Simetría En Ciencia: Principio Y Método

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ACADEMIA DE CIENCIAS EXACTAS, FÍSICAS, QUÍMICAS Y NATURALES DE ZARAGOZA SIMETRÍA EN CIENCIA: PRINCIPIO Y MÉTODO DISCURSO DE INGRESO LEÍDO POR EL ACADÉMICO ELECTO Ilmo. Sr. D. JOSÉ F. CARIÑENA MARZO EN EL ACTO DE SU RECEPCIÓN SOLEMNE CELEBRADO EL DÍA 6 DE NOVIEMBRE DEL AÑO 2.001 Y DISCURSO DE CONTESTACIÓN POR EL Ilmo. Sr. D. LUIS J. BOYA BALET ACADÉMICO NUMERARIO ZARAGOZA 2.001 ´ SIMETR´ IA EN CIENCIA: PRINCIPIO Y METODO POR EL Ilmo. Sr. D. Jos´ e F. Cari˜ nena Marzo Excmo. Se˜ nor Presidente, Excmo e Ilmos Se˜ noras y Se˜ nores Acad´emicos, Se˜ noras y Se˜ nores Como respuesta a la invitaci´on a formar parte de la Academia de Ciencias de Zaragoza, es de justicia empezar mi intervenci´on agradeciendo a todos los miembros de la Academia, y m´as en particular a quienes promovieron mi elecci´on, la mencionada invitaci´on. Es para m´ı, nacido, criado y formado, tanto personal como cient´ıficamente, en Zaragoza, aunque con una muy grata estancia intermedia en la Universidad de Valladolid, donde me doctor´e, una gran satisfacci´on haber recibido esta invitaci´on, a la que espero poder corresponder de forma responsable. Quiero tambi´en expresar aqu´ı mi sentimiento por la ausencia del Profesor Savir´on, recientemente fallecido, responsable de la secci´on de F´ısicas en el momento de mi propuesta. Muchas personas me han ayudado en esta traves´ıa. A todos los que de una u otra forma han contribuido en mi formaci´on acad´emica, mis profesores, tanto de la Licenciatura de F´ısicas como de la de Matem´aticas, y tambi´en mis alumnos que tanto me estimularon, y a quienes contribuyeron en el desarrollo de mi vida cient´ıfica y acad´emica, mi sincero agradecimiento. Hago extensivo ´este a todos mis compa˜ neros, y singularmente entre ellos a todos mis doctorandos de quienes tanto he aprendido, y con quienes la colaboraci´on y trabajo constante ha sido tan gratificnte como estimulante. Debo, en particular, mencionar expl´ıcitamente al Acad´emico Profesor L.J. Boya, quien me proporcion´o en su momento la oportunidad de realizar, bajo su experta direcci´on, mi tesis doctoral, y posteriormente escuch´andome en el momento que lo he necesitado, anim´andome a continuar esta senda y contribuyendo con sus sugerencias y su ejemplo en mi labor invetigadora y finalmente, ahora, apadrin´andome en la entrada en la Academia. Tambi´en debo agradecer al Profesor H. Marco, no s´olo sus ense˜ nanazas en el comienzo de mis estudios en el curso de 19662-63, sino tambi´en su m´as reciente paciencia, record´andome tantas veces como ha sido menester mi compromiso de presentar esta 7 memoria de ingreso. Fuera del a´mbito acad´emico, mi total agradecimiento tambi´en a mi familia, por su paciencia, apoyo y comprensi´on. Procedo a continuaci´on a dar paso a la materia objeto de mi discurso de ingreso. La elecci´on del tema ha sido para m´ı tarea sencilla. Como quiera que la simetr´ıa ha estado constantemente, como motivaci´on y como objetivo, presente en mis investigaciones, y es realmente no s´olo un principio l´ogico y filos´ofico, sino que ha cautivado durante muchos a˜ nos a fil´osofos, pintores y poetas, es mi intenci´on hacer una reflexi´on aqu´ı sobre su significado, para hacer ver c´omo es posible utilizar estos principios de simetr´ıa para comprender mejor m´ ultiples teor´ıas cient´ıficas y obtener de forma sencilla resultados concretos mediante el empleo de estos principios b´asicos. 1. Introducci´ on Como bien indica H. Weyl al comienzo de la primera de una serie de conferencias sobre la simetr´ıa [We52], impartidas en v´ısperas de su retirada, en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, la palabra simetr´ıa se suele utilizar en dos sentidos algo diferentes: para designar algo bien proporcionado y arm´onico, o en un sentido m´as t´ecnico, que precisaremos posteriormente, para indicar que un objeto presenta ciertas regularidades geom´etricas, o para llamar la atenci´on sobre un cierto proceso de repetici´on. Tambi´en es indudable que esta misma repetici´on conlleva un importante factor est´etico, por lo que esta relaci´on directa entre simetr´ıa y belleza ha sido un importante principio est´etico tanto en decoraci´on como en arquitectura [Ja18]. Por ejemplo, en la siguiente figura se muestra una distribuci´on aleatoria de puntos de diversos tama˜ nos que no es de esperar que provoque ninguna impresi´on especial en el observador. Sin embargo, si esta figura se repite un n´ umero de veces arbitrario mediante un giro alrededor de un eje perpendicular al plano del dibujo, por ejemplo un a´ngulo de 8 2π , 5 se obtiene la siguiente figura que produce una innegable impresi´on est´etica. Este hecho es precisamente el que es aprovechado para la construcci´on de caleidoscopios: un conjunto de cristales de colores, peque˜ nitos, pueden combinarse mediante una adecuada repetici´on para producir una agradable sensaci´on est´etica. Otros ejemplos de esa misma impresi´on por repetici´on regular nos los suministra la propia Naturaleza a trav´es de todo el esplendor y belleza de multitud de seres vivos como corales, medusas, flores, etc, de los que se presentan ejemplos en las siguientes figuras [Ja18][We52]: No debemos olvidar tampoco la maravillosa contribuci´on del genial artista/matem´atico holand´es M.C. Escher (1898–1972), algunos de cuyos dibujos son mostrados a continuaci´on: 9 M´as informaci´on al respecto puede encontrarse en el libro Carnaval Matem´atico [Ga81] de M. Gardner, en el de Coxeter [Co61] “Introducci´on a la Geometr´ıa” o en el editado por Mac Donald and Jane’s titulado “The graphic work of M.C.Escher” [Es78]. El libro de Coxeter comenta tambi´en profusamente el papel de la simetr´ıa en el dise˜ no de motivos decorativos para baldosas, tapices, etc. As´ı, un mosaico formado por yuxtaposici´on de un mismo pol´ıgono regular sin solapamientos y cubriendo toda la regi´on del plano considerada, llamado mosaico regular, debe tener necesariamente como ingrediente fundamental un tri´angulo equil´atero, un cuadrado o un hex´agono. Por el contrario, existen 8 mosaicos semirregulares, que utilizan dos o m´as pol´ıgonos regulares de forma que en cada nudo haya siempre los mismos pol´ıgonos y en el mismo orden c´ıclico, y que se muestran en la siguiente figura. Recu´erdese que este arte de llenar un plano por repetici´on de un mismo motivo hab´ıa sido ya utilizado por los a´rabes durante el siglo XIII en la decoraci´on de la Alhambra. Igualmente hay numeros´ısimos ejemplos de simetr´ıa tanto en pintura como en escultura o arquitectura, de los que se puede encontrar informaci´on detallada en el ya mencionado libro de H. Weyl, o incluso m´ usica (algunas composiciones de Federico Chopin son analizadas por D.R. Hofstadter [Ho82] en el n´ umero de Junio de 1982 de la revista Investigaci´on y Ciencia). 10 Aunque a´ un no hemos definido de forma precisa qu´e es lo que entendemos por simetr´ıa y nos hemos contentado con dar un concepto vago, pero general, s´ı que podemos al menos preguntarnos sobre la naturaleza de este concepto e intentar responder a la pregunta ¿Qu´e es la simetr´ıa? ¿Es una propiedad, o bien es un principio?. Y en este u ´ltimo caso, ¿es una ley experimental, un postulado, una regla de inducci´on, un imperativo est´etico, o alguna otra cosa?. Por el contrario, creemos que puede ser cada una de estas cosas, dependiendo de las circunstancias, y es a esta cuesti´on a la que dedicaremos nuestra atenci´on. No obstante se˜ nalaremos dos respuestas a esta cuesti´on que son muy significativas: J. Rosen, comienza el Prefacio de su libro “Symmetry discovered” [Ro75] con las siguientes palabras: “Symmetry is like a disease. Or, perhaps more accurately, it is a disease. At least in my case; I seem to have a bad case of it”... “I have become an avid symmetry fan, addicted beyond cure. And now, ... the disease has reached its contagious stage” (J. Rosen). Por su parte H. Weyl con sus serenas palabras de despedida nos condensa sus impresiones con estas palabras. “Symmetry, as wide or as narrow as you may define its meaning, is one idea by which man through the ages has tried to comprehend and create order, beauty and perfection”. A menudo he encontrado estas palabras en libros dedicados al estudio de la simetr´ıa en f´ısica y parecen “raz´on suficiente” para que revisemos breve y r´apidamente las diferentes aplicaciones que ha tenido este “principio” de simetr´ıa a lo largo de la historia. 2. Breve rese˜ na hist´ orica Los primeros objetos que fueron sometidos a estudio fueron los astros. Anaximandro (611–545 a.C.), disc´ıpulo y amigo de Tales de Mileto (625–548 a.C) sosten´ıa que la Tierra ten´ıa la forma de un disco y seg´ un Arist´oteles, manten´ıa que la Tierra permanece en su lugar a causa de su “indiferencia”: movimientos en todas sus direcciones eran igualmente inapropiados para algo que est´a en el centro y no tiene preferencia por ninguno de los ´ extremos. Esta es, quiz´as, la primera manifestaci´on de c´omo un principio de simetr´ıa, aqu´ı llamado indiferencia, puede servir para conformar un modelo de la Naturaleza. La escuela pitag´orica impuso pronto sus preceptos, entre los que ya destacaba la simetr´ıa o armon´ıa como m´etodo de alcanzar la belleza: ¿Qu´e es lo m´as sabio?. El n´ umero. ¿Qu´e es lo m´as bello?. La armon´ıa. As´ı comenzar´a el estudio de las simetr´ıas y armon´ıas, tanto en Matem´aticas como en los instrumentos musicales, y estas mismas armon´ıas las atribuyeron a la distribuci´on de planetas. Por su parte, la escuela ele´atica, representada por Jen´ofanes y Parm´enides, defend´ıa que “Dios es perfecto, como una esfera, equidistante 11 del centro desde cada punto, continuo y homog´eneo”. Tambi´en Parm´enides atribuye ya esta forma esf´erica a la Tierra y puede considerarse este hecho como un primer ´exito del principio de simetr´ıa en F´ısica. Plat´on, que vivi´o en Atenas desde el a˜ no 427 hasta el 347 a.C. y que fue fuertemente influenciado por Parm´enides y Pit´agoras, defendi´o y populariz´o un modelo geoc´entrico del Cosmos con una simetr´ıa esf´erica: los planetas y estrellas se mov´ıan describiendo c´ırculos conc´entricos, modelo ´este que fue perfeccionado por Arist´oteles (384–321), quien propon´ıa un Cosmos con una estructura radial casi perfecta, siendo la u ´nica asimetr´ıa la distinci´on entre el mundo sublunar y supralunar, terminando bruscamente este Cosmos en la esfera de las estrellas fijas. Los cuerpos pesados eran esferas de forma perfecta, y se mov´ıan en c´ırculos por lo que no afectaban a la situaci´on de la esfera. En el haber de Plat´on se encuentra el hecho de que fue el primero en afirmar que la simetr´ıa que se aprecia en la Naturaleza no es casual sino que es consecuencia de las simetr´ıas de las leyes f´ısicas [We52]. Tambi´en es digno de menci´on que Aristarco, contempor´aneo y amigo de Arist´oteles, fuera capaz de proponer, por supuesto sin ´exito, que fuera la Tierra quien giraba alrededor del Sol, lo que en aquellos momentos pudo ser m´as que ultrarevolucionario y su propuesta tuvo que esperar aparcada hasta Cop´ernico. En cuanto a la ciencia que podr´ıamos calificar de “terrestre” por oposici´on a “celeste”, quiz´as la primera manifestaci´on del uso de simetr´ıa debemos encontrarlo en Arqu´ımedes de Siracusa (287–212 a.C.) en su teor´ıa de la balanza [Ro83]. Su primer postulado es: Iguales pesos a iguales distancias se mantienen en equilibrio. Arqu´ımedes puede ser considerado como “padre” de la F´ısica Matem´atica como defensor y exponente de las llamadas “matem´aticas no puras”, sino “aplicadas” a la naturaleza u otros artefactos. Es casi seguro que debi´o enunciar su postulado basado en razones de simetr´ıa o indiferencia. Recu´erdese la preferencia que la tradici´on arquimediana ha concedido a los argumentos te´oricos frente a la justificaci´on experimental, cuando eso sea posible. Esta preferencia, que a´ un se mantiene entre los f´ısicos matem´aticos, es parcialmente debida a que uno puede imaginar situaciones idealizadas que no pueden realizarse experimentalmente, pero que han sido una ayuda valios´ısima en la construcci´on de las teor´ıas f´ısicas modernas, a´ un cuando tambi´en se debe a que un puro principio abstracto es muy u ´til para realizar un razonamiento matem´atico. Volviendo otra vez al estudio de los astros, cuando Hiparco y otros astr´onomos constataron la imposibilidad de describir los movimientos de los planetas como trayectorias circulares recorridas con velocidad constante, era tal su admiraci´on por la simetr´ıa y perfecci´on de la estructura circular, que no pensaron en otras curvas “parecidas”, como ´ovalos o elipses, sino que introdujeron una superposici´on de movimientos circulares (epi12 ciclos) para dar cuenta con una aproximaci´on excelente del movimiento de los planetas (Tolomeo 100–168 d.C.), dando, sin percatarse de ello, los primeros pasos en lo que se conoce actualmente como An´alisis de Fourier. No obstante, y como es de esperar visto con la o´ptica actual, la sistematizaci´on de los epiciclos que tan buenos resultados daba para describir la trayectoria, era incapaz de dar una descripci´on aceptable de las velocidades de los planetas y eso llev´o a la introducci´on de un punto exc´entrico en torno al cual se mov´ıan con velocidad angular constante. N. Cop´ernico (1473–1543) puso al Sol como centro del Universo y desarroll´o el modelo que con peque˜ nas variaciones se fue imponiendo poco a poco. Los planetas entonces conocidos, Mercurio, Venus, La Tierra, Marte, J´ upiter y Saturno se mov´ıan en o´rbitas circulares en torno al Sol y envolviendo a todos ellos, una esfera de estrellas fijas. El hecho de que s´olo fueran 6 los planetas conocidos, induc´ıa a buscar alguna explicaci´on num´erica como la que corresponde a las descomposiciones 6 = 1 · 2 · 3 = 1 + 2 + 3. Por otra parte, hab´ıa una ley emp´ırica que expresaba con notable precisi´on las distancias de los diversos planetas, conocida con el nombre de Ley de Bode, que no resistir´ıa al descubrimiento de los nuevos planetas Neptuno, Urano y Plut´on. J. Kepler (1571–1630) realiz´o un primer intento de explicar la distribuci´on propuesta por Cop´ernico para los planetas, mediante los llamados s´olidos plat´onicos, los 5 poliedros regulares: dodecaedro, tetraedro, cubo, icosaedro y octaedro. As´ı, empezando con una esfera para la Tierra, inscribi´o en ella un icosaedro y en ´el una esfera que hizo corresponder a Venus; en esta esfera inscrib´ıa un octaedro y en ´este la esfera correspondiente a Mercurio. Para describir los planetas m´as alejados que la Tierra segu´ıa el proceso opuesto de circunscribir sucesivamente un dodecaedro, la esfera de Marte, un tetraedro, la esfera de Jupiter y finalmente un cubo y la esfera de Saturno. Esta curiosa manera de razonar en la b´ usqueda de una explicaci´on para la existencia 13 de los seis planetas entonces conocidos, no debe causar extra˜ neza en los f´ısicos te´oricos actuales que est´an habituados a clasificar part´ıculas elementales de acuerdo con las representaciones lineales irreducibles unitarias de algunos grupos de Lie. Particularmente provechosa para Kepler fue su relaci´on con el astr´onomo dan´es Tycho Brahe, quien pose´ıa una ingente cantidad de datos minuciosos sobre el movimiento de los planetas. Al comparar estos datos con el modelo astron´omico circular, encontr´o Kepler grandes discrepancias y observ´o que los datos se adaptaban mejor si se supon´ıa “que todos los planetas realizan o´rbitas el´ıpticas teniendo al Sol situado en uno de sus focos”. Al observar las velocidades con que recorren estas o´rbitas, pudo constatar que la l´ınea imaginaria que une el Sol y el planeta, barre a´reas iguales en tiempos iguales. Finalmente, en 1618 enunci´o tambi´en la que hoy se conoce como tercera ley de Kepler, seg´ un la cual los cuadrados de los per´ıodos de revoluci´on de los diferentes planetas en torno al Sol est´an en la misma raz´on que los cubos de sus distancias medias. M´as informaci´on sobre la vida y contribuciones Kepler puede por ejemplo, encontrarse en [Lo83]. No debemos olvidar al ingeniero holand´es S. Stevinus, que fue quien primero hizo uso de forma expl´ıcita del principio de simetr´ıa en mec´anica [Ro83]. Su objetivo era deducir la ley de la componente del peso a lo largo de un plano inclinado para lo cual pens´o en el siguiente experimento ideal de la “cadena sin fin” que aparece en su libro sobre Est´atica. Una cadena formada por un cierto n´ umero de peque˜ nas esferas met´alicas, se coloca en un soporte como el indicado en la figura. Stevinus afirm´o que el sistema permanece en equilibrio como consecuencia de la simetr´ıa de la parte colgante de la cadena, por lo que los pesos a lo largo de cada uno de los planos indicados deben ser los mismos, de donde Stevinus concluy´o la hoy bien conocida ley de senos. 14 Contempor´aneo de Kepler fue Galilei (1564–1642), a qui´en adem´as de sus grandes descubrimientos en Astronom´ıa (monta˜ nas en la Luna, manchas del Sol, Lunas de J´ upiter, etc....), obtenidos merced a un modesto telescopio que ´el mismo se construy´o, debemos el establecimiento de una gran cantidad de leyes de simetr´ıa entre las que citaremos como m´as conocidas el “principio de inercia circular”, “todos los cuerpos caen con la misma velocidad en el vac´ıo”(siempre se dice que realiz´o el experimento desde la famosa torre inclinada de su ciudad natal Pisa), “el isocronismo del p´endulo” (con el puls´ometro como contribuci´on a la ciencia m´edica” [GG80] y sobre todo el “principio de relatividad Galileana” seg´ un el cual, “las leyes mec´anicas establecidas por dos observadores que se desplazan con una velocidad relativa constante son las mismas”. A partir de ese momento, los principios de simetr´ıa son utilizados mucho m´as frecuentemente [Ro83]. P. Gassendi (1592–1655), por ejemplo, establece el “principio de inercia lineal”, seg´ un el cual un cuerpo dotado de una velocidad se mueve siguiendo una trayectoria recta, en ausencia de fuerzas. Este principio s´olo pudo ser establecido cuando se acept´o la naturaleza ilimitada del espacio, as´ı como su homogeneidad e isotrop´ıa. R. Descartes (1596–1650) generaliz´o el principio de Galilei, proclamando absoluta simetr´ıa entre reposo y movimiento, as´ı como us´o expl´ıcitamente argumentos de simetr´ıa en la derivaci´on de las leyes del choque el´astico. D. Huygens (1629–1695) extendi´o el uso del concepto de simetr´ıa como m´etodo de descubrir y probar, estudiando adem´as el choque el´astico en el sistema centro de masas. Finalmente, y ya a punto de que surgiese la elaboraci´on matem´atica de la teor´ıa de grupos, lenguaje que se ha mostrado especialmente adecuado en el estudio del concepto de simetr´ıa, Newton (1642–1727), nacido el mismo a˜ no en que fallece Galilei, establece el principio de acci´on y reacci´on as´ı como el principio de uniformidad de la Naturaleza como regla de inducci´on. La teor´ıa de grupos de simetr´ıa marcaba a continuaci´on el comienzo de una nueva ´epoca. 3. El Lenguaje de la Simetr´ıa: La teor´ıa de grupos La estructura algebraica b´asica en el estudio de las simetr´ıas es la de grupo. El origen del concepto de grupo en Matem´aticas fue el problema de la resoluci´on de ecuaciones umeros complejos durante algebraicas xn + a1 xn−1 + . . . + an = 0. La introducci´on de los n´ el Renacimiento italiano permiti´o obtener la soluci´on general de la ecuaci´on de segundo grado, as´ı como la de tercer grado (por Scipio del Ferro, en el siglo XVI) y poco despu´es la de cuarto grado (por Ferrari (1522-1565)). Lo que nos interesa destacar ahora es que ya en el a˜ no 1771, Lagrange desarroll´o un m´etodo sistem´atico para encontrar la soluci´on de las ecuaciones de grado n mayor o igual que 4, basado en el estudio de las permutaciones de las ra´ıces y manifest´o ya su opini´on de que en la teor´ıa de permutaciones “est´a la 15 verdadera filosof´ıa de la cuesti´on”. Sin entrar a detallar otras contribuciones posteriores de Abel y Gauss, entre otros, debemos decir que el punto final al problema fu´e puesto por Galois (1832) en una carta de despedida a su amigo Auguste Chevallier, escrita la noche que precedi´o a su muerte en un insensato duelo. Sus ideas, incomprendidas y olvidadas, fueron recogidas posteriormente en una publicaci´on de Liouville (1846) y han tenido una gran influencia hasta nuestros d´ıas, debido a su profundidad y novedad, pudiendo ser consideradas como el origen de la teor´ıa de grupos. Esencialmente, la idea de Galois consiste en asociar con cada ecuaci´on algebraica el conjunto de todas las permutaciones de sus ra´ıces, al que el propio Galois llam´o grupo (hoy se conoce como grupo de Galois de la ecuaci´on), y relacionar las propiedades de la ecuaci´on (resolubilidad por radicales, u otras) con las del grupo asociado. As´ı, la imposibilidad de la soluci´on de la ecuaci´on general de grado n > 4 mediante radicales, es debido a que el grupo de permutaciones Sn no es resoluble cuando n > 4. As´ı pues, el concepto de grupo aparece por vez primera en el caso particular de grupo de permutaciones de las ra´ıces de una ecuaci´on algebraica. Posteriormente, Jordan (1870) desarroll´o las ideas y m´etodos sugeridos por Galois, mientras que Kronecker formulaba los postulados de la estructura de grupo de forma abstracta, prescindiendo de su origen concreto como grupo de permutaciones de ra´ıces. El punto importante a destacar es que en la propia gen´esis del concepto de grupo, ´este aparece como un conjunto de transformaciones que dejan algo invariante. M´as expl´ıcitamente, si S es un conjunto arbitrario, llamaremos transformaci´on de S a una biyecci´on de S en s´ı mismo, de forma que cada punto tiene una imagen y es a su vez imagen de un solo punto. Si T es un subconjunto de S, una transformaci´on Φ de S que deja invariante T se dir´a que es una transformaci´on de simetr´ıa de T . Uno puede pensar r´apidamente en ejemplos y ver c´omo esta definici´on generaliza la idea que tenemos de simetr´ıa. Por ejemplo, S puede ser el plano y T el conjunto de puntos de una figura en ese plano. La transformaci´on Φ puede ser, por ejemplo, una rotaci´on en el plano y en ese caso ser´ıa una transformaci´on de simetr´ıa cuando se considera como T una cualquiera de toda una familia de circunferencias conc´entricas, pero no lo ser´ıa si T es una recta del plano. Una traslaci´on en el plano ser´ıa una simetr´ıa para cada una de las rectas que tienen la direcci´on del vector de traslaci´on, pero no para otras rectas, cuyas im´agenes ser´ıan rectas paralelas pero no coincidentes con ella. Cuando la transformaci´on considerada es una reflexi´on en una recta vertical las figuras sim´etricas, en el sentido que acabamos de decir, son precisamente las que “tienen simetr´ıa bilateral” en el lenguaje m´as coloquial. Lo importante es que este concepto admite una generalizaci´on inmediata. As´ı, si en S 16 no tenemos un subconjunto T privilegiado, sino que S est´a dotado de alguna estructura o propiedad, podemos decir que una transformaci´on Φ de S es una simetr´ıa de la estructura, o incluso simetr´ıa de S, cuando en ´este se supone impl´ıcitamente su estructura, si Φ preserva dicha estructura. Por ejemplo, si en S hay definida una estructura de espacio m´etrico, es decir, una funci´on “distancia entre dos puntos”, d, entonces Φ ser´a una simetr´ıa cuando d(Φ(x), Φ(y)) = d(x, y), con x, y ∈ S. Este es el caso de giros y traslaciones en el plano, pero no el de homotecias, para las que d(Φλ (x), Φλ (y)) = |λ|2 d(x, y) cuando Φλ (x) = λ x, λ ∈ R. Otro ejemplo ser´ıa que S estuviese dotado de una estructura de espacio vectorial, en cuyo caso las simetr´ıas de S ser´ıan los isomorfismos del espacio vectorial S, para los que se preserva la estructura l´ıneal, Φ(x+y) = Φ(x)+Φ(y), Φ(λ x) = λ Φ(x). De hecho, una transformaci´on Φ de S induce una simetr´ıa del espacio vectorial de las funciones reales definidas en S mediante (U F )(x) = F (Φ−1 (x)). Si S est´a dotado de una estructura topol´ogica las simetr´ıas de S ser´an precisamente los “homeomorfismos”, transformaciones continuas invertibles cuya inversa tambi´en es continua. Si S es un espacio vectorial real dotado de una estructura de producto interno, las simetr´ıas de S ser´an las transformaciones ortogonales, y as´ı sucesivamente. No debemos olvidar que puede existir m´as de una simetr´ıa para una figura o estructura definidas en S y que el hecho de que estas transformaciones dejen igual o “equivalente” dicha estructura se refleja en que el conjunto de estas simetr´ıas puede ser dotado de una estructura que llamamos “de grupo”, que refleja las propiedades caracter´ısticas de las equivalencias: as´ı, la propiedad reflexiva de las relaciones de equivalencia se traduce en que la identidad es una transformaci´on de simetr´ıa, es decir, existe un elemento neutro en el grupo; la propiedad de simetr´ıa en las equivalencias indica que con cada transformaci´on de simetr´ıa, su inversa tambi´en es de simetr´ıa, es decir, para cada elemento del grupo existe un elemento inverso, y, finalmente, la propiedad transitiva de las equivalencias se˜ nala que la composici´on de dos simetr´ıas es una nueva simetr´ıa, es decir, la ley de composici´on es interna. Todas estas propiedades, m´as la propiedad asociativa heredada en nuestro caso del hecho de ser una composici´on de aplicaciones, son las caracter´ısticas de una estructura de grupo, es decir: Definici´ on (G, ∗) es un grupo si i) ∗ : G × G → G es una ley de composici´ on interna asociativa. ii) Existe un elemento e ∈ G, llamado elemento neutro, tal que e ∗ g = g ∗ e = g, ∀g ∈ G. iii) Para cada g ∈ G, existe g  ∈ G, llamado elemento inverso de g, tal que g  ∗ g = g ∗ g  = e. Se suele designar por g −1 . 17 Obs´ervese que estas propiedades son tambi´en satisfechas por el conjunto de todas las transformaciones de S, sin exigir que se conserve ning´ un subconjunto o propiedad. Cuando S es un subconjunto finito de n elementos, esta estructura de grupo es la que se conoce como grupo sim´etrico de orden n, que est´a formado precisamente por n! elementos. Este grupo aparece como uno de los primeros ejemplos y se encuentra ya presente en la g´enesis de la teor´ıa de grupos, que puede considerarse, como ya indicamos anteriormente, en las memorias que en la madrugada del 30 de Mayo de 1832, E. Galois env´ıa a su amigo A. Chevalier, s´olo unas horas antes de enfrentarse en un duelo de honor frente a un activista pol´ıtico llamado Pescheux d’Herbinville y a consecuencia del cual, como ya indicamos anteriormente, perdi´o su vida [Ro82]. Estas memorias fueron publicadas catorce a˜ nos despu´es por J. Liouville y representan pr´acticamente el nacimiento de la teor´ıa de grupos. Recordemos un breve p´arrafo de la carta de despedida [Gu00]: Si bien todo lo que he descrito aqu´ı est´a as´ı desde hace un a˜ no en mi mente, me interesa no equivocarme para que no sospechen que he enunciado teoremas cuya demostraci´ on no tengo completa. Indiquemos tambi´en que un grupo abstracto puede realizarse como grupo de transformaciones de espacios M . Por eso entendemos que haya una correspondencia que asocie con cada elemento g ∈ G una transformaci´on Φg de M de forma que al elemento neutro e le corresponda la identidad en M , Φe = idM , y para cada par de elementos de G, Φg1 ◦ Φg2 = Φg1 g2 . Esta acci´on de G en M permite introducir una relaci´on de equivalencia en M . En el caso en que M est´e dotado de alguna estructura, las realizaciones interesantes de G ser´an aquellas en que Φg es una simetr´ıa, para cada g ∈ G. 4. El uso de la simetr´ıa en Matem´ aticas La importancia del uso del concepto de simetr´ıa en Matem´aticas ha ido en sentido creciente, fundamentalmente desde el u ´ltimo cuarto de siglo XIX en que se relacion´o el concepto mismo de Geometr´ıa con el estudio de invariantes bajo grupos y con la gran utilidad manifestada por los grupos de Lie de simetr´ıas de ecuaciones diferenciales en la resoluci´on de ´estas. Sin embargo el ´exito “definitivo” de la teor´ıa de grupos en Matem´aticas fue obtenido en los alrededores de 1875 al conseguirse gracias a los trabajos de F. Klein y S. Lie la “unificaci´on de las geometr´ıas” estableciendo “el grupo de transformaciones como principio director de cualquier tipo de geometr´ıa”. As´ı, fue Felix Klein (1849-1925) quien propuso en el a˜ no 1872 su ahora famoso “Erlangen Program” al percatarse de que es posible establecer un principio de orden en geometr´ıa mediante la caracterizaci´on grupo-te´orica de las geometr´ıas en t´erminos de los grupos de transformaciones y sus correspondientes invariantes. 18 Expliquemos brevemente las ideas de F. Klein sobre el objetivo de la Geometr´ıa: ´este no es sino investigar las propiedades geom´etricamente relevantes. Pero, ¿qu´e entendemos por relevantes?. Nos fijaremos en la geometr´ıa Eucl´ıdea. En este caso hay un concepto de congruencia de figuras que se puede precisar diciendo que “dos figuras F y F  son congruentes si existe una transformaci´on Φ que conserva la distancia Eucl´ıdea y tal que Φ(F ) = F  ”. En otras palabras, “si existe una simetr´ıa que lleva la figura F a coincidir con F  ”. Pues bien, por propiedad geom´etrica relevante, entendemos una propiedad que es compartida por todas las figuras “congruentes”. As´ı, es una propiedad relevante el ´angulo entre dos rectas, pero no el punto de intersecci´on de ambas, aunque s´ı lo es el hecho de que las dos rectas se corten en un punto. La generalizaci´on a una geometr´ıa arbitraria es inmediata. Se selecciona un grupo de transformaciones “de simetr´ıa” que permite definir la “congruencia entre figuras”: la geometr´ıa correspondiente es, como anteriormente, la que estudia las propiedades compartidas por figuras “congruentes”. En t´erminos de coordenadas, las coordenadas de un punto y las de su imagen bajo una transformaci´on est´an relacionadas por una expresi´on x = Φ(x). Pero junto a esta interpretaci´on (“alibi”) podemos considerar la expresi´on anterior como la que relaciona las coordenadas de un mismo punto en dos sistemas coordenados diferentes, relacionados por la transformaci´on inversa de la Φ, lo que se conoce como interpretaci´on “alias”. En este sentido las propiedades relevantes ser´an las que no dependen de las coordenadas elegidas para describirlas. Los grupos aparecen ahora como la caracterizaci´on de los cambios de coordenadas que se consideran admisibles. As´ı, la geometr´ıa af´ın estudia las propiedades que son invariantes bajo el grupo de transformaciones de Rn de la forma yi =  ai j xj + bi , i = 1, . . . , n , i=j con det aij = 0. La geometr´ıa af´ın puede ser considerada como la teor´ıa de los invariantes de dicho grupo. Por su parte el subgrupo On (R) deja invariante la distancia Eucl´ıdea, y la geometr´ıa Eucl´ıdea ser´a el estudio de las propiedades invariantes bajo dicho subgrupo del grupo af´ın. La situaci´on es an´aloga en F´ısica cuando se acepta un “Principio de Relatividad”, en donde los sistemas inerciales vienen a jugar el papel de de los sistemas de coordenadas rectangulares de la geometr´ıa Eucl´ıdea. As´ı, si nos fijamos en la “Teor´ıa de Relatividad Galileana”, el principio de Newton, seg´ un el cual “ning´ un experimento mec´anico realizado en un sistema f´ısico permite detectar que ´este se encuentra realizando un movimiento uniforme”, podemos interpretarlo considerando como “propiedades mec´anicas” aquellas 19 que no cambian bajo una transformaci´on Galileana. Ni las trayectorias, ni las velocidades absolutas, son propiedades “mec´anicas”, pero s´ı lo son las velocidades relativas, y por tanto las aceleraciones. Podemos as´ı construir toda una “Geometr´ıa Galileana” a partir del Grupo de Galilei como grupo de simetr´ıa de la Geometr´ıa. El libro de Yaglom “A simple non–Euclidean Geometry...” [Ya79] es altamente recomendable para el lector interesado en este tema. Pero esta realizaci´on del Principio de Relatividad no es la u ´nica posibilidad. Existen otras realizaciones, una de ellas la que habitualmente se conoce con el nombre de Relatividad Especial, en la que los observadores inerciales espec´ıficos de la teor´ıa est´an caracterizados por la existencia de una velocidad l´ımite de propagaci´on, que casualmente coincide con la de la luz. Otras realizaciones son igualmente posibles y el lector interesado podr´a encontrar una informaci´on adicional en el art´ıculo de Bacry y L´evy–Leblond [BL68]. S. Lie (1842-99) fue precisamente quien dedic´o su atenci´on al estudio de los grupos de transformaciones que dependen de varios par´ametros en forma continua, que aparecieron hist´oricamente en el estudio de simetr´ıas de sistemas de ecuaciones diferenciales y que dieron lugar a toda la teor´ıa de los que hoy se conocen con el nombre de grupos de Lie, de tanto inter´es en todos los campos de la Ciencia actual. El objetivo era estudiar en qu´e casos las ecuaciones diferenciales pueden resolverse ´ mediante cuadraturas. Los importantes resultados en Algebra de principios del siglo XX desviaron la atenci´on del objetivo inicial de Lie y s´olo en los u ´ltimos a˜ nos se ha renovado el inter´es en los aspectos concernientes a su objetivo inicial, y ello debido, sin duda, al menos en gran parte, al desarrollo de la computaci´on algebraica. Estos grupos, o al menos su componente conexa, pueden estudiarse a trav´es del ´algebra de Lie asociada. A rese˜ nar que esta terminolog´ıa de grupos y a´lgebras de Lie fu´e propuesta en 1935 por Jacobson, frente a la m´as usual hasta entonces de “grupos infinitesimales”. Las simetr´ıas de una ecuaci´on diferencial ser´an transformaciones que preservan el espacio de soluciones de ´esta, transformando unas soluciones en otras con condiciones iniciales diferentes. Las ecuaciones diferenciales son descritas en la aproximaci´on geom´etrica por campos vectoriales, siendo sus simetr´ıas precisamente las del campo vectorial correspondiente. El estudio de las simetr´ıas de ecuaciones diferenciales est´a recibiendo un notable impulso en los u ´ltimos a˜ nos. Citaremos como referencia b´asica moderna el libro de Olver [Ol89]. No debemos tampoco olvidar las magistrales contribuciones de Killing y Schur al uso y desarrollo de la simetr´ıa, por sus aportaciones a la Geometr´ıa Riemanniana y en Teor´ıa de Representaciones de grupos, respectivamente, sin desde˜ nar el trabajo de E. Cartan y H. Weyl, quienes nos revelaron la profundidad y belleza de las ideas de sus precursores sobre los “grupos continuos” y sus representaciones. Fue precisamente Cartan quien aplic´o el 20 m´etodo de Lie al estudio de sistemas de ecuaciones en derivadas parciales y clasific´o las ´algebras de Lie reales simples. 5. El uso de la simetr´ıa en F´ısica Las ideas de simetr´ıa y los principios de invariancia han desempe˜ nado un papel importante desde los tiempos de Galilei y Newton, a´ un cuando no fuera totalmente apreciado hasta los acontecimientos que llevaron a la formulaci´on de las teor´ıas relativistas de Einstein. No obstante, es evidente que la importancia de la noci´on de simetr´ıa ha ido aumentando progresivamente, quiz´as debido a la sencillez con que se encontraban resultados concretos mediante la aplicaci´on de simples principios de simetr´ıa e invariancia. Por otra parte, la mayor relevancia del concepto de simetr´ıa en la f´ısica contempor´anea es tambi´en debida a que en el pasado la mayor parte de los esfuerzos de los f´ısicos se concentraban en la resoluci´on de problemas concretos, mientras que en la actualidad se intenta establecer teor´ıas muy generales y se estudian cuestiones estructurales de dichas teor´ıas, intent´andose la obtenci´on de resultados a partir de primeros principios. Existen, adem´as, situaciones en las que nuestro desconocimiento es tan grande que la u ´nica posibilidad de obtener alguna informacion consiste en deducir relaciones basadas en argumentos de simetr´ıa. En efecto, el uso de la simetr´ıa en F´ısica est´a basado en el principio de simetr´ıa conocido como “principio de Curie”, seg´ un el cual la simetr´ıa del efecto no puede ser menor que la de la causa. Cuando se pretende explicar un fen´omeno como producido por una causa o ley f´ısica, este principio de Curie puede dar pistas sobre la forma concreta de estas leyes, eliminando otras como imposibles, es decir, imponiendo restricciones sobre las posibles leyes. Observamos que nuestro conocimiento del universo puede dividirse en dos categor´ıas: condiciones iniciales y leyes de la naturaleza. Las condiciones iniciales determinan el estado del universo, y son muy complejas. Sin embargo, el f´ısico, en el estudio del universo dedica su atenci´on a estudiar las leyes que rigen el movimiento, y ´estas son a las que se refieren los principios de invariancia bajo una transformaci´on de simetr´ıa. En las primeras etapas del conocimiento cient´ıfico, se encontraron ciertas leyes y s´olo despu´es se observaron las propiedades de simetr´ıa e invariancia de ´estas. Sin embargo, en el siglo actual, desde los ´exitos del profundo an´alisis del espacio, tiempo y geometr´ıa realizado por Einstein, la tendencia ha cambiado, e incluso existe la creencia de que quiz´as, con el tiempo, podremos establecer los principios de la f´ısica mediante argumentos de simetr´ıas y leyes de conservaci´on, si bien esta creencia parece a´ un bastante optimista. Es 21 ´esta precisamente la raz´on que ha motivado este proceso de geometrizaci´on de la f´ısica al que estamos asistiendo desde los primeros pasos dados por Einstein. Especial menci´on merece el famoso art´ıculo de Weyl [We56] sobre “gravitaci´on y electromagnetismo” por su impacto posterior, que provoc´o el establecimiento del principio de simetr´ıa gauge, de grupo U (1) en su caso, asociado a la conservaci´on de la carga correspondiente, como mecanismo de introducci´on de las interacciones, y que ha desembocado en tiempos recientes en la Teor´ıa Cu´antica de los campos de Yang-Mills. De cualquier forma, lo que es interesante resaltar es que la misma posibilidad de hacer ciencia est´a basada en un principio de simetr´ıa, ya que la posibilidad de establecer leyes din´amicas est´a relacionada con la irrelevancia del lugar donde se realice el experimento y del momento en que tenga lugar, es decir, admitimos impl´ıcitamente una simetr´ıa bajo traslaciones espacio–temporales, por lo que como E.P. Wigner [Wi49] se˜ nala, esta simetr´ıa debe considerarse como la primera ley de invariancia en f´ısica. Es de destacar la diferencia de importancia del concepto de simetr´ıa en las f´ısicas cl´asica y cu´antica. En la primera no ha jugado ning´ un papel en el desarrollo hist´orico de la Mec´anica Cl´asica, pero se ha puesto de manifiesto, en los u ´ltimos a˜ nos, su importancia en el desarrollo conceptual de ella. Por el contrario, en la Mec´anica Cu´antica ha jugado un papel preponderante en su desarrollo. Ello es debido al diferente marco matem´atico de ambas teor´ıas. As´ı, una vez aclarado el hecho de que los grupos de simetr´ıa de una teor´ıa cu´antica deb´ıan realizarse mediante representaciones (proyectivas semi-) unitarias se pudo hacer uso de toda la teor´ıa matem´atica de representaciones que estaba ya, al menos parcialmente, desarrollada. Por el contrario, el marco matem´atico adecuado para la simetr´ıa en la descripci´on de los sistemas cl´asicos no s´olo no se encontraba desarrollado suficientemente sino que ha sido elaborado, y lo est´a siendo todav´ıa, durante los u ´ltimos a˜ nos. El concepto de simetr´ıa en F´ısica es algo m´as complejo que en Matem´aticas. La F´ısica hace uso de modelos matem´aticos mediante la selecci´on de una serie de conceptos b´asicos a los que se les asocia elementos de un cierto espacio dotado de una estructura matem´atica, as´ı como se establecen ciertas relaciones entre ellos. Deben considerarse adem´as unas reglas de correspondencia que permitan establecer una relaci´on entre los conceptos te´oricos y el mundo experimental. El par modelo m´as reglas de correspondencia constituye lo que habitualmente entendemos como Teor´ıa F´ısica. Pues bien, una simetr´ıa en una teor´ıa f´ısica es una transformaci´on de simetr´ıa del modelo matem´atico con el que se describe la teor´ıa que conserva la estructura f´ısica, es decir, que deja invariante la conexi´on con los conceptos experimentales, y por lo tanto, no modifica la teor´ıa f´ısica, es decir, que respeta las reglas de correspondencia. As´ı, en la teor´ıa cu´antica, el modelo 22  asociado a un espacio de Hilbert matem´atico utilizado es el de un espacio proyectivo H H. Sus elementos, rayos, describen estados puros, y los observables vienen descritos por operadores autoadjuntos en H. Las reglas de correspondencia se centran en la definici´on de qu´e cantidades son observables y en los valores medios de ´estos en un estado. Todo ello puede quedar expresado en t´erminos de la amplitud de transici´on. Por consiguiente, las simetr´ıas de la teor´ıa cu´antica corresponder´an a las “colineaciones” que conservan la interferencia entre rayos, es decir, los elementos del grupo P ΓU (H). En toda teor´ıa f´ısica debe figurar adem´as una ley din´amica que al realizar una transformaci´on de simetr´ıa de la teor´ıa se transformar´a en una nueva ley de evoluci´on. Las transformaciones de simetr´ıa que dejan invariantes las leyes din´amicas ser´an particularmente importantes, y con subgrupos uniparam´etricos de ellas se pueden asociar constantes del movimiento que permiten simplificar la soluci´on del problema din´amico en Mec´anica Cl´asica, y en el mejor de los casos resolverlo completamente. Tambi´en en Mec´anica Cu´antica las simetr´ıas de la teor´ıa que son adem´as simetr´ıas de la ley din´amica, es decir, transforman entre s´ı soluciones de la ecuaci´on de evoluci´on, son importantes. Estas simetr´ıas constituyen el grupo de simetr´ıa del Hamiltoniano H y su conocimiento es de gran ayuda en la determinaci´on de los estados estacionarios del sistema. y nos permite clasificar estados y obtener sistemas completos de observables compatibles en Mec´anica Cu´antica. Es tambi´en bien sabido que a cada subgrupo uniparam´etrico de transformaciones de simetr´ıa de H, corresponde una constante del movimiento, su generador infinitesimal. No s´olo las simetr´ıas can´onicas de sistemas Hamiltonianos son relevantes. Por el contrario, en Mec´anica Cl´asica, cuando las ecuaciones a que da lugar la din´amica son dif´ıciles de resolver, nos interesa buscar transformaciones can´onicas, que conserven la estructura de las ecuaciones, pero que den lugar a ecuaciones de m´as f´acil soluci´on. En la formulaci´on geom´etrica del formalismo “Hamiltoniano” independiente del tiempo de la Mec´anica Cl´asica el modelo matem´atico es una variedad simpl´ectica (M, ω), donde M es una variedad diferenciable de dimensi´on 2n y ω una 2-forma cerrada de rango m´aximo. Las simetr´ıas del modelo matem´atico vienen dadas por simplectomorfismos, difeomorfismos Φ de M tales que Φ∗ ω = ω. La din´amica viene dada por un campo vectorial X, admisible para ω, LX ω = 0 (i.e., localmente Hamiltoniano), y existir´a localmente una funci´on H tal que ω ˆ (X) = i(X)ω = dH. Las simetr´ıas de la din´amica ser´an aquellas para las que Φ∗ (X) = X. An´alogamente a lo que sucede en Mec´anica Cu´antica, a cada subgrupo uniparam´etrico de transformaciones can´onicas de simetr´ıa de la din´amica le corresponder´a una constante del movimiento, y el conocimiento de ´estas permite simplificar las ecuaciones del movimiento. M´as a´ un, la correspondencia es biun´ıvoca. 23 An´alogos resultados pueden encontrarse en la formulaci´on Lagrangiana de la Mec´anica Cl´asica, como establece el teorema de Noether: Por cada subgrupo uniparam´etrico de transformaciones puntuales de simetr´ıa del Lagrangiano (en un sentido generalizado) existe una constante del movimiento. No obstante, existen constantes del movimiento que no est´an asociadas con subgrupos uniparam´etricos de transformaciones puntuales de simetr´ıa. La importancia de estas leyes de conservaci´on es bien conocida y no insistiremos en ello. Lo que nos interesa resaltar es que las leyes de conservaci´on pueden explicarse como una consecuencia de la propia simetr´ıa de los sistemas f´ısicos y las leyes que los rigen. Por consiguiente, los principios de simetr´ıa aparecen como bases fundamentales para la construcci´on l´ogica de la F´ısica y juegan un papel fundamental en la etapa de remodelaci´on de la Ciencia. Las aplicaciones de los principios de simetr´ıa a problemas f´ısicos y m´as particularmente a los problemas del micromundo, son diversos. Intentaremos dar una somera lista de las principales a´reas donde la aplicaci´on de tales principios se ha mostrado fruct´ıfera. i) En primer lugar, podemos utilizar principios de simetr´ıa como un principio “a priori” en la b´ usqueda de leyes din´amicas. As´ı, por ejemplo, postulando la invariancia Poincar´e (grupo de Lorentz inhomog´eneo), podremos encontrar las ecuaciones relativistas que describen los sistemas cu´anticos elementales. En general, como ya indicamos anteriormente, el conocimiento de una simetr´ıa para un proceso f´ısico restringe el n´ umero de posibles leyes para describirlo y, en consecuencia, puede servirnos como gu´ıa para descubrir la ley que lo gobierna. Por eso, el descubrimiento de una simetr´ıa en un proceso es particularmente importante cuando no conocemos la ley que lo describe. Un excelente, y en gran parte pionero, trabajo de Wigner, uno de los tres m´as citados en la literatura f´ısica, y que sin embargo hab´ıa sido rechazado en la primera revista cient´ıfica a la que fue enviado, fue esencial en la clasificaci´on de los sistemas elementales de acuerdo con las representaciones proyectivas (semi-) unitarias del grupo de Poincar´e. Las t´ecnicas utilizadas por Wigner no fueron otras que las de las representaciones de un grupo inducidas por las de un subgrupo. Estas t´ecnicas hab´ıan sido desarrolladas para grupos finitos por Schur y Frobenius, y fueron generalizadas con posterioridad al art´ıculo de Wigner por Mackey para grupos localmente compactos. Tampoco deben ser olvidados los trabajos de Gell-Mann y Neeman que condujeron a lo que se conoce como “´octuple v´ıa” como mecanismo para clasificar los hadrones. Ocho de las part´ıculas elementales m´as pesadas pod´ıan clasificarse mediante los pesos de representaciones de SU (3). Aparecieron as´ı los grupos de simetr´ıa internos, por contraposici´on a los ya bien conocidos grupos cinem´aticos. Otro ejemplo notorio de este tipo de uso es el del An´alisis Dimensional: el hecho de que 24 las leyes de la F´ısica deban expresarse en t´erminos de magnitudes adimensionales, lo que se conoce como Teorema Π, puede ser suficiente para establecer, con un poco de sentido com´ un, las relaciones relevantes en una teor´ıa. Por consiguiente, el An´alisis Dimensional es bastante u ´til para f´ısicos e ingenieros en la realizaci´on de esquemas preliminares a las teor´ıas definitivas sobre cualquier problema f´ısico [CS88]. ii) Puede utilizarse a veces como un principio de exploraci´on o inducci´on, tal y como indicamos en el caso de la cadena de Stevinus. iii) La simetr´ıa aparece tambi´en en f´ısica a nivel descriptivo, para indicar propiedades de objetos, leyes, procesos o estructuras, pudi´endose utilizar como principio de explicaci´on, prueba y predicci´on. Un ejemplo de esta situaci´on es el siguiente: Suponiendo que el Sol y un planeta poseen simetr´ıa esf´erica, puede demostrarse, sin ninguna suposici´on adicional sobre la naturaleza de la fuerza entre ambos, que el movimiento del planeta se realiza en un plano. Este ejemplo est´a sacado del libro de J. Rosen [Ro75]. En efecto, en un instante dado el planeta tiene una posici´on y una velocidad relativa respecto del Sol. Consideremos el plano π determinado por la l´ınea que une el planeta con el Sol y la direcci´on del vector velocidad del planeta. En este caso, “la causa” constituida por el Sol y el planeta con su velocidad posee simetr´ıa de reflexi´on respecto del plano π. De acuerdo con el principio de Curie ya mencionado, el efecto, la aceleraci´on del planeta, debe tambi´en ser sim´etrico respecto del plano π y por tanto, como el movimiento es u ´nico y debe coincidir con su sim´etrico, podemos concluir que el movimiento se debe realizar en el plano de simetr´ıa π. iv) En ocasiones, las propiedades de invariancia de las ecuaciones fundamentales proporcionan m´etodos potentes de resolver o simplificar dichas ecuaciones, as´ı como de clasificar las soluciones. As´ı, en Mec´anica Cl´asica, los subgrupos uniparam´etricos de transformaciones can´onicas que sean simetr´ıas del Hamiltoniano llevan a constantes del movimiento que permiten simplificar el problema, reduciendo el orden de dificultad. En particular, podemos considerar el caso de subgrupos uniparam´etricos de simetr´ıas puntuales del Lagrangiano. Las restantes simetr´ıas, llamadas a menudo simetr´ıas ocultas o simetr´ıas din´amicas, que no son puntuales, son dif´ıciles de detectar, y en ese sentido son “inesperadas”. Aparecen en ocasiones degeneraciones accidentales, que indican que el grupo de simetr´ıa considerado no es sino un subgrupo del verdadero, que era desconocido. Tambi´en simetr´ıas del campo din´amico que no sean transformaciones can´onicas pueden ser u ´tiles en la b´ usqueda de constantes del movimiento [CI83]. Otro ejemplo, y que ya mencionamos anteriormente, es que en Mec´anica Cu´antica podemos clasificar, de acuerdo con sus propiedades de simetr´ıa, los autoestados dege25 nerados de energ´ıa. Fue precisamente Von Neumann quien indic´o a Wigner que si el Hamiltoniano de un sistema cu´antico es invariante bajo un grupo de simetr´ıa, entonces los autoestados de dicho sistema cu´antico soportan una representaci´on de dicho grupo de simetr´ıa. Es, por tanto, a Von Neumann a quien debemos la introducci´on de las representaciones de grupos en Mec´anica Cu´antica. A esta incursi´on de los grupos tambi´en contribuyeron de manera notable Wigner y Weyl. La avalancha de publicaciones sobre temas relacionados desemboc´o en lo que durante un cierto tiempo lleg´o a conocerse como “la peste de los grupos”. Alternativamente, el conocimiento del grupo de simetr´ıa del Hamiltoniano nos capacita para seleccionar un sistema completo de observables compatible adaptado a la simetr´ıa del sistema, lo que permite simplificar los c´alculos notablemente. Un caso particularmente importante es el de las fuerzas centrales o potenciales invariantes bajo rotaciones. Tambi´en los qu´ımicos incorporaron pronto los conceptos de la Teor´ıa de Grupos en la discusi´on de enlaces π y σ. Los grupos cristalogr´aficos y de color son tambi´en de mucha utilidad en F´ısica de la materia condensada para el estudio de la zona de Brillouin y el espectro de energ´ıa de los electrones de Bloch para desentra˜ nar las propiedades de los s´olidos. Tambi´en ya dijimos que era posible demostrar que con cada subgrupo uniparam´etrico de transformaciones de simetr´ıa del Hamitoniano en Mec´anica Cu´antica, podemos asociar constantes del movimiento (esta idea se corresponde con el teorema de Noether de la Mec´anica Cl´asica). Estas constantes del movimiento se traducir´an en reglas de selecci´on, que excluyen la aparici´on de ciertos tipos de fen´omenos y soluciones. Otro de los efectos positivos de una aproximaci´on geom´etrica a la Mec´anica Cl´asica es que nos ha permitido esclarecer errores preestablecidos. Por ejemplo, es frecuente encontrar en libros de texto la afirmaci´on de que el uso de las simetr´ıas discretas en Mec´anica Cu´antica no tiene una contrapartida en Mec´anica Cl´asica. Por el contrario, es un hecho que est´a ahora ya bien estudiado que las simetr´ıas discretas de la din´amica que no sean can´onicas, tambi´en dan lugar a constantes del movimiento [CI83]. v) Finalmente, toda la teor´ıa de grupos de simetr´ıa suministra un importante conjunto de t´ecnicas matem´aticas que nos pueden simplificar el c´alculo de cantidades espec´ıficas. Por ejemplo, podemos deducir reglas que relacionen amplitudes de transici´on de diferentes procesos cu´anticos v´ıa el conocido Teorema de Wigner–Eckart. Un ejemplo m´as sencillo, extra´ıdo tambi´en del libro de J. Rosen es el siguiente: si consideramos un circuito el´ectrico como el indicado en la siguiente figura, 26 las intensidades i1 , i2 , i3 e i4 , junto con la primera ley de Kirchhoff, permiten expresar en funci´on de ellas las restantes tal y como indicamos en la siguiente figura. La segunda ley de Kirchhoff nos da un conjunto de ecuaciones simult´aneas que permiten encontrar los valores de cada una de las intensidades. Sin embargo, obs´ervese que el circuito es sim´etrico bajo un giro de a´ngulo π en torno a un eje perpendicular al plano de la figura. Como consecuencia las diferencias de potencial VBC y VAC coinciden, y an´alogamente VDE = VED , por lo que esta diferencia se anula. Para las intensidades obtenemos i1 = i3 y i2 = i4 , con lo que antes de empezar a calcular ya tenemos reducido el problema a la mitad. vi) Grupos de transformaciones que no sean de simetr´ıa de alguna ecuaci´on o estructura, pueden ser u ´tiles si nos ayudan a simplificar el problema. As´ı en Mec´anica Cl´asica se hace uso a menudo de transformaciones que no preservan las ecuaciones del movimiento, aunque con frecuencia s´ı su forma, es decir, transformaciones can´onicas, sino que la transforman en otra de m´as f´acil soluci´on. No queremos acabar sin a˜ nadir alguna palabra de precauci´on sobre el uso y abuso de los principios de simetr´ıa en f´ısica. No existe garant´ıa “a priori” de que el principio de simetr´ıa est´e a salvo de posibles fallos, as´ı que sus resultados deben ser contrastados con los experimentos para que, en su caso, una simetr´ıa que hasta ese momento era considerada como v´alida, sea abandonada tras la realizaci´on de un experimento que la contradiga. A este respecto debe indicarse que existen simetr´ıas que se consideran como 27 v´alidas s´olo bajo ciertas aproximaciones en que algunas contribuciones son despreciadas y entre ellas est´an precisamente las que han conducido a grandes logros como la predicci´on de particulas elementales o correlaciones entre procesos establecidos merced a la ayuda de simples principios de simetr´ıa y un adecuado uso de la teor´ıa matem´atica subyacente. 6. Influencia de la teor´ıa de la simetr´ıa en mi carrera cient´ıfica La influencia de la simetr´ıa en el desarrollo de mi propia carrera cient´ıfica ha sido constante, como intentar´e explicar brevemente. Creo que quedar´a clara la raz´on de mi elecci´on de este tema para este acto. Concluidos mis estudios de Licenciatura en F´ısicas y Exactas en esta Universidad, me traslad´e a la de Valladolid, en donde defend´ı mi tesis doctoral, que hab´ıa sido dirigida por el Profesor L.J. Boya, Acad´emico a quien corresponde la contestaci´on de este discurso de ingreso, en Octubre de 1972. Versaba sobre Sistemas Cu´anticos Elementales, y como tal utilizaba de forma sistem´atica dos ingredientes fundamentales en toda la Teor´ıa de la Simetr´ıa, el m´etodo de reducci´on del estudio de las representaciones proyectivas de un grupo de Lie al de las lineales de otro relacionado con ´el, por una parte, y el de las representaciones de un grupo obtenidas mediante inducci´on desde las representaciones de un subgrupo, por la otra. Durante bastantes a˜ nos, y en colaboraci´on no s´olo con el Prof. Boya, sino tambi´en fundamentalmente con los Profesores M. del Olmo y M. Santander, durante el desarrollo, bajo mi direcci´on, de sus tesis doctorales, estudi´e otros problemas muy relacionados con los mencionados, haciendo hincapi´e en sus aplicaciones a los diversos grupos cinem´aticos, as´ı como en diversas aplicaciones del An´alisis Dimensional. La teor´ıa de las representaciones de los grupos de simetr´ıa en fibrados vectoriales era, en definitiva, el ingrediente b´asico. Es en el a˜ no 1982 cuando empiezo a interesarme por los problemas de las simetr´ıas en Mec´anica Cl´asica y en ecuaciones diferenciales ordinarias, objetivo fundamental de la teor´ıa de Lie. Es por ello que durante un cierto per´ıodo de tiempo, en el que colabor´e fundamentalemente con el Profesor L.A. Ibort, dedico fundamentalmente mi atenci´on al estudio de la formulaci´on geom´etrica moderna de la Mec´anica Cl´asica, con especial ´enfasis en las estructuras simpl´ecticas, de Poisson, y en general en la existencia de estructuras alternativas para la descripci´on de los sistemas, as´ı como las consecuencias de la propia existencia de dichas estructuras alternativas, reflejo, sin duda, de la existencia de alguna simetr´ıa m´as o menos camuflada. Particular inter´es prestamos a las estructuras presimpl´ecticas, como son las que corresponden a sistemas definidos por Lagrangianos singulares, que hab´ıan sido introducidos por 28 Dirac en 1950. En efecto, la ambig¨ uedad de gauge se presenta ya en las Teor´ıas cl´asicas para sistemas descritos por Lagrangianos singulares. El estudio geom´etrico de dichos sistemas, que estaba siendo objeto de gran inter´es en aquellos a˜ nos, fue comenzado en colaboraci´on con L.A. Ibort durante su tesis doctoral y continuado con C. L´opez Lacasta en la realizaci´on de la memoria de la suya, y fue precisamente la formaci´on recibida con el estudio previo de la teor´ıa de la simetr´ıa que hab´ıa realizado en a˜ nos precedentes el que me capacit´o para poder abordar y llevar a cabo el estudio geom´etrico de dichos sistemas. Sin duda la colaboraci´on con los Profesores M. Crampin y F. Cantrijn, fue tambi´en decisiva. Junto con el estudio de m´ ultiples aplicaciones de las herramientas geom´etricas en el planteamiento y en la resoluci´on de problemas de Mec´anica Hamiltoniana, como son el estudio de las transformaciones canonoides y sus funciones generatrices, as´ı como el Teorema de los Hamiltonianos cuadr´aticos, colaboraci´on con el Profesor M.F. Ra˜ nada, abordamos las simetr´ıas de las ecuaciones diferenciales de segundo orden desde diferentes aproximaciones geom´etricas en colaboraci´on con el Profesor E. Mart´ınez, tambi´en durante la elaboraci´on de la memoria de su tesis doctoral, y el Profesor W. Sarlet, siendo una herramienta fundamental la teor´ıa de las conexiones generalizadas, lo que nos permiti´o abordar el problema inverso de la Mec´anica desde una nueva perspectiva, y otra, el concepto de secciones a lo largo de aplicaciones, del que no tenemos constancia que hubiera sido utilizado con anterioridad en F´ısica. Estos ingredientes fueron esenciales en la formulaci´on geom´etrica y en las aplicaciones de los dos Teoremas de Noether en su mayor generalidad. Mis colaboraciones sobre la formulaci´on de Moyal de la Mec´anica Cu´antica, tambi´en vienen de la mano de la simetr´ıa. En colaboraci´on con los Profesores J.M. Gracia–Bond´ıa y J. V´arilly nos propusimos enfocar el estudio de la cuantizaci´on a la Moyal mediante su relaci´on con el m´etodo de las o´rbitas coadjuntas de un grupo de Lie, desarrollado por Kirillov, Konstant y Souriau, como prototipo de espacios homog´eneos simpl´ecticos. Igualmente tambi´en tuve oportunidad de realizar alguna excursi´on por lo que se conoce como formalismo multi-simpl´ectico de la Teor´ıa de Campos, estudiando en colaboraci´on con M. Crampin y L.A. Ibort la teor´ıa de la simetr´ıa y la reducci´on para dichos sistemas. La teor´ıa de jets y sus aplicaciones para el estudio de simetr´ıas de ecuaciones diferenciales forman tambi´en parte de mis preocupaciones cient´ıficas desde hace bastante tiempo y ha dado lugar a colaboraciones con J. Fern´andez–N´ un ˜ez, E. Mart´ınez, M. del Olmo, M.A. Rodr´ıguez, Sarlet y Winterniz, entre otros. Algunas de las estructuras y herramientas de los modelos matem´aticos que se han desarrollados en la Mec´anica Geom´etrica y en el estudio de las simetr´ıas de ecuaciones diferenciales se pueden aplicar de forma sencilla a otros campos de la F´ısica, como por 29 ´ ejemplo la Optica, y a ello tambi´en hemos dedicado nuestra atenci´on recientemente, en particular durante la realizaci´on de la memoria de tesis doctoral de J. Nasarre y posteriormente con el Profesor L.L. S´anchez-Soto y colaboradores. El intento de introducir grados de libertad fermi´onicos en teor´ıas cl´asicas, y la correspondiente idea de supersimetr´ıa, condujo al estudio de supervariedades y la necesidad de utilizar m´etodos geom´etricos m´as sofisticados, que he abordado en colaboraci´on con H. Figueroa, y hemos comprobado c´omo la mayor parte de los u ´tiles geom´etricos pueden ser transplantados a este nuevo marco de geometr´ıa no conmutativa, pudiendo desarrollarse una formulaci´on tanto Lagrangiana como Hamiltoniana, relacionadas por una transformaci´on semejante a la de Legendre y en donde es posible encontrar formulaciones alternativas, los llamados operadores de recurrencia, que son generadores de nuevas simetr´ıas a partir de una dada, y la mayor parte de los objetos y propiedades que aparecen en la formulaci´on habitual de la mec´anica en variedades. El estudio de los sistemas integrables despert´o mi curiosidad en conocer las posibles aplicaciones de uno de los Teoremas de Lie relativo a la caracterizaci´on de sistemas de ecuaciones diferenciales para los que es posible expresar la soluci´on general mediante una funci´on de un conjunto arbitrario de soluciones particulares y las constantes que determinan cada soluci´on. Estos sistemas, a los que he dedicado mi atenci´on preferente los u ´ltimos a˜ nos, en colaboraci´on con J. Grabowski, G. Marmo y A. Ramos, est´an directamente relacionados con a´lgebras de Lie, siendo suficiente que dicha a´lgebra sea soluble para que se pueda encontrar la soluci´on general de los sistemas mediante cuadraturas. Estos sistemas aparecen frecuentemente en muy diferentes problemas de la f´ısica. Las aplicaciones en Mec´anica Cu´antica Supersim´etrica mediante la factorizaci´on y el estudio de sistemas cu´anticos para los que el Hamiltoniano presenta invariancia de forma, y por consiguiente es exactamente soluble, es debida a la aparici´on en estos problemas de una ecuaci´on de Riccati como ingrediente fundamental. Pero lo que hace m´as interesante a dichos sistemas de Lie es que se pueden reducir a movimientos en grupos de Lie, que dan lugar a cierto tipo de conexiones, disfrutando de una especie de universalidad que hace que el conocimiento de una soluci´on particular de uno de dichos sistemas en el grupo, permite encontrar la soluci´on general de gran cantidad de sistemas asociados en espacios homog´eneos para el grupo que est´an relacionados con ´el. A´ un m´as fascinante es que dicha soluci´on particular nos suministre la soluci´on general de problemas tanto cl´asicos como cu´anticos. He tenido la fortuna de poder colaborar en estos temas con D.J. Fern´andez, J. Grabowski, G. Marmo, J. Nasarre, A. Perelomov, A. Ramos y M.F. Ra˜ nada. Otra aplicaci´on encontrada recientemente es en Teor´ıa de control. M´as expl´ıcitamente, en sistemas sin deriva y que son lineales en las funciones de control. Junto con J. Clemente-Gallardo 30 y A. Ramos hemos abordado las aplicaciones a dichos sistemas de las t´ecnicas generales previamente desarrolladas. Finalmente, quiero concluir con una breve referencia a una estructura matem´atica que se est´a a´ un elaborando y que, sin duda, jugar´a un papel importante en este proceso de aplicaci´on de la Teor´ıa de la simetr´ıa, tanto como principio director, como como mecanismo suministrador de m´etodos de simplificaci´on y c´alculo: la teor´ıa de grupoides y algebroides de Lie. Estas generalizaciones de los respectivos conceptos de grupo y a´lgebra de Lie, han sido recientemente utilizadas en F´ısica. Por ejemplo, el grupoide tangente lo ha sido para llevar a cabo la cuantizaci´on de sistemas y tiene relaci´on directa con la Teor´ıa de productos estrella y la teor´ıa de deformaci´on de estructuras estudiados en la memoria de Tesis Doctoral de Clemente-Gallardo. Por su parte, la teor´ıa de algebroides de Lie encuentra su marco natural en la reducci´on de sistemas mec´anicos con simetr´ıas, por un lado, y en la Teor´ıa Topol´ogica de Campos Cu´anticos, por su relaci´on con cuestiones como BRST, BV, BFV y similares, tema que hemos abordado en colaboraci´on con Camacaro. Una reciente aplicaci´on que hemos encontrado, en colaboraci´on con J. Grabowski y G. Marmo, es en su posible uso para estudiar el proceso de contracci´on de algebras asociativas y a´lgebras de Lie, as´ı como para introducir el concepto de contracci´on de estructuras de Poisson, en total analog´ıa con lo que sucede para el problema de las contracciones de a´lgebras de Lie. Si mi inter´es ha estado centrado tanto tiempo en la simetr´ıa, con la que he compartido tantos ratos, en su mayor´ıa agradables, justo es que dedique el tiempo de este acto a intentar aproximar a la audiencia este motivo de entretenimiento, principio b´asico y herramienta u ´til, con un futuro inmediato prometedor, con la esperanza de hacer realidad las palabras de Rosen anteriormente mencionadas, contagi´andole, respetuosamente, ´esta mi enfermedad y adicci´on. References [BL68] H. Bacry and J.M. L´evy–Leblond: Possible Kinematics, J. Math. Phys. 9, 1605 (1968). [CI83] J.F. Cari˜ nena and L.A. Ibort: Non-Noether constants of motion, J. Phys. A: Math. Gen. 16, 1 (1983). [CS88] J.F. Cari˜ nena and M. Santander: Dimensional Analysis, Advances in Electronics and Electron Physics, Vol. 72, 182 Academic Press, 1988. [C097] A.J. Coleman: Groups and Physics: dogmatic opinions from a senior citizen, Notices of the A.M.S. 44, 8 (1997). 31 [Co61] H.S.M. Coxeter: Introduction to Geometry, Wiley, 1961 (Edici´on espa˜ nola: Limusa, 1971). [Es78] The graphic work of M C Escher, Mac Donald and Jane’s Publishers, 10 ed., 1978. [GG80] G. Gamow: Biograf´ıa de la F´ısica, Alianza Editorial, 1980. [Ga80] M. Gardner: Nuevos pasatiempos matem´aticos, Alianza Editorial, 1980. [Ga81] M. Gardner: Carnaval Matem´atico, Alianza Editorial, 1981. [Gu00] D. Guedj: El teorema del loro, Anagrama, 2000. [Ho82] D.R. Hofstadter: Temas matem´agicos. Investigaci´on y Ciencia 69, p. 102 (1982) [Ja18] F.M. Jaeger: Lectures on the Principle of Symmetry, Elsevier, 1917. [Lo83] O. Lodge: Johan Kepler en El mundo de las Matem´aticas, Vol 1, Grijalbo, 1983. [Ol89] P.J. Olver: Application of Lie Groups to Differential Equations, GTM 107, Springer, 1986. [Ro83] J. Roche: Symmetry in Physics: from Galileo to Newton. 1st Meeting on the History of Scientific Ideas: Symmetry in Physics (1600-1980) San Feliu de Guixols (1983). [Ro75] J. Rosen: Symmetry discovered. Cambridge U.P., 1975. [Ro82] T. Rothman: La breve vida de Evariste Galois, Investigaci´on y Ciencia 69 90 (1982) [We52] H. Weyl: Symmetry. Princeton U.P., 1952. Parcialmente reimpreso en El mundo de las matem´aticas, Vol. 4, Grijalbo, 1983. [We56] H. Weyl: Selecta, Birkha¨ user-Verlag, 1956. [Wi49] E.P. Wigner: Invariance in Physical Theory, Proc. Am. Phil. Soc. 93 521 (1949) (reimpreso en el libro: Symmetries and Reflections, MIT Press, 1970). [Ya79] Y.M. Yaglom: A simple non–Euclidean Geometry ..., Springer, 1979. 32