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Vol. XX, No 1, Junio (2012) Matem´ aticas: 49–62
Matem´ aticas: Ense˜ nanza Universitaria c
Escuela Regional de Matem´ aticas Universidad del Valle - Colombia
Convoluci´ on de medidas radonianas con valores en ´ algebras de Banach separables Liliana Posada Vera
Guillermo Restrepo
Universidad del Valle
Universidad del Valle
Recibido Ago. 9, 2011
Aceptado Feb. 10, 2012
Abstract Let S be a topological group, and (s, t) 7→ θ(s, t) = st from S × S in S the group multiplication. If µ and ν are Radon measures defined on the σ-algebra A of Borel sets in S with values in a separable Banach algebra X, we will define the convolution product µ ∗ ν as a Radon measure defined on the Borel subsets of S with values in X. The definition of µ ∗ ν is closely related to the linearization of the bilinear map m : X × X → X, (x, y) 7→ m(x, y) = xy (product in X). Our definition of µ ∗ ν for Radon measures resembles that given by Kawabe in [4] for τ -smooth measures. Keywords: Radon measures, product Radon measure, convolution of Radon measures. MSC(2000): 28C05 Resumen Sea S un grupo topol´ ogico y (s, t) 7→ θ(s, t) = st de S × S en S la operaci´ on multiplicaci´ on. Si µ y ν son medidas radonianas definidas en la σ-´ algebra A de los conjuntos borelianos con valores en un a ´lgebra de Banach separable X, definiremos el producto de convoluci´ on µ ∗ ν como una medida radoniana definida en los subconjuntos borelianos de S con valores en X. La definici´ on µ ∗ ν est´ a ´ıntimamente relacionada con la linealizaci´ on de la funci´ on bilineal m : X × X → X, (x, y) 7→ m(x, y) = xy (producto en X). Nuestra definici´ on de µ ∗ ν para medidas radonianas se parece a la dada por Kawabe en [4] para medidas τ -suaves. Palabras y frases claves: medidas radonianas, producto de medidas radonianas, convoluci´ on de medidas radonianas.
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Introducci´ on
Sea (T, τ ) un espacio topol´ogico hausdorffiano. La σ-´algebra generada por la colecci´on de los conjuntos abiertos, llamada σ-´algebra de los conjuntos borelianos de T , se denotar´a por bor(T ). Una medida boreliana es cualquier funci´on σ-aditiva definida en la σ-´algebra bor(T ) de los conjuntos borelianos con valores en [0, ∞]. Una medida boreliana µ en T se llama radoniana (medida de Rad´on), si satisface las siguientes condiciones: rad 1) La medida de cualquier abierto es el extremo superior de las medidas de los subconjuntos compactos contenidos en ´el. Es decir si G ∈ ab(T ), entonces µ(G) = sup{µ(K) : G ⊇ K compacto} (Propiedad de la regularidad interior).
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L. Posada y G. Restrepo
rad 2) La medida de cualquier conjunto boreliano es el extremo inferior de las medidas de los abiertos que lo contienen. Es decir, si B ∈ bor(T ), entonces µ(B) = ´ınf{µ(G) : B ⊆ G abierto} (Propiedad de la regularidad exterior). rad 3) µ es localmente finita. Es decir, todo t ∈ T posee una vecindad V tal que µ(V ) < ∞. La propiedad (rad 3) implica que la medida de todo conjunto compacto es finita. La propiedad de regularidad interior es v´alida para todo boreliano de medida finita. Es decir, si B ∈ bor(T ) y µ(B) < ∞, entonces µ(B) = sup{µ(K) : K ⊆ B, K compacto}. La definici´on de medida radoniana que hemos adoptado es la definici´on R2 en [9] p´agina 13. Sean S y T espacios topol´ogicos y f : S → T una funci´on boreliana. Si µ es una medida boreliana en S, su imagen por f , es la medida boreliana ν definida por ν(B) = µ(f −1 (B)), B ∈ bor(T ). Denotaremos por µf o fµ a la imagen de µ por f . En el caso en que S y T son espacios topol´ogicos hausdorffianos, µ es una medida radoniana finita y f es una funci´on continua entonces fµ es una medida radoniana finita en bor(T ). En [3], G´omez y Restrepo demostraron que si µ y ν son medidas radonianas en los espacios topol´ogicos hausdorffianos S y T respectivamente, entonces existe una medida radoniana u ´nica λ en bor(S × T ) tal que λ(A × B) = µ(A)ν(B) para todo A ∈ bor(S) y todo B ∈ bor(T ). Llamaremos medida radoniana producto a la medida λ y la denotaremos por λ = µ ⊗ ν. Adicionalmente mostraron un teorema de Fubini para medidas radonianas que se enuncia a continuaci´on: Sean S y T espacios topol´ogicos hausdorffianos, µ y ν medidas radonianas finitas en bor(S) y bor(T ) respectivamente y f : S × T → R boreliana. Entonces: Z
f d(µ ⊗ ν)(s, t) =
S×T
Z Z T
S
Z Z ft (s)dµ(s) dν(t) = fs (t)dν(t) dµ(s). S
T
Es parte de la conclusi´on que ft : S → R y fs : T → R son funciones borelianas. Sean S un grupo topol´ogico hausdorffiano, θ : S × S → S la operaci´on multiplicaci´on (s, t) 7→ st y µ y ν medidas radonianas finitas definidas en bor(S). Definimos el producto convoluci´on de µ y ν como la imagen de µ ⊗ ν por medio de θ y la denotamos por µ∗ν. Como θ es continua, se tiene que µ∗ν es una medida radoniana en bor(S). Adicionalmente si f : S → R es una funci´on boreliana, por el teorema de Fubini se tiene que Z Z Z f (x)d(µ ∗ ν)(x) = f ◦ θ(s, t)d(µ ⊗ ν)(s, t) = f (st)d(µ ⊗ ν)(s, t) S
S×S
=
Z Z S
S
f (st)dµ(s)dν(t) =
S×S
Z Z S
S
f (st)dν(t)dµ(s).
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Convoluci´ on de medidas radonianas
Por otro lado es f´acil probar que Z Z Z −1 µ ∗ ν(B) = ν(s−1 B)dµ(s). µ(Bt )dν(t) = χB d(µ ∗ ν) = S
S
S
Si S = Rn entonces Z Z Z µ ∗ ν(B) = χB d(µ ∗ ν) = µ(B − t)dν(t) = ν(B − s)dµ(s). S
S
S
Ahora podemos explicar el objetivo de este art´ıculo. Si S es un grupo topol´ogico y µ y ν son medidas radonianas con valores en un ´algebra de Banach separable X, definiremos de la manera siguiente el producto convoluci´on µ ∗ ν como una medida radoniana en S con valores en X. Si m : X × X → X es la funb X → X es la linealizaci´on ci´on multiplicaci´on m(x, y) = xy del ´algebra, m : X ⊗ m(x ⊗ y) = xy, se define µ ∗ ν(B) = m(θλ (B)) donde B ∈ bor(S). Si f : S → R es una funci´on boreliana y acotada y θ : S × S → S es la funci´on multiplicaci´on θ(s, t) = st del grupo, demostraremos que Z Z Z Z f (x)d(µ ∗ ν)(x) = f ◦ θ(s, t)d(µ ⊗ ν)(s, t) = f (st)dµ(s)dν(t). S
S×S
S
S
Resaltamos que el concepto de medida radoniana con valores vectoriales es el mismo establecido por Posada y Restrepo en [7] y las integrales involucradas en la f´ormula anterior son integrales en el sentido de Bartle con respecto a medidas radonianas. Esta integral ha sido utilizada ampliamente en [7]. El producto convoluci´on que acabamos de describir ha sido definido por Kawabe en [4] cuando µ y ν son medidas τ -suaves y los m´etodos que utilizamos son similares a los utilizados en el art´ıculo mencionado. En este art´ıculo denotaremos por X ⊗ Y al producto tensorial de los espacios de Banach X y Y . Es el subespacio de las formas lineales en B(X × Y ) (espacio de las funciones bilineales de X × Y ) generado por aquellas de la forma f 7→ (x ⊗ y)(f ) = f (x, y) para todo n P f ∈ B(X × Y ). Es decir u ∈ X ⊗ Y si es de la forma λi (xi ⊗ yi ). La -norma i=1
en X ⊗ Y es
) ( n X x0 (xi )y 0 (yi ) : (x0 , y 0 ) ∈ X 0 × Y 0 , kx0 k ≤ 1, ky 0 k ≤ 1 . kuk = sup i=1
donde u =
n P
i=1
xi ⊗ yi . La π-norma en X ⊗ Y es kukπ = ´ınf
( n X i=1
kxi kkyi k : u =
n X i=1
x i ⊗ yi
)
.
b Y y el completante El completante de X ⊗ Y con la -norma se denota por X ⊗ b πY . de X ⊗ Y con la π-norma se denota por X ⊗
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L. Posada y G. Restrepo
Medidas vectoriales e integral de Bartle
A continuaci´on mostraremos algunos conceptos y resultados que son necesarios para el desarrollo de este art´ıculo desarrollados por Bartle en [1] y de una manera ampliada por Posada en [6]. Sean (Ω, A) un espacio de medici´on y X un espacio de Banach. Una funci´on ν : A → X es una medida vectorial contablemente aditiva (σ-aditiva) si para toda sucesi´on disjunta (Ak )k∈N en A, la sucesi´on de sumas n P ν(Ak ) es convergente en X con respecto a la topolog´ıa de la norma parciales y
k=1
ν
∞ [
k=1
Ak
!
=
∞ X
ν(Ak ).
k=1
Si ν : A → X es una medida vectorial, definimos la variaci´ on de ν como la funci´on ( ) X E 7→ |ν|(E) = sup kν(A)k : π ∈ π(E) A∈π
de A en [0, ∞], donde π(E) es el conjunto de todas las particiones finitas de E ∈ A. Si |ν|(Ω) < ∞ diremos que ν es una medida de variaci´ on acotada. La semivariaci´ on de ν es la funci´on E 7→ kνk(E) = sup{|x0 ◦ ν|(E) : x0 ∈ X 0 , kx0 k ≤ 1} donde |x0 ◦ ν| es la variaci´on de la medida de valor complejo x0 ◦ ν. La variaci´on es una medida con valores en [0, ∞]; la semivariaci´on es una funci´on mon´otona y subaditiva con valores en [0, ∞), pero en general no es una medida (ver [2]). Se comprueba f´acilmente que kν(E)k ≤ kνk(E) ≤ |ν|(E) para todo E ∈ A. Sean (Ω, A, µ) un espacio de medici´on dotado de una medida µ finita. Un subconjunto E de Ω es µ-nulo si existe un A ∈ A tal que E ⊆ A y µ(A) = 0. La colecci´on N de los subconjuntos µ-nulos es estable bajo las uniones numerables y la inclusi´on de conjuntos. Denotaremos por Aµ la σ-´algebra generada por A ∪ N , la cual se suele llamar la µ-completaci´on de A. Una funci´on f : Ω → R es (A, bor(R))-medible si f −1 (B) ∈ A para todo conjunto boreliano B. Es µ-medible si f −1 (B) ∈ Aµ para todo conjunto boreliano B. Los siguientes enunciados se demuestran sin dificultad: i) Una funci´on f : Ω → R es (A, bor(R))-medible si y s´olo si existe una sucesi´on (fn )n∈N de funciones elementales que converge puntualmente a f . Es decir, fn (w) → f (w) para todo w ∈ Ω. ii) Una funci´on f : Ω → R es µ-medible si y s´olo si existe una sucesi´on (fn )n∈N de funciones elementales que converge a f µ-c.t.p. Es decir, fn (w) → f (w) para todo w en el complemento de un conjunto µ-nulo. Es muy pertinente preguntarse por la relaci´on entre la definici´on usual de funci´on (A, bor(X))-medible (f −1 (A) ∈ A si A es boreliano) y la definici´on dada por Bartle en [1] siendo X un espacio de Banach. Si X es un espacio de Banach de
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dimensi´on infinita los enunciados i) y ii) no son v´alidos. Estos resultados sugieren la siguiente definici´on propuesta por Bartle en [1]. Sean (Ω, A) un espacio de medici´on, X un espacio de Banach y ν : A → X una funci´on σ- aditiva y f : Ω → X una funci´on. Diremos que f es ν-medible si existe una sucesi´on de funciones simples (fn )n∈N de Ω en X tal que fn (w) → f (w) ν-c.t.p, es decir, fn (w) → f (w) para todo w en el complemento de un conjunto E ∈ A que es kνk-nulo, es decir kνk(E) = 0. Sean T un espacio topol´ogico hausdorffiano, A = bor(T ) y X un espacio de Banach. Una σ-medida µ : bor(T ) → X es radoniana si x0 ◦µ es una medida radoniana con valores complejos para toda forma lineal x0 ∈ X 0 , es decir, |x0 ◦ µ| es una medida radoniana para cada x0 ∈ X 0 . Se demostr´o en [7] que una σ-medida µ : bor(T ) → X es radoniana si y s´olo si para todo conjunto boreliano B y todo > 0 existe un compacto K ⊂ B tal que kµk(B − K) < . Sean X, Y y Z espacios de Banach y b : X × Y → Z una funci´on bilineal y continua. Si (Ω, A) es un espacio de medici´on y ν : A → Y es una σ-medida vectorial, la b-semivariaci´ on de ν es el n´ umero
) ( n
X
kνkb (E) = sup b(xi , ν(Ei ))
i=1
donde E ∈ A y el supremo es tomado sobre todas las familias finitas {Ei : 1 ≤ i ≤ n} de conjuntos disjuntos en A contenidos en E y todas las familias finitas {xi : 1 ≤ i ≤ n} ⊆ X con kxi k ≤ 1.
Observaci´ on 1. En [7] se postula que la medida ν es µ-continua para alguna medida µ : A → [0, ∞), es decir, kνkb (E) → 0 si µ(E) → 0. Supondremos que kνkb ≤ kνk. Esto no es cierto en general (ver [1]). Afortunadamente cuando b Y y b(x, y) = x ⊗ y entonces kνkb ≤ kνk. Z = X⊗ Describiremos brevemente la integral de Bartle (ver [1] y [6]). Sean X, Y y Z espacios de Banach y b : X × Y → Z una funci´on bilineal continua. Si (Ω, A) es un espacio de medici´on y ν : A → Y es una medida vectorial, la (b, ν)-integral de n P una funci´on elemental f : Ω → X, f = xk χ(Ek ) sobre E ∈ A es el vector k=1
Z
b(f (w), dν(w)) :=
E
n X k=1
R
b(xk , ν(E ∩ Ek )) ∈ Z.
La funci´on f 7→ E b(f (w), dν(w)) es una funci´on lineal definida en el espacio vectorial de las funciones elementales de Ω en X en el espacio de Banach Z. Una funci´on f : Ω → X es (b, ν)-integrable si existe una sucesi´on (fn )n∈N de funciones elementales de Ω en X que converge a f (b, ν)-c.t.p y su integral es Z Z b(f (w), dν(w)) := l´ım b(fn (w), dν(w)) E
n→∞ E
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(fn → f (b, ν)-c.t.p significa que fn (w) → f (w) en el complemento de un conjunto kνkb -nulo.) Por la observaci´on anterior, el l´ımite anterior no depende de la sucesi´on (fn )n∈N utilizada para definir la integral. Teorema 1. De la convergencia acotada. Ver ([7]) Sea {fn } una sucesi´ on de funciones (b, ν)- integrables de Ω en X las cuales convergen (b, ν)-c.t.p a una funci´ on f : Ω → X. Si f es (b, ν)-acotada (existe una constante M > 0 tal que kfn (w)k ≤ M para todo n y todo w en el complemento de un conjunto kνkb -nulo), entonces f es (b, ν)-integrable y Z Z b(f (w), dν(w)) = l´ım b(fn (w), dν(w)). n→∞ E
E
b Y (producto tensorial inyectivo de los espacios de Observaci´ on 2. Si Z = X ⊗ Banach X y Y ) y b es la funci´ on bilineal b(x, y) = x ⊗ y (funci´ on tensorial ), se suele escribir Z Z b(f (w), dν(w)) = f (w) ⊗ dν(w). E
E
Los siguientes teoremas se demostraron en [7] y juegan un papel fundamental en este art´ıculo. Teorema 2. Sean S y T espacios topol´ ogicos hausdorffianos, X y Y espacios de Banach separables, µ : bor(S) → X y ν : bor(T ) → Y medidas radonianas. b Y Entonces existe una y s´ olo una medida radoniana λ : bor(S × T ) → X ⊗ (producto tensorial inyectivo de X y Y ) tal que λ(A × B) = µ(A) ⊗ ν(B) para todo A ∈ bor(S) y B ∈ bor(T ). Esta medida λ se llama medida producto de µ y ν y se denota por λ = µ ⊗ ν. La medida producto satisface un teorema de Fubini generalizado: Teorema 3. Sean S y T espacios topol´ ogicos hausdorffianos, X y Y espacios de Banach separables, µ : bor(S) → X y ν : bor(T ) → Y medidas radonianas. Si f : S × T → R es una funci´ on boreliana y acotada, entonces Z Z Z f (s, t)dλ(s, t) = ft (s)dµ(s) ⊗ dν(t). S×T
3
T
S
Imagen de una medida vectorial
Teorema 4. Sean (S, A) y (T, B) espacios de medici´ on, φ una funci´ on (A, B)medible de S en T y X un espacio de Banach. Si µ : A → X es una σ-medida con valores en X, entonces ν : B → X definida por ν(B) = µ(φ−1 (B)) es una σ-medida con valores en X. La demostraci´on de este enunciado es simple y la omitimos. La medida ν as´ı definida se llama imagen de la medida µ por φ y se suele denotar por φµ .
Convoluci´ on de medidas radonianas
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Proposici´ on 1. Sean (S, A) y (T, B) espacios de medici´ on, φ una funci´ on (A, B)medible de S en T y X un espacio de Banach. Si µ : A → X es una σ-medida con valores en X, entonces kφµ k(B) ≤ kµk(φ−1 (B))
para todo B ∈ B.
Demostraci´ on. Sea {Bk : 1 ≤ k ≤ n} una partici´on de B y {φ−1 (Bk )} una partici´on de φ−1 (B). Entonces para cada x0 ∈ X 0 se tiene n X k=1
0
|x ◦ φµ (Bk )| =
n X k=1
|x0 ◦ µ(φ−1 (Bk ))| ≤ |x0 ◦ µ|(φ−1 (B))
≤ kµk(φ−1 (B)).
Si tomamos el supremo sobre todas las particiones de B tenemos que |x0 ◦ φµ |(B) ≤ kµk(φ−1 (B)). Por u ´ltimo si tomamos el supremo sobre todas las x0 ∈ X 0 tal que kx0 k ≤ 1 entonces kφµ k(B) ≤ kµk(φ−1 (B)). Teorema 5. Sean S y T espacios topol´ ogicos hausdorffianos, X un espacio de Banach, y φ : S → T una funci´ on continua. Si µ : bor(S) → X es una medida vectorial radoniana entonces φµ tambi´en es radoniana. Demostraci´ on. Debemos mostrar que para todo B ∈ bor(T ) y para todo > 0 existe K 0 ⊂ B compacto tal que kφµ k(B −K 0 ) < . Por ser µ una medida vectorial radoniana entonces se cumple que dado C ∈ bor(S) y todo > 0 existe K ⊂ C compacto tal que kµk(C − K) < . Si B ∈ bor(T ) entonces C = φ−1 (B) ∈ bor(S) y φ(K) = K 0 es compacto por ser φ continua. Usando la proposici´on anterior y el hecho de que la semivariaci´on de una medida vectorial es subaditiva se tiene que kφµ k(B − φ(K)) ≤ kµk(φ−1 (B − φ(K))) ≤ kµk(φ−1 (B) − φ−1 (φ(K)) ≤ kµk(φ−1 (B) − K) < .
4
Convoluci´ on de medidas vectoriales radonianas
En esta secci´on X es un ´algebra de Banach separable y S es un grupo topol´ogico con una topolog´ıa completamente regular. Denotemos por m a la funci´on multiplicaci´on (x, y) 7→ xy = m(x, y) del ´algebra X. Es claro que m es una funci´on bilineal y continua, pues kxyk ≤ kxkkyk. La linealizaci´on de m se denotar´a por n P m y por tanto m(x ⊗ y) = xy. Si u = xk ⊗ yk , entonces k=1
m(u) =
n X k=1
m(xk ⊗ yk ) =
n X k=1
xk yk .
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L. Posada y G. Restrepo
Denotaremos por k.k a la -norma en X ⊗ X. En lo que sigue haremos la misma hip´otesis de Kawabe en [4], es una hip´otesis ciertamente muy fuerte, que explicaremos al final de esta secci´on: km(u)kX ≤ kuk .
(1)
Esta hip´otesis asegura que la linealizaci´on m : X ⊗ X → X es continua respecto a la -norma en el producto tensorial y por tanto se puede considerar, b X en X. como en efecto lo haremos, que m es una funci´on lineal y continua de X ⊗ Si S es un grupo topol´ogico, la multiplicaci´on se denota por (s, t) 7→ st = θ(s, t).
Definici´ on 1. Sean S un grupo topol´ ogico y µ y ν dos medidas radonianas en S con valores en un ´ algebra de Banach X que satisface la condici´ on (1). Sea λ = µ ⊗ ν la medida radoniana producto definida en bor(S × S) y con valores b X. Por el teorema 5, el producto de convoluci´ en X ⊗ on de estas medidas es la medida γ = µ ∗ ν : bor(S) → X definida por γ(A) = µ ∗ ν(A) = m ◦ θλ (A) = m(λ(θ−1 (A)).
Teorema 6. El producto de convoluci´ on de dos medidas radonianas con valores en un ´ algebra de Banach que satisface la condici´ on (1) es una medida radoniana. Demostraci´ on. Es claro que γ es una medida boreliana, pues si {A P n }n∈N es una θλ (An ) y por colecci´on disjunta en bor(S) cuya uni´on es A, entonces θλ (A) =
la continuidad y linealidad de m, X m ◦ θλ (A) = m ◦ θλ (An )
n
y γ(A) =
n
x0
X
γ(An ).
n
X 0,
Demostremos que γ es radoniana. Si ∈ entonces x0 ◦ γ = (x0 ◦ m) ◦ θλ es radoniana para todo x0 ∈ X 0 , lo que implica que γ es radoniana. El lema siguiente es una consecuencia inmediata de la condici´on (1) y de la propiedad de la norma en un ´algebra de Banach. Lema 1. Si T es un espacio topol´ ogico, ν : bor(T ) → X es una medida vectorial y b(x, y) = x ⊗ y es la funci´ on bilineal tensorial entonces kνkm (E) ≤ kνkb (E) para todo E ∈ bor(T ). Demostraci´ on.
) ( ( n ! ) n
X X
m(xi , ν(Ei )) = sup m kνkm (E) = sup xi ⊗ ν(Ei )
i=1 i=1
) ( n
X
≤ kmk sup xi ⊗ ν(Ei ) ≤ kνkb (E)
i=1
por la condici´on (1).
Convoluci´ on de medidas radonianas
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Notaci´ on 1. Sean (Ω, A) un espacio de medici´ on, X un ´ algebra de Banach con la operaci´ on multiplicaci´ on m(x, y) = xy y ν una medida de A en X. Si f : Ω → X es una funci´ on (m, ν)-integrable, usaremos la notaci´ on Z Z m(f (w), dν(w)) := f (w)dν(w) ∈ X. Ω
Ω
Proposici´ on 2. Sean S y T espacios topol´ ogicos, µ y ν medidas radonianas en S y T respectivamente con valores en un ´ algebra de Banach X y λ = µ ⊗ ν la medida radoniana producto. Si h : S × T → R es una funci´ on boreliana acotada, entonces la funci´ on vectorial Z ht (s)dµ(s) t 7→ S
de T en X es (m, ν)-integrable y Z Z Z m h(s, t)dλ(s, t) = ht (s)dµ(s)dν(t). S×T
T
S
Demostraci´ on. Demostremos la primera parte del teorema. Por ser h una funci´on boreliana y acotada, entonces existe una sucesi´on (hn )n∈N de funciones simples que converge uniformemente a h. Es inmediato que (hn,t (s))n∈N converge uniformemente a ht (s). Sean Z M := sup |h(s, t)| y gn (t) := hn,t (s)dµ(s). S
(s,t)
Entonces gn es una funci´on simple de T en X y kgn (t)k ≤ M kµk(S) uniformemente en n. Ahora Z l´ım gn (t) = g(t) = ft (s)dµ(s). n→∞
S
Por el teorema de la convergencia acotada g(t) es (m, ν)-integrable. Demostremos la segunda parte de la proposici´on. Por el teorema 3 se tiene que Z Z Z h(s, t)d(µ ⊗ ν)(s, t) =
S×T
T
S
ht (s)dµ(s) ⊗ dν(t).
Ahora, como m es lineal y continua, Z Z Z m h(s, t)dλ(s, t) = m ht (s)dµ(s) ⊗ dν(t) = S×T T S Z Z Z Z ht (s)dµ(s) ⊗ dν(t) = m ht (s)dµ(s), dν(t) = m S T S T Z Z Z Z ht (s)dµ(s) dν(t) = ht (s)dµ(s)dν(t). T
S
T
S
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L. Posada y G. Restrepo
Del teorema anterior se deduce la propiedad usual del producto de convoluci´on relacionada con integrales. Teorema 7. Sean S un grupo topol´ ogico y µ y ν medidas radonianas definidas en bor(S) y con valores en un ´ algebra de Banach X que satisface la condici´ on (1). Si f : S → R es una funci´ on boreliana y acotada, entonces Z Z Z f (st)dµ(s)dν(t). f (x)d(µ ∗ ν)(x) = S
S
S
Demostraci´ on. Sean θ(s, t) = st la multiplicaci´on del grupo topol´ogico y h(s, t) = f (θ(s, t)) = f (st). Recordemos que µ ∗ ν = m ◦ θλ , donde λ = µ ⊗ ν. Ahora, Z Z h(s, t)dλ(s, t) = f (x)dθλ (x) S×S
S
y nos proponemos demostrar que Z Z m f (x)dθλ (x) = f (x)d(µ ∗ ν)(x). S
(2)
S
Este enunciado es cierto si f =
n P
βk χ(Ek ) es una funci´on elemental. En efecto,
k=1
Z
f (x)dθλ (x) =
S
n X
βk θλ (Ek ).
k=1
Luego m
Z
f (x)dθλ (x)
S
=
n X k=1
βk m ◦ θλ (Ek ) =
n X k=1
βk µ ∗ ν(Ek ) =
Z
S
f (x)d(µ ∗ ν)(x).
Veamos el caso general. Existe una sucesi´on (fn )n∈N de funciones elementales que converge a f en S. Para cada n ∈ N se tiene que Z Z m fn (x)dθλ (x) = fn (x)d(µ ∗ ν)(x). S
S
Al pasar al l´ımite se obtiene que Z Z m f (x)dθλ (x) = f (x)d(µ ∗ ν)(x). S
S
Hemos casi terminado. Recordemos que Z Z Z Z ht (s)dµ(s)dν(t) = m ht (s)dµ(s), dν(t) . S
S
S
S
Convoluci´ on de medidas radonianas
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Ahora por la proposici´on 2 se tiene que Z Z Z ht (s)dµ(s)dν(t) m h(s, t)dλ(s, t) = S
S×S
y por (2)
Z Z S
ht (s)dµ(s)dν(t) =
Z
S
S
S
f (x)d(µ ∗ ν)(x).
Proposici´ on 3. Sean S un grupo topol´ ogico y µ y ν medidas radonianas definidas en bor(S) con valores en un ´ algebra de Banach X que satisface la condici´ on (1). Entonces Z Z µ ∗ ν(B) =
S
χB (s)d(µ ∗ ν)(s) =
µ(Bt−1 )dν(t).
S
Demostraci´ on. Sean B ∈ bor(S), f = χB y D = {(s, t) : st ∈ B}. Entonces h(s, t) = χD (s, t) y ht (s) = χ(Bt−1 )(s) y por el teorema anterior Z Z Z µ ∗ ν(B) = ht (s)dµ(s)dν(t) = µ(Bt−1 )dν(t). S
S
S
Teorema 8. Unicidad del producto de convoluci´ on. Sean S un grupo topol´ ogico y µ y ν medidas radonianas en bor(S) con valores en un ´ algebra de Banach X que satisface la condici´ on (1). Entonces existe una y s´ olo una medida radoniana γ : bor(S) → X tal que Z Z Z f (x)dγ(x) = f (st)dµ(s)dν(t) S
S
S
para toda funci´ on boreliana y acotada f : S → R. Demostraci´ on. Supongamos β : bor(S) → X una medida vectorial radoniana que satisface Z Z Z f (x)dβ(x) = f (st)dµ(s)dν(t) S
S
S
para toda f : S → R boreliana y acotada y probemos que µ ∗ ν(B) = β(B) para todo boreliano B ∈ bor(S). En efecto sea B ∈ bor(S) y f = χB entonces utilizando la propiedad anterior se tiene que Z µ ∗ ν(B) = µ(Bt−1 )dν(t) = β(B) S
para todo B ∈ bor(S), complet´andose as´ı la prueba.
60
L. Posada y G. Restrepo
Proposici´ on 4. Sean µ y ν medidas vectoriales definidas en bor(S) con valores en un espacio de Banach X. Entonces kµ + νk ≤ kµk + kνk. Demostraci´ on. Sea A ∈ bor(S) y (Ak )1≤k≤n una partici´on de A. Entonces |x0 ◦ (µ + ν)|(A) = sup sup sup
( n X k=1
( n X
)
|x0 ◦ (µ + ν)(Ak )|
=
|x0 ◦ µ(Ak ) + x0 ◦ ν(Ak )|
≤
|x0 ◦ ν(Ak )|
=
)
|x0 ◦ µ(Ak )|
k=1
( n X k=1
+ sup
( n X k=1
0
) )
|x ◦ µ|(A) + |x0 ◦ ν|(A)
Tomando el supremo sobre los kx0 k ≤ 1 se tiene para todo A ∈ bor(S) que kµ + νk(A) ≤ kµk(A) + kνk(A).
Proposici´ on 5. Sean µ una medida vectorial y r un real no negativo entonces krµk = rkµk. Demostraci´ on. |x0 ◦(rµ)|(A) = sup
( n X k=1
|x0 ◦ rµ(Ak )|
)
= r sup
( n X k=1
)
|x0 ◦ µ(Ak )|
= r|x0 ◦µ|(A).
Nuevamente tomando el supremo sobre los kx0 k ≤ 1 se tiene que krµk(A) = rkµk(A) para todo A ∈ bor(S). Proposici´ on 6. Sean µ y ν medidas vectoriales radonianas definidas en bor(S) con valores en un a ´lgebra de Banach X y r un real no negativo. Entonces µ + ν y rµ son medidas vectoriales radonianas. Demostraci´ on. Es consecuencia de las proposiciones 4 y 5. Proposici´ on 7. La convoluci´ on tiene las siguientes propiedades: 1. (µ1 + µ2 ) ∗ ν = µ1 ∗ ν + µ2 ∗ ν. 2. (rµ) ∗ ν = r(µ ∗ ν) para todo r real no negativo.
61
Convoluci´ on de medidas radonianas
Demostraci´ on. Probaremos 1. Sea B ∈ bor(S). Por la proposici´on 3 se tiene que Z Z Z −1 −1 (µ1 +µ2 )∗ν(B) = (µ1 +µ2 )(Bt )dν(t) = µ1 (Bt )dν(t)+ µ2 (Bt−1 )dν(t) S
S
S
= (µ1 ∗ ν)(B) + (µ2 ∗ ν)(B)
para todo B ∈ bor(S). Probaremos 2. Sea B ∈ bor(S). Nuevamente por la proposici´on 3 se tiene que Z Z −1 (rµ) ∗ ν(B) = (rµ)(Bt )dν(t) = r µ(Bt−1 )dν(t) = r(µ ∗ ν)(B) S
S
para todo B ∈ bor(S). 5
Observaciones finales
Una suposici´on que hemos hecho en el teorema de existencia del producto de convoluci´on de medidas radonianas es que km(u)k ≤ kuk . En las observaciones siguientes aclararemos esta hip´otesis. 1. Hemos designado m(x, y) = xy el producto en un ´algebra de Banach X. Esta es una funci´on bilineal y continua de X ×X en X y por tanto su linealizaci´on b π X en X, donde π es la norma proyectiva en X ⊗X. m es una funci´on lineal de X ⊗ n P xk ⊗ yk , entonces Si u = k=1
! n n n n
X
X
X X
km(u)k = m xk ⊗ yk = kxk kkyk k m(xk ⊗ yk ) = x k yk ≤
k=1
k=1
k=1
k=1
para toda representaci´on de u y por tanto km(u)k ≤ kukπ . 2. En general kuk ≤ kukπ , pero la igualdad puede darse. Tal como lo deb πX = mostr´o Pisier en [5] existen espacios de Banach separables tales que X ⊗ b X. Para estos espacios llamados espacios de Pisier vale que kuk = kukπ X⊗ para todo u ∈ X ⊗ X. 3. De estas afirmaciones se pod´ıa predecir que existe una clase amplia de ´algebras de Banach para los cuales km(u)k ≤ kuk . Pero recurriendo a un procedimiento sencillo se puede demostrar esta afirmaci´on: si X es un ´algebra de Banach, C(Ω) el espacio de las funciones continuas definidas en el espacio tob X es isom´etrico al pol´ogico compacto Ω y con valores en K, entonces C(Ω)⊗ espacio de Banach C(Ω, X) de las funciones continuas de Ω en X con la norma n P xk ⊗ yk , se define del supremo por medio de la isometr´ıa definida as´ı: si z = J(z)(w) =
n P
k=1
xk (w)yk (ver [8]). Entonces
k=1
km(z)k = sup
w∈Ω
n
! ( n
)
X
X
xk (w)yk (w) = xk (w)yk (w) : w ∈ Ω .
k=1
k=1
62
L. Posada y G. Restrepo
Mostraremos ahora que kJ(z)k = kzk ≥ km(z)k. En efecto
n
n !
X
X
kJ(z)k = sup xk (w)yk = sup sup xk (w)yk (t) =
w∈Ω k=1 w∈Ω t∈Ω k=1 ! n X sup xk (w)yk (t) . (w,t)∈Ω×Ω k=1
Referencias
[1] R.G. Bartle: A general bilinear vector integral. Studia Math 15 (1956), 337352. [2] J. Diestel y J. J. Uhl: Vector Measures. American Mathematical Society Mathematical Surveys No 15 (1977). [3] M. G´omez y G. Restrepo: Producto Tensorial de Medidas Radonianas y el Teorema de Fubini. Revista Matem´aticas: Ense˜ nanza Universitaria, Vol. ◦ XVII, N 1, Junio (2009), 23-34. [4] J. Kawabe: Borel Injective Tensor Product and Convolution of Vector Measures and Their Weak Convergence. Contemporary Mathematics Volume 321, (2003). [5] G. Pisier: Counterexample to a conjeture of Grothendieck. Acta Math. 151 (1983). [6] L. Posada Vera: Producto de medidas radonianas con valores en espacios de Banach separables. Tesis de maestr´ıa. Universidad del Valle (2009). [7] L. Posada y G. Restrepo: Producto de medidas radonianas con valores en espacios de Banach separables. Revista Matem´aticas: Ense˜ nanza Universitaria, ◦ Vol. XVIII, N 1, Junio (2010), 57-69. [8] R. Raymond: Introduction to tensor products of Banach spaces. Springer, (2002). [9] L. Schwartz: Radon measures on arbitrary topological spaces and cylindrical measures. Oxford University Press, (1973). Direcci´ on de los autores Liliana Posada Vera — Departamento de Matem´ aticas, Universidad del Valle, CaliColombia e-mail:
[email protected] Guillermo Restrepo — Departamento de Matem´ aticas, Universidad del Valle, CaliColombia e-mail:
[email protected]