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La f´ısica de la chimenea solar V´ıctor Romero Roch´ın Instituto de F´ısica, Universidad Nacional Aut´onoma de M´exico. Apartado Postal 20-364, 01000 M´exico, D.F, Mexico.∗
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D h = 195 m
chimenea
R = 120 m D = 10 m
colector solar (plexiglass)
d=2m
h
d R
FIG. 1: Esquema de una chimenea solar.
I.
LA CHIMENEA SOLAR
La chimenea solar es una alternativa para producir energ´ıa sustentable y limpia usando la energ´ıa solar combinada con el principio b´asico del efecto chimenea (stack effect). Existen ya varios prototipos construidos, entre los m´as notorios, el de Manzanares, Espa˜ na, con una chimenea de altura h = 195 m y un di´ametro D = 10 m. El radio promedio del colector de energ´ıa solar es de R =120 m, con una altura desde el suelo de d = 2 m. Vea la Figura 1. El incremento t´ıpico de la temperatura del aire dentro del colector con respecto a la del ambiente es de 20 K. El flujo de aire resultante se usa para mover unas turbinas (colocadas en la cercan´ıa de la base de la torre) que, a su vez, generan electricidad. Aqui nos olvidaremos de las turbinas. El prop´osito es entender el flujo del aire dentro del sistema y su velocidad como funci´on de las caracter´ısticas de la chimenea. En lo que sigue presentaremos el desarrollo m´as sencillo e idealizado del problema.
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v ph C
T0
v
ρ0
h
v v= 0
T
ρ
v
v
A
presión en A es p(0)
B
v= 0
p0
presión en C es p(h)
FIG. 2: Los puntos A, B y C est´ an dentro del aire caliente con densidad ρ y temperatura T . El aire en el ambiente tiene densidad ρ0 y temperatura T0 . La presi´on ambiente del aire en el piso es p0 y a la altura h es ph .
II.
´ SENCILLA LA F´ ISICA DEL PROBLEMA Y UNA SOLUCION
1. El aire dentro del colector (debido a la radiaci´on solar) se calienta a una temperatura T mayor que la temperatura ambiente T0 . A su vez, la densidad ρ del aire dentro del colector disminuye con respecto a la densidad ρ0 del aire en el ambiente. Esto es, T > T0 a la vez que ρ < ρ0 . Mientras no haya flujo, la presi´on del aire dentro del colector es similar a la del ambiente p0 a nivel del suelo, vea la Figura 2.
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2. El aire caliente al ser menos denso que el del ambiente, tiende a elevarse dentro de la chimenea por efecto de boya. Este es un transitorio que ocurre por un cierto tiempo, durante el cual el flujo se comporta de manera complicada, hasta que se genera una cierta velocidad v en el colector en la cercan´ıa de la entrada a la chimenea. Esta posici´on est´a marcada con A en la Figura 2.
3. Una vez que el aire alcanza esa velocidad (por efecto Bernoulli) la presi´on del aire caliente en la vecindad de la entrada de la chimenea, se reduce con respecto a la presi´on p0 del aire caliente en la entrada al colector; esta posici´on est´a marcada con B en la Figura 2. Sea p(0) la presi´on del aire caliente en la entrada de la chimenea, punto A. Aplicando la ecuaci´on de Bernoulli entre los puntos A y B se tiene 1 p0 = p(0) + ρv 2 . 2
(1)
Es decir, p(0) < p0 , y es esta diferencia de presiones la que sostiene el flujo. La ecuaci´on (1) supone que la densidad del aire caliente ρ es constante dentro del colector. Supone tambi´en que la presi´on el aire caliente en la entrada del colector es igual a la del aire en el ambiente, a nivel de piso. Aclaramos tambi´en que hemos despreciado, y seguiremos despreciando, cualquier efecto de viscosidad o fricci´on.
4. Se alcanza entonces un estado estacionario, sostenido por la diferencia de presiones ∆p = p0 − p(0). Notamos que la velocidad del aire caliente en el punto A es v y que esa es la misma velocidad del aire caliente al entrar en la chimenea. Si ahora hacemos la suposici´on razonable que el aire caliente mantiene su misma densidad ρ a lo largo de la chimenea, que es de secci´on transversal constante πD2 /4, entonces, por conservaci´on de masa, la velocidad del flujo tambi´en permanece constante, con el valor v, dentro de la chimenea. La suposici´on que la densidad del aire se mantiene constante dentro de la chimenea no puede aplicarse a una chimenea arbitrariamente alta.
5. El flujo, pues, est´a en un estado estacionario entrando con velocidad cero en el punto B, aceler´andose hasta el valor v en el punto A, y permaneciendo con velocidad v a lo largo de la chimenea hasta su salida en la altura h, punto C en la Figura 2.
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6. Existe una suposici´on adicional. El aire al salir en C lo hace con cierta presi´on p(h), dada tambi´en por la ecuaci´on de Bernoulli, aplicada entre el punto A y el punto C, p(h) = p(0) − ρgh.
(2)
Esta presi´on, en principio, no tiene por qu´e ser igual a la del ambiente ph a la altura h. Sin embargo, puede suponerse que en una distancia vertical δh medida desde la salida de la chimenea, con δh h, las presiones se igualen pues el aire caliente de salida se dispersa en el ambiente. Esto permite suponer que p(h) ≈ ph .
(3)
7. Con las consideraciones y suposiciones previas, podemos calcular el valor v del flujo en A y a lo largo de la chimenea. Para esto, aplicamos una vez m´as la ecuaci´on de Bernoulli al flujo del aire caliente, desde el punto B hasta el punto C. El resultado es, 1 p0 = p(h) + ρgh + ρv 2 . 2
(4)
Usando la aproximaci´on (3), p(h) ≈ ph , la ecuaci´on puede reescribirse como 1 2 ρv = p0 − ph − ρgh. 2
(5)
Ahora notamos que p0 − ph es la diferencia de presiones del aire ambiente entre el piso y la altura h. Si suponemos que la densidad del aire ambiente ρ0 permanece constante tambi´en, consistente con la misma suposici´on del aire caliente, entonces p0 − ph = ρ0 gh.
(6)
Combinando las ecuaciones (5) y (6), llegamos a una expresi´on para la velocidad v, s
v=
2gh
ρ0 − ρ . ρ
(7)
8. Resulta que experimentalmente es dif´ıcil medir la densidad del aire caliente ρ, sin embargo, su temperatura s´ı se puede determinar. Lo que deseamos entonces es expresar las densidades en t´erminos de las temperaturas. Esto puede estimarse comparando las correspondientes densidades en la vecindad del punto B, en el cual ambos gases est´an a la misma presi´on. Si ahora recordamos que el aire puede aproximarse por un gas ideal, tenemos (M es la masa molar del aire) p0 =
R ρT M
y 5
p0 =
R ρ0 T0 , M
(8)
de donde obtenemos la relaci´on ρ0 T = . ρ T0
(9)
9. Usando (9) en (7), llegamos a la expresi´on deseada de la velocidad v en el punto A y a lo largo de la chimenea, s
v=
2gh
T − T0 . T0
(10)
10. Haciendo una estimaci´on num´erica, suponiendo T − T0 = 20K con T0 = 300K, hallamos, v ≈ 16 m/s ≈ 57 km/h, una velocidad nada despreciable ...
Agradezco a mis colegas, en particular a Ra´ ul Espejel y Carlos M´alaga, por ayudarme a entender este problema y soportar mis divagaciones al respecto.
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