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Funciones Complejas Sea z = x + jy = rejθ 1. Conjugado z = x − jy = re−jθ 2. M´ odulo |z| =
p
x2 + y 2 = r
3. Argumento principal −1 y tg x tg −1 xy + signo(y)π Θ = Arg(z) = signo(y) π2
,x > 0 ,x < 0 , x = 0, y 6= 0
donde signo(y) = 1, si y ≥ 0 y signo(y) = −1, si y < 0 4. Potenciaci´ on z n = |z|n ejn arg(z) 5. Radicaci´ on √ n
z=
p n
|z|ej(
Arg(z) +k( 2π n n ))
, k = 0, ±1, ±2, · · ·
6. Exponencial ez = ex+jy = ex ejy 7. Logaritmo log z = ln |z| + j(Arg(z) + 2kπ) , k = 0, ±1, ±2, · · ·
8. Trigonom´etricas sin z = sin x cosh y + j cos x sinh y cos z = cos x cosh y − j sin x sinh y 9. Hiperb´ olicas sinh z = sinh x cos y + j cosh x sin y cosh z = cosh x cos y + j sinh x sin y 10. Trigonom´etricas inversas sin−1 z = −j log(jz +
√
1 − z2)
Tabla preparada por Braulio De Abreu
√
cos−1 z = −j log(z + tan−1 z =
z 2 − 1)
1+jz 1 2j log( 1−jz )
11. Hiperb´ olicas inversas √
sinh−1 z = log(z + cosh−1 z = log(z +
z 2 + 1)
√
z 2 − 1)
1+z tanh−1 z = 12 log( 1−z )
12. Series Patron 1 + w + w2 + w3 + · · · 1 1−w = − w1 − w12 − w13 − · · · ez = 1 + z +
z2 2!
+
z3 3!
, |w| < 1 , |w| > 1
+ · · · , |z| < ∞
sin z = z −
z3 3!
+
z5 5!
+ · · · , |z| < ∞
cos z = 1 −
z2 2!
+
z4 4!
+ · · · , |z| < ∞
sinh z = z +
z3 3!
+
z5 5!
+ · · · , |z| < ∞
cosh z = 1 +
z2 2!
+
z4 4!
+ · · · , |z| < ∞
Tabla preparada por Braulio De Abreu