Transcript
Para resolver: f(X) = ax2 + bx + c = 0
Se utiliza la formula cuadratica:
b b 4ac x 2a 2
El objeto del calculo de las raíces de una ecuación es determinar los valores de X para los cuales se cumple f(X) = 0 Para una función polinómica se cumple que tiene tantas raíces como el grado del Polinomio:
Método Grafico F(x)=0
Métodos Cerrados
Bisección Falsa Posición
Si en un intervalo a, b cerrado se cumple que f (a) f (b) 0 entonces se tiene que: Exista un numero impar de raíces
a
b
a, b cerrado se cumple Si en un intervalo que f (a) f (b) 0 entonces se tiene que: Exista un numero impar de raíces a
b
Si en un intervalo [a,b] cerrado se cumple que Entonces se tiene que: f (a) f (b) 0
No existan raíces o haya un numero par de raíces
a
b
Ejemplo: utilizar graficas por computadora para localizar las raíces de F(x)=x3+x2-3x+5 1500
1000
500
0 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-500
-1000
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ejercicio: utilice el método gráfico para determinar el coeficiente de arrastre c necesario para que un paracaidista de masa m=68.1 kg tenga una velocidad de 40 m/s despues de una caida libre de t=10 s.
9.8(68.1) f (c ) 1 e ( c / 68.1)10 40 c o 667.38 f (c ) 1 e 0.146843c 40 c
1. Buscar un intervalo (xi, xs) de tal forma que la función cambie de signo:
f ( xi ) . f ( xs ) 0 Si se cumple existe al menos una raíz real entre xi y xs
f(x)
Intervalo en el que se encuentra la raíz.
f(xi)
f(xs)
xi
xs
2. Se debe hallar el punto medio del intervalo, tomando el punto de bisección xr como
aproximación de la raíz buscada.
xr xi
xs
f(xs)
xr
xi xs 2
3. Se analiza de manera independiente cada uno de los
intervalos. Se elige entre (xi , xr) y (xr , xs), un intervalo en el que la función cambie de signo.
Si _ f ( xi ). f ( xr ) 0 xs xr entonces
Si _ f ( xr ). f ( xs ) 0 xi xr entonces
Si _ f ( xr ). f ( xs ) 0 la _ raiz _ es _ xr entonces
Error aproximado
Eap
xractual xranterior actual r
x
100%
Ejemplo: utilice el método de bisección para determinar el coeficiente de arrastre c necesario para que un paracaidista de masa m=68.1 kg tenga una velocidad de 40 m/s después de una caída libre de t=10 s.
F(x)=e-x – ln x, con un E < 1% en el intervalo [1,1.5] 1. Debemos verificar que f (1) y f (1.5) tengan signos opuestos.
F(1)= e(-1) – ln(1) = 0.3678 f(1) > 0 F(1.5)= e(-1.5) – ln (1.5) = - 0.18233 f(1)< 0 2. Ahora hallamos
Xr = (1+1.5)/2 =1.25
Evaluando Xr = 1.25 f(1.25)= 0.0636 > 0
Repetimos el proceso con el nuevo intervalo [1.25,1.5]. Calculamos el punto medio (que es nuestra segunda aproximación a la raíz) Xr = (1.25+1.5)/2 = 1.375 Aquí podemos calcular el primer error aproximado pues ya contamos con la aproximación actual y la aproximación anterior: Eap
xractual xranterior actual r
x
100% 9.09%
Ahora evaluamos f(1.375)= - 0.06561 < 0
Así, vemos que la raíz se encuentra en el intervalo [1.25,1.375]. Entonces calculamos el punto medio Xr = (1.25+1.375)/2=1.3125
Y calculamos el nuevo error aproximado:
Eap
xractual xranterior xractual
100% 4.76%
Se obtuvieron los siguientes datos: Aprox. a la raíz 1.25 1.375 1.3125 1.28125 1.296875 1.3046875
Error aprox 9.09% 4.76% 2.43% 1.20% 0.59%
Determine las raices reales de f(x)= 5x3 – 5x2 + 6x – 2
Calcule la raiz cuadrada positiva de 18 con E = 0.5% . Emplee como valores iniciales Xi =4 y Xs = 5.
Una técnica alternativa del método de bisección, consiste en unir f(xi) y f(xs) con la línea recta. La intersección de esta línea con el eje de las x representa una mejor aproximación de la raíz. El hecho de que se reemplacé la curva por una línea recta da una falsa posición de la raíz; de aquí el nombre de método de la falsa posición, o en latín regula falsa.
También se la conoce como método de interpolación lineal.
s
s
f ( xi ) f ( xs ) xr xi xr xs f ( xs )( xi xs ) xr xs f ( xi ) f ( xs )
CHAPRA, Steven C. y CANALE, Raymond P.: Métodos Numéricos para Ingenieros. McGraw Hill 2002. http://lc.fie.umich.mx/~calderon/programacion/notas/Bisecciones.ht ml http://www.youtube.com/watch?v=5e1GUYfnc9I
https://www.ucursos.cl/ingenieria/2008/1/MA33A/1/material_alumnos/objeto/1458 7