Chapter 1 Integración Por Partes

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Chapter 1 Integración por partes Este método de integración se debe a la aplicación de la derivada de un producto de funciones 0 0 0 [f (x)g(x)] = f (x)g(x) + f (x)g (x) Puesto que la integración es la operación inversa de la derivación; entonces Z 0 [f (x)g(x)] dx = f (x)g(x) Como la integral de una suma es la suma de integrales se obtiene: f (x)g(x) = Despejando Z Z 0 [f (x)g(x)] dx = Z 0 f (x)g(x)dx + Z 0 f (x)g (x)dx 0 f (x)g (x)dx obtendremos la regla de integración por partes: Z 0 f(x)g (x)dx = f (x)g(x) ¡ Z 0 f (x)g(x)dx Nota 1: La elección de f(x) y g ’(x) es fundamental. Siempre es conveniente elegir g’(x) de manera que se pueda integrar facilmente Nota 2: La segunda integral ha de ser más sencilla de resolver que la primera Nota 3: En muchas ocasiones tendrás que repetir este método varias veces Ejemplos: Z 1. ln xdx 1 f (x) = ln x ; f 0 (x) = Z x g 0 (x) = 1 ; g(x) = 1dx = x Z ln xdx = x ln x ¡ Z 2. x2 sin xdx f (x) = x 2 ; f 0 (x) = 2xZ g 0 (x) = sin x ; g(x) = Z 1 x dx = x ln x ¡ x sin xdx = ¡ cos x 1 Z 1dx = x ln x ¡ x + C Chapter 1 Z Integración por partes x2 sin xdx = ¡x 2 cos x + 2 Volvemos a integrar por partes para calcular f (x) = x ; f 0 (x) = 1 Z g 0 (x) = cos x ; g(x) = cos xdx = sin x Z x cos xdx = x sin x ¡ Z Z Z x cos xdx @ x cos xdx sin xdx = x sin x + cos x + C @@ Sustituyendo @@ en @ tendremos: Z Z 2 2 x sin xdx = ¡x cos x + 2 x cos xdx = ¡x 2 cos x + 2(x sin x + cos x + C) Z x 2 sin xdx = ¡x 2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + C 0 Z Z x2 x 3. p dx = x p dx 2 1¡x 1 ¡ x2 f (x) = x ; f 0 (x) = 1 Z p x x 0 p g (x) = p ; g(x) = dx = ¡ 1 ¡ x2 2 2 1¡x 1¡x Z Z 2 p p x 2 p dx = ¡x 1 ¡ x + 1 ¡ x2 dx@ 2 1 ¡ x Z Z Z Z p 1 ¡ x2 1 x2 1 ¡ x2 dx = p dx = p dx ¡ p dx = 1 ¡ x2 Z 1 ¡ x2 1 ¡ x2 x2 p arcsin x ¡ dx@@ 1 ¡ x2 Sustituyendo @@ en @ tendremos: Z Z p x2 x2 2 + arcsin x ¡ p p dx = ¡x 1 ¡ x dx + 2C 2 1¡x 1 ¡ x2 Observa que la integral p inicial I aparece a ambos lados de la igualdad. I = ¡x 1 ¡ x 2 + arcsin x ¡ I + 2C Despejando Ipcomo si de una ecuación se tratase tendríamos ¡x 1 ¡ x 2 + arcsin x I = + C (Integral cíclica) 2 2 La integración por partes, es muy útil para calcular integrales del siguiente tipo: Integral Elecci¶on Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z 0 ln xdx f (x) = ln x; g (x) = 1 Pn (x) ln xdx f (x) = ln x; g (x) = Pn (x) P (x)ex dx f (x) = P (x); g (x) = ex P (x) sin xdx f (x) = P (x); g (x) = sin x P (x) cos xdx f (x) = P (x); g (x) = cos x ex sin xdx f (x) = sin x; g (x) = ex (Cíclica) ex cos xdx sec2p+ 1 xdx = csc2p+ 1 xdx = arctan xdx 0 0 0 0 0 0 Z Z f (x) = cos x; g (x) = e x (Cíclica) 0 sec2p¡1 x sec2 xdx f (x) = sec2p¡1 x; g (x) = sec2 x (Cíclica) csc2p¡1 x csc2 xdx f (x) = csc2p¡1 x; g (x) = csc2 x (Cíclica) 0 0 f (x) = arctan x; g (x) = 1 0 Pn (x) arctan xdx f (x) = arctan x; g (x) = Pn (x) arcsin xdx f (x) = arcsin x; g (x) = 1 Pn (x) arcsin xdx Z Z sin 2 xdx = sin x sin xdx Z Z 2 cos xdx = cos x cos xdx Z 2 x p dx 1 ¡ x2 Z 2 x p dx 1 + x2 Z 2 x p dx x2 ¡ 1 etc, etc,... 0 0 f (x) = arcsin x; g (x) = P n (x) f (x) = sin x; g0 (x) = sin x (C¶{clica) f (x) = cos x; g 0 (x) = cos x (C¶{clica) f (x) = x; g 0 (x) = p x (C¶{clica) 1 ¡ x2 x f (x) = x; g 0 (x) = p (C¶{clica) 1 + x2 x f (x) = x; g 0 (x) = p (C¶{clica) 2 x ¡1 3 Chapter 1 1.1 1. 2. 3. 4. 5. 6. Integración por partes Ejercicios de integracion por partes Z Z x 2 ln xdx =1 13 (ln x) x3 ¡ R x 2 sin xdx =2 ¡x 2 cos x + 2 1 2 x 3 Z dx = 13 x 3 ln x ¡ 19 x3 + C x cos xdx = 3 Volvemos a integrar por partes la segunda integral considerando que: ½ f (x) = x f 0(x) = 1 C on lo que 0 g (x) = cos x g(x) = sin x· ¸ Z Z x 2 sin xdx = ¡x 2 cos x + 2 x sin x ¡ sin xdx + C Z x 2 sin xdx = ¡x 2 cos x + 2 [x sin x + cos x] + C Z R I = x 2 cos xdx = 4 x 2 sin x ¡ 2 x sin x dx = 5 I = x 2 sin x ¡ ¡ R ¢ 2 ¡x cos x ¡ (¡ cos x) dx = x2 sin x ¡ 2 sin x + 2x cos x + C Z R xexdx =6 xex ¡ ex dx = xex ¡ ex + C Z R x 2e xdx =7 x 2 ex ¡ 2 xe x dx = 8 Z R ¡ ¢ x 2e xdx = x2 ex ¡ 2(xex ¡ ex dx) = ex x 2 ¡ 2x + 2 + C Z R ex cos xdx =9 e x cos x + sin xex dx = Volvemos a integrar por partes la segunda integral considerando que: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 > < f (x) = ln x f 0 (x) = 1 x 3 > : g 0 (x) = x 2 g(x) = x 3 ½ f (x) = x 2 f 0 (x) = 2x 0 = ¡ cos x ½ g (x) = sin x g(x) f (x) = x f 0 (x) = 1 0 x g(x) = sin x ½ g (x) = cos f (x) = x 2 f 0 (x) = 2x 0(x) = cos x g g(x) = sin x ½ f (x) = x f 0 (x) = 1 0 ½ g (x) = sin x 0g(x) = ¡ cos x f (x) = x f (x) = 1 0(x) = ex g g(x) = e x ½ f (x) = x 2 f 0(x) = 2x 0(x) = ex g g(x) = e x ½ f (x) = x f 0(x) = 1 0(x) = ex g g(x) = e x ½ f (x) = cos x f 0 (x) = ¡ sin x g 0(x) = ex g(x) = ex 4 Section 1.1 Ejercicios de integracion por partes ½ 7. f (x) = sin x f 0 (x) = cos x Con lo que: 0 x g(x) = e x Z g (x) = e R ex cos xdx = ex cos x + ex sin x ¡ ex cos x dx Cíclica: R x Si x dx tendrás Z Despejas e cos e x cos x + e x sin x x e cos xdx = +C 2 Z Z e3x sin 4xdx = 10 13 e3x sin 4x ¡ 43 e3x ¢ cos 4xdx Volvemos a integrar por partes la segunda integral considerando que: ½ f (x) = cos 4x f 0 (x) = ¡4 sin 4x C on lo que: g 0 (x) = e3x g(x) = 13 ex Z · Z ¸ I = e3x sin 4xdx = 13 e 3x sin 4x ¡ 43 13 e3x cos 4x + 43 e3x sin 4xdx : Cíclica: 8. I = 13 e 3x sin 4x ¡ 49 e 3x cos 4x ¡ 16 9 I +C 1 3x 4 3x Como 25 I = e sin 4x ¡ e cos C; entonces: 9£ 3 9 ¤ 4x + 9 1 3x 4 3x 0 = ¡ 4 e3x cos 4x + 3 e3x sin 4x I = 25 e sin 4x ¡ e cos 4x + C 3 9 25 25 Z cos 4x cos 2xdx = ½ f (x) = cos 4x f 0(x) = ¡4 sin 4x Consideramos ,con lo que g 0 (x) = cos 2x g(x) = 12 sin 2x Z R I = cos 4x cos 2xdx = 12 sin 2x cos 4x + 2 sin 4x ¢ sin 2xdx Volvemos a integrar por partes la segunda integral considerando que: ½ f (x) = sin 4x f 0 (x) = 4 cos 4x Con lo que: g 0 (x) = sin 2x g(x) = ¡ 12 cos 2x £ ¤ I = 12 sin 2x cos 4x + 2 ¡ 12 cos 2x sin 4x + 2I + C I = 12 sin 2x cos 4x ¡ cos 2x sin 4x + 4I + C ¡3I = 12 sin 2x cos 4x ¡ cos 2x sin 4x I = ¡ 16 sin 2x cos 4x + 13 cos 2x sin 4x + C 0 Z R 2 9. sin xdx = cos x cos xdx Z Z 2 10. cos xdx = cos x cos xdx Z Z 11 11. x cos xdx = x sin x ¡ sin xdx = x sin x + cos x + C Z 12. x sin(3x ¡ 2)dx 10 11 ½ f (x) = sin 4x 0 3x ½ g (x) = e f (x) = x g 0(x) = cos x f 0 (x) = 4 sin 4x g(x) = 13 e3x f 0 (x) = 1 g(x) = sin x 5 Chapter 1 13. 14. 15. Z Z Z Z arctan xdx = x arctan x ¡ 1 2 Integración por partes ¡ ¢ ln x2 + 1 x arctan xdx = 12 x 2 arctan x ¡ 12 x + arcsin xdx = x arcsin x + 1 2 arctan x p (1 ¡ x2 ) p x arcsin xdx = 12 x 2 arcsin x + 14 x (1 ¡ x 2 ) ¡ 14 arcsin x Z R 17. I = sec3 xdx = sec x sec2 xdx 8 < f (x) = sec x f 0 (x) =Z sec x tan x Consideramos ,con lo que: sec2 xdx = tan x : g 0 (x) = sec2 x g(x) = Z Z ¡ ¢ I = sec x tan x ¡ sec x tan2 xdx = sec x tan x ¡ sec x sec2 x ¡ 1 dx = Z Z Z I = sec3 xdx = sec x tan x + sec xdx ¡ sec3 xdx 16. I = sec x tan x +Z ln jsec x + tan xj ¡ I + C Despejando I = sec3 xdx tendremos Z sec x tan x + ln jsec x + tan xj sec3 xdx = + C0 2 Z Z 18. csc3 xdx = csc x csc2 xdx 8 < f (x) = csc x f 0 (x) =Z ¡ csc x cot x Consideramos ,con lo que: csc2 xdx = ¡ cot x : g 0 (x) = csc2 x g(x) = Z Z ¡ ¢ 2 I = ¡ csc x cot x ¡ csc x cot xdx = ¡ csc x cot x ¡ csc x csc2 x ¡ 1 dx = Z Z Z I = csc3 xdx = ¡ csc x cot x + csc xdx ¡ csc3 xdx I = ¡ csc x cot xZ+ ln jcsc x ¡ cot xj ¡ I + C Despejando I = csc3 xdx tendremos Z ¡ csc x cot x + ln jcsc x ¡ cot xj csc3 xdx = + C0 2 Z Z p p x2 19. p dx = 12 x x 2 ¡ 1 ¡ x2 ¡ 1dx x2 ¡ 1 Z Z p p p x2 ¡ 1 2 2 2 p I = x x ¡1¡ x ¡ 1dx = x x ¡ 1 ¡ dx x2 ¡ 1 12 f (x) = x ! f 0(x) = 1 Z p x x g 0 (x) = p ! g(x) = p dx = x2 ¡ 1 2 2 x ¡1 x ¡1 6 Section 1.1 Ejercicios de integracion por partes Z ¯ ¯ p p p 1 ¯ ¯ I = x x2 ¡ 1 ¡ I + p dx ! 2I = x x2 ¡ 1+ ln ¯x + (x2 ¡ 1)¯ + 2C 2 ¡1 x ¯ ¯ p p ¯ ¯ x x 2 ¡ 1 + ln ¯ x + (x 2 ¡ 1) ¯ I = +C 2 Z Z x3 1 x3 p 20. x 2 arcsin xdx = 13 arcsin x ¡ dx 3 3 1 ¡ x2 Z x3 1 x x3 1 I = arcsin x ¡ x2 ¢ p dx = arcsin x ¡ J 3 3 3 3 1 ¡ x2 Calculemos J por partes Z Z p p x J = x2 ¢ p dx = 14 ¡ x2 ¢ 1 ¡ x2 + 2 x ¢ 1 ¡ x2 dx 2 1¡x q 3 2 (1 ¡ x2 ) p J = ¡x 2 ¢ 1 ¡ x 2 ¡ +C 3p 2 2 p 2(1 ¡ x ) (1 ¡ x 2 ) 2 J = ¡ 3x ¢3 1¡ x ¡ +C 3 p (1 ¡ x 2 ) Sacando factor común ; tendremos: 3 p ¤ (1 ¡ x2 ) £ J = ¡3x2 ¡ 2(1 ¡ x 2 ) + C ¡ 23 ¢p ¡x ¡ 2 (1 ¡ x2 ) J = +C 3 Sustituyendo este valor I tendremos à en ! ¡ 2 ¢p ¡x ¡ 2 (1 ¡ x2 ) x3 1 I = arcsin x ¡ + C0 3 3 3 p p I = 13 x 3 arcsin x + 19 x2 (1 ¡ x2 ) + 29 (1 ¡ x 2 ) + C 0 Z Z sin 2 x sin x 21. dx = sin x ¢ dx 3 cos x cos3 x 8 < f (x) = sin x f 0 (x) =Z cos x sin x sin x Consideramos ,con lo que: g(x) = dx = 12 sec2 x : g 0 (x) = 3 3 cos x cos x Z Z sin2 x 1 1 I = dx = 2 sec2 x ¢ sin x ¡ 2 sec2 x ¢ cos xdx 3 Z cos2 x Z sin x 1 1 I = dx = 2 sec x ¢ tan x ¡ 2 sec xdx : cos3 x 13 14 1 f (x) = arcsin x ! f 0 (x) = p 1 ¡ x2 Z x3 g 0 (x) = x2 ! g(x) = x 2dx = 3 f (x) = x2 ; f 0(x) = 2x Z p x x g 0 (x) = p ; g(x) = p dx = ¡ 1 ¡ x2 2 2 1¡x 1¡ x 7 Chapter 1 Integración por partes Z sin2 x dx = 12 sec x ¢ tan x ¡ 12 ln jsec x + tan xj + C cos3 x Z x2 x 22. dx = x¢ dx 2 2 (1 + x ) 8 (1 + x 2 )2 < f (x) = x f 0 (x) =Z 1 x x Consideramos ,con lo 1 g(x) = dx = ¡ 2(1+x : g 0 (x) = 2) 2 2 (1 + x ) (1 + x2 )2 que: Z Z x2 x 1 1 I = dx = ¡ 2(1+x2 ) + 2 ( 1+x2) dx 2 )2 (1 + x Z x2 x 1 I = dx = ¡ 2(1+x 2 ) + 2 arctan x + C (1 + x 2 )2 Z Z cos2 x cos x 23. dx = cos x ¢ dx : 3 sin 3 x sin x 8 < f (x) = cos x f 0 (x) =Z ¡ sin x cos x cos x Consideramos ,con lo que: g(x) = dx = ¡ 12 csc2 x : g 0 (x) = 3 3 sin x sin x Z Z cos2 x 1 2 1 I = csc2 x ¢ sin xdx 3 dx = ¡ 2 csc x ¢ cos x ¡ 2 Z sin2 x Z sin x I = dx = ¡ 12 csc2 x ¢ cos x ¡ 12 csc xdx : 3x cos Z 2 sin x I = dx = ¡ 12 csc x cot x ¡ 12 ln jcsc x ¡ cot xj + C cos3 x I = Z 8