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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL SECRETARÍA DE INVESTIGACIÓN Y POSGRADO INFORME TÉCNICO FINAL DE PROYECTOS DE INVESTIGACION 2006 Este formato presenta los aspectos necesarios para la elaboración del Informe Técnico Final de los proyectos de investigación que se registraron en la Secretaria de Investigación y Posgrado (SIP) para su desarrollo durante el periodo enero 2006 – diciembre 2006. La información que se solicita es la mínima necesaria para documentar y evaluar el avance de los proyectos de investigación, por lo que es indispensable que se requisite sin omisiones, agregando o anexando la información que se considere conveniente. I. IDENTIFICACIÓN DEL PROYECTO. ESCUELA, CENTRO O UNIDAD: ESFM TITULO: CLAVE DEL PROYECTO: 20061380 ” Modelos Matemáticos para elasticidad y Viscosidad ” PROGRAMA EN DONDE SE UBICA EL PROYECTO: Proyecto individual 1. PERIODO EN QUE SE REALIZO EL PROYECTO: del 01 d II. 01 2006 m a al 30 d 12 m 2006 a RESPONSABILIDAD TÉCNICA Y ADMINISTRATIVA. Indicar nombre e incluir firmas autógrafas (en el ejemplar impreso) de los responsables técnicos y administrativos. Vo. Bo. Dr. Cesar Alberto Escobar Gracia M en C Director(a) del proyecto Director(a) de la escuela, centro o unidad Teléfono del director(a) del proyecto: 5536553932 Fecha de elaboración del informe: 31 01 2007 d M a III. PROFESORES PARTICIPANTES. Incluir exclusivamente a los profesores registrados en el protocolo del proyecto y que efectivamente participaron en el desarrollo del mismo, durante el periodo que se reporta. NOMBRE DEL PARTICIPANTE 1) Cesar Alberto Escobar Gracia PRINCIPALES ACTIVIDADES REALIZADAS Director del proyecto PERIODO de a 02/2006 12/2006 IV. DESARROLLO TÉCNICO DE LA INVESTIGACIÓN. En anexo al presente proporcione la información que se indica a continuación: 1. Resumen. Es una versión abreviada y exacta del proyecto que se reporta como concluido y debe estar escrito de tal forma que pueda ser difundido a través de la página Web institucional, sin necesidad de efectuar revisiones o correcciones de contenido y estilo, recomendándose la inclusión de tres palabras clave para efectos de identificación. 2. Introducción. Debe establecer claramente el propósito del trabajo, incluyendo las hipótesis propuestas y los problemas abordados, así como un bosquejo del trabajo y su importancia en un contexto más amplio de investigación. Debe ser explícita y comprensible para quienes no son especialistas en el tema. 3. Métodos Experimentales. Esta sección debe comenzar con una descripción del diseño de experimentos o del procedimiento teórico-metodológico utilizado en la investigación. Se deben establecer claramente las premisas y supuestos del diseño y debe justificarse la selección del método cuando existen otros métodos alternativos. Los métodos deben identificarse y describirse con suficiente detalle para que sea posible obtener los mismos resultados por un investigador experimentado, o para evaluar la confiabilidad y validez de los métodos usados y de los resultados reportados. Deben describirse en un orden lógico para que se pueda identificar fácilmente como se relacionan con el diseño experimental. Se debe describir en forma completa los materiales utilizados en la investigación, incluyendo la preparación que se lesque haya como su origen. En anexo al presente se debe proporcionar la información sedado, indicaasí a continuación: 4. Resultados. Los resultados de los proyectos se deben presentar en un orden apropiado para proporcionar evidencia a favor o en contra de la hipótesis, o para dar respuesta al problema que se estableció en el objetivo del proyecto. 5. Conclusiones. Breve discurso sobre los resultados obtenidos y observaciones sobre ellos. V. EJERCICIO DE PRESUPUESTO TOTAL. PRESUPUESTO DEL PROYECTO GASTO CORRIENTE IPN-CGPI OTRAS FUENTES DE FINANCIAMIENTO * ASIGNADO EJERCIDO $ 39 000 $ 39 000 $ 39 000 $ 39 000 ASIGNADO EJERCIDO INVERSIÓN TOTAL * Especifique el nombre de la fuente de financiamiento: __________________________________________________ 2 VI. PRODUCTO(S) OBTENIDOS. 1. Formación de recursos humanos, Tesis, Congresos, artículos, etc. 2. Investigación científica en el área textil VII. SUBPRODUCTOS OBTENIDOS. Describa los subproductos derivados del proyecto de investigación, anexando en cada caso la documentación comprobatoria correspondiente, como: fotografías; copias de oficios y de constancias de participación; copias de artículos y conferencias; copias de carátulas e índices de libros, manuales publicados, etc. La descripción debe incluir nombre o título, autores, evento, lugar y fecha. En la columna de la izquierda se presenta una lista de claves correspondientes a cada tipo de subproducto. 1. SUBPRODUCTOS TÉCNICOS: CLAVE DEL SUBPRODUCTO 1.1 PROTOTIPOS 1.2 PATENTES 1.3 CERTIFICADOS DE INVENCIÓN 1.4 HARDWARE 1.5 SOFTWARE 2.4.2 2.FORMACIÓN DE RECURSOS HUMANOS: 2.1 EST. PIFI 2.1.1 N.M.S. 2.1.2 N.S. 2.1.3 N.P. 3.2.1 3.2.2 3.2.2 2.2 PRACTICAS PROFESIONALES 2.3 SERVICIO SOCIAL 2.4 TESIS 2.4.1 N.S. 2.4.2 N.P. 3. DIFUSIÓN DE LA INVESTIGACIÓN 3.1 CURSOS 3.1.1 NACIONAL 3.1.2INTERNACIONAL 1.5 2.3 2.3 DESCRIPCIÓN Estudiante PIFI María de los Angeles Mendoza Vega ANEXO No. 1 XIII Semana Nacional de Estadística (2006), “La viscoelasticidad en fibras e hilos textiles“, Expositor Manuel Olvera Gracia. FCFM BUAP, Puebla, México. Extenso 2 en memorias. XV International Materials Research Congress 2006. Symposium 6. Materials Characterization “Viscoelastic Simulation of Neoprene Rubber Bar” Expositor. 3 Manuel Olvera Gracia. August 20-24, 2006 Cancun, México. Ciclo de conferencias Ciencia y Tecnología. “El Algebra y el Cálculo como herramientas de decisión.” Expositor César Alberto Escobar Gracia. Febrero- 4 Marzo de 2006 Software para el cálculo de los parámetros del modelo de Vangheluwe Estudiante de servicio social Cano Rodríguez Oscar Estudiante de servicio social Herrera Ocaranza Elizabeth Pag 12 6 6 3.2 CONFERENCIAS 3.2.1 NACIONAL 3.2.2 INTERNACIONAL 3.3 ARTÍCULOS DE DIVULGACIÓN 3.4 PROGRAMAS DE TV-RADIO. 3.5 ARTÍCULOS CIENTÍFICOS PUBLICADOS 3.5.1 NACIONAL 3.5.2 INTERNACIONAL 3.6 LIBROS 3.7 SEMINARIOS 4. OTROS 4.1 PRECISAR 3 2. FORMACION DE RECURSOS HUMANOS 2.1. ESTUDIANTES PIFI Mendoza Vega María de los Angeles 2.3 ESTUDIANTES EN SEVICIO SOCIAL Cano Rodríguez Oscar Herrera Ocaranza Elizabeth En anexo al presente proporcione la información que se indica a continuación: 1. Resumen. En este trabajo se estudian los fundamentos matemáticos de la viscoelasticidad que se utilizan para materiales textiles del ensayo de tracción, se les aplicó a las muestras para obtener la curva convencional Carga-Longitud, y posteriormente la curva de ingeniería Esfuerzo-Deformación la cual se utilizo para hacer la simulación viscoelástica, usando el modelo de Maxwell que consiste en un muelle o resorte colocado en serie con un embolo o pistón. La expresión matemática de este modelo a su vez se linealizo para obtener los valores iniciales de sus parámetros desconocidos para optimizar con el método iterativo de Marquardt. Se obtuvieron los análisis de varianza y las gráficas de los ajustes de los datos experimentales. Así mismo este modelo se elaboró un software en lenguaje C ++ para encontrar los parámetros en el caso mas general del modelo de Vangheluwe. 2. Introducción. Cuando los sólidos y los líquidos se someten a la aplicación de una fuerza que tiende a deformarlos, existen ciertas leyes ideales que explican de forma sencilla su comportamiento frente a tal agresión. La ley ideal que explica el comportamiento de los sólidos bajo un esfuerzo se debe al filósofo inglés Hooke, quien ya en 1676 establecía que la deformación producida en un material sólido es proporcional a la fuerza que se ha aplicado sobre él. Muchos materiales cuando se encuentran sometidos a esfuerzos relativamente pequeños exhiben un comportamiento elástico, término que indica que la relación esfuerzo-deformación es única, instantánea y reversible. La energía empleada en deformar estos cuerpos se almacena en forma de energía potencial que se puede recuperar cuando el cuerpo vuelve a la situación de partida (el área de la gráfica esfuerzo-deformación, nos mide precisamente la energía empleada/recuperada en el proceso). Otros materiales como los polímeros plásticos y la mayoría de los materiales biológicos exhiben un comportamiento viscoelástico, experimentando una deformación y recuperación gradual, dependiente de la rapidez con la que se aplica y/o elimina el esfuerzo, por lo que la relación esfuerzo-deformación no es única ni tampoco completamente reversible. No se recupera la forma original en ellos, una vez eliminando los esfuerzos. La energía en parte se almacena como energía potencial y en parte se disipa en forma de calor. Los materiales elásticos cuando se les somete a esfuerzos que exceden el límite elástico exhiben un comportamiento plástico, en parte irreversible, en el que la energía aplicada se disipa en parte en forma de calor. Los fundamentos matemáticos de la Viscoelasticidad comienzan cuando W. Weber (1835), trabajaba con hilos de seda. Una carga longitudinal producía una extensión inmediata, seguida de un posterior alargamiento con el tiempo. Al eliminar la carga tenía lugar una contracción inmediata, seguida de una contracción gradual hasta alcanzar la longitud inicial. Años después J.C. Maxwell (1867) retomó estas investigaciones proponiendo un modelo matemático para describir fluidos con propiedades elásticas. Maxwell partió de dos elementos, el primero explica la recuperación elástica de los cuerpos sometidos a tracción y está representado por un muelle o un resorte; mientras que el segundo elemento, explica la variación de las dimensiones que se producen en el material a lo largo del tiempo, ya sea durante la aplicación del esfuerzo o bien 4 después de cesar el mismo, está relacionado con las tensiones internas acumuladas en el material que se liberan gradualmente y se representa por un émbolo. El elemento de Maxwell se construyó colocando en serie al muelle y el émbolo, y representa a un material que puede responder elásticamente a una tensión aplicada pero también puede presentar posteriormente flujo viscoso. Si el desplazamiento del elemento de Hooke es desplazamiento total de dicho sistema será γ : γ1 y el correspondiente al elemento de Newton es γ 2 , entonces el (1) γ = γ1 + γ 2 El elemento de Hooke al estar colocado en serie soporta la misma tensión que el elemento de Newton por lo que: σ = Eγ1 (2) Y también ⎛ dγ 2 ⎞ ⎟ ⎝ dt ⎠ (3) σ = η⎜ Para resolver la ecuación, se aplican las transformadas de Carson (variables seguida por la letra c) en el que las derivadas se transforman multiplicando por una variable auxiliar p, entonces la ecuaciones anteriores resultan σ c = Eγ1 c (4 ) σ c = η pγ 2 c (5) La igualdad en la suma de desplazamientos se mantiene también con las transformadas, por lo tanto: ⎡1 1 ⎤ + ⎥ ⎣ E ( pη )⎦ σ c = γ 1 c + γ 2 c = σ c⎢ (6) De aquí resulta ⎡ pη E ⎤ ⎥γ c ⎣ pη + E ⎦ (7 ) σc=⎢ Realizando la transformada inversa resulta ⎡−E ⎤ γ⎥ ( ) η r ⎦ ⎣ (8) σ = E γ exp ⎢ Es decir: σ = Aγ e − Bγ (9) Donde: σ es la carga específica que se aplica a la probeta γ es la deformación que experimenta la probeta A y B son parámetros del modelo a determinar. Figura 2. Elemento de Maxwell. Para calcular los parámetros A y B de la expresión no lineal (9) se divide por σ = A e − Bγ γ γ para tener la ecuación (10). (10) 5 Al aplicar logaritmos nos queda la siguiente expresión: ⎛σ ln⎜⎜ ⎝γ ⎞ ⎟⎟ = ln A − B γ ⎠ (11) A la ecuación anterior se le aplican mínimos cuadrados [6]. para obtener los valores de A y B, que son utilizados como valores iniciales para optimizar el ajuste no lineal por el método iterativo de Marquardt [3]. 3. Métodos Experimentales. Prueba de tracción para las muestras en estudio: La carga es la fuerza de tracción que se aplica a una probeta en su dirección axial. La carga de rotura es la carga máxima soportada por una probeta, hasta el momento de su rotura. Corrientemente se designa como resistencia a la tracción. El alargamiento, es el aumento de longitud que experimenta una probeta como consecuencia de la aplicación de una carga. El alargamiento a la rotura es el experimentado por una probeta en el momento de alcanzar la carga de rotura. En este ensayo de tracción la anchura total de la probeta es pinzada en las mordazas del aparato de ensayo. PRINCIPIO DEL METODO Se somete una probeta a la tracción hasta provocar su rotura, mediante un dispositivo adecuado se registra la carga de rotura y su alargamiento a la rotura. CONDICIONES DE ENSAYO. Aparato: Dinamómetro. Ancho de la probeta: 50 mm Área de fijación de las mordazas: mínimo 50 x 50 mm Distancia entre las mordazas: 200 mm (generalmente) o 100 mm en el caso en los cuales el alargamiento a la rotura sea superior a 75%. Nº de probetas: Cinco en cada dirección. Velocidad de ensayo: Dependiendo del alargamiento a la rotura del tejido. 20 mm/min (para tejidos cuyo alargamiento a la rotura sea inferior a 8%) o 100 mm/min (para tejidos cuyo alargamiento a la rotura sea superior a 8%). Equipo de ensayo dinamómetro. 6 METODO OPERATORIO. Colocación de las probetas: Las probetas pueden ser colocadas con una tensión previa o en estado relajado. En el caso de la tensión previa, se debe verificar que esta no produce un alargamiento superior al 2%. Si una muestra no puede ser pretensionada para obtener un alargamiento inferior al 2%, no se debe aplicar tensión previa. Colocación con tensión previa: Se aplica la tensión previa especificada según el caso: Para tejidos con una masa laminar ≤ 200 g/m2: 2 N. Para tejidos con una masa laminar > 200 g/m2 ≤ 500 g/m2: 5 N. Para tejidos con una masa laminar > 500 g/m2: 10 N. Colocación relajada. Se coloca la probeta en estado relajado. En este caso la tensión previa aplicada durante la colocación de la probeta y después del cierre de las mordazas debe ser inferior a la tensión previa especificada anteriormente, y no debe producir un alargamiento superior al 2%. La extensión de la probeta se mide a partir del punto de la curva fuerza-alargamiento que corresponde a la tensión previa especificada anteriormente. La extensión necesaria para alcanzar la tensión previa debe sumarse a la longitud del ensayo, determinando así la longitud inicial a utilizar para el cálculo del alargamiento de la fuerza máxima. Ensayo Se fija una probeta de manera que su eje longitudinal central pase por el centro de los bordes de las mordazas. Se pone en marcha el dispositivo de registro de fuerza y alargamiento y se pone el movimiento la pinza móvil estirando la probeta hasta el punto de rotura. Se ensaya el número de probetas requerido y se registrar la carga de rotura y el alargamiento de rotura. 4. Resultados Para el desarrollo de este trabajo se utilizaron hilos de acrílico de 22 tex (es la masa en gramos de 1000 metros de hilo) obtenidos por un proceso convencional para hilar fibras cortas (algodón). En la figura se muestra la fotografía de la estructura externa del hilo, donde se aprecia la torsión requerida para mantener la cohesión de las fibras de acrílico. Dichos hilos se sometieron al ensayo de tracción en un dinamómetro universal bajo la normativa correspondiente. De este ensayo se obtiene la curva tenacidad-alargamiento a partir del cual se realizó el estudio viscoelástico de los hilos en estudio. Fotografía de la estructura externa de un hilo fabricado a partir de fibras cortas unidas por torsión 7 La curva tenacidad-alargamiento de los hilos en estudio se presenta en la figura 4 y es la media de 50 curvas individuales, mientras que los datos contenidos en la tabla 1 fueron leídos de ella. Tabla 1.- Datos leídos de la curva tenacidadAlargamiento del hilo de acrilico. 1 3.40 2 5.50 3 7.30 4 9.10 5 10.90 6 13.00 7 15.00 8 17.50 9 20.00 10 22.40 Valores iniciales 2.89736007 -0.96444738 8 Modelo de Maxwell 24 20 Tenacidad (cN/Tex) Regresión No líneal ------------------Variable dependiente: Y Variables independientes: X 16 12 Función a estimar: A*X*EXP(-B*X) Estimaciones del parámetro inicial: A = 2.89736 B = -0.964447 8 4 0 0 2 4 6 8 10 Alargamiento (%) Método de estimación: Marquardt La estimación se detuvo debido a la convergencia de la suma de cuadrados de residuos. Número de iteracciones: 29 Número de llamadas de funciones: 111 Resultados de la Estimación ---------------------------------------------------------------------------Asintótica 95.0% Asintótica Intervalos de Confianza Parámetro Estimado Error Estándar Inferior Superior ---------------------------------------------------------------------------A 2.31805 0.131541 2.01471 2.62138 B 0.00558277 0.00673882 -0.009957 0.0211226 ---------------------------------------------------------------------------Análisis de Varianza ----------------------------------------------------Fuente Suma de Cuadrados Gl Cuadrado Medio ----------------------------------------------------Modelo 1895.46 2 947.732 Residuos 3.26544 8 0.40818 ----------------------------------------------------Total 1898.73 10 Total (Corr.) 358.649 9 R-Cuadrado = 99.0895 porcentaje R-Cuadrado (adaptado para g.l.) = 98.9757 porcentaje Error Estándar de la Est. = 0.63889 MODELO DE VANGHELUWE. El modelo de Vangheluwe es una variante del modelo sólido lineal estándar, tal modelo esta constituido por un elemento de Hooke no lineal de módulo C, colocado en paralelo con un elemento de Maxwell de módulo E y viscosidad η. 9 Figura-4. Dispositivo del modelo de Vangueluwe. En este modelo el elemento de Hooke no lineal se expresa por: σ = b γ2......(5) donde: σ y γ- son la fuerza y el alargamiento del elemento de Hooke no lineal respectivamente. b- El módulo del elemento de Hooke. La siguiente ecuación diferencial rige la ecuación entre la tensión σ (cN), la elongación γ y el tiempo t (seg). γ 2 1 dσ σ b ⎞ dγ ⎛ +b = + LL (6) ⎜1 + 2 γ ⎟ η E dt η E ⎠ dt ⎝ donde: E- es el módulo del elemento de Hooke lineal (cN). η- viscosidad del elemento de Newton (cN*seg). b- módulo del elemento de Hooke no lineal (cN). Resolviendo la ecuación utilizando: γ = r * t LL (7) en donde: r- es la velocidad de deformación. 10 Se llega a la expresión que define la curva carga-alargamiento. ⎡ ⎛ ⎣ ⎝ σ (γ ) = σ 0 + η r ⎢1 − exp⎜⎜ − Eγ ηr ⎞⎤ ⎟⎟⎥ + b γ 2 LL (8) ⎠⎦ que es igual a: σ (γ ) = σ 0 + A[1 − exp (− B γ )] + Cγ 2 LL (9) ya que: A = η*r B = E/A C = b = módulo del elemento de Hooke no lineal en paralelo con el elemento de Maxwell. σ0 = es la pretensión del hilo a que se somete el hilo durante el ensayo de tracción y es igual a 0.5 cN/tex. El elemento de Maxwell en el modelo, corresponde al comportamiento viscoelástico del hilo y para un tiempo infinito la tensión total en el mismo queda definida por: σ = σ 0 + C γ 2 LL (10) Cada parámetro del modelo de Vangheluwe ajustado a una curva carga-alargamiento de un hilo, tiene un significado físico relacionado con ésta, tal como se indica a continuación: Módulo inicial (región Hookeana)=A*B. La pendiente mide la rigidez de la estructura macromolecular. Punto de fluencia: Esta relacionada con el valor de A y es el valor a partir del cual empieza el deslizamiento entre cadenas. Velocidad de deslizamiento de cadenas: está relacionado directamente con B (puesto que B es la inversa del tiempo de relajación). Región de posfluencia: Es la rigidez de la nueva configuración conseguida, donde vuelve a ser proporcional a la carga y deformación, y es proporcional a C. Mediante el modelo mecánico propuesto por Vangheluwe 1 , es posible simular los tipos de fenómenos moleculares que subyacen en las deformaciones de los polímeros sometidos a tensión. Los datos que a continuación (tabla 2) se presentan fueron obtenidos experimentalmente de una fibra de hilo, mientras que los datos contenidos se pueden obtener del software proporcionado, el cual ajusta el modelo de Vanghelawe. 11 Tabla 2.- Datos leidos de la curva tenaci Alargamiento de una fibra de hilo. 0.10 1.50 2.75 4.2 5.53 6.95 8.5 9.4 10.5 12.25 13.78 15.05 16.56 17.86 19.92 A B C 0.05 11.50 13.94 16.00 19.36 21.61 22.74 23.29 23.78 24.37 25.26 25.77 26.86 28.52 29.36 Constantes obtenidas 18.632042 4.062341 0.029131 Unidad Gauss.h float isdigit(int opc) { char s[20]="",a; int i=0,j,punto=-1; float tmp=0,aux=1; while (s[0]=='\0'){ do { a=getch(); if ( (a<='9')&&(a>='0') ) { s[i]=a; i++; putch(a); } if ((a=='.')&&(punto==-1)&&(opc==1)) { punto=i; putch(a); } if (a=='\b') {i--; putch(a); putch(' '); putch(a); } }while (a!='\r'); s[i]='\0'; } for(j=0;jtmp) tmp=x_datos[i]; break; case 1: tmp=x_datos[0]; for(i=1;itmp) tmp=y_datos[i]; break; case 3: tmp=y_datos[0]; for(i=1;i #include #include #include #include float *x_datos,*y_datos; int n_datos; #include "GAUSS.H" //void hessiano(float x[],float y[],int n_datos,float hess[],float A[],float ro) void hessiano(float hess[],float A[],float ro) { int i; float ex; for(i=0;i<9;i++) hess[i]=0; for(i=0;i