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Sistemas de Ecuaciones Lineales
Tabla de Contenidos INTRODUCCIÓN ................................................................................................................ 2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES..................................................................... 3 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES .................................................................... 8 MÉTODO DE TRIANGULACIÓN .......................................................................................................... 8 MÉTODO DE GAUSS-JORDAN .......................................................................................................... 12
DETERMINANTES ........................................................................................................... 18 Definición: .................................................................................................................................. 18 REGLA DE SARRUS .......................................................................................................................... 19 Propiedades de los determinantes .............................................................................................. 21 Menor y Cofactor de un elemento .............................................................................................. 23 MÉTODOS PARA DESARROLLAR DETERMINANTES DE CUALQUIER ORDEN..................................... 25 a) Determinante por cofactores ................................................................................................. 25 b) Determinante por Regla de Chío ........................................................................................... 27 c) Determinante por Triangulación de la matriz ....................................................................... 29 CÁLCULO DE MATRICES INVERSAS MEDIANTE DETERMINANTES.................................................. 31 REGLA DE CRAMER ........................................................................................................................ 35
BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................................ 42
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Introducción Lo más importante de los conocimientos adquiridos sobre álgebra de matrices es poder aplicar los métodos de solución de ecuaciones para la solución de problemas relacionados con situaciones del ámbito humano. Así, se estudiará un tema de fundamental importancia: los sistemas lineales, donde, a los efectos de analizarlos con gran economía de demostraciones, se utilizan los conceptos de matriz y rango de una matriz. Luego definiremos la función determinante, la cual fue descubierta en la investigación de sistemas de ecuaciones lineales. Veremos que el determinante es una herramienta importante en la investigación y obtención de propiedades de este operador, pues permite un análisis en el cual se logra establecer la compatibilidad o incompatibilidad del conjunto solución de un sistema lineal. La principal aplicación de los determinantes está en los sistemas lineales. No obstante resulta de gran utilidad en el cálculo de las matrices inversas, o más bien, en la determinación de la inversibilidad de una matriz. Cabe destacar que el elevado número de operaciones para resolver un determinante de orden elevado, que es el que se presenta en la realidad, implica la necesidad de la utilización de computadoras con programas destinados a tal fin, por lo tanto los conceptos estudiados en el presente módulo serán aplicados a determinantes de ordenes inferiores, pero siempre es necesario conocer la metodología de trabajo del computador.
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Hay muchos tipos de problemas expuestos en lenguaje común, que se pueden resolver por medio de sistemas lineales. Por ejemplo: El costo de 10 kg. de papas y 4 de manzanas es de $ 16, en tanto que 4 kg. de papas y 8 de manzanas $ 22,40 ¿Cuánto cuesta el kilo de papas y el de manzanas?. Cuando se pretende resolver un problema de este tipo se necesita expresar esto en lenguaje matemático para hallar la solución. Advertirá usted que, habitualmente, la parte más difícil de esta solución corresponde a la traducción de la forma verbal a la forma matemática. Por desgracia no existe un método para hacerlo, debido a la variedad de problemas y a la variedad de interpretaciones. En este caso, si queremos traducir esta situación a su forma matemática, notamos que las incógnitas son: el precio del kilo de papas (x1) y el precio del kilo de manzanas (x2) ; organizando esto en forma de ecuaciones tenemos: 10 x1 + 4 x2 = 16 4 x1 + 8 x2 = 22,40 Ambas ecuaciones son lineales, pues en ambas las variables están elevadas a la primer potencia, y como recordarán estas ecuaciones son la representación de funciones lineales cuya gráfica es una línea recta. Bajo una interpretación puramente matemática, la solución del problema consiste en encontrar, si existe, los precios (x1 , x2 ) que satisfagan simultáneamente ambas ecuaciones, y este será precisamente el punto de corte de las dos rectas.
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Se dice que este conjunto de dos ecuaciones lineales en dos variables o incógnitas forman un Sistema de Ecuaciones Lineales. En nuestro ejemplo hallamos las coordenadas del punto de intersección ( 0,6 ; 2,5 ) por medio de una cuidadosa inspección de la gráfica, no obstante encontrar las coordenadas exactas requiere de procedimientos algebraicos.
Nota: Probablemente en sus estudios previos hayan aplicado en estos casos los métodos de sustitución, de igualación, de reducción por suma y resta o por determinantes.
En general: Llamamos ecuación lineal sobre el conjunto de números reales a la expresión:
a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + ... + an xn = b donde las ai ( a1 , a2 , a3 , ... , an ) y b son números reales llamados coeficientes y término independiente de la ecuación, respectivamente. Y los elementos xi ( x1 , x2 , x3 , ... , xn ) se denominan variables o incógnitas de la ecuación. Según lo ya dicho, un conjunto de ecuaciones lineales forman un Sistema de Ecuaciones Lineales .
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Sean
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m
ecuaciones lineales con
n
incógnitas, entonces:
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ... + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + ... + a2n xn = b2 am1 x1 + am2 x2 + am3 x3 + ... + amn xn = bm
es un sistema donde los xj son las incógnitas , con j = 1 , .... , n los aij R son coeficientes , con
j = 1 , .... , n
e i = 1, .... , m
los bi R son constantes, términos independientes, con i = 1, .... , m . Si a la expresión dada, la tomamos como una función proposicional y los valores de los elementos xi la convierten en una proposición verdadera, decimos entonces que los xi satisfacen la ecuación y constituyen la solución del sistema. Este sistema, aquí expresado en su forma polinómica, puede también expresarse como producto de matrices. Recordando esta operación entre matrices vemos que:
a11 ... a m1
x1 ... a1n a ij ... . ... ... a mn xn
(m n)
=
( n 1) = A .
X
=
b1 ... bm
(m 1) B
Cuando un sistema de ecuaciones lineales tiene una única solución, como en el ejemplo anterior, decimos que dicho sistema es compatible determinado. Gráficamente, esto significa que las dos rectas se intersectan en un punto. Dicho de otra manera, existe un único punto cuyas coordenadas satisface las ecuaciones del sistema.
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Existen otras dos posibilidades: Que el sistema sea incompatible: -14 x1 + 28 x2 = 84 7 x1 - 14 x2 = 28
Las dos rectas tienen la misma pendiente, pero sus respectivas ordenadas al origen son diferentes. Por consiguiente, las rectas son paralelas y no hay ningún punto de intersección (jamás se cortan). Un sistema incompatible no tiene ninguna solución. Un sistema compatible indeterminado: - x1 + x2 = 6 4 x1 - 4 x2 = 24
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La gráfica de ambas ecuaciones consiste en una sola recta. Cada ecuación del sistema dado se puede convertir en la otra. En un sistema dependiente los infinitos pares ordenados (x1 , x2 ) que satisfacen a una de ellas, satisface también a la otra; las ecuaciones son equivalentes. Un sistema dependiente tiene un número infinito de soluciones.
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RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES Como dijimos, existen varios métodos para resolver sistemas lineales, en este apartado lo resolveremos aplicando los conceptos de matrices. Método de Triangulación Uno de los métodos más sencillos de resolución de sistemas lineales es el considerar la matriz ampliada del sistema y, por medio de operaciones elementales entre filas, obtener una matriz escalonada, que es equivalente por filas a la dada. En nuestro ejemplo inicial, donde la matriz ampliada es:
10 4 16 M’= 4 8 22,40 los pasos a seguir son: 1) F2 F2 - 4/10 F1
10 4 16 0 6,4 16 las operaciones efectuadas han producidos sistemas equivalentes de ecuaciones, este concepto es de suma importancia debido a que los sistemas equivalentes tienen las mismas soluciones. Es posible que cuando usted opere sobre esta matriz emplee una secuencia distinta de
operaciones en las filas, no obstante el sistema obtenido tendrá la misma solución
2) Con el paso 1) realizado, llegamos a una matriz equivalente por filas, cuyo correspondiente sistema lineal es:
10 x1 + 4 x2 = 16 6,4 x2 = 16
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(1) (2)
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Este sistema se considera de forma triangular. A partir de esta forma lo resolvemos para obtener el valor de las variables, usando la sustitución retrógrada. Lo que significa encontrar el valor de x2 en la última ecuación para sustituir el mismo, retrocediendo, en la ecuación anterior, y calcular x1 . Es decir: De (2) despejamos x2
x2 =
16 6,4
x2 = 2,5 luego, reemplazamos este valor en (1) 10 x1 + 4 . 2,5 = 16 y ahora, despejamos el valor de x1 x1 =
16 4 2,5 = 0,6 10
La solución es ( 0,6 ; 2,5 ), que se puede verificar por reemplazo en el sistema original, lo que se dejamos a su cargo. Es importante tener presente cuál es el significado de la solución de un sistema; la que en este caso, como recordará, es la respuesta al precio del kilo de papas y manzanas del problema tomado como ejemplo. Ejemplo VI.3: x1 + x2 -2 x1 + 3 x2 - x1 - x2 x1 + 2 x2
+ x3 - x3 + 2 x3 - 3 x3
=6 = -4 =3 = -5
Hallamos los rangos de M y M’ , en un solo paso, puesto que sabemos que a la izquierda de la línea punteada se encuentra M y agregando a su derecha los términos independientes la matriz M’.
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1 1 1 2 3 1 1 1 2 1 2 3
1 0 0 0
1 0 0 0
1
1
5
1
0
3
1 4
1
1
5
1
0
3
0 21 1 0 0 0
1 1 5 1 0 3 0 0
6 4 Efectuando los siguientes pasos : 3 5 F2 F2 + 2 F1 F3 F3 + F1 F4 F4 - F1 6 8 9 11 F4 5 F4 - F2 6 8 9 63 F4 F4 + 7 F3 6 8 9 0
En esta última matriz vemos que r(M) = r(M’) = 3 = n , entonces tenemos una solución única. Es un sistema compatible determinado. Ahora, formamos nuevamente el sistema, tomando los elementos de la matriz escalonada equivalente obtenida: x1 + x2 + x3 = 6 5 x2 + x3 = 8 3 x3 = 9 De (3)
(1) (2) (3)
x3 = 3 ,
reemplazando x3 en (2) reemplazando x2 y x3
5 x2 + 3 = 8 en (1)
de donde x2 = 1
x1 + 1 + 3 = 6
entonces x1 = 2
La solución es ( 2 ; 1 ; 3 ), que se puede verificar en el sistema original, lo que se deja a su cargo.
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Como habrá notado este método consiste en reescribir el sistema equivalente en
función de la matriz escalonada lograda como último paso en la obtención del rango.
En resumen: Este método de matrices, llamado Método de Triangulación, para resolver un sistema de ecuaciones lineales tiene dos partes importantes: 1) Se emplean las operaciones elementales de filas para transformar la matriz inicial, correspondiente al sistema, en una matriz equivalente por filas. Esta parte se puede completar con varias operaciones de las filas, por lo tanto, los pasos para obtener una solución no son únicos, pero la solución definitiva siempre será la misma. 2) La matriz obtenida en la primer parte se convierte de nuevo en un sistema de ecuaciones lineales, que será equivalente al sistema original, y se resuelve por sustitución retrógrada para obtener el valor de las incógnitas.
Ejemplo VI.4: En una mueblería se fabrican exclusivamente mesas, sillas y camas. Teniendo en cuenta el número de operarios y el tipo de maquinaria con que cuenta el establecimiento dispone mensualmente de 133 hs / hombre para el maquinado, 162 hs / hombre para el ensamblado y 127 hs / hombre para la pintura de los muebles. Para producir cada uno de los muebles se utilizan las hs / hombre que se especifican el la siguiente tabla:
Operación maquinado Mueble
ensamblado
pintura
Mesa
0,2
0,4
0,3
Silla
0,2
0,3
0,2
Cama
0,3
0,2
0,2
Con estos datos calcular la producción mensual máxima de cada uno de los muebles.
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Solución: Denotando con m , s y c a la producción máxima mensual de mesa, sillas y camas respectivamente, por las condiciones del problema, se debe satisfacer el siguiente sistema: 0,2 m + 0,2 s + 0,3 c = 133 0,4 m + 0,3 s + 0,2 c = 162 0,3 m + 0,2 s + 0,2 c = 127 Aplicando el método de triangulación utilizado en la resolución de los ejemplos anteriores se verifica que la capacidad máxima de producción mensual de la mueblería es de: mesas: 150 , sillas: 200 y camas: 210. Método de Gauss-Jordan Este es uno de los métodos más frecuentemente usado para encontrar la solución de un sistema de ecuaciones lineales, su gran utilidad se debe a que con él es posible calcular tanto el rango de una matriz dada como la inversa de una matriz inversible y, como ya se verá, para calcular la solución de un sistema lineal. El método de Gauss-Jordan es un refinamiento del método de triangulación, la diferencia es que en el método de Gauss-Jordan no se realiza la sustitución retrógrada ya que la eliminación de variables es completa. Como resultado, en vez de obtener un sistema triangular, se obtiene uno diagonal. Es decir, cada ecuación contiene una sola variable. Más aún, el sistema diagonal es normalizado, se obtiene la matriz identidad. En términos matriciales el método opera de la siguiente manera: Partiendo de un sistema A . X = B se transforma el mismo mediante operaciones entre filas y columnas a otro tal que el resultado es I . X = Bm donde I es la matriz identidad (n n) y Bm es el vector que contiene los coeficientes independientes modificados y finales que corresponden a la solución para cada variable x i con i = 1 , ..., n . Explicaremos este método mediante el desarrollo de un ejemplo para una posterior formalización: Sea el sistema: x1 + x3 + 2 x4 = 1 - x1 + x2 - x3 - x4 = 2 2 x1 - 3 x2 + x4 = -1 x2 + x3 - x4 = 2
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Como primer paso escribimos la matriz ampliada del sistema: x1
1 1 2 0
x2
x3
x4
0
1
1
1
3
0
1
1
b
1 1 2 1 1 1 2 2
Después se elige un elemento no nulo como pivote, como por ejemplo el a11 = 1 , usualmente se divide la fila a la que pertenece por el número pivote, en este caso se dividirá la primer fila por 1, lo que no altera los valores de los coeficientes. Luego se reducen a cero los elementos de la columna, por debajo del primer pivote, para ello a los elementos a transformar de la segunda fila se le debe restar la primera fila (dividida por el pivote) multiplicada por a21 = -1. El proceso continúa con la elección de un nuevo pivote, que se encuentre en filas y columnas distintas a las anteriores, y termina cuando no se puede elegir ningún pivote en esas condiciones.
pivote 1 1 2 0
0
1
1
1
3
0
1
1
1 1 2 1 1 1 2 2
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1 1 1 1 2 1 2 1 0
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0 1
1
0 (1) 1
1
1 1
3
2 0 1
0
2 1 1
1
0 1 1
1
0 1 1
1 pivote 0 0 0
2 1 1 2 1 1 22 2 1 1 1 1 1 02 0 1 1 2 1 1 2
0
1
1
0
3
2
1
1
1
1 1 3 3 3 1 2 2
Para facilitar este cálculo se observa que queda formado un rectángulo, por ejemplo si el pivote es el a22 y el elemento a transformar es el a33 Llamamos diagonal principal del rectángulo a la que une los vértices del pivote y del elemento a transformar; y simplemente diagonal a la otra, el transformado de cada elemento que no se encuentra en la fila y columna del pivote es igual a la diferencia entre dicho elemento y el producto de los elementos de la diagonal dividido por el pivote. 1 0 0 0
0
1
1
0
3 1
31 1
11 1
0 1
2
3 0 1
1
1 0 1
0 1 1
03 1 1 3 31 3 3 3 1 3 1 11 1 3 1 2 1 1 2
1
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1 0 pivote 0 0
1 0 0 0
0
1
1
0
0
2
0
1
1 2 2
1
1
0
0
2 2
0
0
1
1 2 2
1 1 3 0 6 2 1 2
1 0 2
61 2 0 0 6 1 3 2 2 0 6 2 2 0 1 1 6 2 2 1 2 2
1 0 0 pivote 0
0
1
1
0
0
1
0
0
1 0 0 0
0
1
1
0
0
1
0
0
1
4 1 3 0 3 2 2 2
22 2 2 1 0 3 2 0 3 2 0 2 2 2 2 2 0
4
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Realizando los cálculos correspondientes con este último pivote, como ya se mostró, se tiene:
1 0 0 0
0
1
1
0
0
1
0
0
0 6 0 4 0 3 1 1
Obsérvese que este método permite estudiar la compatibilidad del sistema, ya que se pueden ver claramente los rangos de M y M” , que en este caso serán : r(M) = r(M’)=4 lo que quiere decir que el sistema es compatible. Como además, dicho rango común coincide con el número de incógnitas ( n = 4 ) es determinado. Como se puede notar las soluciones son: x1 = 6 ; x2 = 4 ; x3 = -3 y
x4 = -1
Aplicaremos este método en el desarrollo de un ejemplo:
Ejemplo VI.5: 7 x1 - x2 - x3 = 8 0,1 x1 + 2 x2 + 0,2 x3 = 10 0,25 x1 - 0,1 x2 - 9 x3 = -9 Como primer paso escribimos la matriz ampliada del sistema, y luego aplicamos el método de Gauss-Jordan: 7 0,1 0,25
1 2 0,1
8 0,2 10 9 9 1
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1 0 0
0,0643
1,1428 0,2148 9 ,8857 8,9643 9 ,2857
1 0 0
0,1276 1,8437 0,1066 4 ,9085 8,9574 8,97
01428 . 2 ,014
0 1 0
0,1428
Realizando los cálculos correspondientes con este último pivote, como ya se mostró, se tiene: 1 0 0
0 1 0
0 1,9715 0 4 ,8017 1 1,0014
Como r(M) = r(M’) = n = 3 el sistema es compatible determinado; y las soluciones son: x1 = 1,9715 ; x2 = 4,801 y x3 = 1,0014
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DETERMINANTES Hasta ahora como obtener la solución de un sistema de ecuaciones mediante transformaciones de las filas de la matriz ampliada M’ formada por los coeficiente de las incógnitas y los términos independientes. Con dichas transformaciones llegábamos a obtener la solución del sistema. Dichos métodos de transformación se complican al aumentar las dimensiones del sistema, especialmente por lo largo que se hace el cálculo. El cálculo se simplifica mediante la regla de Cramer; dicha regla es la que comúnmente se utiliza en la resolución de sistemas de ecuaciones pero para aplicarla se debe conocer previamente el concepto de determinante de una matriz. Debido a esta y otras aplicaciones del concepto de determinante de una matriz ello dedicaremos las siguientes secciones al estudio a los métodos de cálculo y las propiedades que caracterizan a este importante concepto. Definición: Vamos a dar una definición de determinantes que en realidad indica como se calcula. Omitimos dar la definición más general por su relativa complejidad, y que estimamos no tiene, por otra parte, gran interés dentro de los objetivos del curso. El determinante de una matriz cuadrada es un número que se obtiene la aplicación de una función llamada función determinante. El determinante de una matriz cuadrada A de orden n es un escalar, denotado por det (A) o bien A dicho escalar resulta de sumar algebraicamente los productos en los que cada factor pertenece a una fila y a una columna distinta. Así para una: matriz A de orden 1
A= ( a11) ; det(A) = A = a11= a11
matriz A de orden 2
a 11 A= a 21
matriz A de orden 3
a11 a12 A = a 21 a 22 a 31 a 32
a 12 ; det(A) = A = a11 . a22 + a12 . a21 a 22 a13 a 23 a 33
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det(A) =a11 . a22 . a33 + a12 a23 . a31 + a13 a21 . a32 - a13 a22. a31 - a12 a21 . a33 - a11 a23 . a32
Nótese que este último determinante se obtiene de efectuar los productos de tres términos de modo que estén en filas y columnas distintas, afectados con signos más o menos. Para obtener fácilmente la expresión anterior, se puede utilizar la regla de Sarrus, donde se indica gráficamente como elegir los factores.
TÉRMINOS POSITIVOS
TÉRMINOS NEGATIVOS
Regla de Sarrus La regla de Sarrus podría enunciarse como sigue: “Los productos precedidos por el signo más contienen a la diagonal principal o elementos paralelos a la diagonal principal. Los productos precedidos por el signo menos, contienen a los elementos de la diagonal perpendicular a la principal, a la que se llama simplemente diagonal, o elementos paralelos a la misma.” Otra forma de representar esta regla para calcular el determinante de una matriz consiste en escribir las dos primeras filas debajo de la tercera y armar los productos siguiendo las flechas indicadas en el gráfico (I), precediendo de signo positivo a aquellos de la diagonal principal o paralelos a ella; y por signo negativo a los de la diagonal o paralelos a ella. O bien, reescribiendo las dos primeras columnas a la derecha de la tercera y armar los productos indicados por las flechas en el gráfico (II).
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Ejemplo VI.6: a)
1 1 A = 3 5
Si
det(A) = A =
b)
1 1 3
5
= 1 . 5 - 3 . (-1) = 8
1 2 3 A = 0 2 5 1 4 1
Si
1 2
det(A) = A = 0 1
3
2
5
4
1
= 1 .2 .(-1) + 0 .4 .3 + (-2) . 5 . 1 - 1 . 2 . 3 - 0 . (-2) . (-1) - 4 . 5 .1 = -2 + 0 -10 - 6 - 0 - 20 = - 38 o bien, podemos desarrollar el mismo determinante, aplicando la segunda opción:
c)
Si
1 2 3 A = 0 2 5 1 4 1
1 2
det(A) = A = 0 1 1 0
3
2
5
4
1
-2 2
3 5
det(A) = A = 1 .2 .(-1) + 0 .4 . 3 + 1 (-2). 5 - 1 . 2 . 3 -.1 4 . 5 - 0. (-2) (-1) = -2 + 0 -10 - 6 - 20 - 0 = - 38
d)
Si
2 3 5 A = 1 2 0 1 1 1
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2
3
5 2
3
det(A) = A = 1 2 0 1 2 1 1 1 1 1 = 2 . 2 .1 + 3 . 0 . 1 + 5 . (-1) . (-1) - 1 . 2 . 5 - (-1) . 0 . 2 - 1 . (-1) . 3 = 4 + 0 + 5 - 10 + 0 + 3 =2 Veremos luego que existen métodos más generales que nos permiten calcular el determinante de una matriz de orden mayor, ya que la regla de Sarrus es aplicable únicamente en matrices de orden 2 y 3. Para una mejor comprensión de éstos métodos es necesario conocer previamente algunas de las propiedades más importantes de los determinantes, como así también los conceptos de Menor y Cofactor de un elemento. Propiedades de los determinantes Las propiedades más importantes de los determinantes son las que se relacionan a continuación: 1. Si cambiamos ordenadamente las filas por columnas, el determinante no varía. Es decir la matriz y su transpuesta tienen el mismo determinante. A = At
Por ejemplo:
a
b
c d
a
=ad - bc ;
c
b d
=ad - bc
2. Si se intercambian entre sí dos líneas paralelas (filas o columnas), el determinante solo cambia de signo, pero el valor absoluto se mantiene invariable.
Por ejemplo:
a
b
c d
=ad - bc ;
b a d
c
= b c - a d = - (a d - b c)
3. Multiplicar un número por un determinante equivale a multiplicar dicho número por los elementos de una línea (ya sea fila o columna).
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Por ejemplo:
a
k
b
c d
ka kb
=
c
d
=
ka
b
kc d
4. Un determinante con dos líneas paralelas iguales o proporcionales, vale cero. Por ejemplo:
Con líneas iguales:
a
b c
d
e f = aec + abf + bcd - aec - abf - bcd = 0
a
b c
a
d
Con líneas proporcionales: b
2a
e 2 b = 2aec+2abf+2bcd-2aec-2abf - 2bcd = 0
c
f
2c
5. Si cada elemento en una línea dada es suma de dos términos, se puede desdoblar en dos determinantes, de la siguiente forma
a
Por ejemplo:
a
d
g
d
g
bx ey hz = b
e
h + x y
z
f
i
i
c
d
g
f
i
c
a c
f
6. El determinante de un producto de matrices, es igual al producto de los determinantes de las respectivas matrices.
Por ejemplo:
ae bf
ag bh
ce df
cg dh
a
=
b
c d
.
e g f
h
es decir : A . B=A . B
7. Si a una línea se le suma otra línea multiplicada por un número, el determinante no varía.
a
Por ejemplo:
a
d
g
b ka e kd h kg = b
e
h
f
i
c
d f
g i
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c
( F2 = F2 + k F1 )
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8. Si una línea es combinación lineal de otras dos o más líneas paralelas, el determinante es cero.
Se dice, por ejemplo, que la línea 1 es combinación lineal de las líneas 2 y 3 si se cumple que: L1 = k2 L2 + k3 L3 ,, siendo k2 y k3 números reales.
Por ejemplo:
2
3
5
5
5
9
= 0
porque
F 2 = 2 F 1 + F3
1 1 1
Luego la fila 2 es combinación lineal de las filas 1 y 3. 9. El determinante de una matriz triangular o diagonal es igual al producto de los elementos de la diagonal principal. a
Por ejemplo:
b c
0 d
a 0 0
e = adf
o
0 0 f
0 d 0 = adf 0 0 f
10. El determinante de una matriz que tiene una línea de ceros, es cero.
Por ejemplo:
0 a
d
0 b
e = 0
0 c
f
Menor y Cofactor de un elemento Dada una matriz cuadrada A = (aij)nn , se llama menor complementario o simplemente menor ij de un elemento aij , al determinante de orden (n - 1) que se obtiene al suprimir la fila y la columna a la que pertenece el elemento a ij.
2
3
5
Por ejemplo, dada la matriz A = 5 5 9 1 1 1 el menor 11 del elemento a11 es el determinante que se obtiene de suprimir la fila 1 y la columna 1: Página: 23
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Sistemas de Ecuaciones Lineales
11 =
5
9
1 1
= 5 (-1) - (-1) 9 = 4
Dada una matriz cuadrada A = (aij)n n , se llama cofactor o adjunto Aij de un elemento aij , al valor de Aij = (-1)i + j ij. Es decir, que un menor al que se le asigna un signo positivo si la suma i + j es par o negativo si i + j es impar, es el cofactor del elemento. Ya que dicho signo solo depende de la posición i,j se observa que empieza en la esquina superior izquierda con + y va alternándose de + a - recorriendo filas y columnas indistintamente, es decir:
...
...
...
... ... ... ... Dada la matriz del ejemplo anterior, resulta que A11 = (-1)i + j ij = (-1)1 + 1
A12 = (-1)i + j ij = (-1)1 + 2
5
9
= 4
1 1 2
5
1 1
A21 = (-1)i + j ij = (-1)2 + 1
3
= - (- 7) = 7
5
1 1
= -2
Ejemplo VI.7: Determinar los cofactores de los elementos de la primera columna de la matriz 2 2 1 B = 3 2 1 3 1 2
Recordando que Bij = (-1)i + j ij
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Sistemas de Ecuaciones Lineales
B11 = (-1)1 + 1
B21 = (-1)2 + 1
B31 = (-1)3 + 1
2 1 1
2
2
1
1 2 2
=5
=5
1
2 1
=0
Métodos para desarrollar determinantes de cualquier orden Cuando un determinante es de cuarto orden, o incluso mayor, pueden aplicarse cualquiera de los siguientes métodos que valen también para ordenes inferiores. a) Determinante por cofactores Este método consiste en la descomposición del determinante inicial, de orden n mayor que 3, en la suma de varios determinantes de orden (n - 1), se puede repetir el proceso con los determinantes resultantes hasta llegar a los de orden 3, que ya sabemos como se calculan. El determinante de una matriz de orden mayor que 3 es igual a la suma de los productos de los elementos de una misma línea y los cofactores de dichos elementos. La fórmula general que sirve de base para la descomposición por los cofactores de los elementos de la primera fila es: n
det A=
a j1
n
1 j 1 j = a 1 j A 1 j 1 j 1 j1
Este sistema de determinantes de orden grande, puede ser muy largo y laborioso, por ejemplo, en el caso de un determinante de orden 6, se tendrían que sumar 120 determinantes de orden 3. Por ejemplo, desarrollando el determinante siguiente por los cofactores de los elementos de la primer columna, se tiene:
det (A) =
1
3
2
1
2
2
1
3
0
5 10
4
7
8
2
9
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Sistemas de Ecuaciones Lineales
2
2
1
= (-1) 5 10 4 - 2 5 10 4 + 0 2 1 3 - 7 2 1 5 10 8 9 2 8 9 2 8 9 2
3
1
3
3
1
2
3
2
1
3
4
= (-1) 175 - 2 . (-287) + 0 - 7 . (-77) = 938 El resultado es el mismo cualquiera sea la línea elegida. Así, se elegimos la tercer fila tendremos:
det (A) =
1
3
2
1
2
2
1
3
0
5 10
4
7
8
2
3
9
2 1
1 2 1
= 0 . 2 1 3 - (-5) 2 8 9 2 7
1
1
3 + 10 2
9 2
7
3 2
1
1
3 -4 2
8 2
7
3
2
2 1 8 9
= 0 + 5 . 68 + 10 . 49 - 4 . (-27) = 340 + 490 + 108 = = 938
Ejemplo VI. 8.: Desarrollar el determinante la matriz por los cofactores de los elementos de alguna fila. 3 2 1
det (A) = 5 2 1 0 2 3 =0.
2 1 2
1
-2.
3 1 5
1
+ (-3) .
3 2 5 2
= - 2 . ( 3 + 5 ) - 3 ( 6 - 10 ) = -16 + 12 = -4
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Nota: Observe que, como el procedimiento es el mismo cualquiera sea la línea elegida, es siempre más conveniente seleccionar la que tenga mayor cantidad de ceros, pues de esta manera se suprime el cálculo de algunos términos. b) Determinante por Regla de Chío En el punto anterior hemos analizado la manera de hallar el determinante de una matriz mediante el desarrollo por una línea, un método práctico para determinantes pequeños pero no tanto, como ya lo habrá notado, para determinantes de elevado orden. De ahí surge la necesidad de reducir la cantidad de cálculos necesarios utilizando para ello las propiedades de los determinantes. Uno de estos métodos es la regla de Chío, que permite reducir, mediante operaciones sucesivas, un determinante de orden n en uno de orden (n-1), uno de orden (n-1) en uno de orden (n-2), y llegar así a uno de orden 2 o 1. El método es explicara en el siguiente ejemplo:
1
3
2
1
2
2
1
3
0
5 10
4
7
8
2
det (A) =
9
Elegimos, en el determinante, un elemento no nulo, por ejemplo el a 21 = 2 , al que llamaremos pivote. Dicho pivote se extrae como factor fuera del determinante, quedando el mismo de la siguiente manera:
1 3 2 2 2 det (A) = 2 2 0 5 7
8
2 1 2 10
1 1 3 2 1 3 2 = 2 1 1 0,5 1,5 4 0 5 10 4
9
2
7
8
2
9
Vamos a reducir a ceros los demás elementos de la columna del pivote, de la siguiente manera: A cada fila distinta de la del pivote elegido le restaremos la fila del pivote por la columna del mismo, resultando:
0 3 (1) (1) 2 (1) 0,5 1 (1) 1,5 det (A)= 2
1
1
0,5
1,5
0
5 0 (1)
10 0 0,5
4 0 1,5
0
8 7 (1)
9 7 0,5
2 7 1,5
0 =2.
2
2,5
0,5
1 1 0,5
1,5
0 5 10
4
0 1 5,5 12,5
Todos los pasos efectuados se basan en propiedades de los determinantes, y de ellos podemos observar lo siguiente: cada elemento del determinante que no Página: 27
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está en la columna y fila del pivote forma con este un rectángulo, en el que los vértices de la diagonal principal son el elemento a transformar y el pivote. El método empleado es similar al empleado al método de Gauss-Jordan. Desarrollando el determinante por los elementos de la columna del pivote, en este caso la primera, resulta un determinante de orden 3 multiplicado, por supuesto, por el factor 2 extraído.
0 det (A) = 2 .
2
2,5
0,5
1 1 0,5
1,5
0 5 10
4
0 1 5,5 12,5
2
2,5
0,5
= 2 (-1) 5 10 4 1 5,5 12,5
Que desarrollando mediante regla de Sarrus es: det (A)= 2 (-1) (-469) = 938
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Ejemplo VI. 9. : Tomando como pivote el a23 = 1 ( para que los cálculos sean aún más sencillos ) y anulando los demás elementos de la fila a la que pertenece.
det (A) =
=
=
1
3
2
1
2
2
1
3
0
5 10
4
7
8
2
9
1 2 2
32 2
2
1 3 2
2 2 1
2 2 1
1
3 3 1
0 2 10 5 2 10 10 4 3 10 7 2 9
8 2 9
5
7
2
7
0
0
1
0
9
2 3 9
20 15 10 26 11 10 5
9
29
7
7
= -1 . 20 15 26 11 10 29 = - ( 2175 + 2002 + 1400 - 1155 - 4060 - 1300 ) = 938 c) Determinante por Triangulación de la matriz El método de triangulación consta de (n-1) etapas, consiste simplemente en triangular la matriz dada, y una vez hecho esto el valor de su determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal (según la propiedad 9 de los determinantes). Es muy útil cuando los números son sencillos y se repiten mucho, en otros casos las operaciones pueden resultar un poco complicadas. Por ejemplo:
det (A) =
1
3
2
1
2
2
1
3
0
5 10
4
7
8
2
Página: 29
9
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Haciendo:
Sistemas de Ecuaciones Lineales
F 2 = F2 + 2 F 1 y
F 4 = F4 + 7 F1
det (A) =
1
3
2
1
0
4
5
1
0
5 10
4
0
13 23 9
Intercambiando las columnas 2 y 4 , por lo que se debe cambiar el signo del determinante:
1 1
2
3
0
1
5
4
0
4
10 5
0
9 23 13
det (A) = -
Haciendo:
F 3 = F3 - 4 F 2 y
F4 = F4 + 9 F2
det (A) = -
Y, finalmente:
1 1
2
3
0
1
5
4
0
0
10 21
0
0
68
49
F4 = F4 + 68/10 F3
det (A) = -
1 1
2
3
0
1
5
4
0
0
10
21
0
0
0
938 10
det (A) = - (-1) 1 (-10) (-938/10) = 938
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Sistemas de Ecuaciones Lineales
Cálculo de Matrices Inversas mediante Determinantes En el Módulo anterior se ha presentado el método general de cálculo de la inversa de una matriz. Para ello recordemos que se trabajaba con transformaciones de las filas de la matriz ( A , I ), siendo A la matriz que se quería invertir y siendo I la matriz identidad. Dicho método se hace mucho más complicado al aumentar la dimensión de la matriz A. En este Módulo examinaremos un método mucho más rápido de obtención de dicha matriz inversa, para ello primeramente definiremos una nueva matriz que nos será de gran utilidad. En apartados anteriores hemos estudiado la descomposición de un determinante en otro de menor dimensión. En particular definimos al cofactor o adjunto Aij de un elemento aij perteneciente a una matriz cuadrada A = (aij)n n , como el determinante Aij = (-1)i + j ij. Aplicando este concepto definiremos a partir de una matriz cuadrada M de orden n , a la matriz adjunta de M . La matriz adjunta de M , denotada por adjM , es la transpuesta de la matriz que resulta de reemplazar cada elemento de M por su respectivo cofactor. Por ejemplo, sea 1 3 5 M = 3 2 1 0 2 3
La matriz de los cofactores de M, está dada por:
2 2 3 2 3 2
1 3 5 3 5 1
3 1 0 3 1 5 0 3 1 5 3 1
3 2 0 2 8 9 6 1 3 = 1 3 2 0 2 13 16 7 1 3 3 2
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Sistemas de Ecuaciones Lineales
Si ahora hacemos la transpuesta de esta matriz obtenemos: 8 1 13 adjM = 9 3 16 6 2 7
Se ha dicho que la principal aplicación que le daremos a la matriz adjunta de una matriz dada M , estará en el cálculo de la inversa de M, en caso de que fuera una matriz inversible. Esta posibilidad quedará abierta a partir del siguiente teorema, que será demostrado en el Anexo: Una matriz M de orden n es inversible si y solo si el det(M) 0 . En tal caso se cumple que : M-1 =
adjM det( M )
Así, la inversa de la matriz dada en el ejemplo anterior: 1 3 5 M = 3 2 1 0 2 3
se calcula hallando previamente: 8 1 13 adjM = 9 3 16 6 2 7
1 3
det(M) = 3 2 1 = 11 0 2 3
y
por consiguiente: M-1 =
5
adjM det( M )
8 1 13 9 3 16 6 2 7 M-1 = 11
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Sistemas de Ecuaciones Lineales
Basta tener en cuenta que la división de una matriz por un escalar, al igual que se ha afirmado para la multiplicación, es igual a la división de cada elemento de dicha matriz por el escalar. Por lo tanto, la matriz inversa de M será:
M-1
8 11 1 11 13 11 = 9 11 3 11 16 11 6 11 2 11 7 11
Queda como ejercicio comprobar que esta matriz así obtenida es la inversa de la matriz M. Para ello, bastará realizar el producto: M . M-1 , y si es igual a la matriz unitaria I se corroborará que hemos encontrado la matriz inversa. Lo realizado para 3 dimensiones es perfectamente extensible a cualquier dimensión, conservando siempre la misma ecuación de cálculo. Debe tenerse presente que el determinante de la matriz a invertir no puede ser nulo, en cuyo caso no podríamos obtener ningún resultado. Ejemplo VI. 10. : Dada la matriz: 1 0 1 A = 1 2 3 2 0 1
se calcula previamente la matriz de los cofactores
2 0 0 0 0 2
3 1 1 1 1 3
1 3 2 1 1 1 2 1 1 1 1 3
1 2 2 0 1 0 2 0 1 0 1 2 =
2 7 4 0 1 0 2 4 2
para luego poder hallar la adjunta de A: 2 0 2 7 1 4 4 0 2 adjA =
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Sistemas de Ecuaciones Lineales
1
0
1
1 2 3
det(A) = 2
y
0
1 =2
por consiguiente:
A-1
2 0 2 7 1 4 1 0 1 0 2 4 = = 7 2 1 2 2 2 0 1 2
Ejemplo VI. 11. : Dada la matriz: 1 3 2 B = 0 1 3 2 1 2
La matriz de los cofactores calculada es: 5 6 2 4 3 5 11 3 1
para luego hallar: 5 4 11 adjB = 6 3 3 2 5 1
1
y
5 6 2 3 11 6 = 1 1 2 2 3 1 3 5 6 1 6
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2
det(B) = 0 1 3 = 6 2 1 2
por consiguiente:
B-1
3
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Regla de Cramer En la primer parte del presente Módulo hemos indicado como obtener la solución de un sistema de ecuaciones mediante transformaciones de las filas de la matriz ampliada M’, con dichas transformaciones llegábamos a obtener la solución del sistema. El cálculo mediante la regla de Cramer es generalmente utilizado en la resolución de sistemas de ecuaciones, en los que el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas y además se verifica que la matriz de los coeficientes M es invertible (det(M) 0). Es decir, resuelve sistemas no homogéneos que sean compatibles determinados.
Tomemos el siguiente sistema de m , donde m = n, entonces:
ecuaciones lineales con
n incógnitas
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ... + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + ... + a2n xn = b2 am1 x1 + am2 x2 + am3 x3 + ... + amn xn = bm Y expresémosla en su forma matricial:
a11 ... a m1
o más simplemente :
x1 ... a1n a ij ... . ... ... a mn xn
A .
X
=
=
b1 ... bm
B
Donde: A es la matriz de los coeficientes , B es la matriz de los términos independientes y X la matriz de las incógnitas. Por ser la matriz A inversible podemos multiplicar ambos miembros de esta última expresión por A-1 , con lo que obtenemos: A-1 . A . X = A-1. B
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Sistemas de Ecuaciones Lineales
X = A-1 . B La matriz X es la solución única que tiene el sistema. Además, teniendo en cuenta que: A-1 =
adjA det(A )
nos queda: X
adjA . det(A )
=
B
Desarrollando todas las matrices obtenemos:
x1 ... xi ... xn
A 11 ... 1 A 1i det(A ) ... A 1n
=
A 21 ... A 2i ... A 2n
... A n1 ... ... ... A ni ... ... ... A nn
b1 ... bi ... bn
(1)
Por lo tanto, cualquier incógnita xi vale: xi =
1 ( A1i b1 + A2i b2 + A3i b3 + ... + Ani bn ) det(A )
(2)
Ahora bien, si analizamos detenidamente el numerador, veremos que este no es más que el desarrollo del determinante que se obtiene sustituyendo la columna i de A por los términos independientes, o sea que queda:
xi =
a11 ... a1i 1
b1
...
...
...
...
a n1 ... a ni 1 b n
a1i 1 ... a1n ...
...
...
a ni 1 ... a nn
a11 ... a1n ...
...
(3)
...
a n1 ... a nn Esta expresión hay que calcularla para cada una de las incógnitas, haciendo el reemplazo correspondiente de bi , para obtener la solución del sistema. Para poder comprender la igualdad entre las expresiones (2) y (3), analizaremos el caso de un sistema compatible determinado, de tres ecuaciones con tres incógnitas, dado por
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Sistemas de Ecuaciones Lineales
a11 a12 a 21 a 22 a 31 a 32
a13 x1 a 23 . x 2 a 33 x 3
=
b1 b 2 b3
Partiendo de la expresión matricial (1) x1 x 2 x3
=
A11 A 21 A 31 b1 1 A A A 12 22 32 b 2 det(A ) A13 A 23 A 33 b 3
la expresión (2) nos indica que, por ejemplo: 1 x1 = det(A ) ( A11 b1 + A21 b2 + A31 b3)
que resulta de las definiciones de producto y de igualdad de matrices. Resolviendo ahora los cofactores indicados, el segundo miembro nos queda x1 =
1 [ (a22 a33 - a32 a23) b1 - (a12 a33 - a13 a32) b2 + (a12 a23 - a22 a13) b3] det(A )
efectuando las operaciones algebraicas necesarias, resulta: x1=
1 [ a22 a33 b1 + a13 a32 b2 + a12 a23 b3 - a32 a23 b1 - a12 a33 b2 - a22 a13b3 ] det(A )
observamos que, como queríamos demostrar, la expresión entre corchetes del numerador corresponde al desarrollo del determinante de la matriz de los coeficientes de nuestro sistema, en el que se reemplazó la primer columna por los términos independientes:
x1 =
b1
a12
a13
b2
a 21 a 23
b3
a 32
a 33
a11
a12
a13
a 21 a 21 a 23 a 31 a 32
a 33
Esta forma de encontrar la solución de un sistema de Cramer es interesante desde el punto de vista teórico, pero a la hora de aplicarlo resulta poco práctico por la gran cantidad de cálculos que es necesario realizar.
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Sistemas de Ecuaciones Lineales
Ejemplo VI. 12. : Resolver el siguiente sistema, aplicando la regla de Cramer 3x - y
=2
2x+ y+
z=0
3 y + 2 z = -1 Solución La forma matricial del sistema es 3 1 0 x 2 1 1 . y 0 3 2 z
=
2 0 1
Hacemos una discusión previa a la resolución para saber si el sistema es compatible determinado, y así poder aplicar la regla de Cramer. Para ello aplicamos directamente la regla de cálculo de un determinante de 3 dimensiones 3 1 0
A = 2 0
1
1 =6-9+4=10
3
2
Calculemos ahora cada una de las variables incógnitas x, y, z; a partir de la ecuación general definida en (3). La incógnita x se obtendrá dividiendo el determinante de la matriz en la que la primer columna se reemplazó por los términos independientes, por el determinante de la matriz de los coeficientes.
x=
2
1 0
0
1
1
1
3
2
3 1 0 2
1
1
0
3
2
=
1 = -1 1
Las incógnitas y, z se obtendrán de modo análogo:
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Sistemas de Ecuaciones Lineales
y=
3
2
0
3 1
2
2
0
1
2
1
0
0
3
1
0 1 2 3 1 0
=
5 = -5 1
z=
3 1 0
2
1
1
2
1
1
0
3
2
0
3
2
=
7 =7 1
En definitiva, las incógnitas han resultado ser: x = -1
y = -5
z=7
En cuanto al número de soluciones posibles en un sistema de m ecuaciones con n incógnitas puede predecirse a partir del ya estudiado Teorema de RouchéFrobenius, que ya hemos utilizado anteriormente.
Ejemplo VI. 13 : Sea el sistema homogéneo cuadrado, (recordando que los sistemas homogéneos son aquellos cuyos términos independientes son todos nulos) 2x+2y-2 z=0 y+ 5x+
z=0
y-3 z=0 2 2 2
det(A) = A = 0 1 1 = 12 0 5 1 3 por lo tanto A es no-singular. Luego la solución es x = y = z = 0
Ejemplo VI. 14 : Un veterinario desea controlar la dieta de un animal, de tal manera que consuma mensualmente (además del heno, hierba y agua) 60 kg. de avena, 75 kg. de maíz y 55 kg. de soja. El veterinario cuenta con tres marcas de alimento; cada uno contiene las cantidades de avena, maíz y soja señaladas en la tabla. ¿Cuántos kilogramos de cada alimento debe utilizar para obtener la mezcla deseada?
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Sistemas de Ecuaciones Lineales
Avena
Maíz
Soja
1 kg. del alimento A 0,4 kg.
0,3 kg.
0,3 kg.
1 kg. del alimento B 0,4 kg.
0,4 kg.
0,2 kg.
1 kg. del alimento C 0,2 kg.
0,5 kg.
0,3 kg.
Solución El sistema planteado en el problema resulta ser, para las siguientes incógnitas x = cantidad de alimento A y = cantidad de alimento B z = cantidad de alimento C 0,4 x + 0,4 y + 0,2 z = 60 0,3 x + 0,4 y + 0,5 z = 75 0,3 x + 0,2 y + 0,3 z = 55 Solución La forma matricial del sistema es 0,4 0,4 0,2 x 0,3 0,4 0,5 . y 0,3 0,2 0,3 z
=
60 75 55
0,4 0,4 0,2
A = 0,3 0,4 0,5 = 0,02 0 0,3 0,2 0,3
60 0,4 0,2 75 0,4 x=
0,5
55 0,2 0,3 1,8 = = 90 0,02 0,02 0,4 60 0,2 0,3 75 0,5
y=
0,3 55 0,3 0,4 = = 20 0,02 0,02 Página: 40
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Sistemas de Ecuaciones Lineales
0,4 0,4 60 0,3 0,4 75 z=
0,3 0,2 55 1,6 = = 80 0,02 0,02
Por lo tanto, para obtener la mezcla deseada, se deben combinar 90 kg. del alimento A, 20 kg. del alimento B y 80 kg. del alimento C.
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MATEMÁTICA
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Bibliografía SOBEL, Max - LERNER, Norbert. Álgebra. Pretince - Hall Hispanoamericana, S.A. 1992 GARCÍA VALLE, JOSÉ LUIS. Matemáticas Especiales para Computación. Mc Graw - Hill. 1988. LIPSCHUTZ, SEYMOUR. Matemáticas para Computación. Mc Graw - Hill. 1992. LIPSCHUTZ, SEYMOUR. Matemáticas para Computación. Teoría y 840 problemas resueltos. Serie de compendios SCHAUM. Mc Graw - Hill. 1983. LIPSCHUTZ, SEYMOUR. Algebra Lineal. Teoría y 600 problemas resueltos. Serie de compendios SCHAUM. Mc Graw - Hill. 1970. LIPSCHUTZ, SEYMOUR. Matemáticas Finitas. Teoría y 750 problemas resueltos. Serie de compendios SCHAUM. Mc Graw - Hill. 1972. AYRES, JR. FRANK Algebra Modernal. Teoría y 425 problemas resueltos. Serie de compendios SCHAUM. Mc Graw - Hill. 1969. ......................................... Enciclopedia
“Temáticas Aplicadas” Editorial Cultural S.A. 1985.
Página: 42