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Ecuaciones diferenciales de 1o orden Ampliaci´on de C´alculo
1.
Ecuaciones en variables separables
DEF. Se llaman ecuaciones en variables separadas a las ecuaciones diferenciales de primer orden de la forma: dy P (x) = , es decir, Q(y)dy = P (x)dx dx Q(y) ∫ ∫ Soluci´ on general: Q(y)dy = P (x)dx + C, C ∈ R ∫
∫
y
Soluci´ on particular (y(x0 ) = y0 ):
x
Q(y)dy = y0
P (x)dx x0
Nota: A este tipo de ecuaciones pertenecen tambi´en : dy Q(y) dy = y = P (x)Q(y) dx P (x) dx DEF. Toda ecuaci´on diferencial de primer orden que se puede expresar como una ecuaci´on en variables separadas se llama ecuaci´ on en variables separables Caso Particular: Las ecuaciones de la forma: P1 (x)Q1 (y)dx + P2 (x)Q2 (y)dy = 0 se reducen a ecuaciones en variables separadas dividiendo por Q1 (y)P2 (x): Q2 (y) P1 (x) dx + dy = 0 P2 (x) Q1 (y)
2.
Ecuaciones homog´ eneas
DEF. Se dice que la funci´ on f (x, y) es homog´ enea de grado n respecto a x e y si para todo λ ∈ R se verifica f (λx, λy) = λn f (x, y) dy DEF. La ecuaci´ on de primer orden = f (x, y) se dice que es homog´ enea si la funci´on f (x, y) dx es homog´enea de grado 0 respecto a x e y, es decir: f (λx, λy) = f (x, y), dy = f (x, y) dx Resoluci´on: Sabemos que f (λx, λy) = f (x, y), Tomando λ =
∀λ ∈ R
∀λ ∈ R
( y ) dy ( y) 1 , f (x, y) = f 1, ⇒ = f 1, x x dx x
Denotamos por u =
y dy du , entonces y = ux ⇒ = x+u x dx dx
du x + u = f (1, u), dx du dx que podemos escribir: = (Ec. en variables separadas) f (1, u) − u x Obtenemos la ecuaci´on:
Finalmente se deshace el cambio de variable
3.
Ecuaciones reducibles a homog´ eneas (
Son de la forma ′
y =f
a1 x + b1 y + c1 a2 x + b2 y + c2
)
con c1 ̸= 0 o c2 ̸= 0. Vamos a estudiar la posici´on relativa de las rectas r1 : a1 x + b1 y + c1 = 0 y r2 : a2 x + b2 y + c2 = 0. Para ello consideramos el sistema { a1 x + b1 y + c1 = 0 a2 x + b2 y + c2 = 0 Tenemos 3 posibilidades: a) Las rectas se cortan, el sistema tiene una u ´nica soluci´on: (A, B). { x ¯=x−A La ecuaci´on se resuelve usando el cambio de variable : y¯ = y − B d¯ y dy = =f d¯ x dx
(
a1 x + b1 y + c1 a2 x + b2 y + c2
)
( =f
a1 (¯ x + A) + b1 (¯ y + B) + c1 a2 (¯ x + A) + b2 (¯ y + B) + c2
)
( =f
a1 x ¯ + b1 y¯ a2 x ¯ + b2 y¯
)
Ahora se trata de una ecuaci´on homog´enea b) La rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones. En este caso, a1 = αa2 , b1 = αb2 y c1 = αc2 con α ∈ R, por tanto: y′ = f
(
α(a2 x + b2 y + c2 ) a2 x + b2 y + c2
) = f (α),
dy = f (α)dx,
y = f (α)x + C
c) Las rectas son paralelas, el sistema no tiene soluci´on: (a1 , b1 ) = λ(a2 , b2 ) pero c1 ̸= λc2 . dz dy = a2 + b2 : La ecuaci´on se resuelve usando el cambio de variable z = a2 x + b2 y ⇒ dx dx ( ) ( ) z ′ − a2 λz + c1 λz + c1 1 ( ) y′ = =f ; z ′ = b2 f + a2 ; dz = dx λz + c1 b2 z + c2 z + c2 b2 f + a2 z + c2 Ahora se trata de una ecuaci´on en variables separadas.
4.
Ecuaciones exactas DEF. Una ecuaci´on diferencial de la forma M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
es una ecuaci´ on diferencial exacta si la expresi´on del lado izquierdo es la diferencial total de alguna funci´on φ(x, y) que llamamos funci´ on potencial. ∂φ M (x, y) = (x, y) ∂x Es decir, ∂φ N (x, y) = (x, y) ∂y La soluci´on general ser´a φ(x, y) = C PROP. Si existen las derivadas parciales de M y N y son continuas, entonces ∂M ∂N M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 es una EDO exacta ⇔ = ∂y ∂x Resoluci´on:
∂φ (x, y) = M (x, y) (1) ∂x
Buscamos φ(x, y) tal que
∂φ (x, y) = N (x, y) ∂y ∫
Integramos (1) respecto a x: φ(x, y) =
(2)
M (x, y)dx + f (y)
Para hallar f (y) imponemos (2): N (x, y) = Entonces f ′ (y) = N (x, y) −
∂ ∂y
∂ ∂φ (x, y) = ∂y ∂y
∫
M (x, y)dx + f ′ (y)
∫
M (x, y)dx ) ∫ ( ∫ ∂ ⇒ f (y) = N (x, y) − M (x, y)dx dy ∂y
5.
Factor integrante Dada una ecuaci´on diferencial de primer orden M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
en la que
∂M ∂N ̸= , se puede buscar un factor µ(x, y) tal que µ(x, y)M (x, y)dx+µ(x, y)N (x, y)dy = 0 ∂y ∂x
sea exacta, es decir, ∂(µM ) ∂(µN ) = ∂y ∂x Este factor se llama factor integrante. C´alculo de µ(x, y): 1. Factor integrante dependiente u ´nicamente de x: µ(x)
∂M dµ ∂N µ = N +µ ⇒µ ∂y dx ∂x dµ 1 = µ N 1 Si N
(
(
∂M ∂N − ∂y ∂x
∂M ∂N − ∂x ∫∂y
(
∂M ∂N − ∂y ∂x
) =
dµ N⇒ dx
) dx (1)
)
= ω(x) es s´olo funci´on de x, integrando (1): ( ) ∫ 1 ∂M ∂N ω(x)dx ω(x)dx ⇒ µ(x) = e con ω(x) = − N ∂y ∂x
ln |µ| =
2. Factor integrante dependiente u ´nicamente de)y: ( ∫ 1 ∂N ∂M µ(y) = e τ (y)dy con τ (y) = − M ∂x ∂y 3. µ(v) con v = v(x, y): ∫
µ(v) = e
6.
∂M ∂N − ∂y ∂x con α(v) = ∂v ∂v N− M ∂x ∂y
α(v)dv
Ecuaciones lineales DEF. Una ecuaci´on diferencial de la forma y ′ + P (x)y = Q(x)
con P, Q continuas, es una ecuaci´ on diferencial lineal de primer orden. Resoluci´on: Buscamos el factor integrante adecuado para las ecuaciones de esta forma. Para ello, se reescribe la ecuaci´on: dy + (P (x)y − Q(x))dx = 0 Estudiamos si es posible encontrar un factor integrante que dependa s´olo de x: ( ) } ∂N P (x) − 0 1 ∂M M (x, y) = P (x)y − Q(x) ⇒ − = N (x, y) = 1 N ∂y ∂x 1 ∫
Entonces: µ(x) = e
P (x)dx
Multiplicando la ecuaci´on por este factor, obtenemos una ecuaci´on exacta: ∫
e
P (x)dx
∫
dy + e
P (x)dx
(P (x)y − Q(x))dx = 0
∫ ∂φ (x, y) = e P (x)dx (P (x)y − Q(x)) (1) ∂x Buscamos φ(x, y) tal que
∫ ∂φ (x, y) = e P (x)dx ∂y
(2)
Integramos (1) respecto a x: ∫
∫
∫
∫
P (x)ydx − e P (x)dx Q(x)dx + f (y) ∫ ∫ ∫ P (x)dx = e y − e P (x)dx Q(x)dx + f (y)
φ(x, y) =
e
P (x)dx
∫
Para hallar f (y) imponemos (2): e ∫
La soluci´on general es: e
7.
P (x)dx y
−
P (x)dx
∫
∫
e
∫
=e
P (x)dx
+ f ′ (y)⇒ f ′ (y) = 0
P (x)dx Q(x)dx
=C
Ecuaciones de Bernoulli DEF. Una ecuaci´on diferencial de la forma y ′ + P (x)y = Q(x)y n ,
n ̸= 0, n ̸= 1
con P, Q continuas, es una ecuaci´ on diferencial de Bernoulli. y ′ + P (x)y = Q(x)y n Si n = 0, entonces se trata de una ecuaci´on lineal Si n = 1, entonces se trata de una ecuaci´on en variables separadas Resoluci´on: 1. Se divide la ecuaci´on por y n :
y′ P (x) + n−1 = Q(x) n y y
2. Se realiza el cambio de variable: z =
1 y n−1
dz 1 dy = −(n − 1) n dx y dx z′ + P (x)z = Q(x) 1−n obteni´endose una ecuaci´on lineal en z: z ′ + (1 − n)P (x)z = (1 − n)Q(x)
3. Se sustituye en la ecuaci´on: