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´ VARIABLE COMPLEJA - MATEMATICAS - UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA SERIES DE POTENCIAS. FUNCIONES ANAL´ ITICAS 1.- Calcular los radios de convergencia de: ∞ X n! n b) z nn n=1
∞ X (2n)! n z a) (n!)2 n=0
e)
∞ X
n
(n + a )z
n
f)
n=0
i)
∞ X
2.- Sea
c)
n2 1+2+···+n
n n
n z
a z
j)
∞ X
−n n
2
z
d)
n=0 ∞ X
g)
n=1
n=1 ∞ X
∞ X
∞ X
exp(
n
n=1
2πn
en
2n z n!
n=0 n2 n
a z
h)
n=0
√ n
∞ X
∞ X
z n!
n=0
)z n!
cn z n una serie de potencias con radio de convergencia R (0 < R < ∞);
n=0
determinar el radio de convergencia de
∞ X
an z n , donde an es:
n=0
cn ; d) nn cn . n! 3.- Discutir el comportamiento de las siguientes series de potencias en la frontera de su disco de convergencia: b) (2n − 1)cn ;
a) P (n)cn (P polinomio no nulo);
a)
∞ X
z
n
n=0 ∞ X (−1)n 3n−1 e) z log n n=2
h)
∞ X
∞ X zn b) n n=1
∞ X zn c) n2 n=1
∞ X z n! f) n2 n=1
∞ X z pn g) (p ∈ N) n n=1
c)
∞ X (−1)n n d) z n n=1
an z n (∃K > 1 3 1 ≤ |an | ≤ K ∀ n ∈ N)
n=0
4.- Sumar en el c´ırculo de convergencia las siguientes series: a)
∞ X
nz
n
n=1 ∞ X (−1)n+1 n d) z n n=1
∞ X zn b) n n=1
e)
∞ X n n=2
2
∞ X z 2n+1 c) 2n + 1 n=1
zn
5.- Sumar las siguientes series: r, a ∈ R ∞ ∞ X X sen(na) n a) r cos(na); b) ; n! n=0 n=0
f)
∞ X
(2n − 1)z n
n=0
∞ X 3n2 − 1 n c) 3 cos(na). (n + 1)! n=0
∞ ∞ X cos(nφ) X sen(nφ) 6.- Calcular y , donde 0 < |φ| ≤ π: n n n=1 n=1
´ VARIABLE COMPLEJA - MATEMATICAS - UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA 7.- Desarrollar las siguientes funciones en serie de potencias de z y decir cu´ al es el c´ırculo m´ aximo en que es v´ alido el desarrollo: √ z d) 2 a) sen2 z b) cosh2 z c) z + i z − 4z + 13 e)
z2 (z + 1)2
f) Log
1+z 1−z
8.- Desarrollar las siguientes funciones en serie de potencias de (z − 1) y determinar el c´ırculo m´ aximo en que es v´ alido el desarrollo: √ z2 z 3 a) z; d) sen(2z − z 2 ). ; b) ; c) (z + 1)2 z 2 − 2z + 5 9.-
a) Algoritmo de la divisi´ on: sean f y g funciones anal´ıticas en un entorno de 0 con g(0) 6= 0, y k ∈ N. Si ∞ X
f (z) =
an z n ,
∞ X
g(z) =
n=0
bn z n
n=0
en un entorno de 0, denotemos
fk (z) =
k X
n
an z ,
gk (z) =
n=0
k X
bn z n .
n=0
Sean Q(z) y R(z) dos polinomios, con grado de Q(z) menor o igual que k y R(z) con todos sus t´erminos de grado mayor o igual que k + 1, tales que fk (z) = Q(z)gk (z) + R(z). Probar que si ∞ f (z) X = cn z n g(z) n=0
en un entorno de 0, entonces
k X
cn z n = Q(z).
n=0
b) Hallar los cuatro primeros t´erminos del desarrollo en serie de la funci´ on tg z mediante el algoritmo de la divisi´ on. sen z c) Probar que la funci´ on f (z) = z (con f (0) = 1) es anal´ıtica en D(0, 2π) y e −1 hallar los cuatro primeros t´erminos de su desarrollo en serie en torno al punto 0. 10.- Estudiar l´ım ez a lo largo de cada semirrecta con origen en z = 0. z→∞
11.- Probar que si a ∈ [−1, 1], todas las ra´ıces de la ecuaci´ on sen z = a son reales. 12.- Demostrar que cos z es suprayectiva.
´ VARIABLE COMPLEJA - MATEMATICAS - UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA 13.- Sea z0 ∈ C tal que Re z0 < 0 y Im z0 > 0. a) Hallar el desarrollo de la funci´ on logaritmo principal (es decir, Log(−π,π] ) en serie de potencias de z − z0 . b) ¿Para qu´e valores de z converge la serie de potencias obtenida? c) ¿En cu´ ales de ellos la suma de la serie vale Log(−π,π] z? ¿Cu´ anto vale en el resto? 14.- Dar la definici´ on de determinaci´ on de la ra´ız cuadrada. Probar que toda determinaci´ on f de la ra´ız cuadrada es holomorfa y se tiene que f 0 = 1/(2f ). Probar que si f y g son dos determinaciones, entonces o bien f = g, o bien f = −g. 15.- Sea Ω un abierto conexo del plano complejo. Sea g ∈ H(Ω), con g(z) 6= 0, ∀z ∈ Ω. Sea f ∈ C (0 (Ω) tal que f 2 = g (esto es, f es una determinaci´ on de la ra´ız cuadrada de g). Probar que f ∈ H(Ω). Lo mismo si ef (z) = g(z). 16.- Demostrar que no existe una determinaci´ on continua del argumento en la regi´ on Ω = {z ∈ C; 1 < |z| < 2}. √ / (−∞, 0]. 17.- Desarrollar la rama principal de z en potencias de z − a, donde a ∈ 18.- Estudiar los dominios de definici´ on y decir d´ onde son derivables las ramas principales de las funciones: r √ z − 1 z−1 a) z 2 − 1; b) log ; c) . z z+1 19.- Probar que existe un abierto Ω que contiene al origen y una funci´ on f ∈ H(Ω) tal que 2 f (z) = 1 + sen z para todo z ∈ Ω. Hallar el desarrollo en serie de potencias de f .