j u s t e . l c 1 ) [ 1 2 8 : 2 5 2 ] ) ) ) #bx s i n s u a v i z a r b x a j u s t e . l c 1 . ns<−a s . numeric ( c ( 1 , c o e f ( a j u s t e . l c 1 ) [ 1 2 8 : 2 5 2 ] ) 85 /sum ( c ( 1 , c o e f ( a j u s t e . l c 1 ) [ 1 2 8 : 2 5 2 ] ) ) ) k t a j u s t e . l c 1 <−a s . numeric ( c ( 0 , c o e f ( a j u s t e . l c 1 ) [ 2 5 4 : 2 7 8 ] ) ∗sum ( c ( 1 , c o e f ( a j u s t e . l c 1 ) [ 1 2 8 : 2 5 2 ] ) ) −mean ( c ( 0 , c o e f ( a j u s t e . l c 1 ) [ 2 5 4 : 2 7 8 ] ) ∗sum ( c ( 1 , c o e f ( a j u s t e . l c 1 ) [ 1 2 8 : 2 5 2 ] ) ) ) ) #comprobaci´ o n que l a s t r a n s f o r m a c i o n e s e s t a´ n b i e n i n v . l o g i t <−f u n c t i o n ( x ) { exp ( x )/(1+ exp ( x ) ) } cbind ( f i t t e d ( a j u s t e . l c 1 ) , inv . l o g i t ( rep ( axajuste . lc1 , 2 6 ) +( r e p ( k t a j u s t e . l c 1 , each =126)∗ r e p ( b x a j u s t e . l c 1 . ns , 2 6 ) ) ) ) #s u a v i z a d o s , l a s u a v i z a c i o´ n debe e l e g i r s e para que no haya #f l u c t u a c i o n e s r a r a s en l o s v a l o r e s p r o b a r con v a r i o s b x a j u s t e . l c 1 <−smooth . s p l i n e ( s e q ( 0 , 1 2 5 , 1 ) , b x a j u s t e . l c 1 . ns , a l l . k n o t s=FALSE, nknots =9)$y #################################### #RESULTADOS QUE QUEREMOS MOSTRAR # #################################### qx<−matrix ( d a t o s . completos$qx , n c o l =26 , nrow =126) tablamort <−f u n c t i o n ( x , l i f e t a b l e ) { lx <− v e c t o r ( ” numeric ” , l e n g t h ( l i f e t a b l e ) ) dx<− v e c t o r ( ” numeric ” , l e n g t h ( l i f e t a b l e ) ) Lx<− v e c t o r ( ” numeric ” , l e n g t h ( l i f e t a b l e ) ) Tx<− v e c t o r ( ” numeric ” , l e n g t h ( l i f e t a b l e ) ) ex<− v e c t o r ( ” numeric ” , l e n g t h ( l i f e t a b l e ) ) l x [1] < −100000 #c o n t i e n e l x de l a edad c e r o f o r ( i i n 1 : ( l e n g t h ( l i f e t a b l e ) −1)) { l x [ i +1]<− l x [ i ]∗(1 − l i f e t a b l e [ i ] ) } f o r ( i i n 1 : ( l e n g t h ( l i f e t a b l e ) ) ) {dx [ i ]<− l x [ i ] ∗ l i f e t a b l e [ i ] } f o r ( i i n 1 : ( l e n g t h ( l i f e t a b l e ) −1)) {Lx [ i ]<− l x [ i +1]+0.5∗ dx [ i ] Lx [ l e n g t h ( l i f e t a b l e ) ] = 0 . 5 ∗ dx [ l e n g t h ( l i f e t a b l e ) ] } f o r ( i i n 1 : ( l e n g t h ( x ) ) ) {Tx [ i ]<−sum ( Lx [ ( x [ i ] + 1 ) : l e n g t h ( l i f e t a b l e ) ] ) } # l x [ x+1] c o n t i e n e l x de l a edad x f o r ( i i n 1 : ( l e n g t h ( x ) ) ) { ex [ i ]<−Tx [ i ] / l x [ x [ i ] + 1 ] } d e v u e l v e <−c b i n d ( x=x , l x=lx , dx=dx , qx=l i f e t a b l e , ex=ex ) devuelve } t a b l a <−NULL for ( i in 1:26){ any<−r e p (1979+ i , 1 2 6 ) tabl aaux <−c b i n d ( any , t a b l a m o r t ( s e q ( 0 , 1 2 5 ) , matrix ( f i t t e d ( a j u s t e . l c 1 ) , n c o l =26 , nrow = 1 2 6 ) [ , i ] ) ) t a b l a <−r b i n d ( t a b l a , t a b l a a u x ) } #f i c h e r o que guarda para l o s a n ˜ os de 1980 −2005 l a s t a b l a s de m o r t a l i d a d w r i t e ( t ( t a b l a ) , ” a j u s t e h o m b r e s . t x t ” , n c o l=n c o l ( t a b l a ) ) 86 Ap´endice B. C´odigo en R ablc hombres <−c b i n d ( s e q ( 0 , 1 2 5 ) , a x a j u s t e . l c 1 , b x a j u s t e . l c 1 . ns , b x a j u s t e . l c 1 ) #f i c h e r o que guarda para l o s par a´ me tr os ax y bx a j u s t a d o s w r i t e ( t ( a b l c h o m b r e s ) , f i l e =”a b l c h o m b r e s . t x t ” , n c o l=n c o l ( a b l c h o m b r e s ) ) #f i c h e r o que guarda para l o s par a´ me tr os kt a j u s t a d o s klchombres<− c b i n d ( s e q ( 1 9 8 0 , 2 0 0 5 ) , k t a j u s t e . l c 1 ) w r i t e ( t ( klchombres ) , f i l e =”k l c h o m b r e s . t x t ” , n c o l=n c o l ( klchombres ) ) ########################################## # PROYECCIONES E INTERVALOS DE CONFIANZA # ########################################## library ( tseries ) library ( forecast ) #f u n c i o n e s n e c e s a r i a s l o g i t <−f u n c t i o n ( x ) { l o g ( x/(1−x ) ) } #f u n c i o n que o b t i e n e l a s p r e d i c c i o n e s f u n c i o n . p r e d i c t <−f u n c t i o n ( t , n , ax , bx , kt ){ #t n´ u mero de a n ˜ os para l o s que queremos p r e d i c c i o n e s #n numero de e d a d e s para l a s que s e p r e d i c e #c a l c u l o de l a s p r e d i c c i o n e s l e e <−matrix ( r e p ( ax , t ) , nrow=n , n c o l= t )+( matrix ( bx , nrow=n , n c o l= 1 ) %∗ %matrix ( kt , nrow=1, n c o l= t ) ) p r e d i c c i o n e s <−i n v . l o g i t ( l e e ) prueba<− l i s t ( pred=p r e d i c c i o n e s ) prueba } #f u n c i o n que o b t i e n e l a s e s p e r a n z a s espe <−f u n c t i o n ( x , l i f e t a b l e ) { lx <− v e c t o r ( ” numeric ” , nrow ( l i f e t a b l e ) ) dx<− v e c t o r ( ” numeric ” , nrow ( l i f e t a b l e ) ) Lx<− v e c t o r ( ” numeric ” , nrow ( l i f e t a b l e ) ) Tx<− v e c t o r ( ” numeric ” , nrow ( l i f e t a b l e ) ) ex<− matrix ( 0 , nrow=nrow ( l i f e t a b l e ) , n c o l=n c o l ( l i f e t a b l e ) ) for ( j in 1: ncol ( l i f e t a b l e )){ l x [1] < −100000 #c o n t i e n e l x de l a edad c e r o f o r ( i i n 1 : ( nrow ( l i f e t a b l e ) −1)) { l x [ i +1]<− l x [ i ]∗(1 − l i f e t a b l e [ i , j ] ) } f o r ( i i n 1 : ( nrow ( l i f e t a b l e ) ) ) {dx [ i ]<− l x [ i ] ∗ l i f e t a b l e [ i , j ] } f o r ( i i n 1 : ( nrow ( l i f e t a b l e ) −1)) {Lx [ i ]<− l x [ i +1]+0.5∗ dx [ i ] Lx [ nrow ( l i f e t a b l e ) ] = 0 . 5 ∗ dx [ nrow ( l i f e t a b l e ) ] } f o r ( i i n 1 : ( l e n g t h ( x ) ) ) {Tx [ i ]<−sum ( Lx [ ( x [ i ] + 1 ) : nrow ( l i f e t a b l e ) ] ) } # l x [ x+1] c o n t i e n e l x de l a edad x f o r ( i i n 1 : ( l e n g t h ( x ) ) ) { ex [ i , j ]<−Tx [ i ] / l x [ x [ i ] + 1 ] } } ex 87 } kthomlo<−f o r e c a s t ( auto . arima ( k t a j u s t e . l c 1 ) , 2 0 ) $ l o w e r [ , 2 ] kthomme<−f o r e c a s t ( auto . arima ( k t a j u s t e . l c 1 ) , 2 0 ) $mean [ 1 : 2 0 ] kthomup<−f o r e c a s t ( auto . arima ( k t a j u s t e . l c 1 ) , 2 0 ) $upper [ , 2 ] #o b s e r v a r que e l extremo s u p e r i o r de l a k c o r r e s p o n d e a l i n f e r i o r de l a q qxhomlo<− f u n c i o n . p r e d i c t ( 2 0 , 1 2 6 , a x a j u s t e . l c 1 , b x a j u s t e . l c 1 , kthomup ) $pred qxhomme<− f u n c i o n . p r e d i c t ( 2 0 , 1 2 6 , a x a j u s t e . l c 1 , b x a j u s t e . l c 1 , kthomme ) $pred qxhomup<− f u n c i o n . p r e d i c t ( 2 0 , 1 2 6 , a x a j u s t e . l c 1 , b x a j u s t e . l c 1 , kthomlo ) $pred exhomlo<−e s p e ( s e q ( 0 , 1 2 5 ) , qxhomlo ) exhomme<−e s p e ( s e q ( 0 , 1 2 5 ) , qxhomme ) exhomup<−e s p e ( s e q ( 0 , 1 2 5 ) , qxhomup ) esp<−NULL f o r ( i i n 1 : 2 0 ) esp<−c b i n d ( esp , exhomlo [ , i ] , exhomme [ , i ] , exhomup [ , i ] ) qus<−NULL f o r ( i i n 1 : 2 0 ) qus<−c b i n d ( qus , qxhomlo [ , i ] , qxhomme [ , i ] , qxhomup [ , i ] ) p r o y e c c i o n e s c o n k <−c b i n d ( esp , qus ) #f i c h e r o que c o n t i e n e p r e d i c c i o n e s de l o s r a t i o s y l a s e s p e r a n z a s # de 2006 a 2025 write ( t ( proyecciones conk ) , ” proyecciones hombres conk . txt ” , n c o l=n c o l ( p r o y e c c i o n e s c o n k ) ) 88 Ap´endice B. C´odigo en R Bibliograf´ıa Benjamin, B. y Pollard, J. (1992). The Analysis of Mortality and Other Actuarial Statistics. Butterworth-Heinemann, London, 6a edici´on. Benjamin, B. y Soliman, A. (1993). Mortality on the Move. Actuarial Education Service, Oxford. Betzuen, A. (1995). La problematica de los tantos interanuales, la asignaci´on del rango de la edad y del intervalo de exposici´on al riesgo en un colectivo de activos. Anales del Instituto de Actuarios, 3a Epoca(1):51–97. Blay-Berrueta, D. (2007). Sistemas de cofinaciaciaci´on de la dependencia: seguro privado frente a hipoteca inversa. Cuadernos de la Fundaci´on, Fundaci´on Mapfre Estudios, Madrid. Blumen, I., Kogan, M., y McCarthy, P. (1955). The industrial mobility of labour as a probability process. Ithaca, N.Y. : Cornell University Press. Booth, H. (2006). Demographic forecasting: 1980 to 2005 in review. International Journal of Forecasting, 22(3):547–582. Booth, H., Hyndman, R., Tickle, L., y de Jong, P. (2006). 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