Problemas Con Valor Inicial. Pvi

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Problemas con Valor Inicial. P.V.I. ´ ˜ V. Veronica Briceno agosto 2012 ´ ˜ V. Veronica Briceno P.V.I. Ecuaciones Diferenciales ´ Definicion ´ ˜ V. Veronica Briceno P.V.I. Ecuaciones Diferenciales ´ Definicion ´ ˜ V. Veronica Briceno P.V.I. Ecuaciones Diferenciales ´ Definicion ´ diferencial es una ecuacion ´ en la que aparecen Una ecuacion ´ desconocida. derivadas de una funcion ´ ˜ V. Veronica Briceno P.V.I. Ecuaciones Diferenciales ´ Definicion ´ diferencial es una ecuacion ´ en la que aparecen Una ecuacion ´ desconocida. derivadas de una funcion Ejemplos: ´ ˜ V. Veronica Briceno P.V.I. Ecuaciones Diferenciales ´ Definicion ´ diferencial es una ecuacion ´ en la que aparecen Una ecuacion ´ desconocida. derivadas de una funcion Ejemplos: dy = 2x + 1 dx ´ ˜ V. Veronica Briceno P.V.I. Ecuaciones Diferenciales ´ Definicion ´ diferencial es una ecuacion ´ en la que aparecen Una ecuacion ´ desconocida. derivadas de una funcion Ejemplos: dy = 2x + 1 dx ( dy 2 ) + cos(xy) = 0 dx ´ ˜ V. Veronica Briceno P.V.I. Ecuaciones Diferenciales ´ Definicion ´ diferencial es una ecuacion ´ en la que aparecen Una ecuacion ´ desconocida. derivadas de una funcion Ejemplos: dy = 2x + 1 dx dy 2 ) + cos(xy) = 0 dx ´ del calculo ´ Como aplicacion de primitivas y la constante de ´ vamos a resolver algunos problemas asociados integracion ´ fenomenos f´ısicos. ( ´ ˜ V. Veronica Briceno P.V.I. Ecuaciones Diferenciales En estos problemas aparecen ecuaciones del tipo: ´ ˜ V. Veronica Briceno P.V.I. Ecuaciones Diferenciales En estos problemas aparecen ecuaciones del tipo: dy = f (x)g(y) dx ´ ˜ V. Veronica Briceno P.V.I. Ecuaciones Diferenciales En estos problemas aparecen ecuaciones del tipo: dy = f (x)g(y) dx llamadas ecuaciones en variables separadas. ESTRATEGIA: ´ ˜ V. Veronica Briceno P.V.I. Ecuaciones Diferenciales En estos problemas aparecen ecuaciones del tipo: dy = f (x)g(y) dx llamadas ecuaciones en variables separadas. ESTRATEGIA: 1 ´ como: Escribir la ecuacion dy = f (x)dx g(y ) ´ ˜ V. Veronica Briceno P.V.I. Ecuaciones Diferenciales En estos problemas aparecen ecuaciones del tipo: dy = f (x)g(y) dx llamadas ecuaciones en variables separadas. ESTRATEGIA: 1 ´ como: Escribir la ecuacion dy = f (x)dx g(y ) 2 Encontrar las antiderivadas. ´ ˜ V. Veronica Briceno P.V.I. Ecuaciones Diferenciales En estos problemas aparecen ecuaciones del tipo: dy = f (x)g(y) dx llamadas ecuaciones en variables separadas. ESTRATEGIA: 1 ´ como: Escribir la ecuacion dy = f (x)dx g(y ) 2 Encontrar las antiderivadas. ´ ˜ V. Veronica Briceno P.V.I. Ecuaciones Diferenciales En estos problemas aparecen ecuaciones del tipo: dy = f (x)g(y) dx llamadas ecuaciones en variables separadas. ESTRATEGIA: 1 ´ como: Escribir la ecuacion dy = f (x)dx g(y ) 2 Encontrar las antiderivadas. ´ nos permitira´ evaluar la El valor inicial de una ecuacion constante C. ´ ˜ V. Veronica Briceno P.V.I. Ejemplos Resolver: 1 dy = 2x + 1 dx ´ ˜ V. Veronica Briceno P.V.I. Ejemplos Resolver: 1 dy = 2x + 1 dx 2 dy dx = ey x y(0) = 1 ´ ˜ V. Veronica Briceno P.V.I. Ejemplos Resolver: 1 dy = 2x + 1 dx 2 3 dy dx = ey x y(0) = 1 √ y 0 = xy ´ ˜ V. Veronica Briceno P.V.I. Ejemplos Resolver: 1 dy = 2x + 1 dx 2 3 4 dy dx = ey x y(0) = 1 √ y 0 = xy xy + y 0 = 100x ´ ˜ V. Veronica Briceno P.V.I. Ejemplos Resolver: 1 dy = 2x + 1 dx 2 3 dy dx = ey x y(0) = 1 √ y 0 = xy 4 xy + y 0 = 100x 5 dy dx = xy y(0) = 12 ´ ˜ V. Veronica Briceno P.V.I. Problemas de Crecimiento y Decrecimiento ´ nos resultaran Los problemas que analizaremos a continuacion familiares, pues ya los hemos estudiado en MAT021. ´ Reacciones Qu´ımicas y Desintegracion. ´ En la naturaleza se observa que cierto tipo moleculas se ´ del medio. Mas ´ aun, desintegran por accion de ´ el numero ´ ´ moleculas que se descomponen en una unidad de tiempo es ´ proporcional al numero de moleculas total presente. ´ Supongamos que en t = 0 se tienen x0 gramos. Si denotamos por x(t) el numero de gramos en el instante t entonces dx ´ dt es el ´ de la cantidad. ritmo de variacion Si k > 0 es la constante de proporcionalidad entonces... ´ en la pizarra. desarrollamos y resolvemos esta ecuacion ´ ˜ V. Veronica Briceno P.V.I. Problemas de Crecimiento y Decrecimiento Crecimiento de poblaciones ´ en Suponga que para modelar el crecimiento de una poblacion tiempos cortos utilizamos la siguiente regla La tasa de ´ es proporcional a la poblacion ´ crecimiento de la poblacion ´ ´ existente, entonces el modelo matematico para este fenomeno ´ es la ecuacion: ´ ˜ V. Veronica Briceno P.V.I. Ley de Enfriamiento de Newton Consideremos el siguiente modelo simplificado para el ´ ´ de temperatura en un cuerpo. fenomeno de variacion Sea: t: tiempo T (t): temperatura en el cuerpo en el instante t. Tm : temperatura ambiente. Supuestos: La temperatura del medio es constante En el instante t la temperatura en todo el cuerpoes la misma. ´ Ecuacion: dT dt = −k(T − Tm ) ´ inicial: T (0) = T0 Condicion ´ es: Cuya solucion T (t) = Tm + (T0 − Tm )e−kt ´ ˜ V. Veronica Briceno P.V.I. Ejemplos 1 Un cuerpo a 100o C es puesto en una sala a temperatura ´ de 5 minutos la temperatura constante de 25o C. Despues ´ del cuerpo es de 90o Cuanto tiempo tarda en estar a 50o ? ´ ˜ V. Veronica Briceno P.V.I. Ejemplos 1 2 Un cuerpo a 100o C es puesto en una sala a temperatura ´ de 5 minutos la temperatura constante de 25o C. Despues ´ del cuerpo es de 90o Cuanto tiempo tarda en estar a 50o ? Un cuerpo a 100V es puesto en una sala que esta a una temperatura constante desconocida. Si pasados 10 minutos el cuerpo esta a 90o y pasado 20 minutos esta a 82o calcular la temperatura de la sala. ´ ˜ V. Veronica Briceno P.V.I. Mezclas Para obtener un remedio, una pintura del color adecuado o un trago es necesario mezclar diversos ingredientes. ´ ˜ V. Veronica Briceno P.V.I. Mezclas Para obtener un remedio, una pintura del color adecuado o un trago es necesario mezclar diversos ingredientes. ´ Considere un recipiente con un dispositivo de agitacion ´ que en todo momento mantiene la mezcla homogenea. ´ ˜ V. Veronica Briceno P.V.I. Mezclas Para obtener un remedio, una pintura del color adecuado o un trago es necesario mezclar diversos ingredientes. ´ Considere un recipiente con un dispositivo de agitacion ´ que en todo momento mantiene la mezcla homogenea. Suponga que tiene V litros de capacidad y contiene una mezcla de agua con sal. ´ ˜ V. Veronica Briceno P.V.I. Mezclas Para obtener un remedio, una pintura del color adecuado o un trago es necesario mezclar diversos ingredientes. ´ Considere un recipiente con un dispositivo de agitacion ´ que en todo momento mantiene la mezcla homogenea. Suponga que tiene V litros de capacidad y contiene una mezcla de agua con sal. Si al recipiente le agregamos agua con c gramos de sal por litro a una velocidad de a litros por segundo y del recipiente sacamos agua a la misma velocidad ´ ˜ V. Veronica Briceno P.V.I. Mezclas Para obtener un remedio, una pintura del color adecuado o un trago es necesario mezclar diversos ingredientes. ´ Considere un recipiente con un dispositivo de agitacion ´ que en todo momento mantiene la mezcla homogenea. Suponga que tiene V litros de capacidad y contiene una mezcla de agua con sal. Si al recipiente le agregamos agua con c gramos de sal por litro a una velocidad de a litros por segundo y del recipiente sacamos agua a la misma velocidad Que´ cantidad de sal hay en el recipiente en el tiempo t ? ´ ˜ V. Veronica Briceno P.V.I. Mezclas 1 Sea: x(t) la cantidad de sal en el recipiente en el tiempo t ´ de la cantidad de sal es: La variacion dx dt = (Sal que entra) - (Sal que sale) La sal que entra es ac. La cantidad de sal en el instante t es x(t)/V V : cantidad de sal que sale es: ax(t)/V ´ ˜ V. Veronica Briceno P.V.I. Mezclas 1 2 Sea: x(t) la cantidad de sal en el recipiente en el tiempo t ´ de la cantidad de sal es: La variacion dx dt = (Sal que entra) - (Sal que sale) La sal que entra es ac. La cantidad de sal en el instante t es x(t)/V V : cantidad de sal que sale es: ax(t)/V ´ que modela la variacion ´ de la cantidad de sal La ecuacion es: dx x dt = ac − a V ´ ˜ V. Veronica Briceno P.V.I. Mezclas 1 2 3 Sea: x(t) la cantidad de sal en el recipiente en el tiempo t ´ de la cantidad de sal es: La variacion dx dt = (Sal que entra) - (Sal que sale) La sal que entra es ac. La cantidad de sal en el instante t es x(t)/V V : cantidad de sal que sale es: ax(t)/V ´ que modela la variacion ´ de la cantidad de sal La ecuacion es: dx x dt = ac − a V ´ inicial: x(0) = x0 Condicion ´ ˜ V. Veronica Briceno P.V.I. Mezclas 1 2 3 4 Sea: x(t) la cantidad de sal en el recipiente en el tiempo t ´ de la cantidad de sal es: La variacion dx dt = (Sal que entra) - (Sal que sale) La sal que entra es ac. La cantidad de sal en el instante t es x(t)/V V : cantidad de sal que sale es: ax(t)/V ´ que modela la variacion ´ de la cantidad de sal La ecuacion es: dx x dt = ac − a V ´ inicial: x(0) = x0 Condicion ´ La solucion: x(t) = cV + (xo − cV )e−at/V ´ ˜ V. Veronica Briceno P.V.I. Ejemplo Resolver: Suponga que el estanque contiene 100 litros de agua, entra ´ de 5 litros por agua con 500 gramos de sal por litro a razon ´ sale agua a la misma velocidad del recipiente. minuto, ademas Cuanto tiempo tarda en tener 10 kilos de sal el recipiente? ´ ˜ V. Veronica Briceno P.V.I.