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Inecuaciones y Sistemas de Inecuaciones Lineales con una Inc´ og
Inecuaciones y Sistemas de Inecuaciones Lineales con una Inc´ ognita Clase # 11
Universidad Andr´ es Bello
Agosto 2014
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Inecuaciones y Sistemas de Inecuaciones Lineales con una Inc´ og
Intervalos Reales
Orden en R Dados dos n´ umeros reales a y b, se dice que a es menor que b, a < b, si b est´a m´as a la derecha que a en la recta real. De otra forma: dados dos n´ umeros reales a y b, se dice que a es menor que b si b − a > 0
En la figura: a b: a es mayor que b. a < b: a es menor que b. a ≤ b: a es menor o igual que b. a ≥ b: a es mayor o igual que b.
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Intervalos Reales Propiedades de las Desigualdades El signo de una desigualdad NO cambia de direcci´on si se le suma (o resta) una misma cantidad. a>b→a+c>b+c El signo de una desigualdad NO cambia de direcci´on si se multiplica (o divide) por una misma cantidad positiva. a≤b→a·c≤b·c El signo de una desigualdad CAMBIA de direcci´on si se multiplica (o divide) por una misma cantidad negativa. a≥b→a·c≤b·c
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Intervalos Reales
Intervalos Reales Dados dos n´ umeros a y b, el conjunto de todos los n´ umeros comprendidos entre estos l´ımites, conforman un intervalo. Definici´on de intervalo: Se llama intervalo al conjunto de n´ umeros reales comprendidos entre dos n´ umeros dados: a y b, que se llaman extremos o l´ımites del intervalo.
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Intervalos Reales Tipos de Intervalos Intervalo ABIERTO: en este caso, el intervalo NO considera a los valores extremos. Gr´aficamente se denota dejando los puntos en la recta, sin relleno. Ejemplo:
A este intervalo pertenecen todos los reales entre −2 y 7, EXCLUYENDO al −2 y al 7. Notaci´on de intervalo: (−2, 7) o ] − 2, 7[ Notaci´on algebraica: −2 < x < 7
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Intervalos Reales Intervalo Cerrado En este caso, el intervalo S´I considera los valores extremos. Gr´aficamente se denota dejando los puntos en la recta, con relleno. Ejemplo:
A este intervalo pertenecen todos los reales entre −1 y 0, INCLUYENDO al −1 y al 0. Notaci´on de intervalo: [−1, 0] Notaci´on algebraica: −1 ≤ x ≤ 0
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Intervalos Reales Intervalo Semicerrado o Semiabierto En este caso, el intervalo considera a uno de sus extremos mientras que al otro no. Ejemplo:
A este intervalo pertenecen todos los reales entre 3 y 9, INCLUYENDO al 3, pero EXCLUYENDO al 9. Notaci´on de intervalo: [3, 9) o [3, 9[ Notaci´on algebraica: 3 ≤ x < 9
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Intervalos Reales Intervalos hacia el infinito [a, ∞[= {x ∈ R/x ≥ a}
]a, ∞[= {x ∈ R/x > a}
] − ∞, b] = {x ∈ R/x ≤ b}
] − ∞, b[= {x ∈ R/x < b}
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Inecuaciones de Primer Grado con una Inc´ognita
Inecuaciones Una desigualdad que contiene al menos una inc´ ognita se llama inecuaci´on. Ejemplo: 1 + 4x < 12 2 − 3x ≤ 5x + 7 La soluci´on de una inecuaci´ on, si existe, es el conjunto de todos los valores reales que cumplen con la condici´ on dada por la inecuaci´on. Resoluci´on de inecuaciones de primer grado con una inc´ognita Se resuelve en forma similar a una ecuaci´ on de primer grado, aplicando las propiedades de las desigualdades.
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Inecuaciones de Primer Grado con una Inc´ognita Ejemplo Encontrar el conjunto soluci´ on de la inecuaci´ on: 10 + 4x ≥ x − 6 Aplicando Propiedades: 10 + 4x ≥ x − 6 4x − x ≥ −6 − 10 3x ≥ −16 −16 x≥ 3 Gr´aficamente la soluci´ on es:
La notaci´on del intervalo es: x ∈ [ −16 3 , +∞[ Universidad Andr´ es Bello
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Sistemas de Inecuaciones de Primer Grado con una Inc´ognita
Concepto Un sistema de inecuaciones es un grupo de dos o m´as inecuaciones. El conjunto soluci´ on del sistema es el conjunto de todas las soluciones comunes a todas las inecuaciones que conforman el sistema. Ejemplos: 1 + 3x x−6
≥ >
1 4
4 − 5x < 5x + 7 ≥ x − 3
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Sistemas de Inecuaciones de Primer Grado con una Inc´ognita
Resoluci´on de sistemas de inecuaciones con una inc´ognita Se resuelve cada inecuaci´ on por separado, siendo el conjunto soluci´on del sistema la intersecci´ on de los conjuntos soluciones de ambas inecuaciones. Para determinar la intersecci´ on, es usual utilizar la representaci´ on gr´afica de las soluciones. Ejemplo Calcular el conjunto soluci´ on de sistema de inecuaciones: 7 + 2x 6−x
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≥ >
1−x 4
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Resoluci´on de sistemas de inecuaciones con una inc´ognita Soluci´on Resolviendo la primera inecuaci´ on: 7 + 2x ≥ 1 − x x + 2x ≥ 1 − 7 3x ≥ −6 −6 x≥ 3 x ≥ −2 Resolviendo la segunda inecauci´ on: 6−x>4 −x > 4 − 6 −x > −2 Universidad Andr´ es Bello
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Resoluci´on de sistemas de inecuaciones con una inc´ognita Segunda Parte Soluci´on Resolviendo la segunda inecauci´ on: −x > −2 x<2 Graficando las soluciones:
El intervalo que cumple con ambas condiciones que plantea el sistema es entre −2 y 2, cerrado a la izquierda y abierto a la derecha. Universidad Andr´ es Bello
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Resoluci´on de sistemas de inecuaciones con una inc´ognita
Tercera Parte Soluci´on Representar la soluci´on: Algebraico: −2 ≤ x < 2 Intervalo: x ∈ [−2, 2] Gr´afico:
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Adelanto
Pr´oxima Semana: Martes 26 de Agosto, 17:30 Introducci´ on a las Funciones. M´as Informaci´on y Ejercicios : www.preunab.cl
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