Cuádricas 1. Dada La Cuádrica X 2 +3y2 +2z2 −4y−3x−8=0, Se

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CUÁDRICAS 1. Dada la cuádrica x2 + 3y 2 + 2z 2 − 4y − 3x − 8 = 0, se pide: clasificación, centro, ejes y ecuación reducida. 2. Dada la cuádrica x2 + (m + 1)y 2 + mz 2 − 2yz + 2xy + 2x + 2z + 4 = 0, calcular m para que determine un paraboloide hiperbólico y obtener la ecuación reducida en este caso. 3. Dada la cuádrica x2 + y 2 + z 2 − 2xy + xz + yz − 1/2 = 0, determinar: i) Ecuación reducida y tipo. ¿Es de revolución? ii) Centro y ejes. iii) Vértices. 4. Dada la cuádrica x2 − y 2 − 4z = 0, determinar: i) Clasificación y ecuación reducida. ii) Estudiar la familia de curvas, según los valores de m, que resultan al proyectar sobre el plano z = 0 la intersección de la cuádrica dada con el plano variable z = m(x − 1). iii) Determinar el lugar geométrico de los centros de la intersección de la cuádrica con el plano variable. iv) Estudiar el lugar geométrico obtenido. 5. Se considera la cuádrica C: x2 + 2y 2 + z 2 + 2xz + 2x + 1 = 0 i) Clasificar C y determinar su ecuación reducida. ii) Determinar el vértice de la cuádrica dada C. iii) Sea d la intersección de la cuádrica C con el plano y = 0. Determinar la ecución cartesiana del cilindro proyectante, T, de la cónica d en la dirección x = y = z. iv) Clasificar la cónica f obtenida al intersecar la superficie T con el plano z = 0. 1 6. Se considera la cuádrica C: x2 + y 2 + z 2 + 2xy + 2xz + 2yz + x − y + z + 1 = 0 i) Clasificar C y determinar su ecuación reducida. ii) Sea d la intersección de la cuádrica C con el plano z = 0. Obtener la ecuación cartesiana de la superficie cónica, S, resultante de proyectar desde el punto (0, 0, 1) la cónica d. iii) Clasificar la cónica f obtenida al intersecar la superficie S con el plano y + 2 = 0. 2