Mate 3171

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MATE 3171 Dr. Pedro Vásquez UPRM P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1 / 14 MATE 3171 Combinando funciones En esta sección se estudiarán diferentes formas de combinar funciones para obtener nuevas funciones. Suma, diferencia, producto y cociente de funciones El objetivo es combinar dos funciones f y g para obtener nuevas funciones f + g , f g , fg , f /g , de una manera similar a como se suman, restan multiplican o dividen números reales. Algebra de funciones Sean f y g funciones con dominios A y B, respectivamente. Entonces las funciones f + g , f g , fg , f /g , se de…nen: (f + g ) (x ) = f (x ) + g (x ) , dom (f + g ) = A \ B (f g ) (x ) = f (x ) g (x ) , dom (f g ) = A \ B (fg ) (x ) = f (x ) g (x ) , dom (fg ) = A \ B (f /g ) (x ) = f (x ) /g (x ) , dom (f /g ) = A \ B fx jg (x ) = 0g P. Vásquez (UPRM) Conferencia 2 / 14 MATE 3171 Ejemplos 2.6.1 Dadas las grá…cas de las funciones f y g : a. b. c. d. Halle Halle Halle Halle (f + g ) (0) = f (0) + g (0) 4 + 2 = 6 (f g ) (2) = f (2) + g (2) = 3 + 5 = 8 (fg ) (2) = f (2) g (2) = 3 5 = 15 (f /g ) (2) = f (2) /g (2) = 3/5 = .6 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 3 / 14 MATE 3171 2.6.2 Si f (x ) = x 3 y g (x ) = x 2 , halle f g , fg , f /g y sus dominios Los dominios son: dom (f ) = R, dom (g ) = R; dom (f ) \ dom (g ) = R \ R = R (f + g ) (x ) = f (x ) + g (x ) = x 3 + x 2 (f g ) (x ) = f (x ) g (x ) = x 3 x 2 (fg ) (x ) = f (x ) g (x ) = (x 3) x 2 = x 3 3x 2 dom (f + g ) = dom (f g ) = dom (fg ) = dom (f ) \ dom (g ) = R \ R = R x 3 (f /g ) (x ) = f (x ) /g (x ) = x2 dom (f /g ) = dom (f ) \ dom (g ) fx jg (x ) = 0g = (R \ R) x jx 2 = 0 = R f0g P. Vásquez (UPRM) Conferencia 4 / 14 MATE 3171 2.6.3 Si f (x ) = dominios p x + 1 y g (x ) = p 4 x 2 , halle f g , fg , f /g y sus Los dominios son: dom (f ) = fx jx + 1 0g = [ 1, ∞) dom (g ) = x j4 x 2 0 = [ 2, 2] ; dom (f ) \ dom (g ) = [ 1, ∞) \ p[ 2, 2] =p[ 1, 22] (f + g ) (x ) = f (x ) + g (x ) = px + 1 + p4 x (f g ) (x ) = f (x ) g (x ) = x + 1p 4 px 2 (fg ) (x ) = f (x ) g (x ) = (x 3) x 2 = x + 1 4 x 2 dom (f + g ) = dom (f g ) = dom (fg ) = dom (f ) \ dom (g ) = [ 1,p ∞) \ [ 2, 2] = [ 1, 2] x +1 (f /g ) (x ) = f (x ) /g (x ) = p 4 x2 dom (f /g ) = dom (f ) \ dom (g ) fx jg (x ) = 0g = [ 1, 2] x j4 x 2 = 0 = [ 1, 2] f 2g = [ 1, 2) P. Vásquez (UPRM) Conferencia 5 / 14 MATE 3171 2.6.4 Si f (x ) = dominios 3 x 2 y g (x ) = x +1 , halle f x +3 g , fg , f /g y sus Los dominios son: dom (f ) = R f2g , dom (f ) = R dom (f ) \ dom (g ) = (R f2g) \ (R f 3g) = R f 3, 2g = ( ∞, 3) [ ( 3, 2) [ (2, ∞) 1 (f + g ) (x ) = f (x ) + g (x ) = x 3 2 + xx + +3 1 (f g ) (x ) = f (x ) g (x ) = x 3 2 xx + +3 1 (fg ) (x ) = f (x ) g (x ) = x 3 2 xx + +3 dom (f + g ) = dom (f g ) = dom (fg ) = dom (f ) \ dom (g ) = ( ∞, 3) [ ( 3, 2) [ (2, ∞) (f /g ) (x ) = f (x ) /g (x ) = 3 x 2 x +1 x +3 = f 3g 3 (x +3 ) (x 2 )(x +1 ) dom (f /g ) = dom (f ) \ dom (g ) fx jg (x ) = 0g 1 = ( ∞, 3) [ ( 3, 2) [ (2, ∞) x j xx + +3 = 0 = ( ∞, 3) [ ( 3, 2) [ (2, ∞) f 1g = ( ∞, 3) [ ( 3, 1) [ ( 1, 2) [ (2, ∞) P. Vásquez (UPRM) Conferencia 6 / 14 MATE 3171 2.6.5 Halle el dominio de la función f (x ) = 1 x +2 p x +4 Se tiene una diferencia de funciones, por lo tanto su dominio es: p 1 dom (f ) = dom x + x + 4 \ dom 2 1 dom x +2 = R f 2g = ( ∞, 2) [ ( 2, ∞) p dom x + 4 = fx jx + 4 0g = [ 4, ∞) dom (f ) = (( ∞, 2) [ ( 2, ∞)) \ [ 4, ∞) = [ 4, 2) [ ( 2, ∞) P. Vásquez (UPRM) Conferencia 7 / 14 MATE 3171 2.6.6 Dadas las grá…cas de f y g , trace la grá…ca de f + g y 7 6 5 4 3 2 1 x −1 1 2 3 4 5 6 7 8 −1 −2 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 8 / 14 MATE 3171 Composición de funciones En general, dadas dos funciones f y g para determinar la composición de funciones, se inicia con un número x en el dominio de g y se halla la imagen g (x ) . Si este número está en el dominio de f , podemos calcular el valor de f (g (x )) . El resultado es una nueva función h (x ) = f (g (x )) que es obtenida sustituyendo g en f . Se le llama la composición de funciones y se denota por: f g y se lee "f compuesta con g ". Dadas dos funciones f y g , la función composición f g (también llamada composición de f y g ) se de…ne: (f g ) (x ) = f (g (x )) El dominio de f g es el conjunto de todos los x en el dominio de g talque g (x ) está en el dominio de f . P. Vásquez (UPRM) Conferencia 9 / 14 MATE 3171 2.6.7 Si f (x ) = 4x + 6 y g (x ) = x 2 4, halle: Halle (f g ) (0) = f (g (0)) = f ( 4) = 10 Halle (g g ) ( 1) = g (g ( 1)) = g ( 3) = 5 Halle (f g ) (2) = f (g (2)) = f (0) = 6 Halle (f f ) (3) = f (f (3)) = f (18) = 78 Halle (f g ) (x ) = f (g (x )) = f x 2 4 = 4 x 2 4 + 6 = 4x 2 10 f. Halle (g f ) (x ) = g (f (x )) = g (4x + 6) = (4x + 6)2 6 = 16x 2 + 48x + 30 2 g. Halle (g g ) (x ) = g (g (x )) = g x 2 4 = x 2 4 4= 4 2 x 8x + 12 a. b. c. d. e. P. Vásquez (UPRM) Conferencia 10 / 14 MATE 3171 2.6.8 Dadas las grá…cas de las funciones f y g : a. b. c. d. e. f. Halle Halle Halle Halle Halle Halle f (g (0)) = f (3) = 0 g (f (0)) = g (0) = 3 (f g ) ( 2) = f (g ( 2)) = f (1) = 1 (g f ) (4) = g (f (4)) = g (2) = 5 (f f ) (5) = f (f (5)) = f (4) = 2 (g g ) ( 4) = g (g ( 4)) = g (3) 4.7 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 11 / 14 MATE 3171 2.6.9 Si f (x ) = dominios 4 x y g (x ) = x + 4, halle: f g, g f ,f f ,g g y sus dom (f ) = ( ∞, 0) [ (0, ∞) ; dom (g ) = ( ∞, ∞) (f g ) (x ) = f (g (x )) = f (x + 4) = x +4 4 dom (f g ) = fx 2 R y x + 4 2 R f0gg = ( ∞, 4) [ ( 4, ∞) (g f ) (x ) = g (f (x )) = g x4 = x4 + 4 dom (g f ) = x 2 R f0g y x4 2 R = ( ∞, 0) [ (0, ∞) (f f ) (x ) = f (f (x )) = f x4 = 44 = x x dom (f f ) = x 2 R f0g y x4 2 R f0g = ( ∞, 0) [ (0, ∞) (g g ) (x ) = g (g (x )) = g (x + 4) = x + 8 dom (g g ) = R = ( ∞, ∞) P. Vásquez (UPRM) Conferencia 12 / 14 MATE 3171 p 2.6.10 Si f (x ) = x + 2 y g (x ) = x 2 11, halle: f g , g f , f f , g g y sus dominios dom (f ) = [ 2, ∞) ; dom (g ) = ( ∞, p p ∞) (f g ) (x ) = f (g (x )) = f x 2 11 = x 2 11 + 2 = x 2 9 dom (f g ) = x 2 R y x 2 11 2 [ 2, ∞) = R y x 2 11 2 = ( ∞, 3] [ [ 3, ∞) p p 2 x +2 = x +2 11 = x 9 (g f ) (x ) = g (f (x )) = g dom (g f ) = fx p 2 dom(f ) y f (x ) 2 dom (g )g = = [ 2, ∞) y x + 2 2 ( ∞, ∞) =p [ 2, ∞) p p xp +2 = x +2+2 (f f ) (x ) = f (f (x )) = f dom (f f ) = x 2 [ 2, ∞) y x + 2 2 = [ 2, ∞) 2 11 = (g g ) (x ) = g (g (x )) = g x 2 11 = x 2 11 4 2 x 22x + 110 dom (g g ) = R = ( ∞, ∞) P. Vásquez (UPRM) Conferencia 13 / 14 MATE 3171 2.6.11 Si f (x ) = x + 3, g (x ) = (f f g x 2 +1 x 2 +2 x x +1 , h (x ) = x 2 + 1 halle: f h ) (x ) = f (g (h (x ))) = f g x 2 + 1 = x 2 +1 x 2 +2 =f x 2 +1 x 2 +1 +1 g h = +3 2.6.12 Exprese la función F (x ) = p 1+ p 3 x en la forma f g La fórmula para F se puede leer a 1 súmele la raíz cúbica y luego tome la raíz cuadrada, pse tiene: p g (x ) = 1 + 3 x y f (x ) = x Entonces: p p p (f g ) (x ) = f (g (x )) = f 1 + 3 x = 1 + 3 x P. Vásquez (UPRM) Conferencia 14 / 14