Integral Impropia

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Cálculo II (0252) Semestre 1-2011 TEMA 3 INTEGRAL IMPROPIA Semestre 1-2011 José Luis Quintero Junio 2011 Departamento de Matemática Aplicada U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (0252) Prof. José Luis Quintero Las notas presentadas a continuación tienen como único fin, el de prestar apoyo al estudiante y facilitar su entendimiento en el tema de la integral impropia. La guía contempla un pequeño resumen de la teoría correspondiente que sirve de repaso a los contenidos teóricos que componen el tema. Se presentan ejercicios resueltos y propuestos, algunos son originales, otros se han tomado de guías redactadas por profesores, también hay ejercicios tomados de exámenes y de algunos textos. Se ha tratado de ser lo más didáctico posible y se espera prestar un apoyo a la enseñanza del Cálculo II en Ingeniería. Agradezco las observaciones y sugerencias que me puedan hacer llegar en la mejora del presente material, las mismas pueden ser enviadas a la siguiente dirección de correo: [email protected]. INDICE GENERAL U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (0252) Departamento de Matemática Aplicada Prof. José Luis Quintero TEMA 3. INTEGRAL IMPROPIA 3.1. La integral impropia 151 3.2. Integrales con integrandos no acotados 151 3.3. Integrales con intervalos de integración de longitud infinita 154 3.4. Criterios de convergencia 156 3.5. Ejercicios resueltos 159 3.6. Ejercicios propuestos 163 G LA INTEGRAL IMPROPIA U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (0252) – TEMA 3 Integral Impropia Pág.: 151 de 170 Prof. José Luis Quintero 3.1. LA INTEGRAL IMPROPIA Anteriormente se afirmó que si la función f(x) es continua y positiva en el intervalo [a,b] con a y b finitos, ∫ b f(x)dx a representa el área bajo la curva, usando el Teorema Fundamental del Cálculo para poder obtener su valor numérico. Sin embargo, en muchas aplicaciones, físicas o matemáticas, se formulan integrales donde no se cumplen ciertas condiciones expuestas anteriormente. A continuación se describen algunas de ellas: a. El integrando f(x) es tal que lim f(x) = ±∞ con r ∈ [a,b] , tomando límite lateral de ser el x →r caso. Es decir el integrando es una función no acotada. b. El intervalo de integración no es finito, por ejemplo: [a, +∞) , (−∞, a] o bien (−∞, +∞) . Las integrales con alguna de las condiciones anteriores se conocen con el nombre de integrales impropias. En general, la técnica es transformar la integral impropia en un límite con una integral definida sobre un intervalo finito donde se pueda aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo. 3.2. INTEGRALES CON INTEGRANDOS NO ACOTADOS CASO 1. Si f(x) es continua en [a,b) y lim f(x) = ±∞ , entonces (ver figura 1) x → b− ∫ b f(x)dx = lim r →b − a ∫ r f(x)dx . a CASO 2. Si f(x) es continua en (a,b] y lim f(x) = ±∞ , entonces (ver figura 2) x → a+ INTEGRALES CON INTEGRANDOS NO ACOTADOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (0252) – TEMA 3 ∫ b f(x)dx = lim r → a+ a ∫ Integral Impropia Pág.: 152 de 170 Prof. José Luis Quintero b f(x)dx r Figura 1. Gráfica del caso 1 Figura 2. Gráfica del caso 2 CASO 3. Si f(x) es continua en [a,b] excepto en r ∈ (a,b) , donde se tiene lim f(x) = ±∞ , x →r entonces ∫ b f(x)dx = a ∫ r f(x)dx + a ∫ b f(x)dx r En los casos 1 y 2, si los límites existen y son finitos se dirá que la integral impropia de la izquierda converge, en caso contrario divergen. En el caso 3, si las integrales impropias de la derecha convergen ambas se dirá que la integral impropia de la izquierda converge; si alguna de las integrales impropias de la derecha diverge se dirá que la integral impropia de la izquierda diverge. A continuación se dan algunos ejemplos: INTEGRALES CON INTEGRANDOS NO ACOTADOS U.C.V. F.I.U.C.V. Integral Impropia Pág.: 153 de 170 Prof. José Luis Quintero CÁLCULO II (0252) – TEMA 3 Ejemplo 1. Calcule la siguiente integral impropia (o determine su divergencia). 4 ∫ dx (1 − x)2 / 3 0 Solución. ∫ 4 dx = (1 − x) 2 /3 0 ∫ 1 dx (1 − x) 2 /3 0 ∫ + 4 dx (1 − x) 2 /3 1 = lim c →1− c = lim (−33 1 − x) + lim (−33 1 − x) c →1− c →1+ 0 4 c ∫ c dx (1 − x) 2 /3 0 + lim c →1+ ∫ 4 c dx (1 − x)2 /3 = lim (−33 1 − c + 3) + lim (−33 −3 + 33 1 − c) c →1− c →1+ = 3 + 3 3 = 3(1 + 3) 3 3 Ejemplo 2. Calcule la siguiente integral impropia (o determine su divergencia). ∫ 1 dx 1 − x2 0 Solución. ∫ 1 0 dx 1−x 2 = lim c →1− ∫ c dx c 1−x 2 0 = lim arcsen(x) 0 = lim (arcsen(c) − 0) = c →1− c →1− π 2 . Ejemplo 3. Calcule la siguiente integral impropia (o determine su divergencia). ∫ 1 dx e − e− x x 0 Solución. ∫ ∫ ex 2x e −1 dx = ∫ dx ex − e − x du u −1 2 =− = ∫ ex e2x − 1 dx . 1 1+u 1 1 + ex ln + C = − ln +C 2 1−u 2 1 − ex . (u = ex ⇒ du = ex dx) Se tiene entonces: ∫ 1 dx e −e x 0 −x = lim c → 0+ ∫ 1 dx e −e x c −x 1 1 + ex = lim − ln 2 1 − ex c → 0+ o+ 1 c  1 1 + e 1 1 + ec = lim  − ln + ln c c → 0+   2 1−e 2 1−e + 1 1+e 1 1+ e 1 1 + e 1 1 + eo = − ln + ln = − ln + ln 2 1 − e 2 1 − e0+ 2 1 − e 2 1 − e0+ =− 1 1 + e 1 1 + 1+ 1 1 + e 1 2+ 1 1+e ln + ln = − ln + ln = − ln +∞ + 2 1− e 2 1−1 2 1 − e 2 0− 2 1−e Por lo tanto la integral diverge.     INTEGRALES CON INTERVALOS DE INTEGRACIÓN DE LONGITUD INFINITA U.C.V. F.I.U.C.V. Integral Impropia Pág.: 154 de 170 Prof. José Luis Quintero CÁLCULO II (0252) – TEMA 3 3.3. INTEGRALES CON INTERVALOS DE INTEGRACIÓN DE LONGITUD INFINITA CASO 1. Si f(x) es continua en [a, +∞) entonces ∫ +∞ ∫ f(x)dx = lim c →+∞ a c f(x)dx a CASO 2. Si f(x) es continua en (−∞, a] entonces ∫ a f(x)dx = lim c →−∞ −∞ ∫ a f(x)dx c CASO 3. Si f(x) es continua en (−∞, +∞) entonces ∫ +∞ f(x)dx = −∞ ∫ a f(x)dx + −∞ ∫ +∞ f(x)dx a En los casos 1 y 2, si los límites existen y son finitos se dirá que la integral impropia de la izquierda converge, en caso contrario diverge. En el caso 3, si las integrales impropias de la derecha convergen ambas se dirá que la integral impropia de la izquierda converge en caso contrario diverge. A continuación se dan algunos ejemplos: Ejemplo 4. Calcule la siguiente integral impropia (o determine su divergencia). ∫ +∞ -∞ arctg(x) x2 + 1 dx Solución. ∫ +∞ arctg(x) x +1 2 -∞ dx = ∫ 0 arctg(x) x +1 2 -∞ = lim c →−∞ ∫ 0 c dx + arctg(x) x2 + 1 (arctg(x))2 = lim c →−∞ 2 ∫ +∞ 0 arctg(x) x2 + 1 dx + lim c →+∞ 0 c ∫ dx +∞ 0 arctg(x) x2 + 1 (arctg(x))2 + lim c →+∞ 2 c =− 0 dx π2 π2 + =0 8 8 INTEGRALES CON INTERVALOS DE INTEGRACIÓN DE LONGITUD INFINITA U.C.V. F.I.U.C.V. Integral Impropia Pág.: 155 de 170 Prof. José Luis Quintero CÁLCULO II (0252) – TEMA 3 Ejemplo 5. Calcule la siguiente integral impropia (o determine su divergencia). ∞ ∫ (1 − x)e− x dx 1 Solución. lim b → +∞ ∫ b  b (1 − x)e dx = lim  −(1 − x)e−x − 1 b →+∞   −x 1 ∫ b 1  b  e− x dx  = lim  −(1 − b)e−b + e− x  1  b →+∞   u = 1 − x ⇒ du = −dx , dv = e−x dx ⇒ v = −e− x 1 = lim  −(1 − b)e−b + e−b − e−1  = lim be−b − e−1  = −  b →+∞   b →+∞  e Ejemplo 6. Calcule la siguiente integral impropia (o determine su divergencia). ∫ ∞ 0 dx x(x + 1) Solución. ∫ ∫ ∞ dx x(x + 1) 0 dx x(x + 1) (u = lim a → 0+ ∫ ∫ =2 x ⇒ du = ∫ 1 a 1 dx = x(x + 1) 0 du u2 + 1 dx 2 x dx x(x + 1) + ∫ ∞ 1 dx x(x + 1) = 2arctg(u) + C = 2arctg( x) + C ) + lim b →+∞ ∫ b 1 dx 1 b = lim 2arctg( x) + lim 2arctg( x)  a b →+∞  1 x(x + 1) a→ 0+  π π π lim 2arctg(1) − 2arctg(a) + lim 2arctg(b) − 2arctg(1) = 2. − 0 + 2. − 2. = π b →+∞ 4 2 4 a → 0+ CRITERIOS DE CONVERGENCIA U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (0252) – TEMA 3 Integral Impropia Pág.: 156 de 170 Prof. José Luis Quintero 3.4. CRITERIOS DE CONVERGENCIA El estudio de la convergencia de integrales impropias por vía del límite requiere del cálculo de una primitiva y no siempre es factible o fácil su cálculo; existe la alternativa de comparación con otras integrales impropias de las cuales se conoce su comportamiento. TEOREMA 1. (Criterio de comparación simple). Sean f(x) y g(x) funciones continuas y tales que 0 ≤ f(x) ≤ g(x) en [a, +∞) . a. Si b. Si ∫ ∫ +∞ g(x)dx converge entonces a +∞ ∫ f(x)dx diverge entonces a ∫ +∞ f(x)dx converge. a +∞ g(x)dx diverge. a Ejemplo 7. Estudie la convergencia de ∫ +∞ 2 e− x dx . 1 Solución. Si x ∈ 1, +∞ ) se tiene x2 > x y e− x < e− x por ser e− x una función decreciente. Por otro lado 2 la integral ∫ +∞ e− x dx = lím c →+∞ 1 ∫ c 1 1 1  e− x dx = lím  −e −c +  = c → +∞  e e es convergente, luego por el criterio de comparación la integral ∫ +∞ 2 e− x dx 1 converge. TEOREMA 2. (Criterio de comparación por paso al límite). Sean f(x) y g(x) funciones continuas no negativas en [a, +∞) con g(x) ≠ 0 . a. Si f(x) =L ≠0 x →+∞ g(x) lím entonces las integrales ∫ +∞ f(x)dx y a ∫ +∞ g(x)dx convergen o divergen ambas. a CRITERIOS DE CONVERGENCIA U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (0252) – TEMA 3 Integral Impropia Pág.: 157 de 170 Prof. José Luis Quintero b. Si lím x →+∞ y ∫ +∞ ∫ g(x)dx converge entonces a f(x) =0 g(x) +∞ f(x)dx converge. a c. Si lím x →+∞ y ∫ +∞ g(x)dx diverge entonces a ∫ f(x) =∞ g(x) +∞ f(x)dx diverge. a Ejemplo 8. Estudie la convergencia de ∫ +∞ 1 xp 1 dx, p > 0 . Solución. ∫ +∞ 1 1 xp dx = lím c →+∞ ∫ c 1 c  c1−p x1 −p 1  1 dx lím = lím = −  = p c → +∞ c →+∞ 1−p x 1 − p 1 − p  p − 1 1 1 p ≠1 p >1 Si p = 1 se tiene que ∫ +∞ 1 1 dx = lím c →+∞ x ∫ c 1 c 1 dx = lím ln x = lím ln c = +∞ 1 c →+∞ c → +∞ x Por lo tanto ∫ +∞ 1 1 xp dx converge a 1 p −1 Si p > 1 . Ejemplo 9. Estudie la convergencia de ∫ Solución. Considere la integral +∞ 1 2 + ln(x) x dx . CRITERIOS DE CONVERGENCIA U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (0252) – TEMA 3 ∫ +∞ 1 x2 /3 1 dx que diverge porque p < 1 . Se tiene 2 + ln(x) f(x) = x >0 y 1 g(x) = x en 1, +∞ ) . De modo que 2 + ln(x) x 1 x →+∞ x2 /3 >0 2 /3 = lím x1/6 (2 + ln(x)) = +∞ , lím x → +∞ luego por la parte c del teorema 2 la integral ∫ +∞ 2 + ln(x) x 1 dx diverge. Ejemplo 10. Estudie la convergencia de ∫ +∞ 1 x + x3 4 1 dx . Solución. Siendo 1 f(x) = x +x que son continuas y positivas en 1, +∞ ) se tiene 4 3 y g(x) = 1 x4 + x3 1 x → +∞ x4 lím = 1. Puesto que ∫ +∞ 1 x4 1 dx converge se tiene por la parte a del teorema 2 ∫ converge. +∞ 1 x + x3 4 1 dx 1 x4 Integral Impropia Pág.: 158 de 170 Prof. José Luis Quintero EJERCICIOS RESUELTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (0252) – TEMA 3 Integral Impropia Pág.: 159 de 170 Prof. José Luis Quintero 3.5. EJERCICIOS RESUELTOS 1. Para un cierto valor real C, la integral dada por +∞ ∫ 2 1   Cx −  2  dx  x + 1 2x + 1  converge. Determine el valor de C y calcúlela. Solución. +∞ ∫ 2 a ∫ 1   Cx −  2  dx = alim →+∞  x + 1 2x + 1  2 a 1  1  Cx C  − dx = lim  ln(x2 + 1) − ln(2x + 1)   2  a→ +∞  2 2  x + 1 2x + 1  2  (x2 + 1)C 1 = lim .ln   2x + 1 a →+∞ 2  Para que converja c = 1 2 a   (a2 + 1)C  1  = . lim  ln    2 2 a→+∞   2a + 1   5C  − ln    5      . Asi se tiene que   a2 + 1   5  1   1   5  1   1   1  1  5  1  = .  ln  − ln  . lim  ln  − ln   = .  ln   − ln     .   = ln     5  2   2   5  2 2 a→ +∞   2a + 1  2 2 2 5                   2. Determine k para que la integral ∫ 1 xk ln(x)dx 0 sea convergente. Solución. ∫ 1 1 xk ln(x)dx = xk +1 1 ln(x) − k +1 k +1 0 0 u = ln(x) ⇒ du = dx x ∫ 1 xk dx 0 , dv = x dx ⇒ v = k xk +1 k +1  k +1 c xk +1 lím x ln(x)dx = lím  − ln(c) − (k + 1)2 c → 0+ c → 0+  k + 1 c  Si k + 1 > 0 ⇒ k > −1 : ∫ 1 k ∫ 1  k +1 1 ck +1   = − lím  c ln(c) + −   (k + 1)2 (k + 1)2  c → 0+  k + 1 c 1 xk ln(x)dx = − 0 1 (k + 1)2 . Integral Impropia Pág.: 160 de 170 EJERCICIOS RESUELTOS U.C.V. F.I.U.C.V. Prof. José Luis Quintero CÁLCULO II (0252) – TEMA 3 3. Si f(t) es continua para t ≥ 0 , la transformada de Laplace es la función F definida por ∞ ∫ F(s) = f(t)e −st dt . 0 Halle la transformada de Laplace de las funciones: a. f(t) = tn. (n ∈ N) Solución. F(s) = ∫ ∞ n − st t e dt = lím c →+∞ 0 = ∫ n lím s c →+∞ c n − st t e 0 ∫  −st n e t dt = lím  − c →+∞  s  n(n − 1) s2 0 n + s ∫ c 0  tn −1e−st dt    c tn −1e−st dt , s > 0 , n = 1, 2,... 0  −st n −1 n e t = lím  − s c →+∞  s  = c lím c → +∞ ∫ c + 0 n −1 s ∫ c 0  tn − 2e −st dt  , s > 0 , n = 1,2,...   c tn − 2e−st dt , s > 0 , n = 1, 2,... 0 ⋮ = n! lím sn c → +∞ ∫ c e−st dt = 0 n! 1 n! . = n +1 , s > 0 , n = 1, 2,... n s s s n −1 (u = t ⇒ du = nt n dt , dv = e−st dt ⇒ v = − 1s e−st ) (u = tn −1 ⇒ du = (n − 1)tn − 2dt , dv = e−st dt ⇒ v = − 1s e−st ) b. 0 0 ≤ t < a U(t − a) =  . (función escalón unitario) t≥a 1 Solución. F(s) = ∫ ∞ U(t − a)e 0 − st dt = ∫ ∞ e − st dt = lím c →+∞ a ∫ c e −st a −cs  e = lím  − c → +∞  s  e−st dt = lím − c → +∞ s − e − as − as  e = s  s 4. La definición por integral de la función gamma, viene dada por Γ(x) = Pruebe que: a. La integral converge para x > 0 . Solución. ∫ ∞ t x −1e− t dt . 0 c a , s>0 EJERCICIOS RESUELTOS U.C.V. F.I.U.C.V. ∫ t x −1 − t e dt = lím 0 Prof. José Luis Quintero CÁLCULO II (0252) – TEMA 3 ∞ c → +∞ ∫ c t 0 Integral Impropia Pág.: 161 de 170 c  x −1 c  t e dt = lím  − t t x − 2e− t dt  + (x − 1) c →+∞   e 0 0   c c  x −1  x −1 − t t t e 1 = lím  − t + (x − 1)  +  c →+∞  x −1 x −1 e 0 0   ∫ x −1 − t ∫ c 0  t x −1e−t dt      (u = tx −1 ⇒ du = (x − 1)t x −2 dt , dv = e−t dt ⇒ v = −e−t ) (u = e−t ⇒ du = −e− t dt , dv = t x − 2dt ⇒ v = b. t x −1 ) x −1 Γ(x + 1) = xΓ(x) . Solución. Γ(x + 1) = c. ∫ ∞ x −t x −t t e dt = t e 0 ∞ 0 +x ∫ ∞ t x −1e− t dt = lím c →+∞ 0 cx ec + xΓ(x) = xΓ(x) , x > 0 (u = t x ⇒ du = xt x −1dx , dv = e−t dt ⇒ v = −e− t ) Γ(n + 1) = n! . Solución. Γ(1) = ∫ ∞ e− t dt = −e− t 0 ∞ 0 = 1. Aplicando la propiedad anterior se tiene: x = 1 ⇒ Γ(1 + 1) = 1.Γ(1) = 1.1 = 1 ⇒ Γ(2) = 1! x = 2 ⇒ Γ(2 + 1) = 2.Γ(2) = 2.1 = 2 ⇒ Γ(3) = 2! x = 3 ⇒ Γ(3 + 1) = 3.Γ(3) = 3.2 = 6 ⇒ Γ(4) = 3! ⋮ Γ(n + 1) = n! 5. Estudie la convergencia de ∫ +∞ 1 x 1  1 + x  dx .   Solución. Se hace uso del criterio de comparación por paso al límite parte a: Considere las funciones 2 x 1 1   g(x) =  1 +  y f(x) =  1 +  x x   en el intervalo 1, +∞ ) donde ambas son continuas y positivas. De modo que x 1  1 + x   = e =e lím  2 x →+∞ 1 1  1 +   x  EJERCICIOS RESUELTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (0252) – TEMA 3 Por otro lado ∫ +∞ 1 2 1  1 + x  dx   diverge, lo cual puede ser comprobado fácilmente, luego la integral ∫ +∞ 1 x 1  1 + x  dx   diverge. 6. Utilice el teorema de comparación para determinar si la integral ∫ π /2 0 1 dx x.sen(x) es convergente o divergente. Solución. Si x ∈ 0, 2π  se tiene que sen(x) ≤ 1 , de modo que x.sen(x) ≤ x . Luego ( 1 1 ≥ x.sen(x) x Por otro lado ∫ π /2 0 1 dx = lím x c → 0+ ∫ π /2 c 1 π /2 dx = lím ln(x) c = +∞ + x c→0 Por el teorema de comparación parte c la integral ∫ diverge. π /2 0 1 dx x.sen(x) Integral Impropia Pág.: 162 de 170 Prof. José Luis Quintero Integral Impropia Pág.: 163 de 170 EJERCICIOS PROPUESTOS U.C.V. F.I.U.C.V. Prof. José Luis Quintero CÁLCULO II (0252) – TEMA 3 3.6. EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Verifique las siguientes afirmaciones: 1.1. ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1 dx x 0 1.3. 3 ∞ 0 1.11. 1.13. 1.15. 1.17. 1.19. 1.21. 1.23. dx 1+ x 12 1.6. =π 1.8. dx (diverge) x ln(x) arctg(x) x +1 2 dx x +1 3 0 ∞ = dx = π2 8 2π 3 3 1 e sen(x)dx = 2 −x 0 ∞ xe − x2 1 4 x − 5x + 4 ∞ xe 0 1 dx = 2e x −2 2 2 dx =1 x2 −2x dx dx (diverge) 1 dx = 4 x + 4x + 9 2 −∞ 0 ∞ ∞ 1 ctg(x)dx (diverge) 0 sen(x)dx (diverge) 0 π2 ∞ 1.4. ∞ ∞ 2 −∞ 1.9. (diverge) dx (diverge) x ∞ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ dx (diverge) x −1 (x − 1)2 1 1.7. 1.2. dx 0 1.5. =2 2 12 1.10. dx 2 x(ln(x)) 0 ∞ 1.12. dx = 1 1 + ln(3) 3 4 (x − 1) 1 2 dx (diverge) x − 5x2 3 0 ∞ dx 1.18. x + 2x + 2 2 −∞ 1 1.20. dx e − e− x x 0 ∞ 1.22. 1 1 1.24. 0 1 ln(2) (k > 0) 2 1.16. = 1 k ∞ 2 5 e−kx dx = 0 1.14. π = =π (diverge) 1   x (x − 1)  2 − 2  dx (diverge) x +1 x  dx 1 − x2 = π 2 Integral Impropia Pág.: 164 de 170 EJERCICIOS PROPUESTOS U.C.V. F.I.U.C.V. Prof. José Luis Quintero CÁLCULO II (0252) – TEMA 3 2. Encuentre a > 0 tal que 2 ∫ a dx 1+ x 2 0 = ∫ ∞ a dx 1 + x2 . 3. Determine todos los posibles valores de q para los cuales la integral ∫ 1 xqdx 0 converge. Rta. Converge a 1 si q > −1 . q+1 4. Determine el valor de n para el cual la integral impropia ∫ ∞ 1  nx2 1  −  3  dx  x + 1 3x + 1  es convergente, y evalúe la integral para este valor de n. Rta. n = 1 3 y la integral converge a 5. Determine si la integral ∫ 2 0 dx x −1 converge o diverge, en caso de ser convergente, calculela. 6. Halle a y b tal que ∫ +∞ 1  2x2 + bx + a  − 1  dx = 1 .    x(2x + a)  1 ln( 31 ) 3 − 13 ln( 32 4 ).