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Respuestas del segundo parcial de GAL 2. 01 de diciembre de 2006 Versi´on 1: En R3 con el producto interno usual... 1
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Versi´on 2: Se sabe que cierta magnitud f´ısica... 1
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Versi´on 3: Sea V un espacio vectorial de dimensi´on finita... 1
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Versi´on 4: Sean (1, 2, 0) y 0, −2, 1) vectores propios... 1
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La X significa que se anula la pregunta y se da a cada uno los 5 puntos correspondientes. Ejercicios de desarrollo. Ejercicio 1. a) Un operador T : V → V es autodadjunto si hT (v1 ), v2 i = hv1 , T (v2 )i para todo v1 , v2 ∈ V . b) Supongamos que T es autoadjunto. (i) Como T es autoadjunta entonces hT (v), vi = hv, T (v)i para todo v ∈ V , es decir hT (v), vi = hT (v), vi para todo v ∈ V , luego hT (v), vi ∈ R. En particular sea v un vector propio de T asociado al valor propio λ, entonces hT (v), vi = hλv, vi = λhv, vi ∈ R. Como hv, vi > 0, entonces λ ∈ R. (ii) Sean λ y µ dos valores propios distintos y v y w vectores propios asociados respectivamente, es decir T (v) = λv y T (w) = µw. Entonces, como T es autoadjunta, se tiene que: hT (v), wi = hv, T (w)i ⇒ hλv, wi = hv, µwi; ⇒ (λ − µ)hv, wi = 0. Como λ y µ son distintos, entonces hv, wi = 0, es decir los vectores v y w son ortogonales. Es claro entonces que Sλ y Sµ son ortogonales. 1
c) Consideremos la base {v1 , v2 , v3 } de R3 con hv2 , v3 i = 0, y definir T tal que T (v1 ) = v1 + v2 , T (v2 ) = v2 y T (v3 ) = 2v3 , . 1 0 0 Entonces en esta base B ((T ))B = 1 1 0 . 0 0 2 B ((T ))B
es la forma can´onica de Jordan de T y B es una base de Jordan.
Los valores propios de T son 1 y 2 (reales) y dim S1 = dim S2 = 1 con S1 y S2 ortogonales. T no es diagonalizable y por lo tanto no puede ser autoadjunta. Ejercicio 2.
x y , es ortogonal ya que las columnas de su matriz a) T (x, y, z) = z asociada forman una base ortonormal de R3 . 2 3 1 3 2 3
1 3 2 3 − 23
2 3 − 23 − 13
b) El determinante de T vale −1 y la traza de T vale 1, entonces T es una simetr´ıa respecto de un plano. Hallemos la ecuaci´on del plano. 2 1 2 3 +1 3 3 £ ¤ 2 − 23 = (−1, 1, 2) . Entonces el plano tiene por ecuaci´on S−1 = N 13 3 +1 2 − 23 − 13 + 1 3 −x + y + 2z = 0. 1 2 + 3 (2x 2 3 − 23 − 13
2y 2− z 2 + 4xz + 2xy − 4yz) se escribe como 2 1 x 3 3 1 2 y , donde la matriz sim´etrica es la matriz Q(x, y, z) = (x y z) 3 3 2 2 z −3 3 asociada a T en la base can´onica. Como T tiene como valores propios de signo opuesto (1 y -1), Q es entonces indefinida.
Q(x, y, z) = c) La forma cuadr´atica
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