El Rincón Matemático - Universidad De Jaén

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El Rincón Matemático en Diario Jaén Coordinador: José María Quesada Teruel Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 Universidad de Jaén Matemáticas y Astronomía (Hussein Toledano Ahmad) El sistema de numeración decimal (Juan Francisco Ruiz Ruiz) De la magia de las matemáticas… (Francisco Tomás Sánchez Cobo) …a las matemáticas de la magia (Francisco Tomás Sánchez Cobo) Fácil de enunciar, difícil de probar (José María Almira Picazo) Cóncavo y “con beso” (Antonio Francisco Roldán López de Hierro) El ocho acostado (Consuelo Rosales Ródenas) Los matemáticos son desconfiados (Miguel Antonio Jiménez Pozo) Enigma (Miguel Angel García Muñoz) Memoria de actividades. Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 - 14 - El Rincón Matemático en Diario Jaén “Cómo hacerse rico con las matemáticas” Autor: Antonio Jesús López Moreno (Diario JAEN, 2 de octubre de 2008) Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 Universidad de Jaén Los juegos de azar nacen con la humanidad misma y, de su mano, surge el interés por encontrar técnicas ventajosas de juego. De hecho, probablemente la teoría de probabilidades nace de la correspondencia que en el siglo XVII mantuvieron los matemáticos franceses Pascal y Fermat sobre los problemas que el caballero de Meré, apasionado jugador, les planteaba. Allá por el siglo VI a.C. Tales de Mileto era el más importante matemático de su época. Según cuenta la leyenda, decidió Tales hacerse rico y demostrar así la eficacia de todas sus teorías ante aquellos que le increpaban alegando aquello de que „si tan sabio eres, ¿cómo es que no posees riquezas?‟. Valiéndose de sus conocimientos matemáticos predijo que la cosecha sería excelente y se adelantó adquiriendo todas las prensas de aceite de la zona que luego alquiló durante la temporada a un elevado precio consiguiendo así amasar una importante fortuna. Pero, sea o no cierta la fábula, ¿podrían las matemáticas hacernos ricos? „Utilizando las tablas y sencillos cálculos que ahora les mostraremos, podrán ustedes hacerse de forma rauda con cuánto dinero deseen, apostando en la lotería, casinos y otros juegos‟. Bien podría este artículo haber comenzado así, y, de hecho, este es el encabezado que reza en no pocos ejemplares que pueden encontrarse en cualquier librería. ¿Podría una tal afirmación ser cierta? ¿Existen esas técnicas matemáticas que facultan al que las domina para triunfar en los juegos de azar? El filme ‟21 Blackjack‟, que hemos podido ver en las carteleras este mismo año, narra la historia verídica de cómo un grupo de jóvenes genios de las matemáticas desbancaron varios casinos de Las Vegas utilizando técnicas estadísticas de conteo de cartas. Igualmente espectacular es el periplo de la ya célebre familia García-Pelayo que se ha paseado por todo el mundo recaudando millones de euros en la ruleta gracias a sus métodos estadísticos de análisis de las irregularidades físicas de las ruletas. Así las cosas, parece que los matemáticos finalmente triunfaron y el milagro es posible. Corran pues a matricularse a la facultad de Ciencias Exactas más cercana. Memoria de actividades. Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 - 15 - El Rincón Matemático en Diario Jaén “¿Cuánto nos cuestan las prisas al volante?” Autor: Joaquín Jódar Reyes (Diario JAEN, 9 de octubre de 2008) Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 Son tiempos de dificultades económicas y todo ahorro es importante. Nuestra forma de conducir no es ajena a ello. Tomemos de referencia un vehículo de gasóleo, con un consumo medio de unos 5,5 litros a los 100 kilómetros cuando circulamos en un trayecto interurbano a una velocidad de 120 kilómetros por hora. Este consumo se dispara a partir de esa velocidad, de modo que, por ejemplo, a 150 kilómetros por hora, se sitúa en torno a 8,7 litros a los 100 kilómetros (y progresa aún más conforme mayor va siendo la velocidad). Universidad de Jaén ¡Esto por cada 100 kilómetros! Y no hemos computado el gasto “extra” que nos puede suponer la infracción de circular por encima de la velocidad permitida (actualmente, la multa por circular a 150 kilómetros por hora en una zona con velocidad máxima permitida de 120 kilómetros por hora es de 100 euros). Pero es que aún no hemos incluido el factor más importante: el notable aumento de riesgo que para nosotros y los demás conductores está suponiendo nuestro exceso de velocidad. Y todo esto, ¿para qué? ¿Acaso ganamos mucho tiempo? A una velocidad media de 120 kilómetros por hora, recorreríamos 120 kilómetros en 60 minutos y, por una sencilla regla de tres, 100 kilómetros en 50 minutos. A 150 kilómetros por hora, los 100 kilómetros los haríamos en 40 minutos. Es decir, por tardar 40 minutos en lugar de 50 en ese trayecto de 100 kilómetros, ponemos en mayor riesgo nuestra vida y la de los demás, nos jugamos una cuantiosa multa y realizamos un gasto considerablemente más alto en combustible y, por ende, en nuestro bolsillo. ¿De verdad merece la pena? Son sencillas las matemáticas que nos invitan a reflexionar sobre nuestra forma de conducir. Esto quiere decir que, en un viaje de 100 kilómetros por autovía (como es la distancia, aproximadamente, entre Jaén y Granada), una velocidad media de 120 kilómetros por hora nos supondría, con el precio actual del gasóleo en torno a 1,20 euros el litro, un gasto de 6,60 euros, mientras que una media de 150 kilómetros por hora nos supondría 10,44 euros (sobrecoste de casi 4 euros que es más de lo que una persona que trabaje 40 horas semanales y con un sueldo mensual de 1200 euros cobra por media hora de trabajo). Memoria de actividades. Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 - 16 - El Rincón Matemático en Diario Jaén “¿Pueden las matemáticas ayudarte a sobrevivir?” Autor: Juan Carlos Ruiz Molina (Diario JAEN, 23 de octubre de 2008) Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 La historia demuestra que en algunos casos sí. En tiempos de la sublevación judía frente al poder romano, el emperador Nerón recurrió a un solvente general para sofocar la revuelta. El afortunado fue Vespasiano, un rudo general que había perdido el favor de Nerón debido a que se durmió en uno de sus recitales. El plan diseñado por Vespasiano consistió en minar la sublevación mediante un proceso de conquista de ciudades dejando para el final la inexpugnable Jerusalén. Tras el sometimiento de alguna de ellas le tocó el turno a Jotapat. Para su defensa se desplazó a la zona uno de los jefes moderados rebeldes, cuyo nombre romanizado era el de Flavio Josefo. La maquinaria de guerra romana, tras un duro asedio, consiguió finalmente asaltar la ciudad. Josefo logró escapar momentáneamente de la venganza romana refugiándose, junto a una cuarentena de radicales judíos, en un pozo. Una vez localizado su escondrijo, se entabló una negociación en la que se les prometió respetar sus vidas. Sin embargo, esta generosa promesa no fue bien recibida por los extremistas que decidieron suicidarse antes que entregarse. Josefo, que no quería morir, trató primero de persuadir a los suicidas para que cambiaran de opinión. El intento resultó infructuoso. Entonces les convenció de que el suicidio era un pecado y de que era preferible ante los ojos de Dios el que se mataran los unos a los otros. Universidad de Jaén Les propuso un plan consistente en colocarse en círculo y cada uno asesinar al compañero inmediatamente a la derecha. Tras la macabra primera vuelta, el círculo se volvería a formar con los que permanecieran con vida y se aplicaría el mismo principio. Al final sólo quedarían dos, uno moriría asesinado y el otro se suicidaría. La cuestión sería saber si una posición inicial determinada en el círculo aseguraría que Josefo fuese el que moriría por suicidio y no asesinado. Este planteamiento dio lugar a un famoso problema matemático denominado “cuenta de Josefo”. Busto de Flavio Josefo Se cree que Josefo podría haber tenido los conocimientos matemáticos suficientes para decidir el lugar exacto que debía ocupar en el círculo para sobrevivir (como así sucedió). Otras de las virtudes que se le conocen al protagonista de nuestra historia es la de predecir, a partir de las antiguas escrituras, la púrpura imperial para Vespasiano y su dinastía. Predicción, ahora sí sin base estadística, que le aseguró un puesto en Roma al lado del emperador, la ciudadanía romana, una pensión y el disfrute del antiguo domicilio de Vespasiano. Memoria de actividades. Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 - 17 - El Rincón Matemático en Diario Jaén “Ibn Muadh, el gran olvidado” Autor: Juan Martínez Moreno (Diario JAEN, 30 de octubre de 2008) Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 Universidad de Jaén Lamentablemente no se cumplió el pronóstico y todo quedó en agua de borrajas. Los matemáticos como autores de artículos y libros que son, pertenecen a la rara estirpe de seres ególatras que persiguen la inmortalidad desde sus trabajos. Su afán último es conseguir que alguien en el otro confín del planeta les mencione aunque sólo sea de soslayo en sus propios trabajos y, en el caso muy especial, titule uno de sus resultados con sus propios nombres. Las matemáticas están inundadas de teoremas de Fermat, conjeturas de Poincaré y triángulos de Pascal. Sus aspiraciones de perdurabilidad están sacadas del mismo saco que las de novelistas, pintores y demás artistas en general. En este sentido, y en muchos otros, la matemática es arte en estado puro. Esa mentalidad competitiva justifica la existencia de premios para vanagloria de sus ganadores. De entre ellos, la Medalla Fields (no existe el Nobel en matemáticas) es el más prestigioso. Nunca un matemático español se hizo acreedor de una Medalla Fields y pocos consiguieron la suficiente fama internacional como para pasar a la historia de la matemática moderna: Rey Pastor,… Hasta aquí, todo normal, previsible; aunque no puedo dejar pasar en este punto que la matemática española, muy atrasada durante siglos posiblemente por políticas inoportunas, ha sufrido un crecimiento espectacular en la última década, llegando incluso a rumorearse en el pasado congreso matemático mundial la posible adjudicación de una medalla para un matemático español. Pero hete aquí mi sorpresa cuando perplejo, ante tan desolador panorama, descubro en la web “The MacTutor History of Mathematics archive” de la University of St Andrews Scotland, encargada de documentar a los matemáticos más ilustres de la historia, que uno se llama Abu Abd Allah Muhammad ibn Muadh Al-Jayyani. Aunque debió nacer en Córdoba, el sobrenombre Al-Jayyani significa de Jaén. Ibn Muadh fue un gran teórico de la matemática de entonces y además ejerció de cadí en la ciudad de Jaén. Escribió el primer “Tratado de Trigonometría Esférica”, que entre otras contiene una exposición de los teoremas del seno y del coseno. Debió vivir entre nosotros entre los años 989 y 1079 d. C. Alguien debería estudiar la vida y obra de este jaenero en profundidad ¿tal vez una tesis doctoral?. Ahí arrojo el guante. Memoria de actividades. Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 - 18 - El Rincón Matemático en Diario Jaén “¿Nos fiamos siempre de nuestra intuición?” Autor: Ildefonso Castro López (Diario JAEN, 6 de noviembre de 2008) Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 Imaginemos que fuésemos capaces de rodear con un hilo la superficie terrestre alrededor del ecuador. La fórmula de la longitud de la circunferencia (2πR, siendo R el radio de ésta) nos estima la longitud del hilo usado en más de 36.000 km, pues π es 3 y pico y el radio de la Tierra es aproximadamente 6370 km. Cortamos ahora nuestro larguísimo hilo y añadimos solamente 1m de hilo a esos 36 millares largos de kilómetros. Universidad de Jaén Llamemos R1 al radio de la Tierra y R2 al radio de la circunferencia que forma el nuevo hilo “alargado”. Nuestro problema consiste en calcular R2-R1, que es claramente la medida del hueco creado. Pues bien, la simple ecuación matemática que traduce el proceso que hemos llevado a cabo es 2πR2 = 2πR1+1, que proviene de expresar en metros la longitud del hilo alargado. Tras un par de operaciones elementales, 2πR2 - 2πR1 =1, 2π (R2-R1) = 1, llegamos al valor exacto de la “holgura” R2 –R1=1/2π. Con la ayuda de cualquier calculadora el cociente 1/2π es aproximadamente 0.15; esto es, 15 cm que permiten sobradamente introducir cualquier puño cerrado (salvo acaso el de Mazinger Z, un personaje de dibujos animados de la época de los lectores cuarentones). Si volviésemos a colocar el nuevo hilo resultante alrededor de nuestro planeta por el mismo sitio (en torno al ecuador) ahora quedaría con un “poquito” de holgura. Le desafío a que piense si cree que podría colocar su dedo índice y pasearlo a lo largo del hueco que quede. Si su intuición le ha dictado que eso parece imposible, lamentablemente se ha visto engañado por ella. Me propongo no convencerle, sino demostrarle que no sólo le cabría su dedo, sino todo su puño cerrado. Y ésta no será la mayor sorpresa ... Queda pendiente la sorpresa prometida: Repita el mismo problema sustituyendo la esfera de nuestro maltratado planeta por una pelota de tenis, un balón de fútbol, un minúsculo electrón o el inmenso Universo. ¡¡El resultado es increíblemente el mismo!! Moraleja: no se deje guiar en la vida siempre por su intuición, pues la sorpresa puede ser mayúscula. Memoria de actividades. Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 - 19 - El Rincón Matemático en Diario Jaén “El juego de billar cósmico” Autor: Juan Francisco Ruiz Ruiz (Diario JAEN, 13 de noviembre de 2008) Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 Johannes Kepler fue un matemático alemán que estudió los movimientos de los planetas y buscó durante años una descripción para los mismos. Aunque ideas preconcebidas erróneas entorpecieron su investigación, con ayuda de las observaciones de Ticho Brahe, finalmente consiguió describir el movimiento planetario con sus tres leyes: los planetas describen una elipse con el Sol en uno de sus focos, en su movimiento elíptico barren áreas iguales en tiempos iguales y el cuadrado de los periodos de revolución es proporcional al cubo de los semiejes mayores de la elipse. La importancia del descubrimiento es enorme, Kepler era contemporáneo de Galileo y describió de forma precisa lo que la mayoría de sus coetáneos no eran capaces de imaginar. Sin embargo no dio explicación a las mismas y sería Newton quien encontraría la respuesta: La Ley de Gravitación Universal. Ésta explicaba el movimiento de los cuerpos celestes, y además establecía las bases de la mecánica clásica, que fue completada por Einstein, dando una explicación geométrica de la gravedad. Universidad de Jaén Como si de una mesa de billar se tratara, las sondas espaciales son enviadas al espacio, en una serie de carambolas gravitatorias en busca de un objetivo final. Los científicos juegan al billar en un tablero cósmico, utilizando las leyes de Kepler, Newton y Einstein. Para conseguir acelerar o frenar, las sondas aprovechan la gravedad de los propios planetas en una maniobra que se denomina: “asistencia gravitacional”. Cassini es una nave espacial que actualmente orbita y estudia a Saturno y sus satélites, su periplo a través del Sistema Solar es un buen ejemplo de carambola cósmica, fue lanzada en octubre de 1997 hacia Venus y lo sobrevoló en dos ocasiones; de nuevo volvió a La Tierra en 1999, cogiendo aún más impulso (en poco más de 1 hora llegó a la Luna); en enero de 2000 sobrevoló el asteroide 2685 Masursky y en diciembre pasó a Júpiter con destino Saturno, al cual llegó en julio de 2004, después de casi 7 años de viaje. La Cassini llevaba a bordo, como polizón, una pequeña sonda de construcción europea llamada Huygens, que descendió sobre el mayor de los satélites de Saturno: Titán; consiguió por primera vez mirar a través de sus nubes y desvelarnos la superficie y el aspecto de Titán. Es difícil transmitir con palabras la emoción que se siente al ver un mundo por primera vez, quizás Kepler y tantos otros sintieron algo similar al descubrir las leyes del juego de billar cósmico, con las que hoy se juega para llegar a otros mundos. Memoria de actividades. Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 - 20 - El Rincón Matemático en Diario Jaén “Efecto Bartók” Autor: Miguel Marano Calzolari (Diario JAEN, 20 de noviembre de 2008) Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 Universidad de Jaén En efecto, la sucesión de números fraccionarios formados por dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci, a saber … , 13/21, 21/34, 34/55, 55/89…, se aproxima tanto como se quiera a la sección áurea. Misterios de la matemática, y también de la naturaleza porque estos números están presentes en ella. Propongo que el compositor húngaro Béla Bartók (1881-1945) sea declarado músico emblemático de las Ciencias Matemáticas. Hay motivos para ello. Si bien la aplicación de las matemáticas a la música no es un tema por él descubierto, es este compositor quien emplea de modo sistemático elementos de esa ciencia en sus partituras. Concretamente, la sección áurea y la sucesión de Fibonacci. La sección áurea se refiere a la partición de un segmento en dos partes de distinta longitud, de tal forma que la relación entre la longitud de la parte mayor y la longitud total del segmento es igual a la relación entre las longitudes de la parte menor y mayor. El valor de esta relación, la sección áurea, es aproximadamente 0,618. La sucesión (infinita) de números enteros de Fibonacci comienza con dos unos y luego forma sus términos con la suma de los dos anteriores: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … . Aunque ambos conceptos provienen de definiciones aparentemente no relacionadas, hay un vínculo entre ellos. Por ejemplo, si una rama de un árbol y todas las que nacen de ella producen otra rama por año a partir de su segundo año de vida, entonces el número total de ramas en cada año sigue una ley dada exactamente por la sucesión de Fibonacci. Hay más ejemplos, algunos también conectados con la sección áurea. Pero no nos vayamos por las ramas y volvamos a Bartók; no puedo dar detalles de cómo introduce estos elementos matemáticos en sus composiciones, por falta de espacio pero principalmente porque no tengo ningún conocimiento de técnica musical. Hay estudiosos del tema que han escrito sobre estos aspectos; de ellos he obtenido estos datos. Es una gran cosa que no sea necesario poseer esos conocimientos técnicos para disfrutar de la música. Y ya es hora de decirlo. Confieso que el segundo concierto para violín de Bartók produce en mí, y seguramente en muchos otros, un efecto de música celestial. No sé si será por los ingredientes matemáticos. Más bien me inclino a pensar que se debe a que la música - a diferencia de las otras artes, que son creaciones del hombre - es una creación directa de Dios, que los grandes compositores, verdaderos emisarios del Creador en la tierra, interpretan y ejecutan. Memoria de actividades. Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 - 21 - El Rincón Matemático en Diario Jaén “La estadística: madre de la enfermería moderna” Autor: José Rodríguez Avi (Diario JAEN, 27 de noviembre de 2008) Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 Universidad de Jaén Tras la puesta en práctica de sus instrucciones, relacionadas con la atención a los enfermos y a la higiene –a veces costeadas por ella personalmente- el mismo gráfico demostró que las muertes por enfermedades evitables casi habían desaparecido. En 1854, Gran Bretaña y Francia libraban contra Rusia la guerra de Crimea, de poca importancia política pero famosa por dos hechos claves. Uno, la disparatada carga de la brigada ligera inglesa en Balaklava, inmortalizada en el cine por Errol Flyn en famosa película homónima. El otro ocurrió gracias a una tenaz mujer y a su pasión por la Estadística. Desafiando la oposición paterna estudió matemáticas, siendo alumna destacada de algunos de los mejores matemáticos de la época. Llevada por su espíritu de servicio fue nombrada Superintendente del Sistema de Enfermeras de los Hospitales Generales Ingleses en Turquía para los heridos de la guerra. Al volver a casa consiguió que le encomendaran otros hospitales en donde estadísticamente demostró como sus métodos bajaban la tasa de mortalidad. Con su trabajo mostró la importancia de la estadística para mejorar las prácticas quirúrgicas y médicas y supo utilizar los resultados para reformar en profundidad la sanidad. Esta mujer inglesa aunque nacida en Florencia, investigadora incansable, matemática de vocación, miembro de las más prestigiosas asociaciones estadísticas mundiales era Florence Shore, que ha pasado a la historia como Florence Nightingale, la auténtica creadora e impulsora de la enfermería moderna. Al llegar al hospital de Scutari vio que las condiciones higiénico-sanitarias eran desastrosas. Recopiló datos relacionando la muerte con la causa y sistematizó la práctica del control de registros. Inventó un gráfico, denominado de área polar, en el que en cada mes se representaba con un sector circular dividido en tres partes, cada una con área proporcional a la frecuencia de las muertes por heridas, enfermedades evitables y otras causas. Así demostró que los meses de mayor mortalidad correspondían a los invernales, en los que casi no se combatía. De hecho las heridas de guerra causaban sólo la sexta parte de las muertes, mientras que las causas principales eran enfermedades evitables. Florence Nightingale Memoria de actividades. Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 - 22 - El Rincón Matemático en Diario Jaén “No confíe su dinero a los matemático” Autora: Consuelo Rosales Ródenas (Diario JAEN, 4 de diciembre de 2008) Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 Universidad de Jaén En los medios de comunicación se leen ahora las críticas a la confianza depositada en métodos y modelos sofisticados que contenían enormes riesgos: “…estos bonitos modelos matemáticos daban ilusión a los banqueros y también a los reguladores que medían perfectamente el riesgo; admitamos que la teoría financiera moderna tiene la validez científica de la astrología”. En 1948, financiada con fondos militares y empresariales, en Estados Unidos se constituyó una organización, integrada por los mejores científicos, cuyo objetivo era estudiar estrategias nacionales en un mundo nuclear. Su consigna era “pensar lo inimaginable”. De ella formaban parte los grandes que en esa época desarrollaban la teoría de juegos, con aplicaciones fundamentalmente económicas hasta ese momento. Se estudió con precisión la lógica de la guerra, y se pusieron a punto mecanismos que advertían de cualquier ataque nuclear. Con el temor de los dos bandos a sus consecuencias, la estrategia del golpe por golpe se descartó: la partida nuclear solo se podía jugar una vez. Pensar lo inimaginable evitó lo imposible. Medio siglo después, los matemáticos han sido reclutados por los grandes bancos. El objetivo también era pensar lo inimaginable, pero ahora para diseñar nuevos productos financieros e idear estrategias que elevaran exponencialmente los beneficios. Las consecuencias, medidas en cifras millonarias, engordaban y blindaban bolsillos privados. Es posible que los modelos matemáticos estén hoy mejor desarrollados para predecir huracanes que crisis financieras; pero es exagerado afirmar que las matemáticas tienen la culpa de los excesos cometidos en la gestión de los bancos y en la permisividad de las autoridades que debían regularla. Matemáticamente el interés compuesto produce un crecimiento exponencial de la deuda, y evitar la devolución de la misma durante más de unos años se hace imposible. La “magia del interés compuesto” ha transformado en sinónimos los vocablos innovación y engaño para quienes creían que el crecimiento de los créditos hipotecarios basura podría continuar indefinidamente. El lugar del miedo lo ha ocupado la codicia y lo imposible nos ha explotado. Las hipotecas basura, los activos tóxicos, no sólo reparten las pérdidas para todos sino que, además, los contribuyentes debemos pagar la fiesta de excesos a la que no estábamos invitados. Memoria de actividades. Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 - 23 - El Rincón Matemático en Diario Jaén “Matemáticas y ajedrez” Autor: Antonio Damas Serrano (Diario JAEN, 11 de diciembre de 2008) Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 Cuenta la leyenda que el ajedrez tuvo su origen en una región de la India. Allí, un cierto rey perdió a su hijo en una batalla, hecho que lo sumió en una profunda tristeza. Todos en la corte hacían lo posible por alegrar al soberano, pero no lo conseguían. Un buen día, un tal Sissa se presentó al rey y le mostró un juego de estrategia que se desarrollaba en un tablero de 64 casillas y en el que participaban dos jugadores, cada uno de ellos con 16 piezas (8 soldados, 2 caballos, 2 elefantes, 2 consejeros, una reina y un rey). Fue tal la fascinación del rey por el juego que le dijo a Sissa que como recompensa pidiera lo que quisiese. “Ponga un grano de trigo en la primera casilla, 2 en la segunda, 4 en la tercera, 8 en la cuarta, y así sucesivamente hasta completar el tablero; y entrégueme la cantidad total de granos de trigo”, dijo Sissa. Así pues, el rey llamó a Pitagorín, el matemático de la corte, y le pidió que hiciera las cuentas. “Su Majestad, el número total de granos es 1+2+23+24+…+264=265-1 = 18.446.744.073.709.551.615, por lo que habría que llenar de trigo un depósito en forma de cubo de unos 11 kilómetros de lado. Por tanto, no hay ni habrá en muchos años suficiente trigo en todo el reino para satisfacer el pago”. Universidad de Jaén El lector se estará preguntando por el maltrecho honor del monarca, incapaz de satisfacer la petición de Sissa. Y es aquí donde tiene comienzo la segunda parte de la leyenda, posiblemente menos conocida. Pitagorín propuso a Sissa que le pagarían lo que había pedido pero además todo aquello que se obtuviera de agregar sin fin, más y más casillas al tablero. Sissa, que no era matemático, aceptó, y éstas fueron las cuentas de Pitagorín: S= 1+2+22+23+…= 1+2(1+2+22+23+…)= 1+2S, de donde S=-1. Es decir, ¡que Sissa le debía un grano de trigo al rey! Sin duda que el tal Pitagorín merecería poder participar en la bolsa de empleo del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Jaén, en cambio Sissa no creo que aprobase ningún examen de series numéricas. En un tono más formal hay que reseñar que grandes matemáticos como George Pólya, Carl Gauss y Leonard Euler, entre otros, se han interesado por problemas matemáticos en el ajedrez. Además, campeones del mundo de ajedrez como Emanuel Lasker y Max Euwe fueron Doctores en Matemáticas. Sin embargo, hay que decir que no fue matemático el más brillante jugador de ajedrez de todos los tiempos, Moisés, que hizo tablas con Dios. Memoria de actividades. Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 - 24 - El Rincón Matemático en Diario Jaén “¿Discontinuidades o injusticias?” Autor: Francisco Javier Muñoz Delgado (Diario JAEN, 18 de diciembre de 2008) Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 Una de las definiciones más difíciles de enseñar en matemáticas es la de función continua. ¿Recuerdan aquello de épsilon y delta al final de la secundaria? Había algunas ideas intuitivas más fáciles de comprender, por ejemplo, que a valores próximos se le asocien valores próximos, o que se pudiese dibujar la gráfica sin levantar el lápiz del papel, es decir, sin dar saltos, ... En nuestra vida cotidiana también aparecen discontinuidades. No siempre es posible evitarlas. Así un alumno que obtiene un 5 estaría aprobado mientras que si le falta algo estaría suspenso (y esto no se arregla cambiando la barrera del 5 por el 4,5 o el 4). Sin embargo, otras discontinuidades podrían, o mejor deberían, evitarse. Con frecuencia encontramos baremos en que según notas o ciertos ingresos se otorgan puntuaciones según intervalos (lo que conlleva discontinuidades matemáticas). Opino que deberían evitarse los saltos y procurar puntuaciones continuas. Muchas veces basta una simple expresión lineal a+bx, con b positiva, si queremos que sea crezca (a más nota más puntos) o con b negativa si queremos que decrezca (a más ingresos menos puntos). Universidad de Jaén La cuestión puede ser grave. Supongamos dos familias con ingresos similares y con hijos que van a empezar sus estudios universitarios. Ambas confían en la beca, pero una decide incrementar los ingresos trabajando unas horas extras. Podría ocurrir que por obtener unos ingresos extras una de las familias dejase de obtener la beca. ¡Perderían una beca de miles de euros, por haberse pasado en unos euros! Desde aquí reclamo el derecho (así lo considero) a renunciar a la parte de la beca equivalente a lo que se excedió del límite (basta algo así para eliminar la discontinuidad). También rogaría a quienes realizan baremos para pagar impuestos que tengan mucho cuidado con las “discontinuidades”. ¿Cuántas veces nos encontramos que para conseguir una deducción por adquisición o alquiler de vivienda, hijos, ascendientes, minusvalía del contribuyente, etc., es necesario no sobrepasar cierta cantidad en la base imponible? Se puede perjudicar con cientos o miles de euros por unos cuantos euros ingresados de más. ¡Evitemos las discontinuidades! Memoria de actividades. Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 - 25 - El Rincón Matemático en Diario Jaén “Matemágicas” Autor: José Angel Cid Araujo (Diario JAEN, 8 de enero de 2009) Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 Universidad de Jaén En este sentido es como si usted mandara a un amigo dibujar un triángulo rectángulo y luego lo “sorprendiese” mostrándole que el área del cuadrado colocado sobre la hipotenusa coincide con la suma de las áreas de los cuadrados colocados sobre los catetos. Le propongo un truco de magia con cartas para sorprender a sus amigos y familiares: disponga en secreto los palos de la baraja en un orden determinado (por ejemplo, un basto, una copa, una espada, un oro, y así sucesivamente). Sitúe el mazo preparado sobre la mesa, empiece a quitar cartas de la parte superior una a una y colóquelas formando un nuevo montón (donde ahora el orden de los palos será el inverso del que había en el mazo original). Deténgase cuando alguien se lo indique y realice a continuación una mezcla americana con los dos montones. De la vuelta a las cuatro primeras cartas. ¡Sorpresa! Hay exactamente una carta de cada palo y lo mismo sucederá con cada grupo de cuatro cartas consecutivas a las que de la vuelta hasta agotar la baraja (llegado a este punto se recomienda tocar un violín imaginario como Juan Tamariz). Si practica un poco podrá observar que este truco no depende del tamaño de los dos montones o de su habilidad para mezclarlos, sino que funciona “solo”. En realidad se trata de un teorema que puede demostrarse por inducción matemática y que por tanto resulta tan inevitable como el teorema de Pitágoras. La idea subyacente al truco se conoce como principio de Gilbreath, debido al matemático y mago amateur Norman Gilbreath que fue el primero en publicarlo, y ha sido ampliamente popularizado por Martin Gardner, responsable durante 25 años de la sección “Mathematical Games” de Scientific American y el mayor divulgador de las matemáticas recreativas de nuestro tiempo. Como toda buena pieza de Matemáticas el principio de Gilbreath es susceptible de ser generalizado, admite múltiples variaciones interesantes (existen más de cien trucos de cartas basados en él) y ha resultado tener aplicaciones en campos muy alejados de aquel donde tuvo su origen. De hecho Donald E. Knuth (conocido experto en ciencias de la computación y creador de TEX, el popular lenguaje para la edición de textos científicos) encontró una sorprendente aplicación del principio de Gilbreath en el análisis de un algoritmo eficiente para la comunicación Input/Output entre una memoria interna rápida (como un disco duro) y una memoria externa más lenta (como un pendrive). Memoria de actividades. Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 - 26 - El Rincón Matemático en Diario Jaén “Poesía y matemáticas: más en común de lo que parece” Autor: José María Almira Picazo (Diario JAEN, 15 de enero de 2009) Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 Todos lo sabemos: no es posible definir la poesía. Toda poética encierra una única cara de un poliedro inmenso, indescriptible e indescifrable, un poliedro infinito de perspectivas distintas, de ventanas a través de las cuales podemos asomarnos brevemente a un universo paralelo al que llamamos poesía. Pero la poesía es siempre inexplicable. Es (¿cómo decirlo de otro modo?) una experiencia personal. Aquí está posiblemente el nexo más estrecho que (se me ocurre a mi) existe entre poesía y matemáticas. Aunque no lo parezca a primera vista (y a pesar de que haya muchas personas horrorizadas por las matemáticas –aunque también los hay indiferentes a la poesía- la matemática, como la poesía, es una experiencia personal, intransferible. Universidad de Jaén El poeta tiene una mirada única y a través de ella intenta transmitir lo que ve o siente. Su explicación no es nunca suficiente. Sólo sugiere algo. Nos hace sentir, nos ilumina con una imagen o una idea. Nos hace reflexionar. El matemático tiene también como objetivo comunicar algo nuevo, algo asombroso en lo que nunca antes nadie había caído. No hay mucha diferencia entre un buen libro de poemas y un artículo de investigación. Además del aspecto comentado, existen otras muchas conexiones entre poesía y matemáticas. Ambas disciplinas son indefinibles, requieren una especial sensibilidad, son un lenguaje y su objetivo es transmitir algo -a sabiendas de que este algo será interpretado de modos muy distintos por los diferentes receptores. En ambas disciplinas se busca la elegancia y se cuida no sólo el contenido sino la forma. Tanto en poesía como en matemáticas se ejercen por encima de todo la libertad de pensamiento y la creatividad. Podría parecer que no. La impresión general es que la matemática es algo frío, objetivo, sin ambigüedades: nada personal. Ninguna de esas sensaciones se corresponde con la realidad. Del mismo modo que la poesía no se puede identificar con la métrica, las matemáticas no son sólo números. Ni siquiera los números son algo completamente objetivo y frío. No siempre es verdad que 2+2=4. Por ejemplo, en el reloj de pared vemos que 10+3=1 (y no 13). Memoria de actividades. Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 - 27 - El Rincón Matemático en Diario Jaén “Los dos matemáticos más jóvenes de la historia” Autor: José Luis Maroto Romo (Diario JAEN, 22 de enero de 2009) Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 Universidad de Jaén En este ambiente nació, vivió y murió Galois y este ambiente respiró también Abel durante sus viajes por el centro de Europa, cuando hasta los fríos fiordos de su Noruega natal aún no habían llegado las chispas encendidas del romanticismo. Huir de las cuestiones matemáticas no es lo mismo que huir de los matemáticos, el conocimiento de los cuales, como hombres de carne y hueso, tiene el mismo y, a veces, mayor interés que su conocimiento como matemáticos. Niels Henrick Abel He agrupado a los dos matemáticos más jóvenes de la historia, Abel y Galois a los que dedicaremos sendos artículos en este Rincón. Las vidas de estos dos matemáticos son vidas poco extensas y muy intensas, que vale la pena conocer; vidas ligeramente asincrónicas, pero de un gran paralelismo. Ambos murieron jóvenes (Abel a los 26 años, Galois a los 20, en un duelo), uno produce la Teoría de Grupos que invade hoy todas las ramas de las Matemáticas; el otro un teorema que abre un nuevo capítulo de la historia del Álgebra, y las dos vidas están llenas de episodios que unas veces nos hacen reír y otras nos hacen llorar. Los segmentos que representan sus vidas tienen un tramo superpuesto que dura dieciocho años: desde 1811 fecha del nacimiento de Galois, hasta 1829, fecha de la muerte de Abel, tramo que constituye, al mismo tiempo, uno de los periodos más densos de la historia de Europa: periodo de revoluciones políticas, de luchas filosóficas, de mejoras económicas, de adelantos científicos y de ansias de libertad en la plena eclosión romántica del primer tercio del siglo XIX. El padre de Abel era un hombre austero y hogareño, alejado de toda preocupación mundana, mientras que el de Galois era un fino espíritu dieciochesco que lo mismo componía cuplés galantes que representaba comedias de salón. Ambos tienen, sin embargo, un punto común, su actuación en cuestiones públicas. La infancia de Abel se desarrolla en años de pleno dramatismo en Noruega y la de Galois conoce el Terror blanco en Francia. Abel murió de tuberculosis en la más miserable pobreza. Tenía 26 años. Dos días después de su muerte, una carta de Augusto Crelle, anunciaba que la Universidad de Berlín le había nombrado profesor de matemáticas. Galois perdió la vida en un duelo. Tenía 20 años. La noche anterior la dedicó a detallar todos sus descubrimientos matemáticos en una larga carta dirigida a su amigo Auguste Chevalier a quién encomendaba la tarea de hacer llegar sus trabajos a Gauss y a Jacobi, únicos matemáticos capaces, según su criterio, de comprenderle. Varias veces escribió en el margen de la carta «Demasiado poco tiempo». Evariste Galois Memoria de actividades. Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 - 28 - El Rincón Matemático en Diario Jaén “La más bella fórmula matemática de la historia” Autor: José María Quesada Teruel (Diario JAEN, 29 de enero de 2009) Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 Universidad de Jaén No cabe duda de que los criterios estéticos están presentes en las teorías científicas que describen las leyes de la naturaleza. Cuando le preguntaron al físico Paul Dirac si creía verdadera la fórmula de Einstein respondió sencillamente ante la polémica del momento: “¡Qué más da si es verdad o mentira; es tan bella!”. Sin duda la igualdad más popularmente conocida a nivel mundial, incluso fuera del ámbito científico, es la fórmula de Einstein: E=mC2 que relaciona la Energía (E) con la masa (m) mediante la constante C (velocidad de la luz en el vacío). La hemos podido ver en innumerables situaciones y contextos, inspirando todo tipo de publicidad, eventos científicos, sellos, carteles, logos, camisetas, … Sin embargo, parece existir un acuerdo unánime en el mundo científico sobre la que, indiscutiblemente y desde hace más de dos siglos, se refrenda como la más bella igualdad descubierta hasta el momento: la sublime y mística fórmula de Leonhard Euler, La belleza la percibimos especialmente a través de los sentidos de la vista, el oído , el olfato, … tal vez mediante la estimulación de algún mecanismo cerebral que nos produce una sensación de admiración, placer, indiferencia o rechazo. Pero esta percepción es algo muy personal y está condicionada por nuestra educación, nuestra formación y nuestros prejuicios. Hay quienes permanecen indiferentes ante la visión de un cuadro de Dalí, la escucha de los acordes de un adagio de Albinoni, la lectura de un poema de Alberti o la contemplación de la fórmula de Euler. Aún así, contagiar la belleza seguirá siendo el empeño de poetas, pintores, escultores, músicos, artistas y, cómo no, de los matemáticos. ei π + 1 = 0. Así lo ratificaba la encuesta realizada en 1988 a los lectores de la revista especializada Mathematical Intelligencer. Es probable que en la evolución de la matemática en el tiempo los números: 1, 0, π (3.141592…), e (2.718281…, base de los logaritmos neperianos) , i (unidad imaginaria), hayan surgido en ese orden como verdaderos motores del desarrollo de esta ciencia, pero lo más extraordinario de todo es que se congreguen “de una forma totalmente inesperada” en una minúscula fórmula de equilibrada belleza. Leonarhd Euler Memoria de actividades. Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 - 29 - El Rincón Matemático en Diario Jaén “Que no les engañen” Autor: Antonio Francisco Roldán López de Hierro (Diario JAEN, 5 de febrero de 2009) Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 Universidad de Jaén Y quizá por debajo subyace la idea de que deben tomar más grasas en su restaurante de comida rápida. Si escuchamos a nuestros dirigentes políticos, parece que vivimos en mundos muy distintos. No cabe duda de que las decisiones que toman (casi siempre basadas en la Estadística) nos afectan a todos en gran medida. Y si tomamos partido por algunos de ellos, ¿mienten los demás? Yo creo que no: todos toman los mismos datos, pero los interpretan de maneras muy distintas. Veamos cómo es posible. Imaginemos que los médicos recomiendan un peso de entre 60 y 80 kg para los jóvenes (varones) de Jaén de una cierta edad. Encuestamos a 100 de ellos y encontramos 98 que pesan 70 kg cada uno, pero los dos restantes destacan uno por un peso excesivo (de 105 kg) y otro por su delgadez (35 kg). El sentido común (y, por supuesto, la Estadística) nos dice que ésta es una población sana (con una media de 70 kg), y que, posiblemente, los casos extremos tengan una explicación razonable (acaso una enfermedad). Veamos que no todo es tan sencillo. Otra persona afirma: “tras un estudio entre 100 jóvenes, los datos indican que 99 de ellos pesan entre 65 y 105 kg, y sólo uno de ellos está entre 25 y 65 kg; por tanto, la media es de 84’60 kg y concluimos que nuestra juventud padece sobrepeso”. Y no hay que descartar que implícitamente se les anime a apuntarse a un gimnasio de su propiedad. Con unos mismos datos, las interpretaciones pueden ser diametralmente opuestas. Y éstas dirigen su vida y la mía. La receta sólo tiene dos ingredientes: ocultarle al público los datos y agruparlos de una manera interesada. El remedio consiste en tener acceso a los datos y conocer las técnicas estadísticas que permiten interpretarlos. Sólo así seremos realmente libres para pensar de forma crítica sobre lo que nos rodea. Anímense a aprender Estadística, aunque sólo sea para no dejarse engañar. Les aseguro que no es un tiempo perdido. Una persona toma estos datos y dice: “después de encuestar a 100 jóvenes, encontramos que 99 de ellos tienen un peso comprendido entre 35 y 75 kg, y sólo uno de ellos tiene un peso comprendido entre 75 y 115 kg; por consiguiente, la media (¿sabe el ávido lector/a cómo calcularla?) es de 55’40 kg, lo que demuestra que los jóvenes no están sanos por su excesiva delgadez”. Memoria de actividades. Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 - 30 - El Rincón Matemático en Diario Jaén “Matemáticas a nuestro alrededor (anchura constante)” Autor: Pedro García Garrancho (Diario JAEN, 12 de febrero de 2009) Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 Universidad de Jaén Me dirigí a él y le tranquilicé indicándole que un círculo es una superficie con anchura constante, de manera que si la tapa no se había colado al principio, no se colaría nunca estuviese en la posición que estuviese. Si por el contrario hubiese sido cuadrada o rectangular sí tendría sentido estar intranquilo. El cuadrado y el rectángulo no son superficies con anchura constante. Se tiene la idea de que estamos rodeados de matemáticas, pero ¿realmente las percibimos? Voy a tratar de poner de manifiesto algo de las matemáticas que nos envuelven. Estaba dando un paseo cuando me acerqué a un pequeño polideportivo recién remodelado, con una superficie impecablemente lisa. Estaban jugando un partido de fútbolsala, cuando un jugador falla clamorosamente un gol cantado, ante un imprevisto mal bote del balón. “Este balón está apepinado”, protesta amargamente. Atienden la protesta y cambian el balón por uno nuevo. Algunas veces la vida es justa y nos ofrece una segunda oportunidad y esta vez con el perfecto nuevo balón, el bote es limpio y no falla consiguiendo el ansiado gol. El balón con forma esférica, es un cuerpo que tiene una propiedad matemática, la anchura constante. El balón “apepinado” la había perdido, de ahí el mal bote, hecho que no ocurrió con el balón nuevo. Lo lanzaran como lo lanzaran, el jugador siempre lo recibiría de la misma “forma y posición”. Continué con mi paseo, y en una calle más adelante había un operario de una empresa telefónica bajando por uno de esos registros, con tapa redonda. Él estaba muy preocupado por si algún despistado conductor, con su coche pudiera empujar la tapa, caerse por el hueco y dañarlo. Para terminar este paseo matemático invito al lector a que construyan una superficie de anchura constante distinta del círculo. Cojan un triángulo equilátero, sí, ese que tiene todos sus lados y todos sus ángulos iguales. Tracen con centro en un vértice el arco de circunferencia entre los otros dos vértices. Repitan el proceso desde los otros dos vértices. La figura así formada por los tres arcos es una superficie de anchura constante. ¿Tiene alguna utilidad práctica? Como digo a mis alumnos, terminar por el lector. (Buscar motores rotativos) Memoria de actividades. Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 - 31 - El Rincón Matemático en Diario Jaén “Top numbers: los números más interesantes” Autor: Miguel Angel García Muñoz (Diario JAEN, 19 de febrero de 2009) Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 Universidad de Jaén Otra constante muy importante es el número e, base del logaritmo natural. Un gran número de procesos de crecimiento en física, química, biología y ciencias sociales tienen un aumento exponencial representado por la formula . Es fácil encontrarnos en los medios de comunicación con listas de “los más…”, música más vendida, programas más vistos, etc. Aquí tenéis una lista con los números más interesantes justificando brevemente su interés: El siguiente número es el 2, el único número primo (sus únicos factores enteros positivos son el mismo y el uno) que es par. Es la base del sistema de numeración binario sobre el que descansa el diseño de los ordenadores. Sin duda, el primero es el cero, número entero aunque para algunos matemáticos también es natural pues permite contar el número de elementos del conjunto vacío (aquel que no tiene elementos). Es el neutro para la suma, pues cualquier número sumado al 0 vuelve a dar dicho número. Le sigue una de las constantes matemáticas más importantes, el número (Pi), la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Número irra-cional (no se puede expresar como fracción de números enteros). Su uso traspasa la geometría, con frecuencia aparece en física y en ingeniería. El tercer número es el 1, número natural que representa la cantidad de elementos del conjunto no vacío más pequeño. Neutro para el producto, es factor de todos los números, es decir, cualquier número se puede dividir por 1 de forma exacta. Por último, he de incluir la unidad imaginaria i, solución de la ecuación . Se usa para representar los números complejos como suma de un número real y otro imaginario a + bi. Se usa en diversos campos de la ciencia desde hidrodinámica hasta en química e incluso en el software que controla el vuelo de la lanzadera espacial. La identidad de Euler ( ) relaciona, curiosamente, esta constante con cuatro de los anteriores. Finalmente, os animo a que indaguéis más sobre estos números, os sorprenderán. Memoria de actividades. Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 - 32 - El Rincón Matemático en Diario Jaén “El juego ciencia” Autor: José Luis Maroto Romo (Diario JAEN, 26 de febrero de 2009) Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 Es indudable que existe un vínculo natural entre las matemáticas y el ajedrez. Este vínculo corresponde principalmente a los procesos dialécticos que se generan para el encuentro de las diferentes soluciones a los problemas inherentes en cada caso. Podemos contemplar también los rasgos ontológicos que inducen ambas materias, tales como la abstracción, la memoria, la fuerza analítica, la creatividad, la planificación, la estrategia de investigación (métodos de estudio) y la intuición (sentido heurístico). Hay varias analogías referentes a las cualidades geométricas que desarrollan la práctica continua del Ajedrez y la fuerza de su simbolismo. Si analizamos el trabajo de Ernest Nagel y James R. Newman “El teorema de Gödel”, ellos mencionan que puede resultar útil, por vía de ejemplo, comparar las metamatemáticas como teoría de la demostración con la teoría del ajedrez. El ajedrez se juega con 32 piezas de una forma determinada sobre un tablero cuadrado que contiene 64 subdivisiones cuadradas, en el que se pueden mover las piezas conforme a unas reglas establecidas. Universidad de Jaén El juego es análogo a un cálculo matemático formalizado. Las piezas y los cuadrados del tablero corresponden a los signos elementales del cálculo; las posiciones permitidas de las piezas sobre el tablero, a las fórmulas del cálculo; las posiciones iniciales de las piezas sobre el tablero, a los axiomas o fórmulas iniciales del cálculo; las subsiguientes posiciones de las piezas sobre el tablero, a las fórmulas derivadas de los axiomas (esto es, a los teoremas), y las reglas del juego a las reglas de deducción (o derivación) establecidas para el cálculo. La práctica del ajedrez induce a la práctica de las matemáticas y viceversa. La formalidad del ajedrez es presentada lúdicamente conectando lo abstracto con lo concreto (análisis de variantes con la manipulación de piezas) mientras que el sentido lúdico de las matemáticas es enterrado por la imagen aparentemente monótona del formalismo abstracto de su ejercicio. Actualmente se libra una tenaz lucha cultural en el ámbito educativo nacional por cambiar esta imagen e inyectar la disciplina del razonamiento matemático en las nuevas generaciones. El recurso del ajedrez es propicio para la inducción y logro de este urgente y vital propósito. En estas fechas se está celebrando la XXVI edición del Torneo Internacional de Ajedrez Ciudad de Linares que es uno de los torneos de ajedrez más prestigiosos del panorama internacional. De hecho, se le denomina con frecuencia el "Wimbledon" del ajedrez. Os animo a que lo sigáis. Memoria de actividades. Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 - 33 - El Rincón Matemático en Diario Jaén “Matemáticas y física: una relación apasionada” Autor: José María Almira Picazo (Diario JAEN, 5 de marzo de 2009) Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 Universidad de Jaén Mi sensación al recordar esto se queda bien descrita por el poema de Villon: “Lamento el tiempo de mi juventud / en el que más que nadie me he divertido / hasta la llegada de la vejez / que su huida me ha ocultado. / No se fue a pie, ni a caballo / ¡Ay! ¿Cómo, entonces? / De repente se ha esfumado / sin dejarme provecho alguno”. Cuando era estudiante tuve el gravísimo defecto –por otra parte, muy usual a los dieciocho años- de dejarme llevar por los prejuicios y, en lo referente a mis estudios, cometí dos torpezas estupendas. La primera de ellas fue pasar “de puntillas” por mi curso de Física General, concentrado únicamente en “aprobar” y sin preocuparme en exceso del contenido profundo. La segunda torpeza la cometí, unos años más tarde, con la Estadística –pero de eso ya hablaré en otro momento. Porque aprender física entonces me habría ayudado muchísimo para mi profesión ahora. Tanto es así que llevo años intentando recuperarme del error cometido, leyendo todo lo que pillo sobre física y sus aplicaciones. Incluso hace poco asistí voluntariamente a las clases de física general que imparte un compañero precisamente a mis alumnos, que me miraban con cara rara, puede que sin comprender mis motivos. Pensaba que la Física era un “añadido”, algo superfluo que un matemático puro –como yo me veía en el futuro- no necesita para nada. Ingenuamente, veía demasiadas imprecisiones en los razonamientos de los físicos y me encantaba burlarme de ellos, con la arrogancia característica de la edad. En particular, sabía muchos chistes en los que el físico de turno quedaba como un idiota. Y me encantaban. Así las cosas, conseguí a malas penas aprobar –que era mi objetivo- y me perdí algunas joyas que ahora lamento. En fin. Disfruté mucho con las clases. Ahora sé que entre matemáticas y física existe una relación apasionada y, sencillamente, disfruto del romance. Memoria de actividades. Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 - 34 - El Rincón Matemático en Diario Jaén “El fascinante número π” Autor: José Angel Cid Araujo (Diario JAEN, 12 de marzo de 2009) Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 Soy lema y razón ingeniosa / De hombre sabio que serie preciosa / Valorando enunció magistral / Con mi ley singular bien medido / El grande orbe por fin reducido / Fue al sistema ordinario cabal”. Si cuenta las letras de cada palabra del anterior poema del colombiano R. Nieto Paris obtendrá 3.14159265… y así ¡hasta 31 cifras decimales de ! Este número, que se define como el cociente entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, ha fascinado a la humanidad desde muy antiguo. En el año 2000 A.C. los babilonios ya conocían la aproximación 3+1/8=3.125 y los egipcios usaban: 256/81= 3.160493827. Incluso en la Biblia hay un pasaje (1 Reyes 7:23) del cual se deduce que 3. El primer intento serio para calcular el valor de se debió a Arquímedes, quien inscribiendo y circunscribiendo polígonos regulares en un círculo obtuvo 3.1408< <31429. Universidad de Jaén En 1768 Lambert probó que es irracional (i.e., un decimal infinito cuyas cifras nunca se repiten periódicamente). Esto significa que por muchas cifras que calculemos nunca llegaremos a obtener su valor exacto. Actualmente se conocen millones de cifras de y su cálculo se utiliza como test para verificar la fiabilidad de los supercomputadores de la Nasa. Tal vez le resulte entretenido visitar la web http://www.angio.net/pi/piquery donde puede buscar cualquier secuencia numérica (por ejemplo la fecha de su cumpleaños) entre las cifras de (la mía aparece en la posición 46.040.976). Otra fecha clave en la historia de fue 1882 cuando Lindemann probó que además es un número trascendente (i.e., no es la raíz de ningún polinomio con coeficientes enteros) demostrando de este modo la imposibilidad de “la cuadratura del círculo”. Este problema consistía en construir con regla (sin marcar) y compás un cuadrado con igual área que un círculo dado y, junto con la duplicación del cubo y la trisección del ángulo, fue uno de los tres problemas geométricos de la Grecia clásica que se demostraron imposibles de realizar. Pero sin lugar a dudas el valor más disparatado se debió a un proyecto de ley presentado en 1897 ante la Cámara de Representantes del Estado de Indiana (E.E.U.U.) que pretendía fijar el valor de en 16/ 3 9.2376… (Afortunadamente la presencia casual de un matemático en la Cámara evitó que fuese aprobado). Memoria de actividades. Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 - 35 - El Rincón Matemático en Diario Jaén “Multiplícate por cero” Autor: Juan Martínez Moreno (Diario JAEN, 19 de marzo de 2009) Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 Universidad de Jaén El falso contraejemplo del Teorema de Fermat, que bien podría ser atribuible a la miseria de Monty Burns, fue en realidad obtenido con un programa de cálculo escrito por Cohen, guionista de la serie y Master en Computación por la Universidad de Berkeley. Descubrir que tras la mente del padre imperfecto ideal de los niños norteamericanos, el inspector de seguridad de la planta de energía nuclear de Springfield en el sector 7G, se esconde una „upla‟ de guionistas matemáticos resulta turbador y estimulante. Luego un visionado detallado de las imágenes muestra que desde el agujero negro cerebral de Homer Simpson hasta la audaz perspicacia del guión se extiende toda una exponencial de matices recorrida, tal vez, sobre los bucles del pelo ensortijado de Marge. Seguramente aún hoy la pesadilla recurrente de Wiles (posiblemente el matemático más famoso vivo por su demostración del Último Teorema de Fermat) sigue siendo la antifermítica fórmula de David Cohen aparecida en uno de los capítulos de la serie: la calculadora da fe de que 1782 elevado a 12 más 1841 elevado a 12 es igual a 1922 elevado a 12. En ella Cohen contradice con el descaro de un genio, al tiempo, a Wiles y a Fermat. La fórmula de Cohen recoge la esencia misma de los Simpson: una familia que nos invita a reírnos de nosotros mismos, asumiendo nuestros claroscuros y reconociéndonos perfectos en nuestra imperfección. El efecto boomerang lleva a Matt Groening, padre de la criatura, a trasladar la experiencia a la gemela serie Futurama, que por ejemplo incluye, entre otros muchas referencias a la matemática, en el episodio “2ACV18 - El Bocinazo”, la cifra 1010011010 reflejada en un espejo. Esta cifra es el número diabólico 666 en código binario. Y así, la sucesión de episodios con trasfondo matemático es creciente en ambas series; sólo la audiencia se mantiene año tras año un paso por delante del talento de los guionistas. Otras series como Numb3rs juegan con las matemáticas como excusa. Bienvenida la moda del ingenio matemático en las series Prime Time y como dice Bart: “multiplícate por cero”. Memoria de actividades. Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 - 36 - El Rincón Matemático en Diario Jaén “Operación triunfo” Autor: Máximo Jiménez López (Diario JAEN, 26 de marzo de 2009) Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 Universidad de Jaén El gran matemático Augustin Louis Cauchy, cuyas aportaciones a los problemas matemáticos y de ingeniería de su tiempo fueron fundamentales recibió, en 1821, el abucheo en clase de sus alumnos y la reprobación de la Dirección de la École Polytechnique de París por la “aparente” falta de aplicación práctica de sus enseñanzas. Resulta evidente la aplicación de las matemáticas al mundo de la economía y la empresa. A modo de ejemplo, a principios de los años 90, la aplicación de la programación lineal supuso un ahorro de 4 millones de dólares anuales en el transporte urbano de Montreal gracias a la óptima ordenación de la salida de los autobuses y la asignación de conductores. Las reglas del pensamiento matemático se aprovechan en multitud de situaciones diarias, lo cual es muy apreciado en el mundo empresarial. Un reciente estudio en EEUU pone de manifiesto que un 60% de los nuevos puestos de trabajo requieren de habilidades que, hoy en día, sólo las poseen el 20% de los trabajadores. Por su parte, el excelente matemático Tomás Recio, en una intervención en el Senado, se preguntaba ¿qué proporción de españoles sabrían estimar, aún groseramente, las cuotas mensuales de amortización de una hipoteca de 100.000 euros, a 15 años y con un interés fijo del 5%?... Todo esto nos lleva a plantearnos la importancia de una sólida formación lógicomatemática en todos los niveles educativos. Lo que ya no está tan claro es la forma de conseguir una eficaz enseñanza de las matemáticas. Augustin Louis Cauchy Tampoco estoy muy seguro del verdadero calado que tiene en la población la importancia de una adecuada formación matemática. De hecho, en la adaptación de los actuales planes de estudio al Espacio Europeo de Educación Superior, existe una tendencia generalizada a rebajar el número de horas de matemáticas en las nuevas titulaciones. Me resulta extraño que la sociedad vea con naturalidad el esfuerzo de unos muchachos por perfeccionar unos pasos de baile (Fama) o que sufran y lloren, lloran mucho, en su afán por afinar la voz (Operación Triunfo) y, sin embargo, sea tan reacia para “exigir” a nuestros jóvenes una adecuada formación científica. Las matemáticas no son el Risto Mejide de esta particular “operación triunfo”, pero debemos ser realistas y admitir que es necesario “exigir” a nuestros alumnos un mayor esfuerzo y dedicación. Memoria de actividades. Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 - 37 - El Rincón Matemático en Diario Jaén “Jaén, tenemos un problema” Autor: Ildefonso Castro López (Diario JAEN,2 de abril de 2009) Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 Universidad de Jaén En mi opinión, ese planteamiento SÍ que es un problema. Los investigadores, al menos los matemáticos, estudiamos la Naturaleza NO porque es útil, sino porque es bella; por el mero placer que se siente al contribuir sin más pretensión al Progreso General del Conocimiento. Los matemáticos somos los únicos seres humanos que somos felices cuando tenemos un problema. ¿Por qué? Por el desafío que supone descubrir la solución de cuestiones de singular belleza con la inestimable ayuda de tu propia intuición, capacidad de abstracción, destreza intelectual, lógica deductiva, inspiración... y tal vez un ordenador. Problema difícil parece ser la adaptación de la Universidad española al Espacio Europeo de Educación Superior (el Plan Bolonia, en el lenguaje de los telediarios). En especial, en lo referente al mercantilismo en el que se van a ver inmersas las Universidades para convertirse en rentables centros académicos, donde las empresas puedan nutrirse de útiles logros del saber que repercutan de modo inmediato en el bienestar de nuestra individualista sociedad que pide cuentas. Aquí cabe una lección de Historia: el origen de las Cónicas se remonta a la época de los griegos Menecmo y Apolonio. Las descubrieron cortando un cono con diferentes planos, obteniendo -según la inclinación de éstos- curvas que les cautivaron (la elipse, la parábola y la hipérbola) y de las que no obtuvieron mayor beneficio que utilizarlas simplemente en ornamentación. Tuvieron que pasar casi 20 siglos para que Kepler descubriera que los planetas de nuestro Sistema Solar siguen precisamente órbitas elípticas. Hoy día conocemos la trayectoria de cometas y asteroides gracias a esas inocentes curvas y vemos nuestro partido favorito a través de la antena parabólica gracias a que hace más de 2000 años algunos científicos se dedicaron a cortar un cono con un plano por curiosidad. Esta reflexión me invita a seguir mi investigación sobre Superficies sin más preocupación que cumplir honestamente con mi trabajo, con la esperanza de seguir descubriendo belleza en ese Paraíso Interior y sin la amenaza de cumplir ningún tipo de contrato-programa. Parece ser que mi campo de trabajo es útil para ciertas teorías de la Física que gobierna nuestro Universo. Pero, sinceramente, yo soy feliz con mis problemas matemáticos. Memoria de actividades. Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 - 38 - El Rincón Matemático en Diario Jaén “Raíz cuadrada de dos: Folio versus DIN-A4” Autor: Pedro Garrancho García (Diario JAEN, 16 de abril de 2009) Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 Universidad de Jaén Este hecho es debido a que la proporción entre el lado mayor y el lado menor no varía, tanto si seguimos doblando por la mitad (DIN-A6) como si juntamos por su lado mayor dos DIN-A4 (DIN-A3). Hoy hablaré del número raíz cuadrada de dos. No está entre los números más famosos pero se encuentra mucho más cerca de nosotros que muchos de ellos. Cuando los pitagóricos creían que el universo se podía expresar con números enteros y proporciones entre ellos, uno de sus miembros, Hipaso de Metaponto, demostró que para la raíz cuadrada de dos esto no se cumple. El edificio pitagórico se venía abajo. Cuenta la leyenda que “agradecieron” el descubrimiento tirando por la borda al pobre Hipaso, para mantenerlo en secreto. Hay que decir que a estos números, que no pueden expresarse como cociente de dos números enteros, se les llama números irracionales. En la época de las fotocopiadoras que realizan ampliaciones o reducciones resulta bastante útil. Pero, ¿qué relación guarda la raíz cuadrada de dos con el hecho de que los diferentes tamaños DIN-A3, DIN-A4, DINA5, DIN-A6… sean semejantes? Pues bien, esto se debe a que la raíz cuadrada de dos es el único número que cumple la propiedad de que su mitad coincide con su inverso. Ciertamente, llamen a al lado mayor y b al lado menor, con lo que tenemos la proporción a/b; si doblamos por la mitad la proporción entre el lado mayor y el lado menor será ahora b/(a/2). Para que estas expresiones sean iguales la proporción a/b debe ser justamente nuestro número invitado de hoy. Ahora bien ¿cuál es el primero de la serie DINA__? ¿Qué característica cumple? Esto lo dejo para que investigue un poco el lector o lectora. Pero hablemos del número raíz cuadrada de dos en un tono más práctico. Hace algunos años el tamaño de papel más usado era el folio (315 mm x 215mm); hoy en día este formato prácticamente no se usa y ha sido sustituido por el DIN-A4 (297 mm x 210 mm). Si tienen la curiosidad, doblen por la mitad de su lado mayor, tanto el folio, para conseguir la cuartilla, como el DIN-A4, para conseguir el DIN-A5. Se puede observar que tanto el DIN-A4 como el DIN-A5, tienen la misma forma, circunstancia que no pasa entre el folio y la cuartilla. En lenguaje matemático se dice que los rectángulos son semejantes en el primer caso. Memoria de actividades. Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 - 39 - El Rincón Matemático en Diario Jaén “Los átomos de la matemática” Autor: José Angel Cid Araujo (Diario JAEN, 23 de abril de 2009) Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 El filósofo griego Demócrito propuso que la materia estaba formada por unidades mínimas e indivisibles llamadas átomos. Hoy en día el átomo ha sido escindido en componentes más pequeños (electrones, quarks, muones …) pero la idea de Demócrito sigue vigente y se cree que tanto la materia como la energía existen en unidades mínimas. En el mundo abstracto de la aritmética el papel de los átomos lo desempeñan los números primos, es decir, aquellos números distintos de 1 que solo son divisibles por 1 y por si mismos. Por ejemplo 2, 3, 5, 7, 11,… son primos mientras que 1, 4, 6, 8, 9, 10… no lo son. El Teorema Fundamental de la Aritmética afirma que cualquier número se descompone de forma única como producto de primos, y por tanto éstos constituyen los bloques numéricos básicos. Los números primos parecen captar la atención del ser humano de una forma casi mística. Carl Sagan imagina en su novela Contacto (llevada al cine con Jodie Foster como protagonista) una civilización extraterrestre que se comunica con la humanidad mediante señales de radio que representan la secuencia de los números primos. Universidad de Jaén En “El hombre que confundió a su mujer con un sombrero” el neurólogo Oliver Sacks relata el caso de dos gemelos autistas que hallaban un gran placer en comunicarse números primos (¡de hasta 20 cifras!). Estos gemelos eran incapaces de realizar incluso el cálculo más sencillo, por lo que se supone que poseían una “sensibilidad” especial que les permitía distinguir directamente los números primos. Euclides ya probó en los Elementos la existencia de una infinitud de números primos. La demostración es tan elegante (según los lectores de Mathematical Intelligencer el tercer teorema matemático más bello) que no me resisto a incluirla: si disponemos de un conjunto finito de primos p1, p2, …, pN , entonces el número P= 1+p1 ∙ p2 ∙ … ∙ pN no es divisible exactamente por ninguno de ellos (pues el resto de la división es 1) y entonces ha de ser él mismo primo o divisible por un primo distinto de p1, p2, …, pN. Obtenemos de esta forma un nuevo número primo y como podemos repetir este proceso indefinidamente el conjunto de los números primos es infinito. Los primos con un gran número de cifras son necesarios actualmente, por ejemplo, para encriptar de forma segura la información que se envía a través de internet. Memoria de actividades. Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 - 40 - El Rincón Matemático en Diario Jaén “Top secret: información cifrada” Autor: Miguel Angel García Muñoz (Diario JAEN, 30 de abril de 2009) Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 Universidad de Jaén Veamos cómo funciona: En primer lugar convertimos el mensaje en un número, usualmente cambiando cada letra por dos dígitos que indican la posición de ésta en el alfabeto, así A = 01, B = 02,…, Z = 27. Para construir la clave de cifrado sólo se necesita dos números primos p y q. Llamamos n = pq y calculamos Nos ha tocado vivir en la era de la información y de la comunicación. Todos usamos las maravillas que la tecnología actual pone en nuestras manos: internet, cámaras digitales, MP3, DVD,…, sin embargo, casi todos desconocemos que todas estas tecnologías tienen un fundamento en común: la Teoría Elemental de Números. ¡Quién les iba a decir a Euclides (siglo III A.C.), Fermat (1601-1665) o Euler (1707-1783), entre otros, que sus teorías se iban a usar con tanta frecuencia actualmente! Sirva como ejemplo su uso a la hora de intercambiar información de forma segura a través de Internet. El hombre siempre ha necesitado enviar y recibir mensajes de forma confidencial, pero aun más hoy en día pues a través de Internet podemos realizar compras, firmar documentos, hacer operaciones bancarias, etc. Para ello hemos de intercambiar información delicada, como números de tarjetas de crédito. El método más usado es el RSA (así llamado por las iniciales de sus creadores R. Rivest, A. Shamir y L. Adleman) y se basa en la imposibilidad de descomponer un número enorme (de más de 200 cifras) como producto de dos números primos en un tiempo útil. Este método está instalado en cada navegador web, que en milésimas de segundo encuentra números primos con más de 100 dígitos, genera las claves, las intercambia y las usa cuando estamos en páginas seguras. a = (p – 1)(q – 1) + 1. Finalmente, buscamos un divisor entero d de a y calculamos e = a /d. Con estos datos ya tenemos la clave: para cifrar sólo tenemos que elevar el mensaje de partida a d, dividir entre n y el resto m de esta división será el mensaje encriptado. Para descifrar, elevamos m al número e, dividimos entre n, y el resto de esta operación es el mensaje de partida. Todo esto es una consecuencia de un conocido resultado de teoría de números, el Teorema de Euler-Fermat. Para terminar, proponerles que con ayuda de una calculadora científica o un ordenador descifren el mensaje m = 1758, sabiendo que para cifrarlo se ha utilizado la siguiente clave p = 71, q = 29 y d = 53. Memoria de actividades. Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 - 41 - El Rincón Matemático en Diario Jaén “Los dos matemáticos más jóvenes de la historia” Autor: Matemáticas en una librería (Diario JAEN, 7 de mayo de 2009) Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 Universidad de Jaén La pregunta natural que surge es la siguiente: suponiendo que todo se venda, ¿cuántos lotes de cada clase debemos hacer con los 885 bolígrafos y las 558 libretas para que la recaudación sea lo mayor posible? Llegados a este punto, entablo con mi alumnado la parte más divertida del problema: ¿qué haría cada uno/a en esta situación? Admitamos desde el principio que la asignatura de Matemáticas no es la más apreciada, en general, por el alumnado (por no decir que un reciente estudio afirma que es la más temida del currículo). Sin embargo, hay lecciones que, a veces, disfruto como si las estuviese descubriendo por primera vez. Quisiera compartir con el/la amable lector/a una de ellas e invitarle a participar. La mejor manera de implicar al alumnado en un problema es poner dinero sobre la mesa. Juguemos a ver quién es el/la mejor empresario/a de la clase. Imaginemos que regentamos una sencilla librería de barrio. Tras el inicio del curso escolar (el periodo más rentable del año), hemos acumulado un cierto stock que no hemos llegado a vender; por ejemplo, 885 bolígrafos y 558 libretas. Podemos guardar este material para venderlo al año siguiente, pero esto genera unos costes de almacenamiento. Decidimos sacarlo al mercado de una forma atractiva, haciendo lotes de dos tipos. Es un momento especial: las Matemáticas pasan a un papel secundario, y en la clase triunfa la persona con más imaginación. Y no importa el tiempo que gastemos si nos divertimos imaginando. “Yo haría 100 lotes de A y 50 lotes de B, con lo que recaudaría 325 €”, dice alguien. Esta propuesta es válida, pues no excedemos del material con el que contamos (885 bolígrafos y 558 libretas). Pero no es la mejor, ya que sobran 335 bolígrafos y 208 libretas. Es claro que hay soluciones mejores pero, ¿hay una que sea la mejor de todas? Me encantaría que quien lea estas líneas reflexione brevemente qué haría siquiera durante un minuto. Y si disfruta buscando una respuesta, estas líneas habrán conseguido su objetivo. El lote A lleva 3 bolígrafos y 2 libretas, y lo vamos a vender por 3'25 €. El lote B (o familiar) lleva 5 bolígrafos y 3 libretas, y lo vendemos a 5 €. Aunque ya no vendemos tanto como en el mes de septiembre, es posible que las familias prevean que los/as niños/as pronto agotarán su material escolar. Memoria de actividades. Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 - 42 - El Rincón Matemático en Diario Jaén “Matemática aplicada a la crisis” Autor: Miguel Marano Calzolari (Diario JAEN, 14 de mayo de 2009) Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 Universidad de Jaén Sólo habría que evitar imágenes y términos obscenos o que hieran la sensibilidad de algunas personas. Por mi parte, y sin intentar imponer nada, puedo dar algunas ideas iniciales: , , , , , , , en el orden creciente del 10 al 16. Propongo que el viejo sistema de numeración decimal sea sustituido por otro. Se me ocurrió de golpe. Se trata de cambiar el número base, actualmente el diez, por otro más a tono con nuestros tiempos de crisis y especulación. Obviamente hay que elegir uno mayor, de manera que ahorremos tinta al escribir los números. Si eligiéramos el dos como base, por ejemplo, para referirnos al 2009 tendríamos que escribir 11111011001. Ridículo. Recordemos que todo número entero positivo se escribe de manera única como suma finita, donde todos los coeficientes ci son menores que j y éste es un entero fijo, el número base. En relación a éste, después de una profunda reflexión me he inclinado por el 17. Resulta que para escribir los números enteros en esta base necesitamos crear 7 símbolos nuevos, con sus correspondientes vocablos. El 7 es un número de una gran significación histórica. No hay más que pensar en las 7 maravillas del mundo, los 7 días de la semana, los 7 pecados capitales, los 7 enanitos, etc. Y esto creará empleo entre aquéllos interesados en el diseño y la lingüística. Obsérvese que he asignado un símbolo de estrella de la suerte al 13, como desagravio por tantos siglos y siglos de injusta maledicencia. Ahora el 2009 se representa con un primoroso y optimista 6 3. Y el fatídico 666 pasaría a un inocente 253. Y ni hablar de un número de dos dígitos en el sistema decimal cuya imagen está algo subidita de tono, que en el nuevo sistema se representaría con un casto 41. No digo que sea la solución definitiva, pero creo que esta medida ayudará a paliar la crisis porque el esfuerzo intelectual que supondrá adaptarse a lo nuevo hará que agudicemos el ingenio, que es bueno para esto, y además estaremos tan enfrascados haciendo cuentas que nos olvidaremos de ella. Por último, y tal vez la razón más importante, mi edad actual sería sólo de 3 años. En fin, creo que he probado claramente que el sistema decimal está agotado y ya es hora de cambiarlo para adaptarnos a los nuevos tiempos. Ahora bien, si mi propuesta se acepta, imagínese el lector el follón que se puede montar. Memoria de actividades. Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 - 43 - El Rincón Matemático en Diario Jaén “Dalí: surrealismo matemático” Autor: José Angel Cid Araujo (Diario JAEN, 21 de mayo de 2009) Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 Dalí fue un genio excéntrico y ególatra, creador de imágenes que se han convertido en auténticos iconos del siglo XX: relojes blandos, elefantes con patas de mosquito, jirafas en llamas… Pero si piensa que el surrealismo onírico de Dalí es incompatible con la lógica y la razón está totalmente equivocado. Dalí fue un apasionado de la ciencia en general, y de las matemáticas en particular, y muchos de sus cuadros reflejan este interés. En “Corpus hipercubus” (1954) Dalí representa la crucifixión de Cristo sobre una cruz formada por ocho cubos y que es en realidad el despliegue tridimensional de un hipercubo tetradimensional. Universidad de Jaén Otras dos obras que también reflejan el interés de Dalí por las matemáticas son “Rapto topológico de Europa: homenaje a René Thom” (1983) y “La cola de golondrina” (1983), que pueden contemplarse en el Teatro-Museo Dalí de Figueres sin la aglomeración que se forma para ver la famosa cara de Mae West. René Thom, a quien Dalí homenajea explícitamente en el primero de los dos cuadros, fue un prestigioso matemático francés, ganador de la medalla Fields (premio equivalente al Nobel) y creador de la “Teoría de las Catástrofes”. En su obra más conocida “Estabilidad estructural y morfogénesis”, Thom popularizó esta teoría que había desarrollado para analizar las discontinuidades (“catástrofes”) que se presentan en sistemas biológicos, geológicos, económicos… que evolucionan con el tiempo. Con el uso de la cuarta dimensión Dalí representa el más allá y la trascendencia de la muerte de Cristo. En 1975 el Washington Post utilizó este cuadro para ilustrar un artículo sobre el trabajo del matemático Thomas Banchoff, quien había desarrollado gráficos por ordenador para explorar la visualización de la cuarta dimensión. Cuando Banchoff recibió una llamada para que se reuniese con Dalí se alarmó bastante al principio, pensando que tal vez Dalí estuviera enfadado con él por haber utilizado la imagen de su cuadro sin permiso. Sin embargo su temor resultó infundado pues Dalí lo que quería era conocer al matemático que compartía su fascinación por la cuarta dimensión y el encuentro derivó en una buena amistad. La cola de golondrina es precisamente el nombre que recibe una de las siete catástrofes elementales y es el título del que sería el último cuadro de Dalí. También con René Thom mantuvo Dalí una buena amistad en sus últimos años de vida, hasta el punto de que toda la obra de Dalí a partir de los años 80 se centró en la teoría de catástrofes. Memoria de actividades. Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 - 44 - El Rincón Matemático en Diario Jaén “Matemáticas y Astronomía: Relojes de sol” Autor: Toledano Ahmad, Hussein (Diario JAEN, 28 de mayo de 2009) Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 Las Matemáticas representan uno de los pilares básicos de la Astronomía. Una relación interesante entre ambas disciplinas la podemos encontrar en los relojes de sol, instrumentos que en la actualidad han quedado relegados a mera curiosidad científica o a simple elemento decorativo. El rudimentario reloj de sol consistente en una estaca vertical y la observación de su sombra, fue utilizado en tiempos primigenios. A dicha estaca se le conoce como gnomon; y a la ciencia o técnica que se ocupa de los relojes de sol, Gnomónica. Al tiempo que la Astronomía iba explicando los movimientos de los cuerpos celestes, los relojes de sol crecían en complejidad y precisión. A partir del Renacimiento empezaron a construirse relojes mecánicos, pero los de sol siguieron persistiendo. Universidad de Jaén Un reloj de sol fácil de construir consiste en una varilla (estilete o gnomon) paralela al eje de rotación terrestre, cuya sombra se proyecta en un plano ecuatorial (perpendicular al eje polar). Las líneas horarias serían radios, que salen de la base del estilete, separados entre sí 15o (el ángulo que recorre el Sol en una hora). Para su utilización, debemos traducir la hora solar en oficial (la de nuestro reloj de pulsera). A grandes rasgos, la hora oficial se basa en la hora solar de Greenwich tomando un sol medio (sol ficticio que se introduce para que los días sean todos de igual duración); el desfase entre el sol verdadero y el medio se llama Ecuación del Tiempo, y está tabulada en cualquier anuario astronómico. Por tanto, para que la hora solar verdadera (HSV) de Jaén nos dé la hora oficial (HO), hemos de corregirla por la Ecuación del Tiempo y por la longitud geográfica de Jaén, amén de otras correcciones como el huso horario y la corrección estacional, que se traducen, para España, en 1 ó 2 horas. Por tanto: CORRECCIÓN (en minutos) ENERO del 1 al 10 20 del 11 al 20 24 del 21 al 30 27 FEBRERO 29 29 28 MARZO 26 24 21 ABRIL 18 15 13 MAYO 12 12 12 JUNIO 14 15 17 JULIO 19 21 21 AGOSTO 21 19 17 SEPTIEMBRE 14 10 7 4 1 – 1 OCTUBRE NOVIEMBRE DICIEMBRE – 1 0 2 6 10 15 Memoria de actividades. Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 - 45 - El Rincón Matemático en Diario Jaén “El sistema de numeración decimal” Autor: Juan Francisco Ruiz Ruiz (Diario JAEN, 4 de junio de 2009) Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 Universidad de Jaén En realidad no existe una motivación matemática que inspire el uso de 10 símbolos, la razón sería más bien antropológica y quizás podríamos encontrarla en el rudimentario ábaco que constituyen los 10 dedos de nuestras manos y que todos hemos usado de pequeños para realizar sencillas operaciones aritméticas. La representación escrita mediante símbolos o caracteres de los números, a lo largo de la historia y en las distintas civilizaciones, ha ido variando y se ha hecho de distintas formas: desde la babilónica (~1800 a. C.) originaria de los sumerios que escribían en cuneiforme sobre una lámina de arcilla, la romana basada en el sistema etrusco o griego, la cirílica, la china, la japonesa, la arábiga… Incluso en la actualidad nos encontramos con varias formas para representar números que usamos habitualmente, valgan de ejemplo el sistema romano, el decimal o (aunque menos conocido) el binario que usan las computadoras. Un sistema de numeración consiste en un conjunto de símbolos o caracteres junto con otro conjunto de normas o reglas para combinarlos que permitan representar cualquier número. Incluso matemáticamente, podríamos afirmar que el uso de 10 símbolos como base no es la opción más ventajosa. Si un buen día se presentaran en nuestro mundo unos extraterrestres, probablemente y con razón, pondrían en duda la “inteligencia” que hay detrás de esta elección, en tal caso tendríamos que explicarles la afinidad de nuestra biología por el número 5: que nos dotó de 4 extremidades (2 brazos + 2 piernas) y 1 cabeza, por tanto de 2 manos con 5 dedos cada una y así llegar al número mágico: el 10. No sé si esta explicación convencería de nuestra “inteligencia” a un extraterrestre, pero al menos supongo que le persuadiría de nuestro ingenio. El sistema decimal, habitualmente usado por todos, fue introducido en Europa por los árabes y utiliza diez caracteres: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 que simbolizan a estos números y se combinan para representar al resto, siendo la posición de cada símbolo la que determina su valor (756 = 7·100 + 5·10 + 6). No todos los sistemas de numeración utilizan las mismas reglas (en el romano las reglas son muy distintas) o usan 10 símbolos: el binario usa 2 (el 0 y el 1, por ejemplo, 11001 = 1·24 + 1·23 + 0·22 + 0·21 + 1·20 = 25) o el babilónico usaba 60. Memoria de actividades. Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 - 46 - El Rincón Matemático en Diario Jaén “De la magia de las Matemáticas…” Autor: Francisco Tomás Sánchez Cobo (Diario JAEN, 11 de junio de 2009) Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 En este Rincón intentamos mostrar, siendo un punto atrevidos, qué de magia poseen las matemáticas. Si la magia nos introduce en situaciones cargadas de seducción, los buenos problemas matemáticos han ejercido, desde siempre, una irresistible influencia sobre los matemáticos que se han sentido atrapados en su resolución. Las más de las veces, su solución se ha obtenido tras un período, breve, de reflexión. Pero, en otras ocasiones, se ha necesitado varios años o siglos, recordemos los cuaterniones de Hamilton o la demostración del último teorema de Fermat. Si un buen truco de magia nos produce asombro, nos deslumbra, de manera semejante ciertos resultados matemáticos surgen como algo imprevisto y, en ciertos casos, como incomprensibles. Baste mencionar, con tal fin, las geometrías no euclídeas o las ideas de Cantor sobre conjuntos infinitos. Universidad de Jaén La magia viene asociada a lo extraordinario, a lo fuera de lo común. Igual nos sucede con ciertas situaciones en matemáticas. Por ejemplo, es bastante conocido que existen infinitos números primos, aunque lo es menos que podemos crear “agujeros” del tamaño que deseemos, tal que en él no existan números primos –por ejemplo, entre 2000001!+2 y 2000001!+2000001 hay dos millones de números consecutivos sin ningún número primo entre ellos-. Un aspecto que nos cautiva de la magia es el halo de misterio que la envuelve. En el campo matemático, el número π también se ve rodeado de múltiples misterios. En la página web ”The Pi-Search Page”, http://www.angio.net/pi/piquery, se encuentran los doscientos millones de cifras decimales iniciales de π. Sugerimos al lector escribir un número, verbigracia la fecha de nacimiento, el número de D.N.I., el número de móvil, etc., y encontrar, con el buscador, la posición del mismo dentro de la parte decimal de π. La magia es sinónimo de ilusión, de algo que engaña a los sentidos. Aunque la construcción matemática es sólida, por el camino llenamos las papeleras de ideas que se evidencian inadecuadas. Sea ejemplo de esto el pseudoteorema de Polignac: “Todo número impar se puede expresar como la suma de una potencia de 2 y un número primo”. Animo al amable lector a que encuentre un caso en el que no suceda lo afirmado. Memoria de actividades. Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 - 47 - El Rincón Matemático en Diario Jaén “… a las Matemáticas de la magia” Autor: Francisco Tomás Sánchez Cobo (Diario JAEN, 18 de junio de 2009) Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 Universidad de Jaén “Una persona elige un mes de un calendario. Sin ser vista, rodea con una línea un cuadrado de tres días por lado. Nos dice cuál es la suma de los nueve números incluidos dentro de la línea, y, en seguida, el matemago le muestra dichos números”. En la anterior entrega, mostrábamos cuánta magia poseían las matemáticas. Ahora, nuestro objetivo es hacer visible las matemáticas que hay tras algunos juegos de magia. No es extraño, en este sentido, que las dos primeras referencias escritas sobre magia sean de dos matemáticos, Luca Pacioli y Girolamo Cardano. Existen muchos juegos (con números, cartas, monedas, ...) que se basan en el concepto de paridad. Veamos uno: “Una persona, sin que la veamos, coge con una mano una moneda y, con la otra, dos. Luego, multiplica por dos el número de monedas que tiene en la mano izquierda y por tres las que posee en la mano derecha y nos comunica la suma de estos dos valores. Inmediatamente, el matemago le indica en qué mano guardó una moneda”. La noción de divisibilidad es muy común en algunos juegos. Por ejemplo: “Una persona elige un número de cuatro cifras (abcd). Escribe, a continuación, el número que se obtiene al invertir el orden de las cifras del primero (dcba), y resta del mayor el menor. Si dice la suma de tres de las cifras de la diferencia, ¿cómo adivina el matemago la cuarta?” En muchos juegos con el calendario, así como en otros de adivinación de un número, se encuentra oculta la resolución de una ecuación. En otros la clave está en el razonamiento lógico-numérico. Sea el caso: “Tres personas se guardan, sin ser vistas, una carta cada una: un as, un rey o un caballo. El matemago entrega, de un montón de 24 fichas, una a la primera persona, dos a la segunda y tres a la tercera. De forma reservada, la persona que cogió el as toma del montón tantas fichas como recibió, la que tomó el rey el doble de las que tiene y el que posee el caballo el triple de las recibidas. El matemago dirá, con rapidez, que carta guarda cada uno”. Dado el formato de este Rincón no nos es posible ejemplificar otras nociones matemáticas como sistemas de numeración, expresiones algebraicas, propiedades de ciertas sucesiones, la expresión polinómica de un número, etc., o mostrar juegos con naipes. Memoria de actividades. Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 - 48 - El Rincón Matemático en Diario Jaén “Fácil de enunciar, difícil de probar” Autor: José María Almira Picazo (Diario JAEN, 25 de junio de 2009) Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 Universidad de Jaén En particular, ellas se pueden representar como superposición de armónicos puros y tanto su perímetro como el área que encierran son función de sus coeficientes de Fourier. Usted tiene un cordel de 100 metros de largo y se le pide que construya con él una curva cerrada que encierre el mayor área posible. ¿Qué haría? Cualquier matemático le recomendará que construya una circunferencia porque esa curva es precisamente la solución a este problema concreto. Como el perímetro de la circunferencia vale 2πR, tendremos que el radio es R=100/(2π)=15.91 m y que el área encerrada será A=πR2=795.7 m2. No es gran cosa, pero es todo lo que usted puede encerrar con cien metros de cuerda. Si hubiera elegido un cuadrado de 25 metros de lado, el área encerrada habría sido de 625 metros. Un número más redondo, pero menor. Con un triángulo equilátero el área saldría: 481.125 m2. Pero: ¿será fácil probar que, en efecto, la circunferencia proporciona el mayor área posible? Utilizando ciertas desigualdades que satisfacen estos coeficientes, se obtiene la prueba. En realidad, existen pruebas puramente geométricas, pero la demostración que hemos mencionado es de las más directas que hay. Si lo piensan, verán que estamos ante un ejemplo de problema “fácil de enunciar, difícil de probar”. Estos problemas son frecuentes en matemáticas y, de hecho, algunos de los misterios matemáticos más profundos tienen enunciados muy sencillos. Les voy a poner otro ejemplo geométrico. Se trata del Teorema de la curva de Jordan, el cual afirma que cualquier curva cerrada que usted pueda construir con su cuerda sin que ésta se toque a sí mismo a excepción de sus extremos, divide al plano en dos trozos, siendo la curva la frontera común a ambos. Trivial, ¿no? ¡Pues no existe ninguna prueba elemental de este teorema, que esté al alcance de un estudiante de primer año de licenciatura en matemáticas! Esta cuestión, a la que los matemáticos llamamos el “problema isoperimétrico”, se puede resolver de numerosas formas. A mí personalmente me gusta mucho una de ellas, debida a Hurwitz, consistente en explotar el hecho de que toda curva cerrada de perímetro P se puede describir como la trayectoria de una función de variable real, periódica con periodo P y con valores complejos. Estas funciones son precisamente objeto de estudio de una importante rama de las matemáticas a la que llamamos Análisis de Fourier. Camille Jordan Memoria de actividades. Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 - 49 - El Rincón Matemático en Diario Jaén “Cóncavo y „con beso‟ ” Autor: Antonio Francisco Roldán López de Hierro (Diario JAEN, 3 de septiembre de 2009) Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 Universidad de Jaén Seguramente estos congresos nunca se celebraron y la historia no sea más que una leyenda urbana, pero disfrutaba imaginando lo maravilloso que debía ser el enclave del congreso y la calidad de las viandas que se ofrecían. En una canción de Mecano se hace mención a magdalenas del sexo convexo, y todos llevamos en nuestro organismo, un par de lentes convexas que nos permiten ver: los cristalinos de sus ojos. Posiblemente, los conceptos de cóncavo y convexo nacieron asociados a las curvas que denominamos parábolas. Usted ha visto estas curvas muchas veces. Por ejemplo, si se corta una antena parabólica por la mitad el perfil que resulta es el de una parábola. En la figura podemos ver la forma de estas parábolas pero, ¿cuál es cóncava y cuál es convexa? A B La primera vez que aprendí estas nociones me explicaron que la figura A era cóncava y la figura B convexa. Resultaba fácil de recordar con la siguiente regla: la forma convexa se asemeja a la curvatura de la mano de una mujer cuando un hombre, para saludarla galantemente, la besa en la mano. Por eso lo convexo se asemeja a “con beso”. Sin embargo, en el primer curso de carrera, me lo explicaron justo al revés: la figura A era convexa y la figura B era cóncava. Y aprendí otra regla para memorizarlo: la forma cóncava es la de la mano cuando tratamos de “cavar” un agujero en el suelo. Éste es el criterio que finalmente ha perdurado, aunque yo creo que el primer criterio era, al menos, más romántico. ¿Nunca se ha preguntado por qué los miopes llevan lentes cóncavas en sus gafas y los hipermétropes, lentes convexas? Los ópticos sí que lo tienen claro. Solo hay que ponerse de acuerdo para decidir lo que es cóncavo y lo que es convexo. Pero le aseguro que no es fácil. Según me contaba un profesor mío, todos los años se celebraba un Congreso Internacional en el que Físicos y Matemáticos trataban de llegar a un entendimiento acerca de ésta y otras cuestiones. Sin embargo, el consenso era imposible, y lo único que se llegaba a acordar era la fecha del siguiente congreso para volver a debatir sobre los mismos temas. Memoria de actividades. Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 - 50 - El Rincón Matemático en Diario Jaén “El ocho acostado” Autor: Consuelo Rosales Ródenas (Diario JAEN, 10 de septiembre de 2009) Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 Ayer cumplimos el noveno día del mes noveno del noveno año de este siglo y la actualidad ya viene marcada por la proximidad de otra fecha: dos de octubre de 2009. La cita será en Copenhague. Ese día, los miembros del COI decidirán la sede de los Juegos Olímpicos de 2016. La corazonada me trae a la mente el simbolismo del instante fijado para la inauguración de los pasados Juegos Olímpicos de Pekín (08-0808 08:08:08). El ocho en la cultura china está cargado de simbolismo: es el signo de la prosperidad, de la tierra tanto en extensión como en profundidad (ya que el 8 es el primer número cúbico), y también es el signo del infinito. Curioso. El signo matemático del infinito contiene el ocho, un ocho “acostado”. Este signo lo introdujo el matemático John Wallis en 1655, y lo podemos ver como un lazo que no tiene principio ni fin, o como una madeja con un nodo en el centro. Lo preceden símbolos alquímicos o religiosos como las serpientes entrelazadas, símbolo de mercurio y de la fuerza genésica. Universidad de Jaén Un ocho acostado de lado lo podemos imaginar como símbolo del reposo después del séptimo día de la creación. O bien, como las ocho horas de sueño nocturno. El infinito, la noche y el ocho relacionados, ¿misterio o casualidad? Es curiosa la similitud entre las palabras noche y ocho, en francés nuit y huit, night y eight en inglés, notte y otto en italiano, nacht y acht en alemán, natt y atte en noruego. Es evidente que este hecho se debe a la raíz indoeuropea tanto del latín como de las lenguas germánicas. Pero por qué no imaginar que, después de los siete días de la semana relacionados con los siete astros, Luna, Marte, Mercurio, Júpiter, Venus, Saturno y Sol, llega el ocho, la noche. Podemos continuar la sucesión con el nueve, ¡curioso!, nueve y nuevo, neuf y neuf, nine y new, nove y novo, ni y ny en danés. Después del 09-09-09, ¡esperemos buenas nuevas! Si (como griego afirma en el Cratilo), el nombre es arquetipo de la cosa, en las letras de rosa está la rosa y todo el Nilo en la palabra Nilo. El Golem, Jorge Luis Borges Memoria de actividades. Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 - 51 - El Rincón Matemático en Diario Jaén “Los matemáticos son desconfiados” Autor: Miguel Antonio Jiménez Pozo (Diario JAEN, 17 de septiembre de 2009) Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 Universidad de Jaén Otro fenómeno sorprendente es la cinta de Mobiüs, sobre la cual hay información asequible en internet. Una hoja de papel posee dos caras. En la cáscara de una naranja observamos dos caras, una color naranja y otra blanca. En superficies cerradas, como en un balón de futbol, hay una cara exterior y una interior. Las superficies imaginables tienen dos caras. ¡La cinta de Mobiüs solo una! Hay cosas inesperadas: Un Rey quiso premiar al inventor del ajedrez y lo dejó pedir del reino lo que deseara. –“¡Oh, Majestad! Numerando las casillas del tablero, desearía me regalase un grano de trigo por la primera, dos por la segunda, cuatro por la tercera, y así, doblando la cantidad, hasta completar las 64 casillas“. El Rey, incrédulo ante lo que consideró un premio ridículo, accedió. Pero quedó estupefacto cuando supo que no alcanzaría toda la cosecha del reino para semejante demanda. El número de granos es calculable, pero lo interesante es que sobrepasa con creces nuestra imaginación. Otro ejemplo. El perímetro P de una circunferencia de radio R, responde a la fórmula P=2πR. Con un radio incrementado en ΔR se tendría un incremento ΔP del perímetro y la ecuación (P+ΔP)=2π(R+ΔR). Restando la primera fórmula de la segunda, obtenemos ΔP=2πΔR. Asombroso: ¡no depende ni de P ni de R! Entendamos, mientras más gorditos de cintura, más peso habrá que bajar para reducir 1 cm. de talla, pues el volumen de grasa sí crece con el incremento de la cintura. He aquí mi ejemplo favorito por lo ilógico: Entre dos números racionales (del tipo p/q) diferentes, siempre habrá un número irracional (como √2, √3, π, e). Entre dos irracionales diferentes siempre hay uno racional. ¡Pero hay una infinidad más de números irracionales que de racionales! Por estos y otros ejemplos, los matemáticos sólo aceptamos pruebas rigurosas y somos desconfiados en el trabajo. ¡Lo malo es que a veces lo olvidamos en la vida real y después hay que pagarlo! Memoria de actividades. Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 - 52 - El Rincón Matemático en Diario Jaén “Enigma” Autor: Miguel Angel García Muñoz (Diario JAEN, 24 de septiembre de 2009) Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 Recientemente se conmemoró el 70 aniversario del inicio de la II Guerra Mundial. Como en otros momentos de la historia de la humanidad, la matemática jugó un papel importante y no sólo aplicada a la estrategia militar sino también para cifrar y descifrar mensajes. En aquellos años se utilizó un artilugio parecido a las antiguas máquinas de escribir, conocido como máquina Enigma, cuyo funcionamiento se basaba en la teoría de grupos simétricos. En concreto, esta máquina cifraba mensajes usando permutaciones del conjunto de las letras del alfabeto. Constaba de tres partes fundamentales: el teclado, mediante el cual se introducía el mensaje que se quería cifrar, el sistema de codificación formado por varios discos circulares o rotores conectados entre sí y un panel de luces, una por letra, en el que aparecía iluminada la letra codificada que había que transmitir. En definitiva, para cifrar un mensaje sólo había que cambiar las letras del texto original por aquellas que nos indicaba la máquina. Universidad de Jaén Para obtener el mensaje original sólo había que teclear las letras del mensaje cifrado y, si la configuración inicial de la máquina era idéntica a la usada para cifrar, ésta nos devolvía las letras del texto original. La configuración inicial se basaba en la elección de los rotores y en la posición inicial de estos. La gran cantidad de maneras en las que la máquina se podía configurar hizo que este artefacto fuese un sistema de cifrado tan protegido. Creada para facilitar la comunicación secreta entre comerciantes, sucesivas modificaciones la hicieron cada vez más segura hasta el punto de ser usada por el ejército nazi en la II Guerra Mundial. Sin embargo, pese a la supuesta inviolabilidad, su sistema de codificación fue descubierto, como se relata en películas como Enigma (2003) o U-571 (2001), lo que permitió a los aliados descifrar los mensajes del ejército nazi y contribuyó a que el final de la guerra llegará antes. Realidad o ficción lo que si es cierto es que el descodificado de mensajes se obtuvo gracias al uso de técnicas matemáticas y estadísticas. Una de las personas que más aportó a este trabajo fue el matemático inglés Alan Turing (1912-1954), considerado hoy día como uno de los padres de la Ciencia de la Computación y precursor de la informática moderna. Alan Turing Memoria de actividades. Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009 - 53 -