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Julián Moreno Mestre. www.juliweb.es tlf. 629381836 Tabla de derivadas Derivada de la función Función
Función
Derivada de la función
y=k y=x
y' = 0
y=a
y' = 1
y = ax n
y ' = nax n −1
y = eu y = sin(u )
y' = u' eu y ' = u ' cos(u )
y = au n y =u±v y = uv
y ' = anu ' (u ) n −1 y ' = u '±v'
y = cos(u )
y ' = −u ' sin(u )
y = tan(u ) y = cot(u ) y = csc(u )
y ' = u ' sec 2 (u ) y ' = u ' csc 2 (u ) y ' = −u ' csc(u ) cot g (u )
y = sec(u )
y ' = u ' sec(u ) tan(u )
y ' = u ' v + uv' y' =
y=nu
y=
u v
y' =
u' n u n−1 u ' v − uv' n
y = arcsin(u ) − π / 2 < arcsin(u ) < π / 2
2
y = log a (u )
v u' y' = u u' y ' = log a (e) u
y = uv
y ' = (v' ln u )u v + vu v −1u '
y = ln(u )
y ' = u ' a u ln a
u
y' =
y = arccos(u ) 0 < arccos(u ) < π y = arctan(u ) − π / 2 < arctan(u ) < π / 2
y' =
u' 1− u2 − u'
1− u2 u' y' = 1+ u2
(Regla de la cadena)
y = f ( g ( x))
y ' = g ' ( x) f ' ( g ( x))
Propiedades de las integrales
∫ af ( x)dx = a ∫ f ( x)dx ∫ f ( x) ± g ( x)dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx ∫
b a
f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx = [F ( x)]a = F (b) − F (a) a
b
b
Tabla de Integrales
∫ dx = x + k
∫x
n
dx =
n +1
u'
x +k n +1
u'
u' a −u 2
2
dx = arcsen
u +k a
∫ cos u'
∫
u ±a 2
2
2
u
∫ u 'sin u dx = cos u + k
+k
∫ u 'cotgudx = ln sin u + k ∫ cos u dx = ln sec u + tan u + k
u'
∫ sin u dx = − ln cosec u + cotg u + k
u
u'
∫ u 'cos udx = − sinu + k ∫ u ' tanudx = − ln cos u + k ∫
∫ u ' e dx = e
∫ u dx = ln u + k
u
u'
∫ sin u dx = − cotg u + k
dx = tan u + k
dx = ln
2
)
(
∫u
u2 ± a2 + u + k
2
u' 1 u dx = arctan + k 2 +a a a
Primer teorema fundamental del Calculo: f integrable en a, b ⇒ F continua en a, b . Si f es continua en un c ∈ (a, b) entonces F es derivable en c y F ' (c) = f (c) Segundo teorema fundamental del Calculo:
[ ]
[ ]
Si f es continua en [a, b] y f = F ' para alguna función F entonces
∫
b a
f ( x)dx = F (b) − F (a) = F ( x) a = [F ( x)]a b
b
Teorema de integración por partes:
[ ]
Sean f , g : a, b → ℜ dos funciones derivables, entonces
∫
∫
b a
b
f ' ( x) g ( x)dx = f ( x) g ( x) a − ∫ f ( x) g ' ( x)dx b
a
∫
Formula habitual de integración por partes: udv = uv − vdu (Sentado un día vi un valiente soldado vestido de uniforme) Teorema del cambio de variables: Sea g una función con derivada g ' continua en a, b , y sea f : g ( a, b ) → ℜ continua. Entonces, haciendo el cambio de
[ ]
variable t
= g ( x) , resulta:
b
[ ]
g (b )
∫a f ( g ( x)) g ' ( x)dx = ∫ g (a) f (t )dt
Condiciones de continuidad en x = x0: 1ª) ∃ f ( x0 ) Condición de derivabilidad en x = x0:
1ª) Ser continua en x = x0
2ª) ∃ lim f ( x) ⇔ lim+ f ( x )= lim− f ( x ) x → x0
x → x0
x → x0
3ª) lim f ( x) = f ( x0 ) x → x0
2ª) ∃ lim f '( x) ⇔ lim+ f '( x) = lim− f '( x) x → x0
x → x0
x → x0
Julián Moreno Mestre. www.juliweb.es tlf. 629381836
Teorema. Propiedades de la continuidad:
f , g son continuas en x ∈ [a, b] , entonces las siguientes funciones: 1º kf es continuas en [a, b ] 2º f ± g es continuas en [a, b ] 3º f · g = g · f es continua en [a, b ] 5º f / g siempre que g ( x ) ≠ 0 ∀x ∈ [a, b ] 4º f D g y g D f es continua en [a, b ]
Si k es un número real y
Teorema. Derivabilidad y continuidad: Si una función f es derivable en un punto a , entonces es continua en a . Esquema de representación de funciones 1º Dominio de una función Busca puntos en los que la función no exista o haya singularidades. 2º Puntos de corte con los ejes Eje x aplicar: f ( x ) = 0 Eje y aplicar: f (0) 3º Simetrías Par ⇔ f (− x) = f ( x) Simétrica eje y Impar ⇔ f (− x) = − f ( x) Simétrica origen 4º Asíntotas Horizontal Si hay asintota horizontal no hay asintota oblicua, salvo funciones definidas a trozos.
lim f ( x) = b
lim f ( x) = c
x →∞
Vertical
x → −∞
Usa las singularidades entorno a x = a que aparecen en el dominio. Si se verifica que lim f ( x) = ±∞ entonces es asíntota vertical. x →a
Oblicua 5º Crecimiento y decrecimiento (Máximos y mínimos)
6º Concavidad y convexidad (puntos de inflexión) 7º Periodicidad
Se busca una recta: y = mx + n Donde:
x → ±∞
f ( x) ; n = lim f ( x) − mx x → ±∞ x
f '( x) . 2º) Buscar puntos candidatos Igualar f ' ( x) = 0 . 1º) Calcular la primera derivada
3º) Tabla de signos y tener en cuenta que: Máximo punto en el que la función pasa de ser creciente a ser f '( x) > 0 ⇒ creciente decreciente. f '( x) < 0 ⇒ decreciente Mínimo punto en el que la función pasa de ser decreciente a ser creciente. f ( x) > 0 Convexa f ( x) < 0 Cóncava Punto de inflexión es en el que la función pasa de ser cóncava a convexa y viceversa. Son las funciones que cumplen f ( x + T ) = f ( x) , que son las trigonométricas.
Teorema de Bolzano: Si f es continua en a, b y se verifica que a < b y que Teorema del valor medio de Lagrange:
[ ]
Si
m = lim
f (a ) f (b) < 0 entonces existe un c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0
f es continua en [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b) , existe un número c tal que f ' (c) =
f (b) − f (a ) b−a
Teorema de Darboux: Si f es continua en a, b , entonces f toma todos los valores comprendidos entre f (a ) y f (b) . Teorema de Rolle: Si f continua en a, b y derivable en ( a, b) . Si f ( a ) = f (b) entonces existe al menos un número c ∈ ( a, b) tal que f ' (c) = 0 Teorema de Weierstrass: Sea f una función continua en un conjunto A ∈ ℜ compacto ( conjunto cerrado y acotado). Entonces f alcanza máximo y mínimo
[ ]
[ ]
en A . Es decir, existen
⎧ f (a) ≥ f ( x) ∀x ∈ A a, b ∈ A tales que ⎨ ⎩ f (b) ≤ f ( x) ∀x ∈ A
Aproximaciones pequeñas en límites: Estas aproximaciones solo son válidas cuando el valor de x es muy pequeño y próximo a cero.
sin x ≈ x −
x3 6
( x ln a) 2 a ≈ 1 + x ln a + 2 x
tan x ≈ x +
x3 3
ex ≈ 1 + x +
x3 arcsin x ≈ x + 6
x2 2
ln(1 + x) ≈ x −
x2 x4 cos x ≈ 1 − + 2 24
x2 2
x x2 − 2 8 π x3 arccos x ≈ − x − 2 6 1+ x ≈ 1+
Definición de de derivadas por limites:
f ( x) − f (a) h→0 x−a Calculo de la recta tangente en x = x0 de una función f (x): y − y0 = m( x − x0 ) → y − f ( x0 ) = f '( x0 )·( x − x0 ) −1 ·( x − x0 ) Calculo de la recta normal en x = x0 de una función f (x): y − y0 = m ⊥ ( x − x0 ) → y − f ( x0 ) = f '( x0 ) f ' ( x) = lim
f ( x + h) − f ( x ) h
f ' (a) = lim x→a