Oscilaciones Amortiguadas

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OSCILACIONES AMORTIGUADAS Aquel sistema oscilante donde existe de fricción o algún mecanismo que retarda el movimiento. Causando una disminución en la energía mecánica a través de tiempo Fuerza retardadora  Velocidad del cuerpo en movimiento R  bv  Aquella fuerza esta dirigida en sentido contrario al movimiento.  b  coeficiente de amortiguamiento.  Ecuación de movimiento (EDOSH): d 2x dx m  b  kx  0 2 dt dt d 2x dx 2     x0 0 2 dt dt Donde:  El factor de amortiguamiento es:  0    b m k m  La solución para este tipo de EDOSH: x(t )  Ae  b t 2m Cos(t   ) x(t )  e  b t 2m A1Cost  A2 Sint   Con la función x(t) y la EDOSH se obtiene una frecuencia:    2 2 0 2 4  Demostremos lo anterior a partir de una función compleja… z  Ae j ( pt ) p  n  js  Este tipo de ecuaciones EDOSH, se pueden trabajar como un polinomio con sus respectivas raíces. 2 r  b  b  4mk 2m  Casos de Amortiguamiento. a) Oscilaciones Subamortiguadas : Solución de raíces complejas b 2  4mk  0  4mk  b 2  0 r    j   b 2m 4mk  b 2  2m b2   4m 2 2 x(t )  e t A1Cost  A2 Sint  b) Oscilaciones críticamente amortiguadas bc  0 2m El sistema no oscila donde, bc Coeficiente critico. Para el cual b 2  4mk  0 b   4mk  la solución para un sistema de este tipo es: x(t )  A1e  b t 2m  A2te  b t 2m b) Oscilaciones Sobre amortiguadas  No hay indicios de oscilar, regresa x=0. b  Las raíces son: Tenemos un medio muy viscoso b  0 2m 4mk b r1    2m b 2  4mk 2m  la solución para este sistema es: x(t )  A1e r1t  A2e r2t b r2    2m b 2  4mk 2m Parámetro Importante: valor Q  calidad del sistema 0 Q  Se podría reescribir la ecuación de la frecuencia como: 1    (1  ) 2 4Q 2 2 0 Q será grande cuando hay pequeñas perdidas de energía en el tiempo  viscosidad baja. PROBLEMA: Se esta diseñando un dispositivo que se puede modelar como un sistema masaresorte. La constante K=10 [g/s^2] y la constante de amortiguamiento es de b= 20 [g/s]. a) Determine la masa de tal manera que el sistema resultante tenga amortiguamiento critico. b) La masa se hala hacia abajo 5 [cm] a partir de la posición de equilibrio y se suelta con velocidad hacia debajo de 10 [cm/s]. Resolver la ecuación de Mvto.