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BLOQUE TEMÁTICO I: ANÁLISIS
TEMA 0 Repaso de logaritmos y trigonometría TEMA 1 Funciones reales de variable real: Límites y continuidad TEMA 2 Derivadas y técnicas de derivación TEMA 3 Aplicaciones de las derivadas TEMA 4 Integral indefinida TEMA 5 Integral definida
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O. REPASO LOGARITMOS Y TRIGONOMETRÍA
1ª.- Definición de logaritmo. 2ª.- Propiedades de los logaritmos. 3ª.- Ecuaciones logarítmicas. 4ª.- Medidas de ángulos. 5ª.- Razones trigonométricas de un ángulo agudo. 6ª.- Inversas de las razones trigonométricas. 7ª.- Propiedades de las razones trigonométricas. 8ª.- Ecuación fundamental de la trigonometría. 9ª.- Razones trigonométricas de ángulos notables. 10ª.- Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera. 11ª.- Reducción al primer cuadrante. 12ª.- Ecuaciones trigonométricas. 13ª.- Gráficas de las funciones trigonométricas.
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1ª.- Definición de logaritmo. Se llama logaritmo en base a (a > 0 y a ≠ 1) de un número positivo x, a otro número y, que es el exponente al que hay que elevar a para obtener el número x.
loga x = y ay = x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)
A los logaritmos en base 10 (a = 10) se les denomina logaritmos decimales. Su escritura se abrevia omitiendo la base:
log10 x = log x A los logaritmos en base e (a = e) se les denomina logaritmos neperianos y se designan como ln, Ln ó L:
Loge x = ln x = Ln x = L x Ejemplo resuelto 0 – 1º a) log2 4 = 2 porque 22 = 4
b) log2 8 = 3 porque 23 = 8
c) log2 1/2 = -1 porque 2-1 = ½
d) log2 2 = 1 porque 21 = 2
e) log2 1 = 0 porque 20 = 1
f) log 1 = 0 porque 100 = 1
g) Ln e = 1 porque e1 = e
h) log 100 = 2 porque 102 = 100
i) log 0,01 = -2 porque 10-2 = 1/102 = 1/100 = 0,01 j) ln e = 1/2 porque e1/2 =
e
Ejercicio 0 – 1º Sin utilizar la calculadora, halla el valor de los siguientes logaritmos, justificándolo: a) log2 16 =
b) log4 = 16 =
c) log2 ¼ =
d) log 10 =
e) log3 1 =
f) ln 1 =
g) ln (1/e) =
h) log 0,1 =
i) Ln e3 =
j) ln
3
e
=
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2ª.- Propiedades de los logaritmos Las propiedades de los logaritmos son las siguientes: 1ª.- En cualquier base a, el logaritmo de la unidad siempre vale 0:
loga 1 = 0 2ª.- En cualquier base a, el logaritmo de la base siempre vale 1:
loga a = 1 3ª- En cualquier base, el logaritmo del producto de dos números coincide con la suma de los logaritmos de dichos números:
loga (A.B) = loga A + loga B 4ª.- En cualquier base, el logaritmo del cociente (división) de dos números coincide con la resta de los logaritmos de dichos números:
loga (A/B) = loga A - loga B 5ª.- En cualquier base, el logaritmo de una potencia coincide con el producto del exponente por el logaritmo de la base:
loga An = n.loga A
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3ª.- Ecuaciones logarítmicas Son aquellas ecuaciones en las que la incógnita está en una expresión afectada por un logaritmo:
b ) logx+log50 3
a) 5log2 (x+3)=log2 32
c ) 2lnx-ln(10-3x)=0
Para resolver una ecuación logarítmica se modifican sus miembros con la ayuda de las propiedades de los logaritmos hasta conseguir que en cada miembro haya solo un logaritmo y luego se aplica:
loga M loga N
M N
Y se resuelve la ecuación M N . Es necesario comprobar que las soluciones obtenidas son válidas, ya que no están definidos los logaritmos de cero ni de números negativos.
Ejemplo resuelto 0 – 2º Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas: A) 5log2 (x+3)=log2 32 5log2 (x+3)=log2 32 log2 (x+3)5 =log 2 32 ( x 3) 5 32 ( x 3) 5 2 5 ( x 3) 2
x 1
Puedes comprobar que x = -1 sí es solución de la ecuación inicial.
B) logx+log50 3 logx+log50 3 log(50x ) 3 log(50 x ) log1000 50 x 1000
x 20
Puedes comprobar que x = -1 sí es solución de la ecuación inicial.
C) 2lnx-ln(10-3x)=0 2lnx-ln(10-3x)=0
x2 =1 (10-3x)
lnx 2 -ln(10-3x)=0 ln x 2 3 x 10 0
x2 =0 (10-3x)
ln
x2 =ln1 (10-3x)
x 1 2; x 2 5
La solución x = - 5 no es válida porque en la ecuación original aparecería log(-5) que no es válido.
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Ejercicio 0 – 2º Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:
A ) 5 log x 3 log x 2log 6 SOLUC: A) x = 6
B) 10 y 5/3
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B ) log(3x 2 5x 30) - log(3x 8) 1
C)
log x 1 log 2 2 2
C) x = 20
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4ª.- Medidas de ángulos El sistema de medidas angulares más utilizado es el sexagesimal, cuya unidad es el grado sexagesimal (º). En la calculadora se identifica como “DEG”. El grado sexagesimal es la noventava parte del ángulo recto, es decir, del ángulo comprendido entre dos segmentos perpendiculares. Por esta razón al ángulo recto se le da el valor de 90 grados sexagesimales (90º). Cada grado sexagesimal se divide en 60 partes iguales llamadas minutos sexagesimales y cada minuto se divide en 60 partes iguales llamadas segundos sexagesimales. El valor de un ángulo en el sistema sexagesimal se puede dar de dos formas: En forma decimal: 34,5º En forma compleja: 34º 30’ 0’’ La calculadora te permite pasar de una a otra forma indistintamente.
Sin embargo, en el SI (Sistema Internacional de Unidades), los ángulos se miden en radianes (rad). En la calculadora se identifica como “RAD”.
Un radián es un ángulo que abarca un arco de circunferencia cuya longitud es igual a la del radio:
La equivalencia entre grados sexagesimales y radianes es la siguiente:
360º = 2π radianes
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Existe un tercer sistema para medir ángulos: el sistema centesimal. En este sistema el ángulo recto mide 100 grados centesimales, es decir, un grado centesimal el la centésima parte del ángulo recto. En la calculadora se suele identificar como “GRAD”
Ejercicio 0 – 3º Completa la siguiente tabla correspondiente a la equivalencia entre grados sexagesimales y radianes: ÁNGULOS GRADOS
0º
90º
180º
270º
45º
30º
60º
150º
120º
135º
2250º
210º
330º
300º
RADIANES GRADOS RADIANES
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5ª.- Razones trigonométricas de un ángulo agudo Considera el triángulo rectángulo de la figura, el cual consta de tres lados: dos catetos (a y b) y la hipotenusa (c); y de tres ángulos: dos agudos (α y β) y uno recto (90º)
β = 90º-α a
c
α
90º b
Se define el seno del ángulo α como el cociente entre las longitudes del cateto opuesto a dicho ángulo y la hipotenusa:
senα=
cateto opuesto a hipotenusa c
Se define el coseno del ángulo α como el cociente entre las longitudes del cateto contiguo a dicho ángulo y la hipotenusa:
cosα=
cateto contiguo b hipotenusa c
Se define la tangente del ángulo α como el cociente entre su seno y su coseno, es decir, entre las longitudes del cateto opuesto y el cateto contiguo a dicho ángulo:
a sen a cateto opuesto tgα= c b cos b cateto contiguo c
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6ª.- Inversas de la razones trigonométricas Se define la cosecante del ángulo α como la inversa del senα, es decir, el cociente entre las longitudes de la hipotenusa y el cateto opuesto a dicho ángulo:
cosec =
1 hipotenusa c sen cateto opuesto a
Se define la secante del ángulo α como la inversa del cosα, es decir, el cociente entre las longitudes de la hipotenusa y el cateto contiguo a dicho ángulo:
secα=
1 hipotenusa c cos cateto contiguo b
Se define la cotangente del ángulo α como la inversa de la tgα, es decir, el cociente entre el cosα y el senα, o sea, el cociente entre las longitudes del cateto contiguo y el cateto opuesto a dicho ángulo:
b 1 cos b cateto contiguo cotgα= c a tg sen a cateto opuesto c
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7ª.- Propiedades de las razones trigonométricas De la definición de las razones trigonométricas para un ángulo agudo se pueden deducir múltiples propiedades. Destacamos las siguientes: 1ª.- La definición de seno, coseno y tangente no depende del tamaño del triángulo elegido, sólo depende de los ángulos C´´ β=90º-α
C´ β=90º-α C α
B´´
B´
B
A
En efecto los triángulos ABC, AB´C´ y AB´´C´´ son semejantes, es decir, aunque sus lados no tienen las mismas longitudes, sus ángulos sí son iguales y por tanto la relación entre sus lados siempre es la misma.
2ª.- Los valores de las tres razones trigonmétricas de un ángulo agudo siempre serán un nº mayor o igual a 0. 3ª.- El seno y el coseno de un ángulo agudo nunca será superior a 1, puesto que los catetos son menores o iguales que la hipotenusa. La tangente sí. 4ª.- El seno de un ángulo α siempre coincidirá con el coseno de su complementario β = 90º-α, ya que el cateto opuesto a α es el cateto contiguo a β = 90º-α.
β = 90º-α a
c
α
90º b
senα=
cateto opuesto a cateto contiguo a cos(90º ) hipotenusa c hipotenusa c
5ª.- El coseno de un ángulo α siempre coincidirá con el seno de su complementario β = 90º-α, ya que el cateto contiguo a α es el cateto opuesto a β = 90º-α.
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cosα=
cateto contiguo b cateto opuesto b sen (90º ) hipotenusa c hipotenusa c
6ª.- La tangente de un ángulo α siempre coincidirá con la cotangente de su complementario β = 90º-α, ya que el cateto contiguo a α es el cateto opuesto a β = 90º-α y viceversa.
tgα=
sen a cos(90º ) cot g (90º ) cos b sen (90º )
8ª.- Ecuación fundamental de la trigonometría Si elevamos al cuadrado el seno y el coseno de un ángulo y sumamos los resultados siempre obtenemos el mismo valor, la unidad. Veámoslo:
a2 2 2 2 2 c 2 sen 2 cos 2 a b a b b2 c2 c2 c2 2 2 (cos ) cos 2 c (sen )2 sen 2
PITÁGORAS
C C
2 2
1
A este resultado se le conoce como ecuación fundamental de la trigonometría:
sen 2 cos 2 1 Esta ecuación puede transformarse en otras dos ecuaciones equivalentes. Para ello, primero dividamos ambos miembros de la ecuación por sen 2 :
sen 2 cos 2 1 2 sen sen 2
sen 2 cos 2 1 2 2 sen sen sen 2
1 ctg 2 cos c 2
1 ctg 2 cos c 2 Si ahora dividimos la ecuación fundamental de la trigonometría por cos2 :
sen 2 cos 2 1 cos 2 cos 2
sen 2 cos 2 1 cos 2 cos 2 cos 2
tg 2 1 sec c 2
tg 2 1 sec c 2 Matemáticas II: Análisis
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Ejemplo resuelto 0 – 3º Sabiendo que α es un ángulo agudo, calcula el resto de sus razones trigonométricas y sus inversas, a partir del dato que te dan: A) sen α = 2/3 Aplicamos la ecuación fundamental de la trigonometría y obtenemos el valor del cos α:
2 4 5 5 sen 2 cos2 1 ( )2 cos2 1 cos2 1 cos2 cos 3 9 9 3 Pero desechamos el valor negativo porque las razones trigonométricas de los ángulos agudos son siempre positivas.
cos
5 3
Ya podemos calcular la tangente y las inversas:
tg
cosec
1 3 sen 2
sen 2 / 3 2 2 5 cos 5 5/3 5
se c
1 3 3 5 cos 5 5
cot g
1 cos 5 tg sen 2
B) tg α = 2 Si aplicamos la ecuación equivalente a la ecuación fundamental de la trigonometría
tg 2 1 sec c 2 obtenemos el valor de la sec α y a continuación cos α:
tg 2 1 sec c 2 22 1 secc 2 5 secc 2 secc 5
secc 5 cos
1 5
5 5
De nuevo hemos desechado el signo negativo al tratarse de un ángulo agudo. Ahora podemos calcular el sen α y podemos hacerlo con la ecuación fundamental de la trigonometría o con la definición de tangente:
tg
sen 5 2 5 sen cos.tg sen .2 sen cos 5 5
Calculemos las inversas que nos faltan:
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csc
1 5 5 sen 2 5 2
ctg
1 1 tg 2
Ejercicio 0 – 4º A) Sabemos que sen α = 1/2 y que α es un ángulo agudo. Calcula el resto de razones trigonométricas y sus inversas. B) Sabemos que β es un ángulo agudo y que tg β = 3. Calcula el resto de razones trigonométricas y sus inversas. 3
C) Sabemos que c o t g 3 y que α es un ángulo agudo. Calcula las razones trigonométricas de dicho ángulo y sus inversas. SOLUC: A) c o s
C) c o s
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3 2 1 2
tg
3 3
sen
3 2
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B) c o s
10 10
sen
3 10 10
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9ª.- Razones trigonométricas de ángulos notables Las razones trigonométricas de 0º, 30º, 45º, 60º y 90º se pueden calcular fácilmente mediante geometría y son tan utilizadas que conviene conocerlas. 9.1 Razones trigonométricas de 45º Consideremos un cuadrado de 1 m de lado. Si trazamos una cualquiera de sus dos diagonales obtenemos dos triángulos rectángulos isósceles con los ángulos agudos iguales y de 45º:
2m
1m 45º
1m
sen 45º
cateto opuesto 1 2 ; hipotenusa 2 2
cos45º
cateto contiguo 1 2 ; hipotenusa 2 2
tg 45º 1
Como vemos el seno y el coseno de 45º valen lo mismo y, por tanto, la tangente vale 1.
9.2 Razones trigonométricas de 30º y 60º Consideremos un triángulo equilátero de de 2 m de lado. Los tres ángulos son iguales y valen 60º. Si trazamos la altura de uno cualquiera de sus lados, obtenemos dos triángulos rectángulos escalenos de los que conocemos sus ángulos agudos que son de 30º y 60º: 60º 2m
60º
60º
2m
2m
60º
60º
2m
sen 30º
cateto opuesto 1 ; hipotenusa 2
30º 30º
1m
cos30º
2m
3 m 60º 1m
cateto contiguo 3 ; hipotenusa 2
tg 30º
1 3
3 3
Como puede comprobarse 60º = 90º - 30º es el ángulo complementario de 30º y, por tanto cumple las propiedades 4ª, 5ª y 6ª vistas en la pregunta 7ª.
sen 60º
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3 cos30º; 2
cos60º
1 sen 30º; 2
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tg 60º 3 cot g 30º
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9.3 Razones trigonométricas de 0º y 90º En este caso lo haremos por aproximación. Consideremos un triángulo rectángulo y hagamos que el ángulo α vaya disminuyendo hasta hacerse 0º:
c a
α b
Si disminuimos el ángulo α, el cateto a va disminuyendo y, cuando mas nos aproximemos a 0º mas se aproximará el valor del cateto a a 0. Cuando α sea 0,º, el cateto a valdrá 0 y por tanto el sen0º = 0 Del mismo modo, si disminuimos el ángulo α, manteniendo la longitud del cateto b, la hipotenusa c va disminuyendo y, cuando mas nos aproximemos a 0º mas se aproximará el valor de la hipotenusa al cateto b. Cuando α sea 0º c y b serán iguales y por tanto el cos0º =1
sen 0º
cateto opuesto 0 0; hipotenusa c
cos0º
cateto contiguo b c 1; hipotenusa
tg 0º
0 0 1
Teniendo en cuenta que 90º es el ángulo complementario a 0º, obtenemos:
sen 90º cos0º 1;
cos90º sen 0º 0;
tg 90º
sen 90º 1 cos90º 0
En la siguiente tabla se recogen todos los resultados obtenidos: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES Senα
cosα
Tgα
0º = 0 rad
0
1
0
30º = rad
1 2
3 2
3 3
45º = rad
2 2
2 2
1
60º = rad
3 2
1 2
3
1
0
∞
6
4
3
90º = rad 2
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10ª.- Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera Hasta ahora hemos hablado solo de ángulos agudos (de 0º a 90º). Pero también hay ángulos mayores de 90º y ángulos negativos. Para representar cualquier ángulo (ángulos comprendidos entre 0º y 360º, ángulos mayores de 360º y ángulos negativos) se utiliza la denominada circunferencia goniométrica, es decir, una circunferencia de radio la unidad y centrada en el origen de coordenadas cartesiano. Los ángulos se representan siempre partiendo del semieje positivo de las x y se consideran positivos si se miden en sentido contrario a las agujas del reloj y negativos cuando se miden en el sentido de las agujas del reloj.
1m
ángulo positivo
α O ángulo negativo
Utilizando esta representación, a cualquier punto de la circunferencia goniométrica se le puede asociar con un ángulo positivo entre 0º y 360º, llamado ángulo reducido o a un ángulo negativo. Cada punto de la circunferencia goniométrica también representa a cualquier ángulo que sea igual al ángulo reducido más un múltiplo entero de 360º (ó 2π radianes)
1m
α, α + 360º, α + 2.360º, … (α + n.360º ó α + n.2π)
α O
Según el valor del ángulo reducido α el plano se divide en cuatro zonas o cuadrantes:
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90º π/2 rad
2º cuad. 180º = π rad
er
1 cuad O
0º = 0 rad
er
3 cuad. 4º cuad
270º
3π/2 rad
Primer cuadrante
Segundo cuadrante
Tercer cuadrante
Cuarto cuadrante
0º < α < 90º
90º < α < 180º
180º < α < 270º
270º < α < 360º
0 < α < π/2 rad
π/2 < α < π rad
π < α < 3π/2 rad
3π/2 < α < 2π rad
Si representamos un ángulo del primer cuadrante en la circunferencia goniométrica y aplicamos la definición de seno y coseno, podemos observar que la ordenada del punto A coincide con el valor del seno del ángulo α y la abscisa coincide con el valor del coseno. La tangente del ángulo α, aplicando el Teorema de Tales a triángulos semejantes, correspondería con la longitud del segmento verde.
A 1
α
tgα
x cos
A = (x, y) y sen
y = senα
O x = cosα
Esta nueva definición de las razones trigonométricas a través de las coordenadas de los puntos de la circunferencia goniométrica se puede extender a cualquier ángulo sea o no agudo. De esta nueva definición mediante coordenadas se pueden deducir múltiples consecuencias: 1ª.- Por ejemplo, podemos deducir fácilmente las razones trigonométricas de los ángulos que separan a los diferentes cuadrantes:
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x cos90º 0 B = (0,1) y sen 90º 1 tg 90º 90º
x cos180º 1 y sen 180º 0 C = (-1,0)180º tg 180º 0
0º
x cos360º 1 A = (1,0) y sen 360º 0 tg 360º 0
270º
x cos270º 0 D = (0,-1) y sen 270º 1 tg 270º
2ª.- También podemos deducir cuales serán los signos de las razones trigonométricas en los diferentes cuadrantes:
x cos 0 y sen 0 B = (x,y) tg 0
x cos 0 A = (x,y) y sen 0 tg 0
x cos 0 y sen 0 C = (x,y) tg 0
x cos 0 D = (x,y) y sen 0 tg 0
cuadrante
ángulo α
1º
0º < α < 90º
+
+
+
+
+
2º
90º < α < 1890º
-
+
+
-
-
3º
180º < α < 270º
-
-
-
-
+
4º
270º < α < 360º
+
-
-
+
-
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abscisa ordenada senα Cosα tgα
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3ª.- Los valores del seno y del coseno de cualquier ángulo siempre estarán comprendidos entre los valores -1 y 1, es decir, no pueden valer ni más de 1, ni menos de 1. La tangente puede tomar cualquier valor real.
4ª.- También podemos descubrir que un ángulo α y cualquier otro ángulo que difiera de él en un nº entero de vueltas (α + n.360º ó α + n.π rad) tienen las mismas razones trigonométricas:
A
1
tgα
α
x cos cos( n .360º ) A = (x, y) y sen sen ( n .360º ) tg tg ( n .360º ) (n 0, 1, 2, ...)
y = senα
O x = cosα
5ª.- También podemos observar que hay dos ángulos reducidos de diferentes cuadrantes que comparten algunas razones trigonométricas:
cos(180º ) x cos sen (180º ) y sen B (x , y ) tg (180º ) tg cos(180º ) x cos sen (180º ) y sen C (x , y ) tg (180º ) tg
x cos 0 A (x , y ) y sen 0 tg 0 cos(360º ) x cos D (x , y ) sen (360º ) y sen tg (360º ) tg
Esta propiedad es importante tenerla en cuenta cuando se resuelven ecuaciones trigonométricas.
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Ejercicio 0 – 5º A) Sabemos que sen α = -1/2 y que α es un ángulo del cuarto cuadrante. Calcula el resto de razones trigonométricas y sus inversas. B) Sabemos que β > 90º y que tg β = 3. Calcula el resto de razones trigonométricas y sus inversas. 3
C) Sabemos que c o t g 3 y que su seno el positivo. Calcula las razones trigonométricas de dicho ángulo y sus inversas. IMPORTANTE: Ten en cuenta en qué cuadrante están los ángulos para poner los signos adecuados a las razones trigonométricas.
SOLUC: A) c o s
3 2
tg
3 3
1 2
sen
3 2
C) c o s
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B) c o s
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10 10
se n
3
10 10
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11ª.- Reducción al primer cuadrante La consecuencia última de la pregunta anterior permite calcular las razones trigonométricas de cualquier ángulo no agudo a partir de las razones trigonométricas de uno del primer cuadrante, es decir, de uno que sea agudo. 11.1 Ángulos suplementarios Dos α y β ángulos son suplementarios si suman 180º, es decir, β = 180º - α. En la figura pueden observarse un ángulo agudo α (1er cuadrante) y su suplementario β = 180º - α (2º cuadrante) y la relación que existe entre las razones trigonométricas de ambos ángulos:
sen (180º - α) = sen α
tg α
sen (π- α)
sen α
cos (180º - α) = - cos α cos (π-α)
cos α tg (π- α)
tg (180º - α) = - tg α
11.2 Ángulos que difieren en 180º En la figura pueden observarse un ángulo agudo α (1er cuadrante) y un ángulo β que difiere de él en 180º (β = 180º + α) y que es del 3er cuadrante. La relación que existe entre las razones trigonométricas de ambos ángulos es:
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tg α tg (π+α)
sen (180º + α) = - sen α cos (π+α)
sen α
cos (180º + α) = - cos α tg (180º + α) = tg α
sen (π+α)
cos α
11.3 Ángulos que suman 360ºEn la figura pueden observarse un ángulo agudo α (1 cuadrante) y un ángulo β que suma con él 360º (β = 360º - α) y que es del 4º cuadrante. er
La relación que existe entre las razones trigonométricas de ambos ángulos es:
sen α
sen (360º - α) = - sen α
tg α
cos α
cos (360º - α) = cosα
cos (2π-α sen (2π-α)
tg (360º - α) = - tg α
tg (2π-α)
11.4 Ángulos negativos (ángulos opuestos) En la figura pueden observarse un ángulo agudo α (1er cuadrante) y su ángulo opuesto - α que es del 4º cuadrante. La relación que existe entre las razones trigonométricas de ambos ángulos es:
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sen α
sen (- α) = - sen α α
cos (- α) = cos α
tg α
cos α cos (-α) sen (-α)
tg (- α) = - tg α
tg (-α)
11.5 Ángulos mayores de 360º Como ya se dijo las razones trigonométricas de un ángulo mayor de 360º son las mismas que las de su ángulo reducido correspondiente.
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12ª.- Ecuaciones trigonométricas Son ecuaciones en las que la incógnita se ve afectada por las razones trigonométricas.
Ejemplo resuelto 0 – 5º Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas dando todas las soluciones positivas que sean posibles. Exprésalas en grados sexagesimales y en radianes: A)
senx
1 2
n .2 r a d x 1 3 0 º n .3 6 0 º ó 1 1 6 senx x arcsen ( ) 2 2 x 1 5 0 º n .3 6 0 º ó 5 n .2 r a d 1 6
B)
tgx 1
n .2 r a d x 1 4 5 º n .3 6 0 º ó 4 t g x 1 x a r c t g (1) x 2 2 5 º n .3 6 0 º ó 5 n .2 r a d 1 4
C)
( n 0 , 1, 2 , ...)
cos x 1
c o s x 1 x a rc c o s ( 1) x 1 1 8 0 º n .3 6 0 º n .2 ra d
D)
( n 0 , 1, 2 , ...)
senx
( n 0 , 1, 2 , ...)
3 2
2 n .2 r a d x 1 6 0 º n .3 6 0 º 3 3 3 s en x x a rcc o s( ) 2 2 x 1 2 0 º n .3 6 0 º 4 n .2 r a d 1 3
Matemáticas II: Análisis
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( n 0 , 1, 2 , ...)
25
E)
sen 2 x cos x
sen 2x cos x
5 4
5 5 1 cos2 x cos x 4 4cos2 x 4cos x 5 4cos2 x 4cos x 1 0 4 4
Como vemos hemos obtenido una ecuación de 2º grado en cosx que podemos resolver
4 cos 2 x 4 cos x 1 0 cos x
Si
cos x
F)
4 4 2 4.( 4).( 1) 4 0 1 b b 2 4ac 2a 2.( 4) 8 2
2 n .2 rad x1 60º n .360º 3 x 300º n .360º 5 n .2 rad 2 3
1 1 x arco cos( ) 2 2
(n 0, 1, 2, ...)
2 co s 2 x co s x 1 0
cos2 x 3cos x 2 0 cos x
b b 2 4ac 3 (3)2 4..1.2 3 1 cos x 2(imposible ) cos x 1 2a 2.1 2
El primer valor es imposible pues el cosen de un ángulo está comprendido entre -1 y 1.
Si
cos x 1 x arco cos(1)
G)
x 0º n .360º n .2 rad
(n 0, 1, 2, ...)
cos2 x 1 0
cos2 x 1 0 cos2 x 1
cos2 x 1 cos x 1
Si cos x 1 x arccos(1) x 0º n .360º n .2 rad Si cos x 1 x arccos(1) x 180º n .360º n .2 rad
Matemáticas II: Análisis
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(n 0,1, 2, ...)
26
Ejercicio 0 – 5º Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas dando todas las soluciones positivas que sean posibles. Exprésalas en grados sexagesimales y en radianes:
A)
2sen 2x 1
E)
2cos2 x cosx 1
H)
2cos2 x senx 1
SOLUC: A)
B)
F)
C)
tg 2x tgx 0
senx tgx
G)
3 x1 45º n.360º n.2rad x2 135º n.360º n.2rad 4 4 5 7 x3 225º n.360º n.2rad x4 315º n.360º n.2rad 4 4
x1 0º n.360º n.2rad C)
tgx 1
x2 180º n.360º n.2rad
5 x3 45º n.360º n.2rad x4 225º n.360º n.2rad 4 4
x1 60º n.360º n.2rad 3 E) 5 x2 300º n.360º n.2rad 3 x3 180º n.360º n.2rad
x1 90º n.360º n.2rad 2 G) 3 x2 270º n.360º n.2rad 2
Matemáticas II: Análisis
(n 0,1, 2,...)
D)
sen 2x 1
sen 2x cos2 x 1
3 n.2rad 4 B) 7 x2 315º n.360º n.2rad 4
(n 0,1, 2,...)
x1 90º n.360º n.2rad 2 D) 3 x2 270º n.360º n.2rad 2
(n 0,1, 2,...)
x1 135º n.360º
(n 0,1, 2,...)
x1 0º n.360º n.2rad F)
(n 0,1, 2,...)
x2 180º n.360º n.2rad
(n 0,1, 2,...)
5 n.2rad 6 H) 7 x2 210º n.360º n.2rad 6 x3 90º n.360º n.2rad 2 x1 150º n.360º
(n 0,1, 2,...)
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(n 0,1, 2,...)
27
13ª.- Fórmulas de la trigonometría 13.1 Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos
sen( ) sen cos cossen cos( ) cos cos sensen
tg( )
tg tg 1tgtg
13.2 Razones trigonométricas de la resta de dos ángulos
sen( ) sen cos cossen cos( ) cos cos sensen
tg( )
tg tg 1tgtg
13.3 Razones trigonométricas del ángulo doble
sen(2) 2sen cos
cos(2) cos2 sen2 1 2sen2 2cos2 1 tgn(2)
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2tg 1tg 2
28
13.4 Transformación en productos de la suma y resta de senos y cosenos
senA senB 2sen
A B A B cos 2 2
senA senB 2cos
A B A B sen 2 2
cosA cosB 2cos
A B A B cos 2 2
cosA cosB 2sen
A B A B sen 2 2
13ª.- Gráficas de las funciones trigonométricas Las gráficas de las funciones trigonométricas: f(x) = sen x
g(x) = cos x
h(x) = tg x
podemos construirlas mediante una tabla de valores adecuados y teniendo en cuenta que sus valores se repiten cada vuelta, cada 360º, es decir, cada 2π radianes. También podemos ayudarnos de la interpretación gráfica de estos valores en la circunferencia goniométrica:
X
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f(x) = sen x g(x) = cos x (x) = tg x
0º = 0 rad
0
1
0
90º = π/2 rad
1
0
180º = π rad
0
-1
0
270º = 3π/2 rad
-1
0
360º = 2π rad
0
1
0
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f(x) = sen x
g(x) = cos x
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30
h(x) = tg x
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31
1.
FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: LIMITES Y CONTINUIDAD
1ª.- Funciones reales de variable real. 2ª.- Dominio de definición de una función: Cálculo. 3ª.- Límite de una función en un punto: Definición y cálculo. 4ª.- Límites laterales. 5ª.- Propiedades algebraicas de los límites. 6ª.- Límite de una función en el infinito: Definición y cálculo. 7ª.- Indeterminaciones. 8ª.- Regla de L’Hôpital. 9ª.- Asíntotas. 10ª.- Continuidad de una función.
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1ª.- Funciones reales Una función es una relación de dependencia entre dos conjuntos en la que a cada elemento x del conjunto inicial le corresponde un único elemento y del conjunto final. Se simboliza mediante la notación: f :A B x y f (x ) Si A y B son conjuntos de números reales, se habla de función real de variable real. La expresión gráfica de una función permite interpretar algunas de sus características, como monotonías, extremos relativos, continuidad, etc. Sin embargo, esta forma de expresión presenta generalmente mucha dificultad para encontrar la ley matemática que la define. No todas las gráficas corresponden a una función; para que así sea, a cada valor de x debe corresponderle un único valor de y. Así estas gráficas no corresponden a una función:
Las funciones las podemos clasificar en: Algebraicas: Constantes: f (x ) 2 2 Polinómicas: f (x ) 3x 5x 7
Racionales: f (x )
x x 2
Irracionales: f (x ) x 2 4 Transcendentes: x 2 Exponenciales: f (x ) 3
Logarítmicas: f (x ) log(x 7) Trigonométricas: f (x ) senx
g (x ) cos x
h(x ) tg (3x 6)
Empíricas (definidas a trozos o ramas)
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x 2 5 f (x ) 1
2 x g (x ) 1 x
si x 2 si x 2
si x 0 si x 0
IMPORTANTE: Las funciones valor absoluto pueden ser expresadas analíticamente mediante funciones a trozos (o por ramas).
Ejemplo resuelto 1 – 1º Expresa las siguientes funciones mediante una función a trozos (o por ramas) A) f (x ) x x 0
x x x
x
x
x (x ) x 2
x .x x 2
x 2 f (x ) x x 2 x
si x 0 si x 0
B) f (x ) x 2 5 x -5
2
x 2
x 2
x 2
x 2
5x
5 x
5x
5x
x 2 5 x
( x 2) (5 x ) 7 7 f (x ) x 2 5 x 2x 3 7
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2x 3
7
x 5 5 x 2 x 2
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C)
f (x ) x 2 9 -3
x2 9
x2 9
3
x 2 9
x2 9
x 2 9 x 3 f ( x ) x 2 9 x 2 9 3 x 3 x2 9 x 3
Ejercicio 1 – 1º Expresa a las siguientes funciones mediante una función por partes:
a ) f (x ) x
b ) g (x ) x 2 x 1
d ) f (x ) 1 x 2
e ) g (x ) x 2 5x 2
c ) h (x ) x 5 x f ) g (x ) x 2 x
2ª.- Dominio de definición de una función. Cálculo. Se llama dominio de definición de una función al conjunto de números reales que puede tomar la variable independiente, x, para los cuales está definida la función.
Dom f (x ) x R | f (x ) R Se llama recorrido o imagen de una función al conjunto de números reales que toma la variable dependiente. Mientras que el dominio lo buscamos en el conjunto inicial, el recorrido lo buscaremos en el conjunto final.
Ejemplo resuelto 1 – 2º Analiza y describe, en las siguientes funciones reales dadas mediante sus gráficas, el dominio y el recorrido.
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a)
b) Dom g (x ) R 4 Im g (x ) 5,
Dom f ( x ) , 3 3, Im f (x ) 7, 5
Ejercicio 1 – 2º Asocia cada gráfica con su dominio
Como acabamos de ver, si conocemos la gráfica de una función f(x), podemos descubrir fácilmente su dominio y su recorrido. Veamos ahora como hallar el dominio de una función si conocemos su expresión analítica:
a) Polinómicas Son aquellas cuya expresión analítica es un polinomio. Su dominio coincide con el conjunto de los números reales, Dom f (x ) R .
b) Racionales Son aquellas cuya expresión analítica es una fracción algebraica, es decir, el P (x ) cociente entre dos polinomios: f (x ) Q (x ) El dominio es el conjunto de los números reales, excluidos los números para los que se anule el denominador (ceros o raíces):
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Dom f (x ) R x R | Q (x ) 0 Dom f ( x ) R valores que anulan el denominador
Ejemplo resuelto 1 – 3º Dada la función f (x )
x , su dominio es Dom f (x ) R 2 , ya que el número 2 es el x 2
cero del denominador.
Ejercicio 1 – 3º Calcula el dominio de las siguientes funciones: 3x 1 a ) f (x ) x 2 x 4
4 x 2 3x b ) f (x ) x 2 2x
d ) f ( x ) 3x 7
e ) f ( x ) x 2 5x 2
c ) f (x )
4x 2 x 3 4x
c) Irracionales Son aquellas cuya expresión matemática presenta un radical: f (x )
n
g (x )
Si n es impar, el dominio de f(x) coincide con el dominio de g(x):
Dom f (x ) Dom g (x )
Si n es par, el dominio de f(x) es el conjunto de los números reales tales que
g (x ) 0 :
Dom f (x ) x R | g (x ) 0
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Ejemplo resuelto 1 – 4º Dadas las siguientes funciones reales, hallar su dominio x 5 2 , su dominio coincide con el de la función x 5 2 que son todos los números reales ( Dom f (x ) R )
A) Dada la función f (x )
3
B) Dada la función f (x )
7
1 1 , su dominio coincide con el de la función que, al x 3 x 3
ser una función racional, son todos los números reales salvo los que anulan a su denominador (es Dom f (x ) R 3 .
C) f (x ) x 2 4 El dominio de f(x) serán el conjunto de números reales que hacen al radicando mayor o igual que cero y, por tanto, coinciden con las soluciones de la inecuación x 2 4 0 Resolvemos la inecuación de segundo grado anterior y descubrimos que sus soluciones son:
, 2 2, R (2,2)
Por tanto:
Dom f (x ) , 2 2, R ( 2, 2) . D) g (x )
x 5 x 7
El dominio de g(x) serán el conjunto de números reales que hacen al radicando mayor o igual que cero y, por tanto, coinciden con las soluciones de la inecuación
x 5 0 x 7
Resolvemos la inecuación racional anterior y descubrimos que sus soluciones son:
,5 7, R (5, 7] Por tanto
Dom g (x ) ,5 7, R (5, 7]
Ejercicio 1 – 4º Halla el dominio de las siguientes funciones: a ) f (x ) x 13
b ) f (x ) 2x 18
d ) g (x ) x 2 4x 3
e ) h (x )
Matemáticas II: Análisis
3x 6 x 1
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c ) f (x ) f ) g (x )
2x 2
2x 16x 24 x 1 x 3
38
d) Exponenciales g (x ) Son aquellas en las que la incógnita se encuentra en el exponente: f (x ) a ,
con a > 0 y a ≠ 1. El dominio de estas funciones coincide con el dominio de g(x):
Dom f (x ) Dom g (x ) Ejemplo resuelto 1 – 5º x 2
A) Dada la función f (x ) 3
B) Dada la función f (x ) 7
, su dominio es Dom f (x ) R .
3 x 5
, su dominio es Dom f (x ) R 5 .
e) Logarítmicas Son aquellas en las que la incógnita se encuentra dentro de una expresión logarítmica: f ( x ) loga g ( x ) , con a > 0 y a ≠ 1. El dominio de estas funciones, es el subconjunto de los números reales tales que hacen g(x) positivo (g(x) > 0):
Dom f (x ) x R | g (x ) 0 Recuerda que no se pueden calcular logaritmos de números negativos ni tampoco está definido el logaritmo de 0. Ejemplo resuelto 1 – 6º Dada la función f (x ) log(x 7) , su dominio coincide con las soluciones de la inecuación x 7 0 cuyas soluciones son: x 7 Por tanto: Dom f (x ) 7,
Ejercicio 1 – 5º Calcula el dominio de las siguientes funciones:
a ) f (x )
x 2
d ) f (x ) g ) f (x ) 7
Matemáticas II: Análisis
1 x 2 2x
b ) f (x ) e ) f (x )
x 2 2x 2x 6 x 2 25
x 2 x 1 x 5 f ) f ( x ) log 2 x 16 c ) f (x )
x 7
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39
f)
Definidas a trozos
En este tipo de funciones la expresión analítica depende de los tramos del dominio en los que se encuentre la variable independiente.
Ejemplo resuelto 1 – 7º Halla el dominio de definición de las siguientes funciones: x 2 5 A ) f (x ) 7 x 2x 6
si x 2
1x B ) g (x ) 7 x 5 2x 8
si x 2
si x 0 si x 0
A) El dominio de definición de la función x2- 5 es todo R y por tanto también lo será el intervalo (-∞,2] que es donde está definida la rama x2- 5 El dominio de definición de la función
7x es R 3 y cómo esta rama está definida 2x 6
para x > 2 habrá que eliminar el nº x = 3 Por tanto
Dom f (x ) R 3
1 x es el intervalo (-∞,1] y por tanto también lo
B) El dominio de definición de la función
será el intervalo (-∞,0] que es donde está definida la rama El dominio de definición de la función 7
7 x 2x 8
1x
es R 4 y como esta rama está definida
para x > 0 habrá que eliminar el nº x = 4. Por tanto
Dom g (x ) R 4
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3ª.- Límite de una función un punto: Definición y cálculo Límite de una función f(x) en un punto de abscisa x = a es el valor hacia el que tiende o se aproxima la función f(x) cuando a la variable independiente x le vamos dando valores cada vez más próximos a a. Escribiremos: lim f (x ) L
xa
lim f (x )
lim f (x )
xa
xa
lim f ( x ) No existe
xa
Este límite puede existir o no existir y, si existe, puede valer un número real L, puede valer + ó - tal y como se puede observar en las gráficas de las funciones siguientes: f(x)
f(x)
f(x)
5 0
a
lim f (x ) 5
xa
0
a
0
lim f (x )
a
lim f (x )
xa
xa
lim f (x ) 2
x1
2
lim f (x ) 2 lim f (x ) No existe lim f (x ) 3 x a xa x a
-3
Los límites laterales no coinciden
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2 0
a
a
lim f (x ) lim f (x ) No existe lim f (x ) x a xa x a
lim f (x ) lim f (x ) No existe lim f (x ) 2 x a xa
x a
Los límites laterales no coinciden
Los límites laterales no coinciden
Como hemos tenido la oportunidad de comprobar en los ejemplos anteriores, el límite de una función f(x) en un punto de abscisa x = a es “relativamente” fácil de calcular si conocemos la gráfica de la función. Pero, ¿qué ocurre si lo que conocemos es la expresión analítica de la función f(x)? En estos casos para calcular el límite de una función f(x) en un punto de abscisa x = a, sustituimos a en la función f(x). Según que el resultado tenga sentido o no, existen dos posibilidades:
1ª.- Si x = a SI pertenece al dominio de f(x) y f(x) NO es una función por partes entonces obtenemos f(a) que es un número real, que será el valor del límite. Ejemplo resuelto 1 – 8º Calcula el límite de las siguientes funciones en los valores que se indican:
A ) f (x ) x 2 cuando x 2 B ) f (x )
x x 3
C ) f (x ) e x
Sol . :
cuando x 1
cuando x 0
Sol . :
Sol . :
D ) f (x ) Ln (x ) cuando x e
Sol . :
E ) f (x ) ex 1Ln(x ) cuando x 1
Sol . :
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lim f (x ) lim x 2 22 4
x2
x2
lim f (x ) lim x1
x1
x 1 1 x 3 13 2
lim f (x ) lim e x e 0 1
x 0
x0
lim f (x ) lim Ln (x ) Ln (e ) 1
x e
xe
lim f (x ) lim e x 1Ln (x ) e 1 1Ln (1) e 2.0 0 x 1
x1
42
2ª.- Si x = a SI/NO pertenece al dominio de f(x) y f(x) SI es una función por partes entonces procederemos del siguiente modo.
f1 ( x ) Sea f ( x ) f2 ( x )
si x c si x c
, consideraremos dos casos:
Cálculo de lim f(x) en el punto de ruptura Para calcular lim f ( x ) calcularemos lim f ( x ) f1 (c ) y lim f ( x ) f2 (c ) . Si x c
x c
x c
coinciden, éste es el valor del límite. Si no coinciden, éste límite no existe. Cálculo de lim f(x) en otro punto cualquiera del dominio Para hallar lim f ( x ) , a ≠ c, procederemos así: x a
Si a < c, lim f ( x ) f1 (a ) xa
Si a > c, lim f (x ) f2 (a ) xa
Ejemplo resuelto 1 – 9º Hallar los límites de la función f(x) en los puntos 3, 1 y 7:
2x 5 f (x ) x 7 A)
si x 3 si x 3
x = 3 es la abscisa del punto de ruptura de la función f(x), por tanto estudiamos los límites laterales
lim f ( x ) lim (2x 5) 2.3 5 1
x 3
x 3
lim f (x ) lim ( x 7) 3 7 4
x 3
B)
lim f ( x ) 1 lim f (x ) 4
x 3
x3
lim f (x ) No existe
x3
x = 1 pertenece a la primera rama. Por tanto: li m f ( x ) li m ( 2 x 5 ) 2 . 1 5 3 x 1
C)
x3
x 1
x = 7 pertenece a la segunda rama. Por tanto: l i m f ( x ) l i m ( x 7 ) 1 7 6 x 7
x 7
Ejemplo resuelto 1 – 10º Hallar el límite de la función g(x) en x = 0 x 5 g (x ) 1 x
si x 0 si x 0
x = 0 es la abscisa del punto de ruptura de la función f(x), por tanto estudiamos los límites laterales
Matemáticas II: Análisis
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43
lim g (x ) lim (x 5) 0 5 5
x 0
x 0
lim g (x ) lim
x 0
x 0
1 1 x 0
lim g (x ) 5 lim g (x ) lim g (x ) No existe
x 0
x 0
x 0
Ejemplo resuelto 1 – 11º
x h (x ) x 1 x
Halla el lim h (x ) , siendo: x 1
si x 1 si x 1
x = -1 es la abscisa del punto de ruptura de la función f(x). Por tanto estudiamos los límites laterales. Pero en este caso las ramas a la izquierda y a la derecha son la misma. Por tanto
x 1 x 1 0 x 1 lim h (x ) lim x 1 x 1 x 1 0 lim h (x ) lim
x 1
x 1
lim h (x ) lim h (x )
x 1
x 1
lim h (x ) No existe
x 1
Ejemplo resuelto 1 – 12º Halla el valor de m para que exista lim f (x ) , siendo: x 2
x 1 f (x ) x mx
si x 2 si x 2
x = -2 es la abscisa del punto de ruptura de la función f(x). Por tanto, para que exista el límite de la función f(x) cuando x tiende a –2, los límites laterales tienen que coincidir. De esta condición sale el valor de m.
x 1 2 1 1 1 x 2 2 2 lim f (x ) lim mx m .(2) 2m lim f (x ) lim
x 2 x 2
x 2
lim f (x ) lim f (x )
x 2
x 2
1 2m 2
m
1 4
x 2
Ejercicios 1 – 6º y 7º 6.- Halla el límite cuando x 2 en cada una de estas funciones: 3x 2 1 a ) f (x ) x 9 x x c ) f (x ) x
Matemáticas II: Análisis
1 1 1 1
si x 2 si x 2 si x 2 si x 2
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x 3 2x b ) f (x ) 5
si x 2 si x 2
2 3x 4 x 1 d ) f (x ) x2 1
si x 2 si x 2
44
7.- Halla el valor de k para que exista lim f (x ) , siendo: x 1
x 2 2 f (x ) x k
si x 1 si x 1
Si x = a NO pertenece al dominio de f(x) pueden ocurrir dos posibilidades:
1ª.- Obtener una expresión que contenga a un nº real k, distinto de cero, k dividido entre 0 ; k 0 . En este caso estudiamos los límites laterales para 0
ver si existe o no el límite y, en caso de que exista valdrá +∞ ó -∞.
Ejemplo resuelto 1 – 13º Calcula el límite de las siguientes funciones en los valores que se indican:
A) Sol . :
f (x )
1 x2
lim f (x ) lim
x1
x1
cuando x 0
1 1 0 x2
1 1 x 2 0 1 1 lim f (x ) lim 2 x 0 x0 x 0 lim f (x ) lim
x 0
B) Sol . :
x0
f (x )
1 x 1
lim f (x ) lim
x 1
x 1
Estudiamos los límites laterales
lim
x 1
1 x2
cuando x 1
1 1 1 x 1 11 0
1 1 x 1 0 1 1 lim f (x ) lim x 1 x 1 x 1 0 lim f (x ) lim
x 1
x 1
Matemáticas II: Análisis
lim
x1
Estudiamos los límites laterales
1 x 1
No existe
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45
1
C)
f (x ) e x 2
cuando x 2 1
Sol . :
1
1
lim f (x ) lim e x 2 e 2 2 e 0
x 2
1
1
lim f (x ) lim e x 2 e 0 e
x 2
Estudiamos los límites laterales
x 2
x 2
1 0
1
1 1 0 e
1
lim f (x ) lim e e e
x 2
D)
cuando x
lim f (x ) lim tgx lim x
2
x
2
x
lim f (x ) lim tgx lim x
2
x
2
x
2
lim f (x ) lim tgx lim x
E)
2
x
No existe
x 2
f (x ) tgx
Sol . :
lim e x 2
x 2
2
x
2
2
senx cos x
2
2 1 0 cos 2
sen
Estudiamos los límites laterales
senx 1 cos x 0 senx 1 cos x 0
f (x ) Ln (x )
lim tgx x
2
No existe
cuando x 0
Sol: Este es un caso diferente porque: 1º.- Aunque x = 0 no es del dominio de f(x), si sustituimos x por 0 no sale una expresión: 2º.- No existe un límite lateral
k ;k 0 0
lim Ln (x ) ya que el dominio de f(x) es el intervalo (o,∞). x 0
Pero podemos resolverlo dándole a x valores cada vez más próximos a cero por su derecha y vemos que Ln(x) tiende a -∞ (como fácilmente podríamos recordar del curso pasado por la forma que tiene la gráfica de la función f (x ) Ln (x ) . Por tanto sí existe lim Ln (x ) y vale -∞: x 0
lim Ln (x )
x 0
Ejercicio 1 – 8º Calcula el límite de las siguientes funciones: (Relación de límites)
2ª.- Obtener una expresión indeterminada, en cuyo caso el límite se calcula transformando la expresión de la función dada en otra equivalente en la que sí tengan sentido las operaciones y así poder llegar al valor del límite, en caso de que exista. Esto lo estudiaremos más adelante en una pregunta específica.
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
46
4ª.- Límites laterales Son los valores hacia los que tiende una función cuando la variable independiente, x, se acerca por la izquierda (x a-) y por la derecha (x a+) a ese punto. Escribiremos: lim f (x ) o lim f (x ) xa
xa
a - es un número próximo a a, pero menor que a. Igualmente, a + está próximo a a, pero mayor que a. Para que exista el límite de una función en un punto, deben existir los límites laterales en ese punto y ser iguales:
lim f ( x ) x a
lim f ( x ) lim f ( x )
x a
x a
Ejercicio 1 – 9º Dadas las siguientes gráficas de funciones, calcula, si existen, los siguientes límites:
A)
a ) lim f (x )
b ) lim f (x )
c ) lim f (x )
d ) lim f (x )
e ) lim f (x )
f ) lim f (x )
x3
x4
Matemáticas II: Análisis
x4
x
Curso 2013/14
x4
x
47
B)
a ) lim f (x )
b ) lim f (x )
d ) lim f (x )
e ) lim f (x )
x2
c ) lim f (x )
x 1
x
x 1
x2
f ) lim f (x ) x
5ª.- Propiedades algebraicas de los límites 1. El límite de una función en un punto, si existe, es único. Si lim f (x ) y lim g (x ) existen, entonces se cumple: xa
2. 3. 4.
5.
xa
lim f (x ) g (x ) lim f (x ) lim g (x )
xa
xa
xa
lim k f (x ) k lim f (x )
xa
xa
lim f (x ) g (x ) lim f (x ) lim g (x )
xa
xa
lim f (x ) f (x ) x a lim , x a g (x ) lim g (x )
xa
si
lim g (x ) 0
x a
xa
lim g ( x )
6.
xa lim f (x ) g ( x ) lim f (x ) xa x a
Matemáticas II: Análisis
,
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si
lim f (x ) 0
xa
48
6ª.- Límite de una función en el infinito: Definición y cálculo. Límite de una función f(x) cundo x tiende a +∞ ó a -∞ es el valor hacia el que tiende o se aproxima una función cuando a la variable independiente x le vamos dando, respectivamente, valores positivos cada vez más grandes o valores negativos cada vez más pequeños. Escribiremos: lim f (x ) L
lim f (x )
x
x
lim f (x )
x
Este límite puede valer un número real L, puede valer + ó - tal y como se puede observar en las gráficas de las funciones siguientes:
f(x)
f(x)
f(x)
2
0
0
lim f (x )
x
lim f (x ) 0
x
0
lim f (x ) lim f (x ) 2
2
0
0
lim f (x ) 5
lim f (x )
x
Matemáticas II: Análisis
x
lim f (x )
x
5
x
lim f (x )
x
x
3
lim f (x ) 2
x
lim f (x ) 2
x
Curso 2013/14
lim f (x )
x
lim f (x )
x
49
Igual que ocurría con el límite de una función en un punto, el límite de una función f(x) cuando x ó cuando x es “relativamente” fácil de calcular si conocemos la gráfica de la función. Pero, ¿qué ocurre si lo que conocemos es la expresión analítica de la función f(x)? En este caso procederemos del siguiente modo: 1º.- Para calcular el límite de una función polinómica cuando x + , nos fijaremos en su término de mayor grado, pues para valores grandes de x, el valor de las potencias de grado inferior es insignificante comparado con el suyo (se dice que el monomio de mayor grado es un infinito de grado superior al resto de monomios). Para cualquier función polinómica f (x ) an x n a1x a0 ,
an 0
n 0 , se
cumple que:
si an 0 lim f (x ) x si an 0 2º.- En el caso de funciones exponenciales: lim a x
si
a 1
si
0a 1
x
lim a x 0
x
3º.- En el caso de funciones logarítmicas: si
a 1
lim loga x
si
0 a 1
x
lim loga x
x
IMPORTANTE: El cálculo de límites en menos infinito se reduce al caso anterior, ya que: lim f (x ) lim f ( x )
x
x
Ejemplo resuelto 1 – 14º Calcular los siguientes límites: a ) lim ( 3x 2 5x 1) x
Sol . :
ya que do min a el monomio 3x 2 ; Se puede escribir lim(3x 2 5x 1 lim(3x 2 ) 3.2 x
x
2
b ) lim (x 2x 8) x
Sol . : ya que do min a el monomio x 2 ; lim (x 2 2x 8) lim (( x )2 2( x ) 8) lim (x 2 2x 8) lim (x 2 ) 2 x
Matemáticas II: Análisis
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x
x
x
50
c ) lim 2x
Sol : lim 2x 2 x
x
1 d ) lim x 2
x x
1 1 Sol : lim 0 x 2 2
e ) lim e x
Sol : lim e x lim e x lim x
x
1 f ) lim x 2
x
x
1 1 1 0 ex e
x x
1 1 Sol : lim lim x 2 x 2
x
lim
x
1 1 2
x
lim 2x 2 x
Ejercicio 1 – 10º Calcular los siguientes límites: a ) lim (2x 3 7 x 2 4)
b ) lim ( 3x 5 7 x 4 )
x
d ) lim (5x 3 1)
e ) lim 5 x
x
i ) lim e 2 x
f ) lim e x
x
j ) lim 53 x
x
c ) lim ( 2x 7 3x 5)
x
x
k ) lim 2e x
x
x
x
g ) lim e x
h ) lim Lnx
l ) lim e x
m ) lim 2Lnx
x
x
x
x
Operaciones con el infinito serían (L representa a un nº real distinto de cero):
L
L
( )
L
( L )
L
( L )
( )
L
L
L
L
L 0
L
L 0
0
L ;L 1
( )
L 0 ;L 1
Observa que en el producto y en el cociente con el infinito se aplica la regla de los signos de la forma habitual.
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51
7ª.- Indeterminaciones Al operar con límites tanto finitos como infinitos nos podemos encontrar con expresiones en las que el resultado tenga sentido o no, es decir, nos podemos encontrar casos en los cuales no es posible hallar directamente el límite. Se dice entonces que el límite está indeterminado. Límite indeterminado no significa que no exista, sino que no se puede calcular directamente. En estos casos, el límite se calcula transformando la expresión de la función dada en otra equivalente en la que si tengan sentido las expresiones. Las expresiones que indican indeterminación son:
0 ; 0
;
;
0 ; 1 ;
00 ;
0
IMPORTANTE: Las tres últimas indeterminaciones NO se exigen para el examen de selectividad en Andalucía
Resolución de indeterminaciones: Indeterminaciones del tipo
0 0
Esta indeterminación aparece, entre otras situaciones, al calcular los límites de funciones racionales (cocientes de funciones polinómicas) o de funciones irracionales en un punto de abscisa x = a. Las indeterminaciones de funciones racionales (cocientes de funciones polinómicas) se resuelven factorizando numerador y denominador mediante la regla de Ruffini y simplificando. Las indeterminaciones de cocientes de funciones irracionales se resuelven multiplicando numerador y denominador por la expresión conjugada de la función que lleve raíz.
Ejemplo resuelto 1 – 15º Calcular los siguientes límites:
2x 2 8 2 x 2 x x 2
a ) lim
b ) lim
x 1
x 1 2x 2
Matemáticas II: Análisis
2 x 2 x 2 2 x 2 2( 2 2) 8 8 0 (IND ) lim lim x 2 x 2 0 x 2 x 1 x 1 ( 2 1) 3 3
0 x 1 1 1 (IND ) lim lim x 1 2 x 1 x 1 2 0 2
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52
c ) lim
x0
lim
x 0
x x 4 2
x x 4 2
0 x ( x 4 2) x ( x 4 2) x ( x 4 2) x ( x 4 2) (IND ) lim lim lim lim lim ( x 4 2) 4 2 x 0 x 0 x 0 0 x ( x 4 2)( x 4 2) x 0 x 4 22 x 0 (x 4) 4
Ejercicio 1 – 11º Calcular los siguientes límites:
x2 1 x 1 x 1
A) lim
3x 3 6x 2 x 0 9x 2 18x
3x 6 x 2 9x 18
B ) lim
x2 3 1 D ) lim 3 x 0 x x
C ) lim
2 1 E ) lim x 1 (x 1)2 x (x 1)
x 2 7x 6 x 1 1x
F ) lim
Ejercicio 1 – 12º
(x 1)3 x 1 1 x 2
A ) lim
1 3x x 2 x 2
D ) lim
x 3 4x 2 5x 2 x 1 x2 x 2
B ) lim
E ) lim
x 0
x 9 3 x2
Indeterminaciones del tipo
3 4 C ) lim 2 x 2 x 5x 6 x 2
F ) lim
x 0
1x 1x 3x
Las indeterminaciones de funciones racionales (cocientes de funciones polinómicas) se resuelven dividiendo numerador y denominador por la máxima potencia del denominador, o bien, aplicando la regla de los grados:
Matemáticas II: Análisis
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53
, P (x ) a lim , x Q (x ) b 0 ,
si grado de P (x ) grado de Q (x ) (el signo es el de
a ) b
si grado de P (x ) grado de Q (x ) (siendo a y b los coeficientes de los tér min os principales de P (x ) y Q (x )) si grado de P (x ) grado de Q (x )
Las reglas utilizadas para el cociente de polinomios son también válidas para los cocientes de funciones irracionales. Ejemplo resuelto 1 – 16º Calcular los siguientes límites:
3x 4 2x 2 5 IND x 4x 4 7
a ) lim
2x 3 x x 5
b ) lim
c ) lim
x
d ) lim
x
5 6x 1
I N D
lim
x
lim
x
2x x
lim 2 2 x
5 5 5 5 lim lim 0 6( x ) 1 x 6 x 1 x 6 x
4 x 2 3x x 1
otra forma de resolverlo sería:
3x 4 3 3 lim x 4x 4 x 4 4 lim
4x 2 2x IND lim lim lim 2 2 x x x x x
IN D xlim
4 x 2 3x 3 3 2 4 4 x2 x lim x lim 2 2 x x x 1 1 1 1 1 1 x x x
Ejercicio 1 – 13º Calcular los siguientes límites:
2x 3 5x 3 a ) lim x 7x 2 1
Matemáticas II: Análisis
x 5 b ) lim x 2x 3
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c ) lim
x
x2 1 2x
54
Indeterminaciones del tipo 0 Estas indeterminaciones se resuelven transformándolas en las del tipo , o en las del tipo 0 0 .
Ejemplo resuelto 1 – 17º Calcular el siguiente límite:
3
lim
4
x
x 2
(2x 3) o . IND
otra forma de resolverlo sería: 0. IND lim
x
lim
6x 9 4
x
x 2
6x 9 x4 2
6x 6 6 lim 0 IND xlim x 2 x x
6x 9 6 9 6 9 x 2 x 2 lim x x 2 0 0 IND lim x x 1 2 2 x4 2 1 4 1 x x4 x4
Indeterminaciones del tipo Aparecen al calcular límites de funciones racionales o irracionales. Las indeterminaciones con funciones racionales se resuelven efectuando las operaciones. Las indeterminaciones con funciones irracionales se resuelven multiplicando el numerador y el denominador por la expresión conjugada de la función que lleva raíz.
Ejemplo resuelto 1 – 18º Calcular los siguientes límites: x2 x 1 a ) lim x x x 1
(IN D )
x2 x 1 x2 x 2x 1 2x lim lim ( 2) 2 xlim IN D xlim x x 1 x 1 x
x
b ) lim ( x 2 x x ) (IND ) x
lim
x
( x 2 x x )( x 2 x x ) ( x2 x x)
Matemáticas II: Análisis
lim
x
( x 2 x )2 x 2 ( x2 x x)
lim
x
x2 x x2 x2 x x
Curso 2013/14
lim
x
x x2 x x
x x x 1 lim lim IND xlim x x x x 2x 2 x2 x
55
Ejercicio 1 – 14º
3x 3 5 4x 3 x B ) lim x x 2 x 2
A ) lim x 2 5 (x 2) x
3x 5 x 2 2 D ) lim x x 2
E ) lim
x
x
x 2 2x x
x2 x x2 1
K ) lim
x
x2 x x2 1
ex si x 0 M ) lim x 1 Ln (x ) si x 0 1 x 2 si x 0 O ) lim x x 3 si x 0
F ) lim 2x x 2 x x
3x 3 5 4x 3 x H ) lim x x 2 x 2
G ) lim x 2 5 (x 2) x
J ) lim
x3 x C ) lim 2 x 2x 1 2
x3 x I ) lim 2 x 2x 1 2
L) lim 2x x 2 x x
ex si x 0 N ) lim x 1 Ln (x ) si x 0 1 x 2 si x 0 P ) lim x x 3 si x 0
Ejercicio 1 – 15º Sabiendo que:
lim p (x )
x2
lim r (x ) 3
x2
lim q (x )
x 2
lim s (x ) 0
x2
Calcula razonadamente, en los casos en que sea posible, el valor de los siguientes límites:
s (x ) x 2 p (x )
A ) lim
Matemáticas II: Análisis
B ) lim s (x ) x 2
p (x )
C ) lim s (x ).q (x ) x 2
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D ) lim p (x ) 2q (x ) x 2
56
Indeterminaciones del tipo 1 Recordemos que esta indeterminación no se exige en las PAU de Andalucía. Este tipo de indeterminaciones se resuelve aplicando la siguiente propiedad: lim f (x ) 1
lim g ( x ) f ( x ) 1 g (x ) f (x ) 1 (IND ) e x a xlim a lim g (x ) x a x a
Si
válida para cualquier número real a,
o
.
Puedes ver la demostración en la página 233 del libro.
Ejemplo resuelto 1 – 19º 2x
x2 3 lim Calcular el siguiente límite: 2 x x 1
1
I N D e
x 2 3 lim 2 x 1 x 2 1
x
8x
lim
e x x
2
1
e0 1
Ejercicio opcional Calcular los siguientes límites:
x 5 a ) lim x x 1
x2 x 3
2 b ) lim 1 x 3x
3 x 2
5x
1 d ) lim 1 x x
2
x 7x 4 g ) lim x x 3
Matemáticas II: Análisis
5x
1 e ) lim 5 x 5x
x 1 x 7
2
2 c ) lim 1 x 5x
3
1 f ) lim 1 x 5x
x 4x 10 h ) lim x x 4
Curso 2013/14
x
1 x 6
57
8ª.- Regla de L’Hôpital 0 y 0. las hemos resuelto para funciones 0 racionales e irracionales pero, ¿qué ocurre con el resto de las funciones?. Por ejemplo, con los siguientes límites: Las indeterminaciones
2x e x lim (IND ) 2 x x
lim
x 0
Lnx lim xLnx o .( )(IND ) lim x 0 x 0 1 x
senx 0 (IND ) 0 x
(IND )
En estos casos se aplica la denominada regla de L’Hôpital que dice:
f (x ) 0 si dan lugar a una indeterminación del tipo ; x a , g (x ) 0
Los límites del tipo lim
pueden obtenerse derivando el numerador y el denominador y calculando, si existe, el límite del cociente de sus derivadas. f (x ) 0 f '(x ) ó (IND ) lim x a , g (x ) x a , g '(x ) 0 lim
A veces, después de este primer paso, se llega a otra indeterminación, por lo que se puede repetir el proceso hasta romper la indeterminación.
Ejemplo resuelto 1 - 20º Calcular los siguientes límites: 2x e x x x2
A) lim
2x e lim x x 2'
x
I N D
L 'H 2 )I N D ) lim x
senx B) lim x 0 x
Matemáticas II: Análisis
0 0
I N D
l im
x
2
e
2 x
'
2 x e x x
L 'H
2
'
'
x
lim
'
x
'
L 'H
lim
x 0
s e n x x '
Curso 2013/14
lim
x 0
lim
x
e x 2
cos x 1
2 e 2x
x
2
lim ( c o s x ) c o s 0 1 x 0
58
C) lim xLnx x 0 l i m x L n x 0 . x 0
I N D
Lnx lim x 0 1 x
1 ' L 'H Lnx x ( I N D ) l i m l i m lim ( x ) 0 ' x 0 x 0 1 x 0 1 x 2 x
Ejemplo resuelto 1 – 21º Selectividad 2012 a .sen (x ) xe x es finito, siendo a un nº real, calcula el valor de a x 0 x2
Sabiendo que lim y el de dicho límite.
En primer lugar calculamos el valor del límite:
lim
x 0
x
a .s e n ( x ) x e x 2
lim
x 0
a . c o s ( x ) e 2x
El límite obtenido -
a 1 0
x
a . s e n ( 0 ) 0 .e 02 xe
x
0
a .0 0 .1 0 0 0
a .cos(0) e 2 .0
0
0 .e
0
I N D
L 'H
lim
x 0
a . s e n ( x ) x 2
'
xe
x
'
a 1 0 a 1 0 0
depende del parámetro “a”. Discutámoslo:
Si a ≠ 1 el límite coincide con un nº real, distinto de 0, dividido entre 0
k ; k 0 y este límite valdría +∞ ó -∞, y el 0
límite no sería finito como dice el enunciado. Por tanto el parámetro “a” no puede ser distinto de 1. -
Si a = 1, quedaría la indeterminación
0 y tendríamos que romperla mediante la regla de L’Hôpital para calcular el 0
límite. Calculemos el valor del límite para a = 1 L `H cos(x ) e x xe x a . cos(x ) e x xe x a 1 a 1 0 a .sen (x ) xe x L 'H lim (IND ) lim 2 ` x 0 x 0 x 0 2x 0 0 x 2x sen (x ) e x e x xe x sen (x ) e x (2 x ) sen (0) e 0 (2 0) 0 1.2 lim lim 1 x 0 x 0 2 2 2 2 Como podemos observar el límite es finito y vale – 1.
lim
Sol: a =1 y lim f (x ) 1 x 0
Ejercicio 1 - 16º
A)
2003 1- A – 1
D)2006 1 – B – 1
Matemáticas II: Análisis
B) 2004 – 5 – B – 1
C) 2005 – 3 – A – 1
E) 2009 3 – A – 1
F) 2010 2 – B - 1
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59
9ª.- Asíntotas Las asíntotas de una función f(x) son rectas a las que se aproxima la función cuando x tiende hacia un valor real a, a o . a)
Asíntotas verticales
Son rectas paralelas al eje de ordenadas, de forma que la recta x = a es una asíntota vertical de la función f(x) si cuando x se acerca al valor real a la función se acerca a la recta, ya sea con valores mayores o menores que dicho valor. Es decir, x = a es una asíntota vertical de la función f(x) si existe alguno de los límites siguientes: lim f (x ) ( ) x a
lim f (x )
x a
lim f (x )
lim f (x )
x a
x a
lim f (x )
x a
Así pues, para calcular las asíntotas verticales de una función (si es que tiene) se localizan los valores de la variable x que hacen tender la función a o . Las curvas nunca cortan a las asíntotas verticales. Una función puede tener o no tener asíntotas verticales y, si tiene, puede tener una o varias (e incluso infinitas como le ocurre a la función tangente). Las funciones polinómicas no tienen asíntotas verticales. En las funciones racionales cuya fracción sea irreducible, las asíntotas verticales son los valores de x que anulan el denominador; es decir, tiene tantas asíntotas verticales como raíces reales distintas tenga el denominador y que no lo sean del numerador. Para estudiar la situación de la gráfica de la función respecto de la asíntota vertical , hay que hallar el valor de los límites laterales en el punto de abscisa x = a: lim f ( x ) y lim f ( x ) . x a
x a
Otra forma de hacerlo es darle a x valores muy próximos a x = a y a ambos lados de a. Supongamos, por ejemplo, que la recta de ecuación x = 7 es una asíntota vertical de f(x); calculamos f(7,01) y f(6,99) y obtenemos, p.e., f(7,01) = - 2300 y f(6,99) = 2320, de estos resultados deducimos que por la derecha de la asíntota la gráfica tiende a , puesto que el valor obtenido es negativo y por la izquierda tiende a , puesto que el valor es positivo.
Matemáticas II: Análisis
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60
b)
Asíntotas horizontales
Son rectas paralelas al eje de abscisas, de forma que la recta y = b es una asíntota horizontal de la función f(x) si cuando x tiende a y/o a la función se acerca a la recta (asíntota por la derecha y/o asíntota por la izquierda). Es decir, y = b es una asíntota horizontal de la función f(x) si existe alguno de los límites laterales siguientes: lim f (x ) b ;
x
y = b es A.H. de f(x) por la derecha
lim f (x ) b
x
y = b es A.H. de f(x) por la izquierda
Así pues, para calcular las asíntotas horizontales de una función (si es que tiene) se hace tender x hacia y a , y si alguno de estos límites es finito diremos que f(x) tiene asíntota horizontal, que puede ser por la derecha, por la izquierda o a ambos lados. La gráfica de una función puede cortar a sus asíntotas horizontales. Una función puede tener como máximo dos asíntotas horizontales, correspondientes a los límites laterales. Las funciones polinómicas no tienen asíntotas horizontales. Una función racional sólo puede tener una asíntota horizontal (en caso de existir, será la misma cuando x tienda hacia o ). Esto ocurrirá, si el grado del denominador es mayor o igual que el grado del numerador. Si reflexionas un poco podrás concluir que cuando el grado del denominador sea mayor que el del numerador la asíntota será el eje de abscisas, es decir, y = 0 Para estudiar la situación de la gráfica de la función respecto de la asíntota horizontal, calculamos la imagen de un valor positivo de x muy grande y de un valor negativo de x muy pequeño. Supongamos que la asíntota es y = 4; calculamos f(1000) y f(- 1000) y obtenemos, p.e., f(1000) = 3,980 y f(- 1000) = 4,001, de estos resultados deducimos que por la derecha la gráfica se acerca a la asíntota por abajo, puesto que el valor obtenido es menor que el valor de la asíntota y por la izquierda la gráfica se acerca a la asíntota por arriba, puesto que el valor obtenido es mayor que el valor de la asíntota.
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61
c)
Asíntotas oblicuas
Son rectas de ecuación y = mx + n (siendo m un nº real ≠ 0, es decir rectas ni horizontales ni verticales) a las que la función se acerca cuando x tiende a +∞ y/o a -∞.
La pendiente m y la ordenada en el origen n de la asíntota oblicua se calculan mediante los siguientes límites:
f (x ) x x
m lim
n lim f (x ) mx x
IMPORTANTE: 1º.- Si m no es un nº real ≠ 0, NO hay A.O. 2º.- n puede valer 0 ó ≠ 0, según la asíntota pase o no por el origen de coordenadas o no. 3º.- Una función puede tener o no asíntotas oblicuas y, si tiene, a lo sumo son dos (una en +∞ y otra en -∞) . 4º.- Si una función tiene asíntotas horizontales en un lado de su gráfica (en +∞ ó -∞), no puede tener asíntotas oblicuas en dicho lado. Las funciones polinómicas no tienen A.O. Las funciones racionales solo tienen A.O. cuando el polinomio del numerador tiene un grado más que el del denominador.
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62
En las funciones definidas a trozos, hemos de tener cuidado a la hora de buscar las asíntotas (verticales, horizontales u oblicuas), ya que, aunque una rama pueda tener una asíntota, es posible que la tenga en un valor de x en el que no esté definida dicha rama.
Ejemplo resuelto 1 - 22º Determina las asíntotas de las funciones y, cuando tenga AH y/o AV, indica como queda la gráfica de la función respecto a la asíntota:
A) f (x ) A.V.
x 2 x 1
(Sol . : AV . .:x 1 ;
A.H . : y 1)
La única raíz del denominador es x = 1 y, además no lo es del numerador. Por tanto, x = 1 es la única asíntota vertical
de f(x). Para saber la posición relativa de la función respecto a su asíntota estudiamos los límites laterales: x 2 3 x 2 3 lim f (x ) lim ; lim f (x ) lim x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 0 0
A.H. Como es una función racional basta con estudiar el límite
cuando x tiende a +∞:
x 2 x lim f (x ) lim lim 1 x x x 1 x x Por tanto, la recta de ecuación y = 1 es una asíntota horizontal de f(x), y lo es tanto a su derecha como a su izquierda. Para saber la posición relativa de la función respecto a su asíntota tomamos un valor negativo de x muy pequeño y otro valor positivo de x muy grande y calculamos sus imágenes. 1000 2 1002 1000 2 998 f (1000) 1, 003 1; f ( 1000) 0, 997 1 1000 1 999 1000 1 1001 Por tanto, cuando x tiende a +∞ la gráfica de la función está por encima de su asíntota horizontal y, cuanto x tiende a –∞ la gráfica de la función está por debajo de la asíntota.
A.O. No tiene puesto que hay A.H.
2x 2 4x B ) f (x ) (Sol . : AV . . : NO ; x 2 A.V. La única raíz del denominador es x = 2 pero, además
A.H . : NO ;
A .O . : y 2x )
lo es también del numerador. Por tanto, no sabremos si x = 2 es
o no es una asíntota vertical de f(x). Para averiguarlo estudiamos el límite de la función cuando x tiende a 2.
lim f ( x ) lim
x 2
x 2
2x 2 4 x 0 2 x ( x 2) (IND ) lim lim 2 x 4 x 2 x 2 x 2 0 x 2
Por tanto No tiene A.V.
A.H. Como es una función racional basta con estudiar el límite
cuando x tiende a +∞:
2x 2 4x 2x 2 lim f (x ) lim lim x x x x x 2 Por tanto, NO tiene A.H.
A.O.
Si tiene puesto que es una función racional, siendo el grado del numerador una unidad superior al del denominador.
Hallemos los valores de m y de n (basta con estudiarlo en +∞ puesto que es una función racional). 2x 2 4 x f (x ) 2x 2 4 x 2x 2 m lim lim : x lim lim 2 2 x x x x x x 2x x2 x 2
2x 2 4 x 2x 2 4 x 2x (x 2) 2x 2 4 x 2x 2 4x 0 n lim f (x ) 2x lim 2x lim lim lim lim 0 0 x x x x x x 2 x x 2 x 2 x 2 Por tanto, la recta de ecuación y = 2x es la A.O. de f(x)
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
63
C ) f (x )
x 1 x2 9
(Sol . : AV . . : x 3 ;
A.H . : y 0)
A.V. Las dos únicas raíces del denominador son x = 3 y x = - 3 y, además no lo son del numerador. Por tanto, x = 3 y x = - 3 son dos asíntotas verticales de f(x). Para saber la posición relativa de la función respecto a su asíntota estudiamos los límites laterales: lim f (x ) lim
x 3
x 3
lim f (x ) lim
x 3
x 3
x 1 2 ; x 2 9 0
lim f (x ) lim
x 3
x 1 4 ; x 2 9 0
x 3
lim f (x ) lim
x 3
A.H. Como es una función racional basta con estudiar el límite
x 3
x 1 2 x 2 9 0
x 1 4 x 2 9 0
cuando x tiende a +∞:
x 1 x lim f (x ) lim 2 lim 2 0 x x x 9 x x
Por tanto, la recta de ecuación y = 0 (el eje de abscisas) es una asíntota horizontal de f(x), y lo es tanto a su derecha como a su izquierda. Para saber la posición relativa de la función respecto a su asíntota tomamos un valor negativo de x muy pequeño y otro valor positivo de x muy grande y calculamos sus imágenes.
f (1000)
1000 1 0; 10002 9
f (1000)
1000 1 0 (1000)2 9
Por tanto, cuando x tiende a +∞ la gráfica de la función está por encima de su asíntota horizontal y, cuanto x tiende a –∞ la gráfica de la función está por debajo de la asíntota.
A.O. No tiene puesto que hay A.H. D ) f (x )
A.V.
x 2 x2 4
(Sol . : AV . .:x 2;
A.H . : y 0 ;
A .O . : NO )
Las dos únicas raíces del denominador son x = 2 y x = -2 y, además , x = - 2 lo es también del numerador, pero x = 2
no lo es. Por tanto, x = 2 es una asíntota vertical de f(x) pero x = - 2 tenemos que estudiarlo para ver si lo es o no lo es: x 2 0 x 2 1 1 1 lim f (x ) lim 2 lim (IND ) lim lim x 2 x 2 x 4 x 2 0 x 2 (x 2)( x 2) x 2 x 2 4 4 Por tanto No hay A.V. en x = - 2 Para saber la posición relativa de la función respecto a su asíntota (x = 2) estudiamos los límites laterales: x 2 4 x 2 4 lim f (x ) lim 2 ; lim f (x ) lim 2 x 2 x 2 x 4 x 2 x 2 x 4 0 0
A.H. Como es una función racional basta con estudiar el límite
cuando x tiende a +∞:
x 2 x lim f (x ) lim 2 lim 2 0 x x x 4 x x Por tanto, la recta de ecuación y = 0 (el eje de abscisas) es una asíntota horizontal de f(x), y lo es tanto a su derecha como a su izquierda. Para saber la posición relativa de la función respecto a su asíntota tomamos un valor negativo de x muy pequeño y otro valor positivo de x muy grande y calculamos sus imágenes.
f (1000)
1000 2 0; 10002 4
f ( 1000)
1000 2 0 ( 1000)2 4
Por tanto, cuando x tiende a +∞ la gráfica de la función está por encima de su asíntota horizontal y, cuanto x tiende a –∞ la gráfica de la función está por debajo de la asíntota.
A.O. No tiene puesto que hay A.H.
1 si x 1 x 2 E ) f (x ) x si 1 x 2 4 si x 2
Matemáticas II: Análisis
Aunque 1/x tiene una asíntota vertical, x = 0, esta no es asíntota de la función ya que 1/x está definida para valores menores que – 1. Por el contrario la asíntota horizontal, y = 0, si lo es de la función. Diremos que la función tiene asíntota horizontal por la izquierda, ya que el intervalo en el que está definida 1/x, es para valores menores que – 1. No hay A.O.
Curso 2013/14
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F ) f (x ) 3x
(Sol . : AV . . : NO ;
A .H . : y 0 por la izquierda
;
A.O . : NO )
No tiene asíntotas verticales. Tiene una asíntota horizontal, y = 0, por la izquierda, puesto que al calcular los límites laterales en o , obtenemos: lim f (x ) lim f (x ) lim 3 x lim
x
x
x
x
1 1 1 0; 3x 3
lim f (x ) lim 3x 3
x
x
A.O. en -∞ NO tiene puesto que aquí tiene A.H. Veamos si tiene o no A.O .en +∞ m lim
x
L 'H f (x ) 3x 3x .ln 3 lim lim (IND ) lim lim 3 x .ln 3 x x x x x x 1
Por tanto no tiene A.O. en +∞ porque el límite no ha salido finito y distinto de 0.
G ) f (x ) 5 x
(Sol . : AV . . : NO ;
A.H . : y 0 por la derecha
;
A .O . : NO )
No tiene asíntotas verticales. Tiene una asíntota horizontal, y = 0, por la derecha, puesto que al calcular los límites laterales en
o
,
obtenemos: lim f (x ) lim f ( x ) lim 5 ( x ) lim 5 x 5 ;
x
x
x
lim f ( x ) lim 5 x lim
x
x
x
x
1 1 1 0 5x 5
A.O. en +∞ NO tiene puesto que aquí tiene A.H. Veamos si tiene o no A.O .en -∞ m lim
x
L 'H f (x ) f ( x ) 5( x ) 5x 5 x .ln 5 lim lim lim lim ( IND ) lim lim 5 x .ln 5 x x x x x x x x x x 1
Por tanto no tiene A.O. en -∞ porque el límite no ha salido finito y distinto de 0.
H ) f (x ) Ln (x 2 1)
(Sol . : AV . . : NO ;
A.H . : NO ;
A.O . : NO )
A.V. Su dominio es todo R y NO tiene asíntotas verticales. A.H. Estudiemos los límites en +∞ y en -∞ (para -∞ serviría el estudio hecho en +∞ ya que la función tiene simetría par) lim f (x ) lim Ln (x 2 1) ;
x
lim f (x ) lim f ( x ) lim Ln (x )2 1 lim (x 2 1) x x x
x
x
NO tiene A.H.
A.O. Estudiemos si hay en +∞: 2x ' L 'H Ln (x 2 1) 2 f (x ) Ln (x 2 1) x 1 lim 2x 0 m lim lim (IND ) lim lim x x x x x x 2 1 x x 1 x' Por tanto NO tiene A.O. en +∞ porque aunque el límite ha salido finito no es distinto de 0. Como la función tiene simetría par, tampoco tendrá A.O. en -∞.
I ) f (x ) x 2 2x
(Sol . : A V . . : NO ;
A .H . : NO
A .O . : y x 1
e
y x 1
A.V. Su dominio es (-∞,0]U[2, ∞) y NO tiene asíntotas verticales. A.H. Estudiemos los límites en +∞ y en -∞: lim f (x ) lim
x
x
x 2 2x lim
x
lim f (x ) lim f ( x ) lim
x
x
x
x 2
( x )2 2.( x ) lim
x
x 2 2x lim
x
x 2
NO tiene A.H.
A.O. Estudiemos si hay en +∞: f (x ) x 2 2x x2 lim lim 1 x x x x x x
m lim
Matemáticas II: Análisis
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x 2 2x x x 2 2x x n lim f (x ) x lim x 2 2x x (IND ) lim x x x 1. x 2 2x x x 2 2x x 2 2x lim lim 1 x x x 2 2x x x 2 2x x Por tanto en +∞ SI tiene una A.O. y su ecuación es y
=x-1
Análogamente si estudiamos la existencia de A.O. en -∞ obtenemos que también tiene y su ecuación es
J ) f (x )
1 x e x
A.V. Su dominio es
A.H . : y 0 por la izquierda
;
A.O . : NO )
R – {0}. Veamos si tiene A.V. en x = 0:
lim f ( x ) lim
x 0
(Sol . : AV . .:x 0;
y = -x + 1 .
x 0
1 x 1 0 e e .1 ; x 0
lim f ( x ) lim
x 0
x 0
1 x 1 0 e e .1 x 0
La recta x = 0 (que es el eje de ordenadas) es una A.V.
A.H. Estudiemos los límites en +∞ y en -∞: '
L 'H ex 1 x ex ex lim f ( x ) lim e 0. ( IND ) lim ( IND ) lim lim ' x x x x x x x 1 x
1 1 0 .0 0 x e x En +∞ NO tiene A.H. pero en -∞ SI tiene y es la recta de ecuación y = 0 (el eje de abscisas) lim f ( x ) lim f ( x ) lim
x
x
x
1 e x
x
lim
x
A.O. Estudiemos si hay en +∞, ya que en -∞ NO hay al haber asíntota horizontal: '
L 'H ex f (x ) ex ex lim : x lim 2 (IND ) lim x x x x x x x x2
m lim
'
'
x
L 'H e ex ex (IND ) lim lim ' x 2x x x 2 2x
lim
Por tanto en +∞ NO tiene una A.O. porque el límite no ha salido finito y distinto de 0.
Ejercicio 1 - 17º Determina las asíntotas de las funciones:
A) f (x )
2 2x 4
; B ) f (x )
3x 1 x 2
C ) f (x )
2x 3 2x 2 x2 1
Ejercicio 1 - 18º Determina las asíntotas de las funciones:
A) f (x ) x 3 .e x
; B ) f (x )
2x 2 2 x 1
C ) f (x )
x3
1 x
2
Ejercicio 1 - 19º Determina las asíntotas de las funciones: 2
A ) f (x ) x .e
Matemáticas II: Análisis
x 2
ex ; B ) f (x ) x 1
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2
C ) f (x ) x 1 e x
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Ejercicio 1 - 20º Determina las asíntotas de las funciones:
1 si x 0 A) f (x ) x 1 x 2 3x 1 si x 0
2
; B ) f (x )
x Lnx
2
x 1
Ejercicio 1 - 21º A)
2003 5 - B – 2
B) 2003
6–A–2
C) 2005
3–A–1
6-B–1
C) 2009
2–A–1
D) 2006
5-A–1
Ejercicio 1 - 22º A)
2008 3 – A – 1
B) 2008
Ejercicio 1 - 23º Las gráficas siguientes corresponden a cuatro funciones que no están definidas en x = 1. Asocia cada gráfica con alguna de estas funciones:
1 ; x 1 1 3) f (x ) ; 1x 1) f (x )
2
Matemáticas II: Análisis
1 (x 1)2 1 4) f (x ) 2 (x 1)2
2) f (x )
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10ª.- Continuidad de una función Una función f(x) es continua en un punto de abscisa, x = a, si se verifica que: 1. Existe f(a). 2. Existe lim f (x ) . x a
3. Se cumple que: lim f (x ) f (a ) x a
Si alguna de estas condiciones no se cumple, diremos que la función es discontinua en a. En la práctica no es necesario comprobar las tres condiciones, ya que estas se resumen en la tercera condición. Las funciones elementales: constantes, polinómicas, racionales, irracionales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas; son continuas en sus respectivos dominios de definición, por tanto, para estudiar su continuidad hallaremos su dominio de definición. Una función f(x) es continua en un intervalo abierto (a, b) si lo es en todos sus puntos. Una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b] si lo es en el intervalo abierto (a, b) y además es continua por la derecha en x = a y por la izquierda en x = b.
Tipos de discontinuidades Según la condición de continuidad que no se cumpla, las discontinuidades pueden clasificarse de la siguiente forma: Discontinuidad evitable Una función presenta una discontinuidad evitable en un punto de abscisa, x = a, cuando el límite de la función en x = a existe y es finito, pero no coincide con el valor de la función en a, o bien la función no está definida en x = a : lim f ( x ) f (a ) o lim f ( x ) y
x a
lim f (x ) 2 x 1
x a
; f (1) 2
f (a )
no f (c )
Esta discontinuidad se evita redefiniendo la función en a y haciendo que en este punto tome el valor del límite.
Matemáticas II: Análisis
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Ejemplo resuelto 1 - 23º Estudia la continuidad de las siguientes funciones. Si son discontinuas en algún punto, indica de qué tipo es. En caso de que haya alguna discontinuidad evitable, define una nueva función que la evite: A)
x 2 4 si x 2 f (x ) x 2 1 si x 2 (Sol . : Continua en R 2; x 2 discontinuidad evitable lim f (x ) ; x 2
La expresión
x2 4 x 2
f (2) ;
lim f (x ) f (2) )
x 2
, es una función racional, que es continua en todo su dominio, es decir, en R – {2}, Por tanto f(x) también
es continua en R – {2}. Veamos si f(x) es continua en x = 2: 1º. f(2) existe y vale 1. 2º. Veamos si existe
lim f (x ) . Para ello
estudiamos los límites laterales:
x 2
x2 4 0 ( x 2)( x 2) ( IN D ) lim lim ( x 2) 4 x 2 x 2 x 2 0 x 2 f (x ) 4 xlim 2 x2 4 0 ( x 2)( x 2) lim f ( x ) lim ( IN D ) lim lim ( x 2) 4 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 0 x 2 3º. No es continua en x = 2 porque: f (2 ) 1 lim f ( x ) 4 lim f ( x ) lim
x 2
x 2
x 2
Por tanto f(x) es continua en todo R menos en x = 2 que tiene una discontinuidad evitable. A partir de f(x), podemos definir una nueva función g(x) que en la que se elimina dicha discontinuidad y que por tanto será continua en todo R.
x 2 4 si x 2 g (x ) x 2 4 si x 2
B)
f (x )
x2 9 3x
(Sol . : Continua en R 3 ; x 3discontinuidad evitable lim f (x ) ; x 2
x2 9 , es una función racional, que es continua en todo su dominio, es decir, en R 3x Veamos el tipo de discontinuidad que hay en x = 3: Para ello veamos si existe lim f ( x ) . La expresión
f (3))
- {.3}
x 3
lim f ( x ) lim
x 3
x 3
x2 9 0 ( x 3)( x 3) ( x 3)( x 3) ( x 3) ( I N D ) lim lim lim lim ( x 3) 6 x 3 x 3 x 3 x3 3x 0 3x ( 3 x ) 1
El límite existe y es finito. Por tanto la discontinuidad es evitable-. Por tanto f(x) es continua en todo R menos en x = 3 que tiene una discontinuidad evitable. A partir de f(x), podemos definir una nueva función g(x) en la que se elimina dicha discontinuidad y que por tanto será continua en todo R.
x 2 9 si x 3 g (x ) 3 x 6 si x 3
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Ejercicio 1 - 24º Haz el mismo estudio que en el ejemplo anterior en las funciones siguientes: A)
x 2 6x 9 si x 2 f (x ) 5 si x 2
B)
f (x )
1x 1 x2
Discontinuidad no evitable de primera especie (o esencial)
Una función presenta una discontinuidad no evitable de primera especie con salto finito en un punto, x = a, cuando existen los límites laterales, son finitos y distintos: lim f (x ) lim f (x )
x a
x a
lim f (x ) 2 no lim f (x ) x 1 lim f (x ) 1 x 1 x 1
; f (1) 2
Ejemplo resuelto 1 - 24º Estudia la continuidad de la siguiente función:
1 si x 0 f (x ) 0 si x 0 1 si x 0 (Sol . : Continua en R 0 x 0Discontinuidad NO evitable
de 1ª especie
de salto finito)
La expresión – 1 es una función constante y por tanto continua en todo R. Por consiguiente f(x) también lo es en el intervalo (-∞,0) La expresión 1 es una función constante y por tanto es continua en todo R. Por consiguiente f(x) también lo es en el intervalo (0,+∞) Veamos si f(x) es continua en el punto de ruptura, es decir, en x = 0: 1º. f(0) existe y vale 0. 2º. Veamos si existe lim f ( x ) . Para ello estudiamos los límites laterales: x 0
lim f ( x ) lim ( 1) 1 x 0 N o lim f ( x ) lim f ( x ) lim 1 1 x 2 x 0 x 0 NO es continua en x = 0 porque: N o lim f ( x ) x 0
x 0
La función es continua en R – {0}, y en x = 0 tiene una discontinuidad no evitable de primera especie de salto finito.
Matemáticas II: Análisis
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Una función presenta una discontinuidad no evitable de primera especie con salto infinito o asintótica en un punto, x = a, cuando uno o los dos límites laterales son o : lim f (x )
x a
lim f (x ) no lim f (x ) x 1 lim f (x ) 0,5 x 1 x 1
o
lim f (x )
x a
es
no lim k (x )
; f ( 1) 0,5
x 3
no k (3)
Ejemplo resuelto 1 - 25º Estudia la continuidad de la siguiente función: 0 si x 1 f (x ) 1 si x 1 x 1 (Sol . : Continua en R 1 x 1 Discontinuidad NO evitable
de 1ª especie de salto infinito )
La expresión 0 es una función constante y por tanto continua en todo R. Por consiguiente f(x) también lo es en el intervalo (∞,1) La expresión
1/(x-1)
es una función racional y por tanto es continua en todo su dominio, es decir, R – {1}. Por
consiguiente f(x) también lo es en el intervalo (1,+∞) Veamos si f(x) es continua en el punto de ruptura, es decir, en x = 1: 1º. f(1) existe y vale 0. 2º. Veamos si existe lim f ( x ) . Para ello estudiamos los límites laterales: x 1
lim f ( x ) lim (0 ) 0
No 1 1 lim f ( x ) lim x 1 x 1 x 1 0 x 1
NO es continua en x = 1 porque:
x 1
lim f ( x ) x 1
N o lim f ( x ) x 1
La función es continua en R – {1}, y en x = 1 tiene una discontinuidad no evitable de primera especie de salto infinito
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Una función presenta una discontinuidad no evitable de segunda especie en un punto, x = a, cuando uno o los dos límites laterales no existen: lim f (x ) x a
o
lim f (x ) x a
En la tabla se esquematizan las discontinuidades evitables y las no evitables de primera especie: Discontinuidad no evitable de primera especie Discontinuidad evitable
Matemáticas II: Análisis
No evitable de salto finito
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No evitable de salto infinito
72
Ejemplo resuelto 1 - 26º Clasifica las discontinuidades que presenta la siguiente función:
En x = -4, es discontinua no evitable con salto infinito o asintótica, al cumplirse:
lim f (x )
x 4
lim f (x )
x 4
En x = -2, la función es discontinua no evitable con salto finito, por existir los límites laterales, ser finitos y distintos.
En x = 1, la función es continua por la izquierda. Podría decirse que presenta una discontinuidad no evitable de segunda especie al carecer de límite lateral por la derecha.
En x = 3, la función es continua por la derecha. Como el caso anterior podría ser considerada como discontinua no evitable de segunda especie al no tener límite lateral por la izquierda.
En x = 5, la función es discontinua evitable. Evitamos la discontinuidad redefiniendo la función en x = 5, haciendo f(5) = 4.
En x = 8, la función es discontinua no evitable con salto infinito al ser un límite lateral finito y otro infinito.
En x = 10, la función es discontinua evitable. Evitaremos la discontinuidad definiendo f(10) = 2.
Ejemplo resuelto 1 - 27º Halla el valor del parámetro m para que la función f(x) sea continua en R. 1 si x 0 f (x ) x 1 2x m si x 0 La expresión
(S ol . : Si
m 1 f ( x ) es con tin ua en R )
1 es una función racional y por tanto continua en todo su dominio que es R – [1]. Por consiguiente la x 1
función f(x) es continua en el intervalo (-∞,0) independientemente del valor del parámetro m.: La expresión 2 x m es una función polinómica y por tanto continua en todo su dominio que es R . Por consiguiente la función f(x) es continua en el intervalo (0,+∞) independientemente del valor del parámetro m.: Veamos que ocurre con la continuidad de función f(x) en x = 0 1º. f(0) existe y vale -1.
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
73
2º. Veamos si existe
lim f ( x ) . Para ello
estudiamos los límites laterales:
x 0
1 1 x 1 lim f ( x ) lim (2 x m ) m lim f ( x ) lim
x 0
x 0
x 0
x 0
si
m 1
lim f ( x ) 1 f (0 ) x0
Como vemos el valor de uno de los límites laterales depende del valor del parámetro m, y por tanto, la existencia o no del límite de f(x) en x = 0. Si queremos que dicho límite exista debemos imponer la condición de que los límites laterales coincidan, es decir, m = - 1. De esta forma la función también será continua en x = 0.
Ejercicios 1 - 25º a 34º 25º.- Estudia la continuidad de la función: x 2 si x 2 x 1 f (x ) 2 3x 2x si x 2 x 2
26º.- Halla el valor que deben tener a y b para que la siguiente función sea continua en R: si x 1 5x 2 f (x ) ax b si 1 x 2 3x 2 si x 2
(Sol: a = 3 y b = - 8)
27º.- Halla el valor de a y b para que las funciones sean continuas en R: a 2x si x 0 x 1 f (x ) x 2b si 0 x 2 ax 2 5 si x 2
28º.- Halla el valor (o los valores) del parámetro a para que la función:
ex si x 1 f (x ) 2 (a 2a )x e si x 1
(Sol.: a = 0 y a = - 2)
sea continua en el punto x = 1. (e es la base de los logaritmos neperianos) 29º.- Estudia la continuidad de las siguientes funciones:
si x 1 0 a ) f (x ) x 1 si 1 x 3 ; x 2 5 si x 3
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ex si x 0 b ) f (x ) 2 x 2x 1 si x 0
74
e ax si x 0 30º.- Dada la función: f (x ) x 2a si 0 x 2 , calcula los valores de a y b x b si x 2 para que f(x) sea continua.
x 2 2x 8 presenta una discontinuidad evitable x 2 en el punto x = 2, y define una función g que sea continua en R y coincida con f en todo su dominio. (Sol.: g(x) = f(x) si x ≠ 2 y g(2) = 6) 31º.- Comprueba que la función: f (x )
32º.- Estudia la continuidad de las siguientes funciones: 4 x 2 x 5 si a ) f (x ) 3x 1 si 2 x 3 (Sol.: Continua en R – {- 5, 2}) 2x 2 si x 3 b ) g (x ) x 2 ln(x 4) (Sol.: Continua en (4, +))
x 1 (Sol.: Continua en [-1, +)) x2 3 33º.- Estudia la continuidad de la función:
c ) h (x )
x 2 1 si x 0 f (x ) x 1 si x 0, 2 (Sol.: Continua en R – {2}) x 2 4x 2 si x 2 34º.- Estudia la continuidad de la función:
f (x ) x 3
Matemáticas II: Análisis
(Sol.: R)
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2.
DERIVADAS Y TÉCNICAS DE DERIVACIÓN 1ª.- Tasas de variación media. 2ª.- Derivada de una función en un punto. 3ª.- Función derivada. 4ª.- Reglas de derivación. 5ª.- Interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto. 6ª.- Derivadas laterales. 7ª.- Continuidad y derivabilidad.
1ª.- Tasas de variación media e instantánea En muchas situaciones reales interesa conocer propiedades relativas al cambio o variación que experimenta una variable respecto a otra. Esta variación se puede evaluar a través del cociente entre el incremento que sufre la variable dependiente y el incremento de la variable independiente. A este cociente le llamamos tasa de variación media (T.V.M.) de la función. La tasa de variación media (T.V.M.) de una función f(x), en el intervalo [a, b], viene dada por la expresión: TV . .M .
f (b ) f (a ) b a
Geométricamente, la T.V.M. de la función f en el intervalo [a, b] coincide con la pendiente de la recta secante a la gráfica de la función f(x) que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)).
Si hacemos el cambio b= a + h podemos expresarla como:
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f ( a h ) f (a ) h siendo h la amplitud del intervalo, tal y como se ve en la imagen siguiente: TV . .M .
Ejemplo resuelto 2 - 1º 2 Calcula la T.V.M. de la función f (x ) x 2x en el intervalo 1, 3 .
Sol . :
f (3) f (1) 3 ( 1) f (3) 3 2 2.3 3 . .M 2 T V f (1) 1 2 2.1 1 31 2
La T.V.M. de una función nos informa acerca de su variación en un intervalo, pero no nos da información sobre la variación de la función en un punto. Si h es muy pequeño, o próximo a cero, obtenemos una información más precisa sobre cómo varía la función en el punto a . Por ejemplo, a la policía de tráfico en carretera le importa más la velocidad de un vehículo al atravesar un núcleo urbano que su velocidad media por hora; por eso, se instalan radares que detectan velocidades en un punto concreto del trayecto. Esta velocidad es, de hecho, una velocidad media entre dos puntos muy próximos; en la práctica es la que marca el cuentakilómetros en un instante determinado. La tasa de variación instantánea (T.V.I.) en el punto a sería, pues, la variación media entre los puntos a y a + h, muy próximos: f ( a h ) f (a ) h 0 h
TV . .I . lim
Ejemplo resuelto 2 - 2º 2 Calcula la T.V.I. de la función f (x ) x 2x en el punto x = - 1.
TV . .I lim
h0
f ( 1 h ) f ( 1) como f (1 h ) ( 1 h )2 2( 1 h ) 3 4h h 2 h
y
f (1) 3
2
TV . .I lim
h 0
3 4h h 3 h
Matemáticas II: Análisis
lim ( 4 h ) 4 h 0
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2ª.- Derivada de una función en un punto A la T.V.I. de la función f(x) en el punto x = a se le llama derivada de f(x) en el df punto de abscisa x = a, y se denota por f´(a) (otras formas: y´(a), Df(a), (a ) ). Por dx tanto: f ( a h ) f (a ) f (a ) lim h 0 h
Ejemplo resuelto 2 - 3º A) Dada la función f (x ) 3x 2 , calcula la derivada de la función f(x) en los puntos de abscisa x = - 1 y x = 2: f ( 1 h ) f ( 1) 3 h 5 ( 5) 3h f ( 1 h ) 3( 1 h ) 2 3h 5 lim lim 3 f ( 1) hlim 0 h 0 h 0 h f ( 1) 3( 1) 2 5 h h f (2 h ) f (2) 3h 4 4 3h f (2 h ) 3(2 h ) 2 3h 4 lim lim 3 f (2) hlim 0 h 0 h 0 h f (2) 3(2) 2 4 h h 2 B) Calcula la derivada de la función f (x ) x 2x 3 , en los puntos x = 1 y x = - 2.
f (1 h ) f (1) (1 h )2 2(1 h ) 3 0 h 2 4h h (h 4) lim lim lim lim (h 4) 4 h0 h 0 h 0 h0 h 0 h h h h
f (1) lim
f ( 2 h ) f ( 2) ( 2 h )2 2( 2 h ) 3 ( 3) h 2 2h h (h 2) lim lim lim lim (h 2) 2 h0 h0 h0 h 0 h 0 h h h h
f (2) lim
Ejercicio 2 - 1º Aplicando la definición de derivada de una función en un punto, calcula las siguientes derivadas en los puntos que se indican: A ) f (x ) 1 x 2 en x 2 B ) g (x ) 2x 2 3x 1 en x 1 1 C ) h (x ) en x 1 x D ) i (x ) x 1 en x 3
3ª.- Función derivada El cálculo del valor de la derivada de una función en un punto a exige la resolución de un límite, en muchos casos engorroso. Sí, además, para una misma función tenemos necesidad de calcular su derivada en distintos puntos, esta dificultad se acrecienta. La manera de simplificar el proceso es hallar, de una vez, otra función genérica que nos dé el
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valor de la derivada en cualquier punto con sólo sustituir en ella. Esta función recibe el nombre de función derivada. La función derivada de una función f es una función que asocia a cada valor de x, su derivada. Se denota por f´(x), o por y´: f (x h ) f (x ) h 0 h
f (x ) lim
A partir de la función derivada se puede definir, si existe, también su derivada, y recibe el nombre de derivada segunda, se representa por f´´(x). Análogamente se definen las sucesivas funciones derivadas derivada tercera, cuarta,…
Ejemplo resuelto 2 - 4º 2 Dada la función f (x ) 3x 2x , calcula su función derivada, aplicando la definición.
f (x h ) f (x ) 3( x h ) 2( x h )2 (3x 2 x 2 ) 3x 3h 2 x 2 4 xh 2h 2 3x 2 x 2 lim lim h 0 h 0 h 0 h h h 2 3h 4 xh 2h h (3 4 x 2h ) lim lim lim (3 4 x 2h ) 3 4 x h 0 h 0 h 0 h h
f (x ) lim
Ejercicio 2 - 2º Aplicando la definición de derivada de una función, calcula la función derivada de : A ) f (x ) 1 x 2 B ) g (x ) 2x 2 3x 1 1 C ) h (x ) en x 1 x
IMPORTANTE Observa que el conocimiento de la función derivada de una función f(x) simplifica el proceso de cálculo del valor de la derivada de f en cualquier punto de abscisa x = a, porque bastaría con sustituir el valor de x = a en la función derivada f’(x).
Así, para calcular f´(- 1), siendo f la función del ejemplo anterior, bastará sustituir x por -1 en la función derivada f´(x) = 3 - 4x: f´(- 1) = 3 – 4 (- 1) = 7
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4ª.- Reglas de derivación Para calcular la función derivada de una función dada no aplicaremos la definición, sino que usaremos las siguientes reglas de derivación que se recogen en la tabla de la página siguiente:
Matemáticas II: Análisis
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REGLAS DE DERIVACIÓN PARA EL CÁLCULO DE LA FUNCIÓN DERIVADA Función
Forma simple
Forma compuesta
Constante
f ( x) K
f ( x ) 0
Identidad
f ( x) x
f ( x ) 1
Potencial
Irracional
Exponencial Potencialexponencial
f ( x) xn f ( x) n xn1 f ( x)
n
x f ( x )
1
Trigonométrica
n n g ( x )
f ( x) ah( x ) , a 0 f ( x) ah( x ) ln a h '( x)
f ( x) e x f ( x) e x ln e e x
f ( x ) e h ( x ) f ( x ) e h ( x ) h '( x )
h( x)
f ( x ) g ( x)
f ( x ) h ( x ). g ( x )
1 x 1 1 f (x) loga x f '(x) loga e lna x x
h ( x ) 1
g ( x ) g ( x )
h(x)
ln g ( x ).h '( x )
f ( x) ln g ( x) f ( x) f ( x) loga g( x) f ' ( x)
g' ( x) g' ( x) loga e lna g( x) g(x)
f ( x ) sen g ( x ) f ( x ) g ( x ) cos g ( x )
f ( x ) cos x f ( x ) sen x
f ( x ) cos g ( x ) f ( x ) g ( x ) sen g ( x )
1 cos2 x 1 1 x2 1
f ( x ) arccos x f ( x)
1 x2 1 f ( x ) arctg x f ( x) 1 x2
f ( x ) arcsen g ( x ) f ( x ) f ( x ) arccos g ( x ) f ( x )
g ( x ) 2
g ( x ) 2
1 g ( x )
f ( x ) arctg g ( x) f ( x )
Suma o resta de funciones
f ( x ) g ( x ) h( x ) f ' ( x ) g ' ( x ) h' ( x )
Producto de funciones
f ( x ) g ( x ).h ( x ) f ' ( x ) g ' ( x ).h ( x ) g ( x ).h' ( x )
Matemáticas II: Análisis
g'(x) cos2 g(x)
1 g ( x )
f ( x ) K .g ( x ) f ' ( x ) K .g ' ( x )
f ( x)
f (x) tgg(x) f '(x) g'(x)1tg2g(x)
Producto de un nº por una función
Regla de la cadena o función compuesta
g ( x ) g ( x)
f ( x ) sen x f ( x ) cos x
f ( x ) arcsen x f ( x)
Cociente de funciones
n 1
f ( x) a x , a 0 f ( x) a x ln a
f (x) tgx f '(x) 1tg2x
Funciones arco
g ( x )
g ( x )
f ( x) n g ( x) f ( x)
n n x n 1
f ( x) ln x f ( x)
Logarítmica
n 1
n
f ( x ) g ( x ) f ( x ) n g ( x )
g ( x ) 2
1 g ( x)
g ( x) g ' ( x).h( x) g ( x).h' ( x ) f ' ( x) h( x ) h( x)2
f (x ) ( g h )(x ) f (x ) g (h(x )) h (x )
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Ejercicio 2 - 3º Calcula las derivadas de las funciones que se indican:
a ) f (x ) 6 d ) f (x )
c ) f (x ) 8x 9
b ) f (x ) 3x
2 x4
e ) f (x )
1 7
x
f ) f (x ) 3x 4 10
5
g ) f (x ) 3(x 2 x 1)
h ) f (x ) (2x 4 3x 2 3)3
j ) f (x ) 3x
k ) f (x ) e 4 x
m ) f (x ) 6 log x
n ) f (x ) ln (3x 3 )
p ) f (x ) 4x 3 5x
1 ex
q ) f (x )
3
1 3x 5x 6
i ) f (x )
2
l ) f (x ) 2e 5x
3
o ) f (x ) 2(x ln x )3
x2 3 x2 2 5 2x 4 x
r ) f (x )
5 x 2x 3
Ejercicio 2 - 4º Calcula las derivadas de las funciones que se indican: a ) f (x ) (x 2 1) (x 3 2x )
b ) f (x ) (5x 6 3x 2 ) (7x 4 3x 2 )
c ) f (x ) (x 2x 3 ) ( 5x 7)3
d ) f (x )
x 2 3x f ) f (x ) 4x 5
x2 1 g ) f (x ) x
i ) f (x ) (1 e 2x ) (1 x )
j ) f (x ) e 5x 3 (2x 3 1) 4 k ) f (x ) e 4x (x 1)
l ) f (x ) (1 x 3 )2 ln2x
m ) f (x ) x ln(x 3 7x ) n ) f (x ) 4x 3 ln(x 1)
e 2 x 1 o ) f (x ) (2x 1)3
x p ) f (x ) 5 x e
ln x 3 r ) f (x ) x2
s ) f (x )
u ) f (x ) ln ((1 x ) (x x 3 ))
v ) f (x ) e x ln(x 2 )
5x 1 5x 1
e ) f (x )
2x 2 (x 1)2
h ) f (x )
x 2 x 2
3
ln(x 2) (x 2)3
2
e 3x 1 q ) f (x ) 2x 4 3x t ) f (x )
log (2x ) 2x 3 1
Ejercicio 2 - 5º Halla la derivada de estas funciones en los puntos que se indican en cada caso:
a ) f ( x ) ( x 2 1) e x
f (0)
x2 3 b ) f (x ) 2 f (1) x 1
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Ejercicio 2 - 6º Halla las derivadas 1ª y 2ª de cada una de estas funciones:
a ) f ( x ) 3x 6 2x 1 b ) f ( x ) e 3x
Ejercicio 2 - 7º Calcula la derivada de las siguientes funciones:
a ) f (x )
5 4 x 2
b ) f (x )
d ) f (x ) 5(2x 5 4x ) 1 f ) f (x ) 2
x
1 ex
h ) f (x ) 3e 6x
1 6 m ) f (x ) 3x 2 33 x 2 7 2 x x
1 2 x 2x
p ) f (x ) 4x x 2
2
k ) f (x ) (1 ln x )3
j ) f (x ) log (2x 3)
l ) f (x ) 22x ln x o ) f (x ) 5x 2
c ) f (x ) 5 x 3
e ) f (x ) (2x 2 3x 1) 4 g ) f (x )
i ) f (x ) ln2x 1
1 x
n ) f (x )
1 x x 2
1 ex
Ejercicio 2 - 8º Calcula la derivada de las siguientes funciones: a ) f (x ) (x 3x 4 )(4x 2)
b ) f (x ) ( 2x 3 9x 2 )(x 5x 6 )
c ) f (x ) (5x 2) 4 (2x 3 8) d ) f (x )
2x 1 3x 2
e ) f (x )
(1 x )2 2x 2
2x (3 x )2
g ) f (x ) (5x e 2x ) (7 2x )3
h ) f (x ) e 3x
j ) f (x ) (2x 3 7)5 ln (x 2 1)
k ) f (x ) x 5 ln(x 4x 3 ) l ) f (x ) (7 x 2 1)ln x 3
2e 5 x m ) f (x ) (x 4)2
2x n ) f ( x ) 3 x 2 e
p ) f (x )
ln( 3x 2 4x ) x2 5
2x 1 s ) f (x ) ln x 2
Matemáticas II: Análisis
q ) f (x )
(2x 3 5) i ) f (x ) e 6 x (5x x 3 )
5log7 x 2x 3
t ) f (x ) 5x x
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7
f ) f (x )
2
3
e 7 x 1 o ) f (x ) 5x 6 8x r ) f (x )
ln x 3 (x 2 1)2
x 1
83
Ejercicio 2 - 9º Halla la derivada de estas funciones en los puntos que se indican en cada caso:
a ) f ( x ) ( x 2 1)5
f ( 1)
x 3 b ) f ( x ) ln f (6) x 2
Ejercicio 2 - 10º Halla las derivadas 1ª y 2ª de cada una de estas funciones:
a ) f (x )
1 x 2
b ) f ( x ) x e 3x
5ª.- Interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto Hemos visto que la T.V.M. de la función f en el intervalo [a, a+h] coincide con la pendiente de la recta secante a la gráfica de la función por los puntos P y Q.
Cuando h tiende a 0, es decir, cuando Q se acerca a P, la recta secante se convierte en la recta tangente a la curva en el punto P y la pendiente de la recta secante en la pendiente de la recta tangente. Por tanto, la pendiente, m, de la recta tangente en el punto P es la T.V.I. en el punto P, es decir, la derivada f´(x) de la función f(x) en x = a: f (a h ) f (a ) f (a ) m recta tan gente en el punto (a , f (a )) h 0 h lim
Si tenemos en cuenta que la ecuación punto – pendiente de una recta es:
y y0 m (x x0 ) , donde (x0, y0) es un punto de la recta y m, su pendiente; y puesto que f´(a) nos da la pendiente de la recta tangente a f en el punto (a, f(a)), se tiene que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en dicho punto es:
y f (a ) f (a )(x a ) ecuación de la recta tangente
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La recta normal en P es la recta que pasa por P y es perpendicular a la tangente, es 1 decir, tiene de pendiente el número m ' , (recuerda que el producto de las f (a ) pendientes de dos rectas perpendiculares da como resultado -1: m.m’ = -1 por lo que su ecuación es:
y f (a )
1 (x a ) ecuación de la recta normal f (a )
Ejemplo resuelto 2 - 5º Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de la función f (x ) x 2 2x en el punto de abscisa x = - 1. (Sol.: en forma explícita y = - 4x – 1) La ecuación, en forma punto pendiente, de la recta tangente pedida es de la forma
y f ( 1) f '( 1)( x 1)
Hallemos por tanto f(-1) y f’(-1)
f ( 1) ( 1) 2 2 .( 1) 1 2 3 f '( x ) 2 x 2 ; f '( 1) 2( 1) 2 4
y 3 4 ( x 1) y 4 x 1
La ecuación, en forma punto pendiente, de la recta normal pedida es de la forma
y f ( 1)
1 ( x 1) f '(x )
y 3
1 ( x 1) 4
y
1 13 x 4 4
Ejemplo resuelto 2 - 6º 2
Dada la función f (x ) x x 1 se ha trazado una recta tangente a ella que tiene por ecuación y 5x 3 . ¿En qué punto se ha trazado? Sol.: (2, 7) La recta tangente trazada tiene de pendiente m = 5. Por tanto la derivada de la función en el punto de tangencia desconocido tiene que valer 5, es decir, f’(x) = 5. Si igualamos la derivada de la función a 5, obtenemos la abscisa del punto de tangencia: Como
f (x ) x
2
x 1
f '( x ) 2 x 1
2x 1 5
x 2
2
Sustituyendo x = 2 en f(x), obtenemos la ordenada del punto de tangencia f(2) = 2 + 2 + 1 = 7
Ejemplo resuelto 2 - 7º Escribe la ecuación de la tangente a la curva f (x ) 3x 2 x que es paralela a la recta
7x y 1 0 . (Sol.: en forma explícita y = -7x - 3) La ecuación, en forma punto pendiente, de la recta tangente pedida es de la forma
y f ( a ) f '( a )( x a )
pero
desconocemos las coordenadas del punto de tangencia (a,f(a)) Como la recta tangente pedida es paralela a la recta de ecuación 7x +y + 1 = 0. Entonces ambas tienen que tener la misma pendiente, es decir, m = - 7, y por tanto ya conocemos que f’(a) = - 7 Si calculamos la función derivada de f(x) y la igualamos a – 7, obtenemos la abscisa del punto de tangencia, y así podremos calcular la ordenada f(a) para sustituir en la ecuación de la recta tangente.
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Como
f (x ) 3x
2
x
f '( x ) 6 x 1
6x 1 7
x
6 1 6
Sustituyendo x = 1 en f(x), obtenemos la ordenada del punto de tangencia f(- 1) = 4
y 4 7 (x 1)
La ecuación de la recta tangente pedida es
y 7x 3
Ejemplo resuelto 2 - 8º 3
2
Dada la función f (x ) ax 2x 3x 1 ¿cuál debe ser el valor de a para que la pendiente de la recta tangente en el punto de abscisa x = - 1 sea 11 ? (Sol.: a = 4) Si la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x = - 1 tiene que valer 11, entonces, según la interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto, esto es lo mismo que afirmar que la derivada de la función f(x) en el punto de abscisa x = - 1 vale 11, es decir, f’(- 1) = 11. Por tanto, hallamos la función derivada y obligamos a que f’(- 1) = 11. De esta condición obtenemos el valor de a:
f (x ) a x 3 2x 2 3x 1 f '( x ) 3 a x 2 4 x 3 2 3 a ( 1) 4 ( 1) 3 11 3a 4 3 1 1
f '( 1) 11 a 4
Ejemplo resuelto 2 - 9º 2 Calcula el punto de corte de las rectas tangentes a las curvas f (x ) x 5x 11 y 1 g (x ) en el punto de abscisa x = 1. Sol.: (4, - 2) x
Hallamos la ecuación de la recta tangente a cada una de las funciones en el punto indicado y buscamos el punto de intersección de ambas rectas resolviendo el sistema de ecuaciones que forman sus ecuaciones: La ecuación, en forma punto pendiente, de la recta tangente a la función f(x) en el punto de abscisa x = 1 es de la forma Hallemos por tanto f(1) y f’(1)
y f (1) f '(1)( x 1)
f (1) 1 2 5 .1 11 1 5 1 1 7 f '( x ) 2 x 5 ; f '(1) 2 .1 5 3
y 7 3( x 1) y 3 x 1 0
La ecuación, en forma punto pendiente, de la recta tangente a la función g(x) en el punto de abscisa x = 1 es de la forma Hallemos por tanto g(1) y g’(1)
y g (1) g '(1)( x 1) g (x ) g '( x )
1 x
1 ; x2
1 1 1 1 g '(1) 2 1 1
g (1)
y 1 1( x 1) y x 2
Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales formado por las dos ecuaciones obtenemos una única solución que son las coordenadas del punto de intersección de ambas rectas: x=4 e y=2
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Ejemplo resuelto 2 - 10º 3
Halla en qué punto ( o puntos) la recta tangente a la curva f (x ) x 3x 1 es paralela al eje OX; y encuentra la ecuación de esa (o esas) rectas. Sol.: (Hay dos puntos: (1, - 1), (- 1, 3); y las ecuaciones de las rectas tangentes son: y = - 1, y = 3) La pendiente del eje de abscisas (eje OX) vale 0 (m = 0; recuerda que su ecuación es y = 0). Por tanto, todas las rectas paralelas al eje de abscisas (eje OX) también tienen pendiente nulaComo buscamos puntos de la gráfica de la función cuyas rectas tangentes sean paralelas al eje de abscisas, entonces buscamos puntos de la gráfica de la función cuya derivada sea nula (f’(x) = 0). Igualando la derivada de la función a 0 encontramos las abscisas de estos puntos:
f (x ) x
3
3x 1
f '( x ) 3 x
2
3
3x
2
3 0
x 1 1
Como vemos hay dos puntos (1, f(1) = (1, - 1) y (- 1, f(- 1)) = (- 1, 3) Las ecuaciones de las tangentes son: y = -1 e
y = 3.
Ejemplo resuelto 2 - 11º Una recta tangente a la curva f (x ) x ¿Cuál es el punto de tangencia? Sol.: (1, 1)
3
tiene pendiente 3 y pasa por el punto (0, -2).
Nos piden un punto (a, f(a)) de la gráfica de la función en el que la recta tangente tiene de pendiente m = 3. Aplicando la interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto, sabemos que f’(a) = 3. Si imponemos la condición de que la función derivada tiene que valer 3, descubriremos quien es a.
f (x ) x
3
f '( x ) 3 x
2
3x
2
3
x 1 1
Como vemos hay dos puntos (1, f(1)) = (1, 1) y (- 1, f(- 1)) = (- 1, - 1) de la gráfica de f cuyas respectivas rectas tangentes tienen de pendiente 3, y sus respectivas ecuaciones son:
y f (1) f '(1)( x 1 ) y f ( 1 ) f ' ( 1)( x 1)
y 1 3( x 1 )
y 1 3(x 1)
y 3x 2
y 3x 2
pero nos han pedido la recta tangente que pase por el punto (0, - 2), y sólo es la primera tangente la que pasa por este punto.
Ejercicios 2 - 11º a 21º
11º.- Halla la ecuación de la recta tangente a la función f (x )
x en el punto x 1 2
de abscisa x = 2. 12º.- Halla la ecuación de la recta tangente a la función f (x )
x2 que es paralela x 2
a la recta de ecuación 3x y 1 . 2 13º.- Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f (x ) 3x x en el punto de abscisa x = 2. Sol.: y = - x + 4
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2 14º.- Obtén la ecuación de la recta tangente a la curva f (x ) x 3x que es paralela a la recta 3x 2y 1 0 . Sol.: y = -3/2x – 9/16 2 15º.- Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva f (x ) que son x 1 paralelas al segmento que une los puntos (1, -1) y (3, -5). Sol.: (0, 2), (- 2, - 2); y = - 2x+2, y = -
2x - 6 3 2 16º.- Halla la ecuación de las rectas tangentes a f (x ) x 3x 9x que son paralelas al eje OX. Sol.: (-1, 5), (3, - 27); y = 5, y = - 27
17º.- Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función: f (x ) e x que es paralela a la bisectriz del primer cuadrante. Sol.: y = x + 1 x
18º.- (Selectividad 2003) Sea f : R R : la función definida por f (x ) e 3 ¿En qué punto de la gráfica de f la recta tangente a esta pasa por el origen de coordenadas?. Halla la ecuación de dicha tangente. Sol: (3, e) y e x 3
19º.- 2004
4-A-2.
20º.- De entre todas las rectas que pasan por el origen de coordenadas, determinan las que son tangentes a la gráfica de la función definida por 1 f (x ) x 2 4x 4 Calcula los puntos de tangencia correspondientes. Solc: hay 4 dos rectas cuyas ecuaciones son
y 2 4 6( x 4 );
y 8 2(x 4 )
21º.- Halla la ecuación de la recta tangente a las gráficas de las funciones: si x 2 3x 5 a. f (x ) 2 en el punto de abscisa x = 4. Sol.: ( x 7 x 4 si x 2
x 3 si x 3 b. f (x ) x 1 en el punto de abscisa x = 2. Sol.: ( x e si x 3
x 2 3 si x 6 c. f (x ) x 5 2x 5 si x 6
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6ª.- Derivadas laterales Sabemos que para que un límite exista es necesario y suficiente que existan los límites laterales y que sean iguales. Por tanto, y puesto que la derivada es un límite, estos límites dan lugar a las dos derivadas laterales por la izquierda, f´(a - ), y por la derecha, f´(a + ) , y se definen así:
f (a ) lim h 0
f (a h ) f (a ) h
f (a ) lim h 0
f (a h ) f (a ) h
Diremos por tanto, que una función es derivable en un punto si, y solo si, es derivable por la izquierda y por la derecha en dicho punto y las derivadas laterales coinciden: f (a ) y f (a ) f (a ) f (a ) f (a )
Desde el punto de vista gráfico, que f (a ) f (a ) significa que la recta tangente a
f(x) en el punto (a, f(a)) es única.
7ª.- Continuidad y derivabilidad TEOREMA Para que una función f(x) sea derivable en un punto es condición necesaria pero, no suficiente, que la función f(x) sea continua en dicho punto. antes debe ser continua en ese punto.
Este teorema nos enseña dos aspectos trascendentales de la relación entre la continuidad y la derivabilidad:
1º.- Para que una función sea derivable en un punto, antes tiene que ser continua. 2º.- La continuidad en un punto no garantiza la derivabilidad en dicho punto.
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Por ejemplo, la función del apartado a) es continua en el punto de abscisa x = 0, pero sin embargo en dicho punto la función no es derivable porque sus derivadas laterales no coinciden en x = 0, es decir la recta tangente a la función en el punto (0, f(0)) no es única.
a
Lo mismo le ocurre a la función del apartado b) en el punto de abscisa x = a, donde además se han trazado la tangente por la izquierda y la tangente por la derecha para visualizar que no coinciden. Las funciones elementales no presentan, en general, dificultades de derivabilidad en los puntos de su dominio. Para las funciones definidas a trozos, primero hay que estudiar su continuidad, después su derivabilidad. En el primer caso hay que comparar los límites laterales; en el segundo, las derivadas laterales. Gráficamente, la derivabilidad puede calificarse como “suavidad”, como ausencia de cambios bruscos. En la siguiente figura observados como la función f(x) es derivable en todos sus puntos; en cambio, g(x) no es derivable en los puntos a , b y c. En el punto a , por no estar definida; en b , por no ser continua; en c , por no ser “suave”, es un punto anguloso.
Ejemplo resuelto 2 - 12º Averigua si la siguiente función es derivable en x = 2: (Soluc: no)
3x 2 1 si x 2 f (x ) si x 2 12x Veamos primero si f(x) es continua en x = 2. 1º. f(2) existe y vale 11. 2º. Veamos si existe
lim f (x ) . Para ello
estudiamos los límites laterales:
x 2
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x 2
2
1 3 .2 2 1 11 f (x ) xlim 2 lim f ( x ) lim (12 x ) 12 .2 2 4 x 2 x2
lim f ( x ) lim 3 x
x 2
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No es continua en x = 2 porque
lim f ( x ) y por tanto f(x) no es derivable en x = 2. x 2
Ejemplo resuelto 2 - 13º Estudia la derivabilidad de la función siguiente y calcula su derivada:
x2 1 si x 0 f (x ) x 1 si x 0, 2 x 2 4x 2 si x 2 Primero veamos donde es continua f(x). La expresión x 2 1 es una función polinómica que es continua y derivable en todo du dominio que es R. Por tanto f(x) también será continua y derivable en el intervalo (-∞, 0) y su derivada vale 2x La expresión x 1 es una función polinómica que es continua y derivable en todo du dominio que es R. Por tanto f(x) también será continua y derivable en el intervalo (0. 2) y su derivada vale - 1. La expresión x 2 4 x 2 es una función polinómica que es continua y derivable en todo du dominio que es R. Por tanto f(x) también será continua y derivable en el intervalo (2, ∞) y su derivada vale 2x - 4 Veamos que ocurre en los puntos de ruptura: Continuidad en x = 0: 1º. f(0) existe y vale f(0) = -0 + 1 = 1.
lim f ( x ) . Para ello
2º. Veamos si existe
estudiamos los límites laterales:
x 0
lim f ( x ) lim x 2 1 1 x 0 lim f ( x ) 1 lim f ( x ) lim ( x 1) 1 x0 x 0 x 0 3º. La función es continua en x = 0 porque f ( 0 ) 1 lim f ( x ) 1 x 0
x 0
Derivabilidad en x = 0: Estudiemos las derivadas laterales de f(x) en x = 0
lim f '( x ) lim 2 x
x 0
x 0
0
lim f '( x ) lim ( 1) 1 x0
f '(0)
x 0
La función no es derivable en x = 0
Continuidad en x = 2: 1º. f(2) existe y vale f(2) = - 2 + 1 = - 1.
lim f (x ) . Para ello
2º. Veamos si existe
estudiamos los límites laterales:
x 2
lim f ( x ) lim x 1 1
x 2
x 2
lim f ( x ) lim ( x
x 2
x 2
2
lim f ( x ) 4 x 2) 2 x 2
La función no es continua en x = 2 porque
lim f ( x ) y por tanto tampoco es derivable en este punto x 2
Su función derivada sería por tanto:
2x si x 0 f '(x ) 1 si x (0,2) 2x 4 si x 2 NOTA: Observa detenidamente como hemos indicado en la segunda rama que f’(0) y f’(2) NO existen
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Ejemplo resuelto 2 - 14º Calcular m y n para que la siguiente función sea derivable en x = 1 Soluc: m = 2
y n = - 1)
x 2 5x m si x 1 f (x ) 2 si x 1 x nx Para que f(x) sea derivable en x = 1, primero tiene que ser continua en dicho punto. Y para que f sea continua en x = 1 tiene que lim f ( x ) y para ello los límites laterales en x = 1 tienen que coincidir. Al imponer esta condición obtenemos una x 2
ecuación con dos incógnitas:
lim f ( x ) lim x
x 1
x 1
2
5x m
1
2
5.1 m 4 m 4 m 1 n
lim f ( x ) lim ( x 2 nx ) 1 2 n .1 1 n
x 1
x 1
Como la función es derivable en x = 1, entonces sus derivadas laterales en dicho punto tienen que coincidir. Al imponer esta condición sale una nueva ecuación. Entre esta y la obtenida anteriormente hallamos m y n.
lim f '( x ) lim
x 1
x 1
x
lim f '( x ) lim ( x
x 1
2 2
x 1
5 x m ' lim 2 x 5 2 .1 5 3 x 1 3 2 n nx ) ' lim ( 2 x n ) 2 .1 n 2 n x 1
n 1
Y por tanto m = 2
Ejemplo resuelto 2 - 15º Estudia en función de los valores de los parámetros a y b la derivabilidad de la función y calcula su derivada.
x 3 x si x 1 f (x ) 2 ax bx si x 1 La expresión x 3 x es una función polinómica que es continua y derivable en todo su dominio que es R. Por tanto f(x) 2 también será continua y derivable en el intervalo (-∞, -1) y su derivada en este intervalo vale 3x - 1 La expresión a x 2 b x es una función polinómica que es continua y derivable en todo su dominio que es R, independientemente de los valores de a y de b. Por tanto f(x) también será continua y derivable en el intervalo (- 1. +∞) y su derivada en este intervalo vale 2ax + b, independientente de los valores de a y de b. Veamos que ocurre en el punto de ruptura x = -1: Para que f(x) sea continua en x = -1, tiene que 2
1º.- Existir f(- 1) y existe: f(- 1) = a.(- 1) + b.(- 1) = a - b 2º.-
lim f ( x )
y para ello los límites laterales tienen que coincidir. Al imponer esta condición obtenemos la primera
x 1
relación que han de cumplir a y b:
3
( 1)
3
( 1) 1 1 0 0 a b lim f ( x ) lim ( ax bx ) a .( 1) 2 b .( 1) a b x 1 x 1 3º.- Ambos valores coincidir, y lo hacen si a = b lim f ( x ) lim x
x 1
x 1
x
2
a b
Para que f(x) sea derivable en x = - 1 no basta con que sea continua, las derivadas laterales tienen que coincidir en dicho punto. Al imponer esta segunda condición obtenemos una segunda relación que, junto con la primera permite obtener a y b.
lim f '( x ) lim x
x 1
lim f '( x ) lim ( a x
x 1
x 1
2
x 1
3
x ' lim 3 x 2 1 2
2 2a b b ) 2 a b 2 a b
x 1
b x )' lim (2 ax x 1
Por tanto para que f sea derivable en todo R debe cumplirse: a = b = - 2 CONCLUSIÓN: Si a = b = -2 la función f(x) es continua y derivable en todo R y su derivada sería:
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3x 2 1 si x 1 f '(x ) 4 x 2 si x 1 Si a = b ≠ -2 o si a ≠ b sólo es derivable en R – {- 1}, y su derivada sería:
3x 2 1 si x 1 f '(x ) 2ax b si x 1
Ejercicios 2 - 22º a 47º 22º.- Calcular m y n para que la siguiente función sea derivable en x = 1 : 3 mx 2 si x 1 f (x ) 2 si x 1 nx
23º.- Determina, si es posible, el valor del parámetro a para que la función f(x) sea derivable en todo su dominio de definición:
si 0 x 1 x ln x f (x ) 1x x 1 a (1 e ) si 24º.- Estudia la derivabilidad de la siguiente función:
3x 2 2x si x 0 f (x ) 2x si 0 x 3 x 2 3 si x 3 25º.- Dada la siguiente función, calcula el valor de m y de n para que sea derivable: m si x 0 f (x ) x 1 3x n si x 0
(Sol.: m = - 3; n = 3)
26º.- Estudia la derivabilidad de la siguiente función:
f (x ) x x 2 27º.- Estudia la derivabilidad de la siguiente función:
f (x ) x 2 x
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28º.- 2003 1-B-2
2003 2-A-1
2003 3-B-2
29º.- 2004 3- A-2
2004 5-A-1
30º.- 2006 5-A-1
2007 4-B-2 apdo a)
31º.- 2008 1-A-1
2008 1-B-2 apdo a)
32º.- 2008 3-B-2 apdo. a)
2006 1-A-2 apdo a) 2007 5-A-2 apdo a) 2008 2-A-1
2008 4-A-1
33º.- 2008 5-B-1 apdos. a) y b)
2008 4-B-1
2009 1-B-2 apdo.a)
2009 4-B-1
34º.- 2009 1-A-1
2010 2-B-1
2010 2-A-1
35º.- 2010 3-A-1
2010 3-B-1
2010 4-B-2 apdo. a)
36º.- 2010 6-A-1
2010 6-B-1
2011 2-B-1
2011 6-B-2 apd.a)
37º.- Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de cada una de las siguientes funciones en los puntos que se indican: a ) f (x ) e x ,
en
x 0 Sol.: x+1; x/4+1
b ) f (x ) x ,
en
x 4
3 38º.- Determina los puntos de la curva de ecuación f (x ) x 12x en los que la recta tangente es paralela al eje de abscisas. Sol.: (2, - 16), (- 2, 16)
x2 en el x2 1 punto de abscisa x = 1. ¿En qué punto la tangente es paralela al eje de abscisas? Sol.: 39º.- Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f (x ) y – 1/2 = 1/2(x - 1); (0, 0)
40º.-Estudia la derivabilidad de las siguientes funciones:
x 2 2x 1 si x 1 si 1 x 2 a. f (x ) 2x 2 x 2 8x si x 2 2x si x 1 b. f (x ) 2 si x 1 x
(Sol.: En x=1 es cont., pero no deriv. presenta un punto anguloso)
ex si x 1 4 c.f (x ) si 1 x 1 x 3 1 ln x si x 1
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(Sol.: En x=-1 es cont., no deriv., en x=2 no es cont.)
(Sol.: En x=-1 no es cont., en x=1 es cont., pero no deriv.)
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x 2 x si x 0 41º.- Una función f(x) está definida: f (x ) 2 . Halla a y b para x ax b si x 0 que f(x) sea continua y derivable en x = 0. Sol.: b = 0, a = 1 42º.- Calcula los valores que deben tomar los parámetros a y c para que la función f(x) sea ax 2 c si x 1 derivable en x = 1: f (x ) . Da, en este caso, la ecuación de la recta si x 1 ln x tangente a la gráfica de f en x = 1. Sol.: a = 1/2, c = -1/2; y = x - 1 3 2 43º.- Considérese la curva de ecuación f (x ) kx 6x kx 18
a) ¿Cuánto debe valer k si las tangentes en los puntos A (1, f(1)) y B (- 2, f(- 2)) son paralelas? b) Determinar las ecuaciones de ambas tangentes. 44º.- Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función:
e 2x si x 0 f (x ) 2 en el punto de abscisa x = - 1 x 2x 1 si x 0 45º.- Comprueba si la función: f (x ) x es derivable en x = 0. 46º.- Representa gráficamente la función y x 2 x 2 . A partir de su gráfica, indica en qué puntos no es derivable. 47º.- Comprueba si la función f (x ) x 1 es derivable en x = 1.
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3.
APLICACIONES DE LA DERIVADA AL ESTUDIO DE FUNCIONES. 1ª.- Monotonía de una función: Crecimiento y decrecimiento. 2ª.- Extremos relativos. 3ª.- Curvatura de una función: Concavidad y convexidad. 4ª.- Puntos de inflexión. 5ª.- Estudio y representación gráfica de funciones. 6ª.- Estudio y representación de funciones polinómicas. 7ª.- Estudio y representación de funciones racionales. 8ª.- Estudio y representación de funciones irracionales. 9ª.- Estudio y representación de funciones exponenciales. 10ª.- Estudio y representación de funciones logarítmicas. 11ª.- Estudio y representación de funciones definidas a trozos. 12ª.- Estudio y representación de funciones con valor absoluto. 13ª.- Optimización.
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1ª.- Monotonía: crecimiento y decrecimiento La monotonía se basa en estudiar cómo aumenta o disminuye la variable dependiente y, al aumentar o disminuir la variable independiente x.
En la figura se observa que f(x) es creciente para valores de x menores que x1 ; decreciente, entre x1 y x2 , y nuevamente creciente para valores de x mayores que x2 . En la misma figura se han trazado rectas tangentes a f(x), en los puntos a , x1 , b , c , x2 y d , para los cuales puede verse que donde la función es creciente la tangente tiene pendiente positiva; donde es decreciente tiene pendiente negativa y en x1 y x2 , que son donde la función toma sus valores máximo y mínimo, las tangentes son rectas horizontales y, por tanto, de pendiente cero. Teniendo en cuenta que el valor de la pendiente de la recta tangente a f(x) viene dado por su derivada, f (x ) , en el punto correspondiente, en la práctica, para determinar los puntos en los que una función crece o decrece bastará con estudiar el signo de la derivada.
Si f (x0 ) 0
f (x ) es creciente en x0.
Una función es creciente en un intervalo cuando lo es en cada uno de sus puntos. Por tanto, si f (x ) 0
x (a , b ) f (x ) es creciente en el intervalo (a, b).
Si f (x0 ) 0
f (x ) es decreciente en x0.
Una función es decreciente en un intervalo cuando lo es en cada uno de sus puntos. Por tanto, si f (x ) 0
x (a , b )
f (x ) es decreciente en el intervalo (a,
b).
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Para calcular la monotonía de una función f(x), supuesta la existencia de la derivada, conviene seguir estos pasos: 1. Calculamos f (x ) . 2. Hallamos los puntos singulares de la función, es decir, los puntos que anulan la 1ª derivada, f (x ) 0 . Determinamos también los puntos de discontinuidad de
f (x ) . 3. Consideramos los intervalos determinados por las soluciones de f (x ) 0 (puntos singulares o rices de la primera derivada) y los puntos de discontinuidad de f (x ) . 4. Calculamos el signo de f (x ) en dichos intervalos: Si f ( x ) 0 , x (a , b ) , entonces f(x) es creciente en (a, b). Si f ( x ) 0 , x (a , b ) , entonces f(x) es decreciente en (a, b).
Ejemplos no resueltos 3 - 1º a 3º
1º.- Halla los intervalos de monotonía de:
a ) f (x )
x 1 x 3
b ) f (x )
x2 4 x
(Sol.: decr.: ( 2, 0) (0, 2) ; cre: ( , 2) (2, ) )
2º.- Determina los intervalos de monotonía de las funciones:
a ) f (x ) x 2 ;
b ) f (x ) x 3 ;
c ) f (x ) x 3 3x
3º.- Estudia el crecimiento de la siguiente función:
f (x )
2x 2 x 1 x 1
(Sol.: decrece: (0, 1) (1, 2) ; crece: ( , 0) (2, ) )
Ejercicios 3 - 1º 1º.- Halla los intervalos de monotonía de las funciones:
a ) f (x ) x 2 1 ;
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b ) f ( x ) x 4 2x 2 ;
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c ) f ( x ) x 3 2x 2 1
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Ejercicios 3 - 2º 2º.- Halla los intervalos de monotonía de las funciones: a ) f (x )
x x 2 2
b ) f (x ) x ln x
(Sol.: decrece: ( , 2) ( 2, ) ; crece: ( 2, 2) )
(Recuerda: loga P x a
x
P ) (Sol.: decrece:
(0, e 1 ) ; crece: (e 1 , ) )
x (Sol.: decrece: (0, 1) (1, e ) ; crece: (e , ) ) ln x d ) f (x ) x e x (Sol.: decrece: ( , 1) ; crece: ( 1, ) ) c ) f (x )
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2ª.- Extremos relativos: máximos y mínimos Un punto crítico de una función f(x) es un punto donde la primera derivada vale cero (punto singular), f (x0 ) 0 , o la derivada no está definida, f (x 0 ) (no existe f’(x0)).
Los máximos y mínimos relativos de una función sólo pueden darse en los puntos críticos; sin embargo, no todo punto crítico es necesariamente un máximo o un mínimo.
TEOREMA
Si f '(x 0 ) y f (x 0 ) 0 f (x ) tiene un extremo relativo en x 0
Para la determinación de los extremos relativos de una función podemos utilizar los resultados del estudio de su monotonía (teniendo la precaución de no incluir como extremos puntos en los que la función no esté definida) o seguir el siguiente procedimiento: 1. Calculamos f (x ) . 2. Hallamos los puntos que anulan la 1ª derivada, f (x ) 0 . 3. Calculamos f (x ) y sustituimos en ella los valores de x que han anulado la primera derivada y estudiamos el signo de f (x0 ) :
Si f (x0 ) 0 en x = x0 hay un máximo relativo.
Si f (x0 ) 0 en x = x0 hay un mínimo relativo.
Si f (x0 ) 0 , este criterio no puede aplicarse, y recurriríamos a estudiar el signo de la primera derivada para valores muy próximos por la izquierda y por la derecha del punto, es decir, la monotonía, de forma que: ♦ Si f (x ) es positiva a la izquierda de un punto crítico (función creciente) y negativa a la derecha (función decreciente), el punto crítico es un máximo. ♦ Si f (x ) es negativa a la izquierda de un punto crítico y positiva a la derecha, el punto crítico es un mínimo.
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100
IMPORTANTE Para que una función tenga un máximo o un mínimo no es necesario que f (x ) 0 . Por ejemplo, f (x ) x tiene un mínimo en x = 0 y, sin embargo, f (0) no está definida. Por tanto, la caracterización dada se refiere a funciones derivables.
Ejemplos no resueltos 3 – 4º a 7º 4º.- Calcular los extremos relativos de las funciones:
a ) f (x ) x 3 3x (Sol.: mínimo relativo: (1, 2) ; máximo relativo: (1, 2) ) 7x 3 b ) f (x ) (Sol.: f (x ) 0 no tiene solución, luego no hay extremos relativos. Es decreciente) 2x 4 5º.- Hallar los extremos relativos de la siguiente función: 2x 2 x 1 f (x ) x 1
(Sol.: mínimo relativo: (2, 9) ; máximo relativo: (0, 1) )
6º.- Calcula los intervalos de monotonía y los extremos relativos de la siguiente función: 4 f (x ) ln x 2 (Sol.: decrece: ( , 0) (0,2) ; crece: (2, ) ; mínimo relativo: (2, 2 ln 4) ) x 3
2
7º.- Dada la función f (x ) x ax 5 , hallar el valor de a para que tenga un extremo relativo (máximo o mínimo) cuando x = 2. (Sol.: a = -3)
Ejercicio 3 – 3º Hallar los extremos relativos de las funciones:
a ) f ( x ) 2x 2 3x 2 x b ) f (x ) 2 (Sol.: mínimo relativo: x 2
c ) f (x ) x ln x
( 2,
2 2 ) ; máximo relativo: ( 2, )) 4 4
(Sol.: mínimo relativo: (e 1 , e 1 ) )
x (Sol.: mínimo relativo: (e , e ) ) ln x e ) f ( x ) x e x (Sol.: mínimo relativo: ( 1, e d ) f (x )
1
))
Ejercicio 3 – 4º Calcula los intervalos de monotonía y los extremos relativos de la siguiente función:
a ) f ( x ) x 3 3x 2 4x 3 b ) f (x ) x 4 4x 3 4x 2 1 (2, 1)
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(Sol.: decrece: ( , 0) (1,2) ; crece: (0, 1) (2, ) ; mínimo relativo:
y
(0, 1) ; máximo relativo: (1, 0) )
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101
3ª.- Curvatura de una función: concavidad y convexidad Diremos que una función es cóncava en un intervalo, si las pendientes de las rectas tangentes trazadas a la curva van disminuyendo. Por el contrario, si las pendientes van aumentando, diremos que la función es convexa en ese intervalo. El estudio de la derivada segunda, f (x ) , de una función f (x ) nos va a permitir deducir la curvatura de la gráfica asociada a la función. La concavidad y la convexidad dependen de la posición desde la que se observa la gráfica. Nosotros seguiremos el siguiente criterio: Una función f (x) es cóncava en un intervalo (a, b) si la gráfica de la función queda debajo de la recta tangente en cada uno de los puntos del intervalo.
Una función f (x) es intervalo (a, b) si la gráfica de la encima de la recta tangente en puntos del intervalo.
convexa en un función queda cada uno de los
Para determinar los intervalos de concavidad y convexidad procederemos del siguiente modo: 1. Calculamos f (x ) . 2. Hallamos los puntos que anulan la 2ª derivada, f (x ) 0 . Determinamos también los puntos de discontinuidad de f (x ) . 3. Consideramos los intervalos determinados por las soluciones de f (x ) 0 y los puntos de discontinuidad de f (x ) . 4. Calculamos el signo de f (x ) en dichos intervalos: Si f ( x ) 0 , x (a , b ) , entonces f(x) es cóncava en (a, b). Si f ( x ) 0 , x (a , b ) , entonces f(x) es convexa en (a, b).
Ejemplos no resueltos 3 – 8º y 9º 8º.- Estudia el tipo de concavidad que presentan las funciones:
Matemáticas II: Análisis
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a ) f (x ) x 3 6x 2 9x b ) f (x ) 2x 2 4 ln x
(Sol.: convexa: (2, ) ; cóncava: ( , 2) )
(Sol.: convexa: (1, ) ; cóncava: (0, 1) )
9º.- Estudia la monotonía y la concavidad de la función:
f (x ) (x 1) e x
(Sol.: decrece: (2, ) ; crece: ( , 2) ; máximo (2 , 0,14) ; convexa: (3, ) ; cóncava: ( , 3) )
Ejercicio 3 – 5º Determina los intervalos de curvatura de las siguientes funciones:
a ) f (x ) x 3 x 2 8x ;
Matemáticas II: Análisis
b ) f (x )
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x2 ; 1x
c ) f (x ) x e x
103
4ª.- Puntos de inflexión Una función tiene un punto de inflexión en un punto, si la función cambia de curvatura en dicho punto. La tangente a la función en un punto de inflexión atraviesa la gráfica de la misma.
Si una función tiene en x = x0 un punto de inflexión, entonces f (x0 ) 0 . El teorema recíproco no es cierto. Ejemplo resuelto 3 – 10º 4 2 La derivada segunda de la función f (x ) x es f (x ) 12x , luego f (0) 0 y como se puede observar en la figura, en el punto (0, 0) la función no tiene un punto de inflexión.
La determinación de los puntos de inflexión podemos hacerla a partir del estudio de la curvatura de la función o mediante el siguiente proceso: 1. Calculamos f (x ) . 2. Hallamos los puntos que anulan la 2ª derivada, f (x ) 0 . 3. Calculamos f (x ) y sustituimos en ella los valores de x que han anulado la segunda derivada:
Si f (x0 ) 0 , entonces diremos que la función tiene un punto de inflexión en x = x0 .
Si f (x0 ) 0 , este criterio no puede aplicarse, y recurriríamos a estudiar el signo de la segunda derivada para valores muy próximos por la izquierda y por la derecha del punto, es decir, la curvatura, de forma que: ♦ Si f (x ) es positiva a la izquierda del punto y negativa a la derecha, se trata
Matemáticas II: Análisis
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104
de un punto de inflexión convexo - cóncavo. ♦ Si f (x ) es negativa a la izquierda del punto y positiva a la derecha, se trata de un punto de inflexión cóncavo convexo.
Ejemplos no resueltos 3 – 10º y 11º 10º.- Determina los puntos de inflexión de las funciones:
a ) f (x ) x 4 6x 2 6
b ) f (x ) x 2
(Sol.: ( 1, 5), (1, 5) )
(Sol.: no tiene)
11º.- Calcular la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función y x 3 x 2 en su punto de inflexión. (Sol.: P.I.: (0, 2) y x 2 )
Ejemplo resuelto 3 – 12º Halla a, b y c de modo que la función y x 3 ax 2 bx c tenga un mínimo para x = 3 y un punto de inflexión en (0, 2). (Sol.: a = 0; b = - 27; c=2) La función f (x ) x 3 ax 2 bx c es una función polinómica y por tanto es continua y derivable en todo su dominio que es R. Por tanto en los puntos donde alcance sus extremos se cumple que su primera derivada se anula f '(x ) 0 y en los puntos de inflexión se cumple que su segunda derivada también se anula f ''(x ) 0 Como f '(x ) 3x 2 2ax b y f(x) tiene un mínimo en x = 3 f '(3) 0 Como f ''(x ) 6x 2a
y f(x) tiene un PI en (0, 2) f ''(0) 0
3.32 2a .3 b 0
6.0 2a 0
27 6a b 0
a 0
Como a = 0 y 27 + 6a + b = 0 b 27 Nos falta obtener el valor de c. Para ello razonamos del siguiente modo: Como el punto (0, 2) es un PI de f(x), dicho punto también es de su gráfica y por tanto se cumple que
f (0) 2
03 0.02 27.0 c 2
c 2
Ejemplo no resuelto 3 – 13º
Matemáticas II: Análisis
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105
Sea f(x) una función polinómica de la que se conoce la gráfica de su función derivada f´(x), representada en la figura. Determina: a) Extremos relativos e intervalos de monotonía de f(x). (Sol.: Crec. (0, 2) ), Decrec. ( , 0) (2, ) ; Mín.: x = 0; Máx.: x = 2) b) Puntos de inflexión e intervalos de curvatura de f(x). (Sol.: P.I.: x = 1, Conv. ( ,1) , Conc. (1, ) ; los intervalos de curvatura de f(x) coinciden con los de monotonía de f´(x))
Ejercicios 3 – 6º a 29º 6º.- Estudia monotonía, extremos relativos, curvatura y puntos de inflexión de las siguientes funciones:
a ) f (x ) x 3 3x 2 9x 22 ;
b ) f (x )
2x 3 x 1
c ) f (x ) x 3 3x 4 ;
d ) f (x )
2x x 1
7º.- Estudiar el tipo de concavidad y la existencia o no de puntos de inflexión en las siguientes funciones: x a ) f (x ) 2 (Sol.: conv.: ( 6, 0) ( 6, ) ; cónc: ( , 6) (0, 6) ;P.I.: x 6; x 0; x 6 ) x 2
b ) f (x ) x ln x
(Sol.: convexa: (0, ) ; P.I.: no tiene)
x e (Sol.: convexa: (1, e ) ; cóncava: (0, 1) (e , ) ; P.I.: (e , )) 2 ln x d ) f (x ) x e x (Sol.: convexa: (2, ) ; cóncava: ( , 2) P.I.: ( 2, 2 e ) ) c ) f (x )
2
2
2
2
2
8º.-
Se
sabe 3
que
la
función
f : R R
viene
definida
por
la
expresión
2
f (x ) ax bx cx d , que su gráfica pasa por el punto (0, 4), que tiene un PI en (1, 2) y que la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x = 0 es horizontal. Calcula a, b, c y d. (Sol : a = 1, b = - 3, c = 0 y d = 4) 9º.- Sea f la función f : 0, R definida por la expresión f (x ) x 2 ln(x ) . a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y sus extremos relativos (puntos dónde se obtienen y valores que se alcanzan) b) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x e Sol : a) En (0,
1 e
) decrece y en (
1 .b) y e 2 e x e 2
Matemáticas II: Análisis
1 e
, ) crece. Tiene un mínimo en (
1 e
,
1 ) 2e
3 y 2 ex e 2
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10º.- La figura muestra la gráfica de la función derivada f ´(x) de la función f(x). Determina, a de la gráfica, los máximos y mínimos relativos y puntos de inflexión de f(x), y haz su representación aproximada. (Sol.: Mín.: x = 1; Máx.: x =
partir los 10; P.I.:
x = 2, x = 4, x = 7)
11º.- Sea f la función f : R R definida por la expresión f (x ) x 1 x 1 x 2 . a) Halla las ecuaciones de la recta tangente y normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1. b) Determina los intervalos de concavidad y convexidad de f. ¿Tiene puntos de inflexión ?. Sol : a)
y 2x 2
y
1 1 x 2 2
2 2 2 20 b) En (, ) cóncava y en ( , ) convexa. Tiene un PI en ( , ) 3 3 3 27
ax 2 b 12º.- De la función f : 0, R definida por f (x ) .se sabe que la recta x tangente a su gráfica en el punto de abscisa x = 1 viene dada por y = - 2. a) Calcula a y b. b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus extremos relativos. Sol : a) a = b = -1
b) Crece en el intervalo (0,1) y decrece en el intervalo (1, ) . Tiene un máximo en (1, 2)
13º.- Estudia la derivabilidad de la función f : 0, R definida por 3 x2 f (x ) 1 x x 4
si 0 x 1 si x 1
.y calcula su derivada
x si 0 x 1 2 Sol : f '( x ) 3 x 1 x si x 1 x2 2
x 2 2x 1 si x 1 14º.- Dada la función f (x ) si x 1 x 1 a) Halla su función derivada. (Sol.: no en x = 1) b) ¿Tiene f(x) algún punto en el que f´(x) = 0 ? (Sol.: x = - 1) c) Estudia el crecimiento y decrecimiento de f(x). (Sol.: decrece:
( , 1) ; crece: ( 1, ) )
d) Escribe la ecuación de la recta tangente a f(x) en x = 0.
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15º.- Dada la función f(x), estudiar la monotonía de f(x) y calcular la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto de abscisa x = 2. 2x si x 1 f (x ) 2 (Sol.: ) si x 1 x 3
2
16º.- La función f (x ) x ax 4x b corta al eje de abscisas en x = 3 y tiene un punto de inflexión en x = 2/3. Hallar a y b. (Sol.: a = 2; b = - 21) 2
17º.- Hallar a y b para que la función f (x ) a ln x bx x tenga extremos en los puntos x = 1 y en x = 2. Para esos valores de a y b, ¿qué tipo de extremos tiene la función en x = 1 y en x = 2? (Sol.: ) 3
2
18º.- Dada la función f (x ) ax bx cx d , halla los coeficientes a, b, c y d para que se cumplan las siguientes condiciones: la gráfica de la función tiene un punto de inflexión en (-1, 1), siendo la tangente en este punto paralela a la recta 4x y 5 y, además, pasa por el punto (0, 1). (Sol.: a = 4/5, b = -12/5, c = -16/5, d = 1)
19º.- Una función polinómica de tercer grado verifica que su gráfica pasa por el punto (1, 0) y tiene tangente paralela al eje OX en el punto (0, 4). Sabemos también que el coeficiente de tercer grado de la función es 2. Determina la función. (Sol.: f(x)=2x 3–2x 2 + 4) 20º.- 2003 2-B-1
2003 2-A-1
2003 5-A-1
21º.- 2004 2-B-1
2004 3-B-1
2004 6-A-2
22º.- 2004 6-B-1
2005 1-A-1
2005 -1-A-2a)
23º.- 2005 5-A-2
2005 6-B-1
2006 1-A-1
24º.- 2006 2-A-1
2006 6-A-1
2007 1-A-1
25º.- 2007 2-B-1
2007 4-B-1
2007 5-A-1
26º.- 2007 5-B-1
2008 4-A-1
2008 4-B-1
27º.- 2008 5-A-1
2008 6-A-1
2009 1-A-1
28º.- 2009 4-A-1
2010 5-B-1
2010 6-A-1
Matemáticas II: Análisis
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29º.- 2011 3-B-1
2011 4-B-1
2011 5-A-1
5ª.- Estudio y representación de funciones Para hacer un estudio completo de una función y representarla gráficamente conviene ser sistemático a la hora de obtener la información sobre ella, y es necesario interpretar gráficamente los resultados que se van obteniendo. No siempre son necesarios todos los cálculos, pero un posible esquema para realizar el estudio de una función es el siguiente:
1. Dominio y continuidad Calcular el conjunto de números reales que puede tomar x , para los cuales está definida la función: Dom f x
| f (x )
Hacer también un estudio de posibles discontinuidades.
2. Simetría Simetría par
f (x ) f (x )
Simetría impar f (x ) f (x ) Cuando se da alguna de estas dos simetrías es fácil intuir como es la función a la izquierda del origen de coordenadas si se conoce como es a la derecha, y viceversa-
3. Puntos de corte con los ejes de coordenadas a) Puntos de corte con el eje X (abscisas) Son las soluciones del sistema:
y f ( x ) y 0
f (x ) 0
b) Puntos de corte con el eje Y (ordenadas) Son las soluciones del sistema:
y f (x ) x 0
y f (0)
4. Signo de la función
Matemáticas II: Análisis
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109
Para determinar dónde la función es positiva y dónde es negativa, señalaremos en la recta real las abscisas de los puntos de corte con el eje OX y también los puntos de discontinuidad. De este modo la recta real queda dividida en intervalos. A continuación estudiamos el signo de la función en ellos tomando un valor cualquiera de x en cada uno de los intervalos, hallamos su imagen y así sabremos el signo de la función. Esta propiedad permite situar a la gráfica de la función por encima o por debajo del eje OX.
5. Asíntotas. Ramas infinitas Estudiamos la existencia de A.V., de A.H. y de A.O y, en caso de que las haya averiguamos sus expresiones. Es importante destacar que aunque no tenga A.H. si es interesante saber el comportamiento de la función cuando x tiende a y a , es decir cómo son las ramas de la función en y a .
6. Monotonía: crecimiento y decrecimiento Ya hemos indicado en este tema como hacerlo-
7. Extremos relativos: máximos y mínimos relativos La determinación de los extremos relativos puede salir del estudio del apartado anterior, es decir de la monotonía. Si sólo nos pidieran los extremos relativos podríamos seguir el método descrito en la pregunta correspondiente en este mismo tema.
8. Curvatura: tipo de concavidad Ya se ha descrito anteriormente.
9.- Puntos de inflexión Podemos obtenerlos del estudio del apartado anterior o siguiendo el proceso descrito en la pregunta correspondiente.
10.- Tabla de valores Puede resultar conveniente construir una tabla de valores en el caso de no haber obtenido suficientes datos en los apartados anteriores, o bien, si queremos hacer una representación gráfica más precisa.
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6ª.- Estudio de funciones polinómicas Las funciones polinómicas, f (x ) an x n a1x a0 , son continuas y derivables en todo R, es decir, su dominio es: Dom f (x )
; por tanto, no tienen asíntotas de ningún
tipo. Para representar una función polinómica: 1.º Estudiar si tiene o no tiene simetría. 2.º Calcular, si es posible, los puntos de corte con los ejes. 3.º Estudiar el signo de la función. 4.º Hallar sus dos ramas infinitas: lim f (x ) , x
lim f (x )
x
5.º Estudiar la monotonía de la función y hallar sus extremos. 6.º Estudiar la curvatura de la función y hallar sus puntos de inflexión. 7.º Para obtener mayor precisión en la representación gráfica construir una tabla de valores. Veamos la gráfica de algunas funciones polinómicas: Constantes
Lineales
Afines
Parabólicas
Polinómicas de 3er grado
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y x 3 3x 2 4
Para dibujar una parábola, vamos a tener que calcular varios puntos:
Puntos de corte con los ejes
Con el eje OX: y 0 ax 2 bx c 0
Con el eje OY: x 0 y c Punto 0, c
Coordenadas del vértice La abscisa del vértice de la parábola es x0 sustituimos este valor en la función, f (
b ; para calcular la ordenada 2a
b ) . 2a
Ejemplo no resuelto 3 – 14º Estudia y representa las funciones:
a ) f (x ) x 2 3x 2 b ) f (x ) x 2 6x 4
Ejercicios 3 – 30º a 32º 30º.- Estudia y representa las funciones:
a ) f (x ) 4 x 2 b ) f (x ) x 2 5x 6
31º.- Estudia y representa las funciones siguientes:
a ) f (x ) x 3 6x 2 9x 5 b ) f (x ) x 3 3x
Matemáticas II: Análisis
(Sol.: M: (1, 9) ; m: (3, 5) ; P.I.: (2, 7) )
(Sol.: M: (1, 2) ; m: (1, 2) ; P.I.: (0, 0) )
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c ) f (x ) (x 2)3 3 d ) f (x ) x 3 6x 2
(Sol.: no M; no m; P.I.: (2, 3) ) (Sol.: M: (0, 0) ; m: ( 4, 32) ; P.I.: ( 2, 16) )
32º.- Estudia y representa las funciones:
a ) f (x ) x 3 3x 2
(Sol.: M: (1, 4) ; m: (1, 0) ; P.I.: (0, 2) )
b ) f (x ) x 3 3x 2 24x 3
(Sol.: M: (4, 83) ; m: (2, 25) ; P.I.: ( 1, 29) )
c ) f (x ) 2x 3 21x 2 60x 32
(Sol.: M: (4, 83) ; m: (2, 25) ; P.I.: ( 1, 29) )
7ª.- Estudio de funciones racionales Una función racional es aquella que puede escribirse como cociente de polinomios, P (x ) f (x ) , donde P y Q son polinomios. Q (x ) El dominio es el conjunto de los números reales, excluidos los números para los que se anule el denominador (ceros o raíces):
Dom f ( x ) Dom f ( x )
x
| Q (x ) 0
valores que anulan el denominador
Las funciones racionales son continuas y derivables en su dominio de definición. Para representar una función racional: 1.º Calcular el dominio. 2.º Simetría. 3.º Calcular, si es posible, los puntos de corte con los ejes. 4.º Signo de la función. 5.º Hallar las asíntotas verticales y horizontales (existe A.H. cuando el grado del numerador es menor o igual que el grado del denominador, en cuyo caso, es la misma tanto en como en ). 6.º Estudiar la monotonía de la función y hallar sus extremos. 7.º Estudiar la curvatura de la función y hallar sus puntos de inflexión. 8.º Para obtener mayor precisión en la representación gráfica construir una tabla de valores.
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Las gráficas de las funciones racionales pueden ser:
Funciones de proporcionalidad inversa. Son funciones racionales cuyo k numerador es una constante, f (x ) . Las gráficas de estas funciones son x hipérbolas equiláteras.
Ejemplo no resuelto 3 – 15º Estudia y representa las funciones siguientes:
a ) f (x )
x x 1
b ) f (x )
x2 x2 1
2
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c ) f (x )
4 2x 2 x 3 x2
d ) f (x )
1 x 3
Ejercicio 3 – 33º Estudia y representa las funciones siguientes:
a ) f (x )
x3 1x2
b ) g (x )
x 2 2x 8 x
Ejercicio 3 – 34º Estudia y representa las funciones siguientes:
a ) f (x )
x2 9 x2 4
x 3 2x b ) g (x ) x2 1
8ª.- Estudio de funciones irracionales a) Irracionales: f ( x ) n g ( x ) Si n es impar, el dominio de f(x) coincide con el dominio de g(x):
Dom f (x ) Dom g (x ) Si n es par, el dominio de f(x) es el conjunto de los números reales tales que g (x ) 0 :
Dom f (x ) x
| g (x ) 0
Las funciones irracionales son continuas y derivables en su dominio de definición. Para representar una función irracional: 1º. Calcular el dominio. 2º. Simetría. 3º. Calcular, si es posible, los puntos de corte con los ejes. 4º. Signo de la función. Matemáticas II: Análisis
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5º. Hallar las asíntotas verticales y horizontales. Cuidado con las ramas en y en , ya que alguna puede no existir. 6º. Estudiar la monotonía de la función y hallar sus extremos. 7º. Estudiar la curvatura de la función y hallar sus puntos de inflexión. 8º. Para obtener mayor precisión en la representación gráfica construir una tabla de valores.
Cuando g(x) es un polinomio de primer grado su representación gráfica es una parábola con eje de simetría el eje de abscisas.
Ejemplo no resuelto 3 16º Estudia y representa las funciones siguientes: a ) f (x ) x
b ) f (x ) 3x 6 c ) f ( x ) x 2 2x
Ejercicio 3 – 34º Estudia y representa las funciones siguientes: a ) f (x ) x 2 2x b ) f (x ) x 2 9
9ª.- Estudio de funciones exponenciales g (x ) Exponenciales: f (x ) a
El dominio de estas funciones, con a > 0 y a ≠ 1, coincide con el dominio de g(x):
Dom f (x ) Dom g (x )
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Para su representación gráfica se siguen todos los pasos detallados en la pregunta nº 5. La representación gráfica de la función f (x ) a
x
será:
Ejemplo 3 - 17º Haz la representación gráfica de f (x ) xe
x
Ejercicio 3 – 34º Representa a la función: f (x )
ex x
Ejercicio 3 – 35º Estudia y representa las funciones siguientes: a ) f (x )
ex x2
ex b ) f (x ) x
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10ª.- Estudio de funciones logarítmicas Logarítmicas: f ( x ) loga g ( x ) El dominio de estas funciones, con a > 0 y a ≠ 1, es el subconjunto de los números reales tales que hacen g(x) positivo:
Dom f (x ) x R | g (x ) 0 Recuerda que no se pueden calcular logaritmos de números negativos ni tampoco está definido el logaritmo de 0. Para representarla gráficamente seguimos el esquema general. La representación gráfica de la función f (x ) log a x será:
NOTA: La primera gráfica corresponde, por tanto, a log(x) y a ln(x).
Ejemplo 3 – 18º Representar las funciones:
a ) f (x ) x ln x
b ) f (x )
x ln x
(Sol.:
Ejercicio 3 – 36º Representa las funciones:
a ) f (x ) ln (x 2 1)
b ) f (x )
x ln(x )
Ejercicio 3 – 37º Representa gráficamente la función:
a ) f (x ) ln (4 x 2 )
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b ) f (x )
x 2 2x ex
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11ª.- Estudio de funciones definidas a trozos En este tipo de funciones la expresión analítica depende de los tramos del dominio en los que se encuentre la variable independiente. Habrá que hacer el estudio de cada una de las funciones y adaptarlo a su dominio de definición. Debemos tener especial cuidado en los puntos de ruptura. Estudiaremos la continuidad y la derivabilidad en dichos puntos. Puede ocurrir que la función sea continua y no derivable en un punto de ruptura y que tenga un máximo o un mínimo relativo en dicho punto. Por ejemplo, f (x ) x tiene un mínimo en x = 0 y, sin embargo, f (0) no está definida.
Ejemplo no resuelto 3 – 19º Estudia y representa las funciones:
1 si x 0 x a ) f (x ) x si 0 x 2 1 si x 2 2x 2 si x 2 b ) f (x ) 2 si x 2 x Ejercicio 3 – 38º Estudia y representa las funciones:
e x si x 0 a ) f (x ) x si x 0 2 x 9 si x 3 b ) f (x ) x 3 si x 3
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12ª.- Estudio de funciones con valor absoluto Si la función es de la forma: f (x ) g ( x ) podemos representar a la función g(x) y pasar arriba todo el tramo de la gráfica que esté por debajo del eje de abscisas. En cualquier otro caso convertimos a la función f(x) en una función a trozos o por ramas. Ejemplo 3 – 20º Estudia y representa las funciones: a ) f (x ) x 2 3 b ) f (x ) x x
Ejercicio 3 – 39º Estudia y representa las funciones:
x3 a ) f (x ) 2 x 1 b ) f (x )
1 1 x
c ) f (x ) x x 2 d ) f (x ) x x 2
Ejercicios 3 - 40º a 43º 40º.- 2003 4-B-2
2004 1-A-1
2005 1-B-1
41º.- 2005 2-A-1
2005 4-A-1
2005 6-A-2
42º.- 2006 3-B-1
2006 4-B-1
2009 3-B-1
43º.- 2009 6-A-1
2010 4-B-1
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13ª.- Optimización de funciones A lo largo de este tema hemos tratado una de las aplicaciones más usuales de la derivada, la representación gráfica de curvas, en esta pregunta veremos otra aplicación, la optimización. Respecto a la optimización, todos sabemos que uno de los retos permanentes de la Humanidad es el máximo aprovechamiento de los recursos: alimentos, materias primas, espacio y tiempos disponibles, etc. A las empresas dedicadas a la fabricación de recipientes les interesa conocer las dimensiones de los envases que, manteniendo la misma capacidad, necesitan menos material para su construcción. Los avances técnicos y los modelos matemáticos son algunas de las respuestas que el ser humano ha sabido dar al problema. Hallar máximos y mínimos de funciones es un problema que se plantea frecuentemente, no sólo en matemáticas, sino también en numerosos ámbitos: social, económico, tecnológico... Así, es frecuente oír expresiones como mínimo consumo, máximo rendimiento… Son problemas de optimización de funciones. Se trata de encontrar la solución óptima, es decir, la que da mayor beneficio o la que cuesta menos. Para ello utilizaremos el cálculo de derivadas que, como sabemos, da las condiciones de existencia de máximos y mínimos.
El proceso general a seguir para resolver este tipo de problemas es: 1. Hacer un esquema o dibujo de la situación, siempre que sea posible 2. Hallar la expresión algebraica de la función que se debe optimizar (si es que no nos la han dado, que será lo más habitual). 3. Si la función depende de más de una variable, hay que buscar una relación entre ellas; esta relación siempre es una igualdad. Expresaremos una variable en términos de la otra y la sustituiremos en la función a optimizar, con lo que obtendremos una función de una sola variable. 4. Se halla la derivada primera y se calculan los valores que la anulan: f (x ) 0 . Entre estos valores se hallan los máximos y mínimos de la función. 5. Comprobar que los resultados obtenidos tienen sentido y son válidos en el contexto del problema y se da la solución al enunciado..
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Ejemplos no resueltos 3 – 21º a 28º 21º.- Una discoteca abre a las 10 de la noche y cierra cuando se han marchado todos sus clientes. La expresión que representa el número de clientes en función del número de horas que lleva abierta, t, es N (t ) 80t 10t 2 . a) ¿A qué hora el número de clientes es máximo? ¿Cuántos clientes hay en ese momento? (Sol.: 2 de la mañana; 160 personas) b) ¿A qué hora cerrará la discoteca? (Sol.: 6 de la mañana) 22º.- Halla dos números positivos cuya suma es 30 y el producto de uno por el cuadrado del otro es máximo. Razona la respuesta. (Sol: f (x ) x 2 (30 x )
Sol . 20 y 10 )
23º.- Una hoja de papel debe tener 18 cm2 de texto impreso. Los márgenes superior e inferior han de ser de 2 cm de altura y los laterales de 1 cm de anchura. Halla las dimensiones de la hoja para que el coste del papel sea mínimo. (Sol: A ( x 2)( y 4) ;
x y 18
A ( x ) 26 4 x
36 x
Sol . 5 10 )
24º.- Se desea construir, al lado de una carretera, una zona de descanso para automovilistas. Tendrá forma rectangular y estará vallada por los tres lados no adyacentes a la carretera. Si su superficie es de 7200 m2, ¿qué dimensiones debe tener para que el coste de la valla sea mínimo? (Sol: L x 2y ;
x y 7200
L(x )
x 2 14400 x
Sol . 120 60 240 m )
3 25º.- Se ha de construir un gran depósito cilíndrico de 81 m de volumen. La superficie lateral ha de ser construida con un material que cuesta 30€/ m2, y las dos bases con un material que cuesta 45€/ m2.
¿Qué dimensiones (radio y altura) ha de tener el depósito para que el coste de los materiales necesarios para construirlo sea el mínimo posible?. ¿Cuál será, en este caso, el coste del material?. SOLUC: Función a optimizar:
C (r )
4860 90 r 2 r
siendo r el radio del cilindro
La base del cilindro debe medir 3 m de radio y la altura debe medir 9 m. La superficie lateral cuesta 5086,8 € y las dos bases 2543,4 €. Total = 7630,2
26º.- Un fabricante desea diseñar una caja abierta con base cuadrada y que tenga un área total de 108 metros cuadrados de superficie. ¿Qué dimensiones producen la caja de máximo volumen? Dato: La abertura de la caja es uno de los lados cuadrangulares. SOLUC: Función a optimizar:
V ( x) 27 x
1 3 x 4
siendo x la longitud de uno de los lados de la base de la caja.
Se trata de una caja rectangular de base cuadrada de 6 m de lado y 3 m de altura.
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122
2
27º.- Determina el punto Q de la parábola y x que está más próximo al punto P(3, 0). Comprueba que la recta QP es perpendicular a la tangente a la parábola en Q. SOLUC: Función a optimizar:
d ( x) x 4 x 2 6 x 9
Se trata del punto Q = (1,1). La recta que pasa por QP tiene de ecuación y= - x/2 + 3/2 ; La recta tangente a la parábola en el punto Q tiene de ecuación y = 2x – 1. Por tanto ambas rectas son perpendiculares puesto que sus pendientes cumplen la condición de perpendicularidad: m.m’ =-1
2
28º.- Determina un punto de la curva y x .e x en la que la pendiente de la recta tangente sea máxima. 2
SOLUC: Función a optimizar:
m( x) e x (1 2 x2 )
Ejercicios 3 – 44º a 71º
44º.- Expresar el número 60 como suma de tres enteros positivos de forma que el segundo sea triple del primero y su producto sea máximo. Determinar el valor de dicho producto. SOLUC: Función a optimizar: P ( x ) 180 x 2 12 x 3
Son los números: 10, 30 Y 20.
45º.- Un solar rectangular de 11250 m2 se divide en tres zonas rectangulares iguales, como muestra la figura, para venderlo. Se valla el borde del campo y la separación de las zonas. Calcula las dimensiones del solar para que la longitud de la valla utilizada sea mínima. SOLUC: Función a optimizar:
l ( x) 6 x
15000 x
siendo x el ancho de cada zona rec tan gular
El solar debe medir 150 m x 75 m.
46º.- Un número más el cuadrado de otro número suman 48. Hallar ambos números para que su producto sea máximo. SOLUC: Función a optimizar: El primero es 32 y el segundo es 4.
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123
47º.- Determina las dimensiones de un rectángulo de área máxima que puede 2 2 inscribirse en el semicírculo determinado por x y 25,
y 0.
SOLUC: Función a optimizar A( x ) 2 x 25 x 2 siendo x la mitad de la base del rectángulo Sería un rectángulo cuya base mide 5 2 u y su altura mide
5 2 u 2
48º.- Entre todos los triángulos rectángulos de 5 metros de hipotenusa determina el de área máxima. SOLUC: Función a optimizar: A( x)
1 x 25 x 2 2
Se trata de un triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos miden
5 2 u cada uno 2
49º.- Con una cartulina de 8X5 metros se desea construir una caja sin tapa, de volumen máximo. Hallar las dimensiones de dicha caja. SOLUC: Función a optimizar: V ( x ) 4 x 3 26 x 2 40 x siendo x la altura de la caja La caja debe tener 6 m de largo, 3 m de ancho y 1 m de alto.
50º.- Un rectángulo esta acotado por los ejes y por la gráfica de y
6x ¿Qué 2
longitud debe tener el rectángulo para que su área sea máxima? SOLUC: Función a optimizar: A( x ) 3x
x2 2
Se trata de un rectángulo cuya base mide 3 u y cuya altura mide 3/2 u
51º.- Dos postes de 12 y 28 metros de altura, distan 30 metros entre si. Hay que conectarlos mediante un cable que este atado en algún punto del suelo entre los postes. ¿En que punto ha de amarrarse al suelo con el fin de utilizar la menor longitud de cable posible? SOLUC: Función a optimizar: l ( x) 144 x 2 x 2 60 x 1684 siendo x la distancia del poste menor al punto del suelo donde se ata la cuerda Se debe de atar a 9 m del poste menor y por tanto a 21 m del mayor.
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124
52º.- Se pide calcular el volumen máximo de un paquete rectangular enviado por correo, que posee una base cuadrada y cuya suma de anchura + altura + longitud sea 108. SOLUC: Función a optimizar: V ( x ) 108 x 2 2 x 3 siendo x la longitud de uno de los lados de la base del paquete rectangular de base cuadrada. 3
El volumen es de 46656 u (*observa que el paquete que ha salido es cúbico).
53º.- Una página rectangular ha de contener 24 dm2 de texto, con márgenes superior e inferior de 1,5 dm y laterales de 1 dm , ¿Qué dimensiones de la página requieren la mínima cantidad de papel? SOLUC: Función a optimizar: A( x)
24 3x 3 siendo x el ancho de la página. x2
La página debe medir 6 dm de ancho y 9 dm de largo.
54º.- Con 4 metros de alambre se desean construir una circunferencia y un cuadrado. ¿Cuanto alambre hay que emplear en cada figura para lograr que entre ambas encierren el área mínima posible? SOLUC: Función a optimizar: A( x ) La circunferencia debe tener
4 8x 4x 2 x 2 siendo x la longitud de uno de los lados del cuadrado.
2 4 m de radio, y el cuadrado debe tener m de lado. 4 4
55º.- Dado un cilindro de volumen 4 m3, determinar sus dimensiones para que su área total sea mínima. SOLUC: Función a optimizar: A( r ) 2 r 2
Radio del cilindro
3
Altura del cilindro
4
Matemáticas II: Análisis
2 3
8 r
siendo r el radio del cilindro 3
u ( racioaliza do )
2 4
2 2
u
2
2 2
u ( racioaliza do )
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3
u
125
56º.- Inscribir en una esfera de radio 1 m un cilindro circular que tenga: a)
Volumen máximo
b)
Área lateral máxima.
En ambos casos determinar sus dimensiones, radio de la base y altura. SOLUC: a) Función a optimizar: V ( h) h
h 3 4
siendo h la altura del cilindro 2
b) Función a optimizar: S ( h ) 2 1 h .h h 4 h 2 siendo h la altura del cilindro
4
En ambos casos la respuesta es la misma: Radio del cilindro
2 6 m 3 3
Altura del cilindro
2 3
2 3 m 3
57º.- Determina las dimensiones de una puerta normanda (formada por un rectángulo y un semicírculo como en la figura), sabiendo que es la que tiene un perímetro mínimo entre las que tienen un área igual a 2 m2.
58º.- Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima que tiene un lado sobre el eje X y está inscrito en el triangulo determinado por las rectas y 0, y x , y 4 2 x .
59º.- Entre todos los rectángulos de perímetro 10 cm., encontrar el que tiene área máxima.
60º.- De entre todas las rectas del plano que pasan por el punto (1,2), encuentra aquella que forma con las partes positivas de los ejes coordenadas un triángulo de área mínima. Halla el área de dicho triángulo.
61º.- Se tiene un alambre de longitud L (12 cm.) y se desea dividirlo en dos trozos para formar con cada uno de ellos un triángulo equilátero. Hallar la longitud de cada trozo para que la suma de las áreas de los dos triángulos sea mínima.
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126
62º.- De una lámina cuadrada de cartón de lado L se debe cortar de en cada esquina un cuadrado, de modo que con el cartón resultante, doblando convenientemente, se pueda construir una caja sin tapa. Determinar la longitud del lado del cuadrado de las esquinas para que la capacidad de la caja sea máxima.
63º.- Una ventana está formada por un rectángulo rematado con un semicírculo en la parte superior. Si el marco ha de tener una longitud p, determinar sus dimensiones para que la superficie de la ventana sea máxima.
64º.- De entre todos los rectángulos de perímetro 8 cm., determina las dimensiones del que tiene diagonal de menor longitud.
65º.- Un triángulo isósceles de perímetro 30 cm, gira alrededor de su altura engendrando un cono. ¿Qué valor debe darse a la base para que el volumen del cono sea máximo?.
66º.- Descomponer el número 44 en dos sumandos tales que el quíntuplo del cuadrado del primero más el séxtuplo del cuadrado del segundo sea un mínimo.
67º.- Un rectángulo esta acotado por los ejes y por la gráfica de y
6x ¿Qué 2
longitud debe tener el rectángulo para que su área sea máxima?
68º.- Hallar la base x y la altura y de una cartulina rectangular de perímetro 60 cm. que, al dar una vuelta completa alrededor de un lado vertical, genere un cilindro de volumen máximo.
69º.- Un fabricante desea diseñar una caja abierta con base cuadrada y que tenga un área total de 108 metros cuadrados de superficie. ¿Qué dimensiones producen la caja de máximo volumen? Dato: La abertura de la caja es uno de los lados cuadrangulares.
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70º.- Una página rectangular ha de contener 24 dm2 de texto, con márgenes superior e inferior de 1.5 dm y laterales de 1 dm pulgada, ¿Qué dimensiones de la página requieren la mínima cantidad de papel?
71º.- De todas las rectas del plano que pasan por el punto (1;-3) determina la que forma un triángulo de área máxima con la parte positiva del eje de abscisas y la negativa del eje de ordenadas.
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128
TEMA 4: INTEGRAL INDEFINIDA 1ª.- Primitiva de una función. 2ª.- Integrales inmediatas. 3ª.- Integración por cambio de variable o sustitución. 4ª.- Integración por partes. 5ª.- Integración de funciones racionales. 6ª.- Descomposición de funciones racionales en suma de fracciones simples.
1ª.- Primitiva de una función Se dice que la Función F(x) es una primitiva de la función f(x) si se cumple que F '(x ) f ( x ) , es decir, si f(x) es la derivada de F(x). Esto se expresa del siguiente
modo:
f ( x )dx
F ( x )
Ejemplo resuelto 4 – 1º a)
Una primitiva de f(x) = 2x, es la función F(x) = x2 puesto que F’(x) =(x2)’ = 2x = f(x). También lo es F(x) = x2 + 2 y F(x) = x2 - 7 y F(x) = x2 + 5, etc, etc. Por eso escribimos:
2xdx b)
(C cte .)
Una primitiva de f(x) = 2x +3, es la función F(x) = x2 + 3x puesto que F’(x) =(x2 +3x)’ = 2x + 2 = f(x). También lo es F(x) = x2 + 3x +6 y F(x) = x2 + 3x – 1, etc. Por eso escribimos:
(2x c)
x 2 C
3)dx x 2 3x C
Una primitiva de f(x) = 7, es la función F(x) = 7x puesto que F’(x) =(7x)’ = 7 = f(x). También lo es 7x -10 y 7x +2, etc. Por eso escribimos:
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129
7dx d)
7 x C
Una primitiva de f(x) = x, es la función F ( x )
1 x 2
2
puesto que
'
1 F '( x ) x 2 x f ( x ) . También lo es si le sumamos cualquier 2 constante C, y por eso escribimos:
xdx
1 2 x C 2
IMPORTANTE: Cada función f(x) tiene infinitas primitivas. En efecto: si F(x) es una primitiva de f(x), también F(x) + C (C una constante) será primitiva de f(x) Por esta razón no hablamos de la primitiva de f(x) , sino del conjunto de todas sus primitivas y escribimos:
f ( x )dx
F ( x ) C
Y a F(x) + C que representa al conjunto de todas las primitivas de f(x) se le denomina integral indefinida de f(x) .
Si en el enunciado se impone alguna condición a la primitiva, entonces podemos concretar el valor de la constante C. A la expresión
f ( x )dx
F ( x ) C
se le llama también integral indefinida
de f(x) o simplemente integral de f(x) Por eso, al cálculo de primitivas se le llama también cálculo de integrales o integración. NOTA: Observa que la integración es el proceso inverso a la derivación.
Ejemplo resuelto 4 – 2º De todas las primitivas de la función f(x) = 3x2 – x + 2, halla la que pasa por el punto (-1, 2)
(3 x
2
x 2 )d x x
3
1 x 2
2
2x C
Ahora imponemos que la primitiva tiene que pasar por el punto indicado y, por tanto:
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130
1 ( 1)2 2 ( 1) C 2
( 1)3
2
1
1 2 C 2
2
C
11 2
La primitiva pedida es:
F (x ) x 3
1 2 11 x 2x 2 2
Ejercicio 4 – 1º Realiza las siguientes integrales:
a) c)
dx
b)
cos( x ) dx
e)
(2 x 5 2)dx
1 dx x
c)
f)
e
1 1x 2
x
dx
dx
Ejercicio 4 – 2º a)
De todas las primitivas de la función f(x) = 3x2 -1, halla la que pasa por el punto (2,0)
b)
De todas las primitivas de la función f(x) = ex, halla la que pasa por el punto (0,1)
c)
De todas las primitivas de la función f(x) = 1/x, halla la que pasa por el punto (1,3)
2ª.- Integrales inmediatas Son aquellas integrales que se pueden realizar de forma directa o con alguna sencilla modificación. En la tabla de la siguiente hoja tienes las reglas de integración que te permitirán realizar las integrales inmediatas. Observa que no son más que las reglas de derivación vistas en sentido inverso. Cuando una integral no se pueda adaptar de forma sencilla para poder aplicar las reglas de integración de la tabla, diremos que no es una integral inmediata. Para hacer frente a este tipo de integrales existen diversos mecanismos que se irán dando en las próximas preguntas.
Matemáticas II: Análisis
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131
REGLAS DE INTEGRACIÓN PARA EL CÁLCULO DE LA PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN Función
Forma simple
Forma compuesta
kdx kx C
Constante
Potencial (n ≠ -1) Logarítmica o Potencial (n = -1)
n x dx
x
n 1
1 n1 x C n 1
(n 1)
1 dx dx ln x C x
x a dx x
Seno
x
2
2
xC
C
(n 1)
2
f ( x)
a f ( x) C ln a
dx e f ( x ) C
f '( x ) sen f(x ) dx cos
f(x ) C
f '( x ) cos f(x ) dx sen f(x ) C
x ) dx sec 2 x dx x
f '( x)a f ( x ) dx
f '( x )e
x dx sen x C
cos
(1 tg 1 cos
C
sen x dx cos
Coseno
dx tg x C
2
f '( x)(1 tg f(x)) dx f '( x) sec f '( x ) dx tg f(x ) C cos f(x )
2
f(x ) dx
2
2
2
(1 ctg x ) dx co sec x dx f '( x )(1 cotg f(x )) dx f '( x )co sec f '( x ) 1 dx cotg f(x ) C dx cot g x C sen f(x ) sen x 1
1 x2 1
1 x2
dx arcsen x C
dx arccos x C
a
2
f '( x )
f(x ) dx
2
f '( x ) 2
dx arccos f ( x ) C
1 f ( x)
1 f ( x)
2
1 1 x dx arctg C 2 x a a
dx arcsen f ( x ) C
1 f ( x )
f '( x )
1 1 x 2 dx arctg x C
Arco tangente
2
2
2
Arco coseno
n 1
f '( x ) dx ln f ( x ) k f ( x)
ax C ln a
e dx e
Arco seno
f ( x ) dx
Se tratan como potenciales
Exponencial
Cotangente
f '( x) f ( x)
1
Irracional
Tangente
n
f '( x )
a f ( x ) 2
2
dx arctg f ( x ) C
dx
1 f ( x) arctg C a a
k. f ( x)dx k . f ( x)dx
Producto de un nº por una función La integral del producto de una constante por una función, es igual a la constante por la integral de la función.
( f ( x) g ( x ))dx f ( x )dx g ( x )dx
Suma o resta de funciones La integral de la suma / resta de dos funciones, es igual a la suma / resta de la integral de cada una de ellas. Regla de la cadena o función compuesta Matemáticas II: Análisis
g ' f (x )f '(x )dx
g f (x ) C
Esta es la regla que se ha aplicado en todas las formas compuestas. Curso 2013/14
132
Ejemplo no resuelto 4 – 3º POTENCIAL SIMPLE: Calcula las siguientes integrales indefinidas: 2 x dx
a)
b)
d)
x dx
e)
g)
2 3 x dx
j)
5 x 3 dx
m)
h)
(2 x
7
1 dx x2
f)
x5 dx 3
i)
2x dx 3 2x
3 5x ) dx 3x x2
c)
dx
x . x dx
k)
x
l)
n)
x
6 dx x2
dx
x2
(2 x
3
3x
x 3 3x 2 5 x 2 dx x 2
2
x ) dx
Ejemplo no resuelto 4 – 4º POTENCIAL COMPUESTA: Calcula las siguientes integrales indefinidas: 2 ( x 1 ) dx
a)
2 2 2 x ( x 1) dx
d)
e)
x 1dx
g) i)
b)
2 sen x cos xdx
3 (2 x 5 ) dx
j)
(3 x
f)
( 3 x 4 ) dx
h)
c)
2
2 cos xsenxdx
1)( x
3
2 dx 3 5x
5 x ) dx
k)
3 dx (5 x )2
2x 3 dx ( x 2 3x )2
Ejemplo no resuelto 4 – 5º LOGARÍTMICA: Calcula las siguientes integrales indefinidas:
4 dx x
d)
4x dx x 2 1
g)
a)
tgxdx
b)
e)
1 dx 2x
h)
c)
x dx x 2 1
3 dx x 8
f)
x2 dx x 3 8
ctgxdx
Ejemplo no resuelto 4 – 6º EXPONENCIAL: Calcula las siguientes integrales indefinidas: 2x
a)
e
d)
e
dx
senx
Matemáticas II: Análisis
b)
cos xdx
e
2x 3
e)
e
c)
dx
cos x
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senxdx
2
1 x
dx
f)
2ln x dx x
133
Ejemplo no resuelto 4 – 7º TRIGONOMÉTRICAS: Calcula las siguientes integrales indefinidas:
a)
j)
m)
2 tg xdx
p)
8 dx sen 2x
d) g)
7 dx cos2 x 2 2xsenx dx e
x
e)
x cos e dx
n)
f)
cos(1 x )dx
i)
x
2
cos( x
2 3 c o sc xdx
q)
c)
k)
senx dx 2
2 (5 5tg x )dx
h)
b)
(3 senx 2 cos x )dx
3
2
2 3 sec ( x 9)dx
3 sec
l)
2
x )dx
cos(5x )dx
(2x 1) cos( x
o)
3x
9)dx
2 c o sc (2x 1)dx
2
xdx
2 (5 5 cot g x )dx
Ejemplo no resuelto 4 – 8º ARCO: Calcula las siguientes integrales indefinidas:
a)
2
x 1 (ln x )2
g)
cos x dx 1sen 2x
j)
m)
d)
1x 2 1
1 9 x 2
dx
1 dx 2 x x 1
2x
1x 4
e)
h)
x2 dx 1 x 6 1
i)
1 dx 2 4 x 4 x 4
1 e 2 x
1
1 1 9x 2
dx
1 dx 2 x x 1
l)
ex
f)
dx
dx
2x 2
n)
3 3x 2
c)
dx
1
k)
dx
b)
dx
13x 2
dx
dx
Ejercicio 4 – 3º
a) d)
4
7 x dx
j)
m)
e)
x 5x 3 dx 3x
h)
x
(5 cos x 3 )dx
2x dx x 2 1
Matemáticas II: Análisis
1 x
2
c)
dx
7 x 4 5 x 2 3x 4 dx x2
x dx
3
g)
b)
k)
n)
5x 3 3
3x
3
dx
x 4 5 x 2 3x 4 dx x
f)
i)
(3tgx 5 cos x )dx
cos xdx
o)
Curso 2013/14
3
5 x 2 dx
l) 3
(3x 5tgx )dx
sen xdx
3 dx 2 x 1
134
3ª.- Integración por cambio de variable (o sustitución). Cuando una integral no es inmediata, algunas veces es posible convertirla en inmediata, haciendo un cambio de variable apropiado. Este método consiste en cambiar una expresión de la variable x por una nueva variable t, de forma que la integral en la nueva variable t sea inmediata.
f ( x )dx g (t )dt La dificultad de este método está en encontrar el cambio variable apropiado. Ejemplo resuelto 4 – 9º Halla las primitivas de las siguientes funciones:
a)
1 x
x 1
dx
¿La ves como una integral inmediata? Hagamos el cambio t = ( x -1 )1/2
Si t
1 x
2
x 1 t x 1
b)
dx
1
1 x 1ln x
(t 2 1 )t
2 x 1 x t 1 s u s t it u y e n d o d x 2t d t 1 2t d t 2 2 dt 2 arctgt 2 arctg ( x 1 ) C t
1
dx
¿La ves como una integral inmediata? Hagamos el cambio t = 1 - lnx
t 1 ln x sustituyendo 1 dt x d x dx xdt
Si t 1 ln x
xdt x. t
Matemáticas II: Análisis
dt t
1 t
2
dt
1 1 t 2 1 1 2
C
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1 t2 C 1 2
2 t
C 2 1 ln x C
135
Ejercicio 4 – 4º Calcula la integral indefinida de las siguientes funciones mediante el cambio de variable que se indica. dx
a )
(1 x )
d )
1
Soluc:
c )
3
e )2
x x
x
dx
a )2 a r c t g 3
t
t
x
2
dx
x
b )
x
e ) (
C
b)
3 2
c o s 2 x 3 1 t g x
3
e x 1 ) dx
x
1 arctg
e
x
1
x2 3 12x
dx
t
3
12x
t e x 1
(1 t g x ) 2 C
(1 2 x ) 2 (1 2 x ) 2 2 (1 2 x ) 1 C 8 8 5 2
e
c )
t 1 t g x
d )2
x 3
3
x 2
x
ln (1
x ) C
C
4ª.- Integración por partes. Este método se utiliza también para integrales que no son inmediatas y se basa en la derivada de un producto de funciones. En efecto a partir de la derivada del producto de dos funciones se obtiene una regla que permite calcular la integral de un producto de dos funciones. DEMOSTRACIÓN (no es necesaria): La fórmula de la derivada de un producto de dos funciones u y v es:
(u .v )' u '.v u .v ' Que escrita en forma diferencial sería:
d (u .v ) du .v u .dv Integrando los dos miembros:
d (u .v ) v .du u .du
u .v v .du u .dv
y despejando obtenemos la expresión de la integración por partes:
u .dv
u .v v .du
Hay que elegir u y dv adecuadamente, de forma que la nueva integral que aparece debe de ser más sencilla que la inicial. En caso contrario hay que cambiar de elección.
Matemáticas II: Análisis
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136
Ejemplo resuelto 4 – 10º Halla la integral indefinida de las siguientes funciones:
A)
xe
x
dx
Sol :
e x ( x 1) C
u x derivando du dx Si llamamos x int egrando v e x dv e dx x e x dx udv u .v vdu xe x e x dx xe x e x C e x ( x 1) C
B)
ln xdx
Sol :
x (ln x 1) C
1 dx x int egrando v x 1 ln x dx udv u .v vdu x ln x x dx x ln x dx x x ln x x x (ln x 1) C
u ln x Si llamamos dv dx
derivando
du
En estos dos ejemplos sólo ha habido que utilizar una vez la integración por partes. Otras veces hay que repetir la integración por partes en la segunda integral que aparece Ejemplo resuelto 4 - 11º Halla la integral indefinida de la siguiente función:
x
2
senxdx
Sol :
x 2 cos x 2xsenx 2 cos x
u x2 derivando du 2xdx Si llamamos int egrando v cos x dv senxdx
x
2
senxdx udv u .v vdu x 2 .( cos x ) ( cos x ).2xdx
x 2 cos x 2 x cos xdx
Matemáticas II: Análisis
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137
La integral
x cos xdx
obtenida es más sencilla que la inicial, pero no es
inmediata. Veamos qué ocurre si a esta nueva integral le aplicamos la integración por partes:
u x derivando du dx Si llamamos int egrando v senx dv cos xdx x cos xdx udv u .v vdu xsenx senxdx xsenx ( cos x ) C xsenx cos x C Sustituyendo este último resultado en la integral que obtuvimos en la primera integración por partes queda:
x
2
senxdx x 2 cos x 2 x cos xdx x 2 cos x 2 xsenx cos x C x 2 cos x 2xsenx 2cos x C
También puede ocurrir que al cabo de una o dos integraciones sucesivas se obtenga en el segundo miembro una integral que coincida con la de partida. En este caso se agrupa la integral del segundo miembro con la del primero y se despeja. Ejemplo resuelto 4 – 12º Halla la integral indefinida de la siguiente función:
e
x
cos xdx
Sol :
ex (senx cos x ) C 2
u ex derivando du e x dx Si llamamos int egrando v senx dv cos xdx
e
x
cosxdx udv u .v vdu e x senx e x senxdx
La integral
e
x
senxdx obtenida, aunque no es la misma que la inicial, si es
del mismo tipo que la inicial. Veamos qué ocurre si a esta nueva integral le aplicamos la integración por partes:
u ex derivando du e x dx Si llamamos int egrando v cos x dv senxdx e x senxdx udv u .v vdu e x ( cos x ) ( cos x )e x dx e x cos x e x cos xdx
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
138
Como podemos observar nos ha salido la misma integral del inicio. Sustituyendo este último resultado en la integral que obtuvimos en la primera integración por partes queda:
e
x
cos xdx e x senx e x senxdx e x senx e x ( cos x ) e x cos xdx e x senx e x cos x e x cos xdx
Si agrupamos las dos integrales en el primer miembro y despejamos obtenemos el resultado que nos habían pedido:
e
x
cos xdx e x cos xdx e x senx e x cos x
2 e x cos xdx e x senx e x cos x
e x senx e x cos x e x e cos xdx (senx cos x ) C 2 2 x
Ejercicio 4 – 5º Calcula la integral indefinida de las siguientes funciones mediante integración por partes.
a ) x cos xdx d ) x 2 cos xdx
b ) arctgxdx e ) e x senxdx
g ) x 2e x dx
h ) cos2 xdx
S ol : a )x se n x cos x C
b ) x .a r c t g x
2
d )x
g )e
x
senx
(x
2
2x cos x
2x 2)
Matemáticas II: Análisis
h)
c ) arcsenxdx
2senx
C
e )
f ) x 3 ln xdx
i ) 2x 2 cos(2x )dx
1 ln (1 x 2
2
) C
c ) x .a r c s e n x
x
e
2
1 ( c o s x .s e n x x ) C 2
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(s e n x
i )x
cos x ) C 2
f )
x 4
s e n (2 x ) x c o s (2 x )
1 x
4
2
C 4
ln x
x 16
C
1 s e n (2 x ) C 2
139
5ª.- Integración de funciones racionales. P (x ) siendo P(x) y Q(x) dos Q (x ) polinomios. Para integrar este tipo de funciones hemos de seguir las siguientes etapas. Las funciones racionales son del tipo f ( x )
Si el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador efectuamos la división P(x) : Q(x)
P (x ) Q (x ) R (x ) C (x ) y teniendo en cuenta la regla de la división expresamos el dividendo como el producto del divisor por el cociente mas el resto:
P ( x ) Q ( x ).C ( x ) R ( x ) y dividiendo los dos lados de la igualdad entre el divisor obtenemos la siguiente expresión para la función racional:
P (x ) R (x ) C (x ) Q (x ) Q (x ) De esta forma la integral de la función racional se reduciría a la suma de dos R (x ) integrales: una polinómica (C(x)), que es inmediata, mas otra racional dónde el Q (x ) grado del numerador es menor que el del denominador.
P (x ) Q ( x )dx C ( x )dx
R (x ) Q ( x )dx
Para calcular la segunda integral pasaríamos al punto siguiente.
Matemáticas II: Análisis
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140
Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador lo primero que debemos tener en cuenta es si es una integral inmediata. Para ello, como regla general, comprobamos si el integrando pertenece a uno de estos tipos:
n 1
1 Forma potencial
f (x ) dx f '( x ) f ( x ) dx n n 1 f ( x )
2 Forma neperiana
f (x ) dx
f '(x )
n
f '(x )
3 Forma arco tangente
ln f (x )
f '(x ) 1 f (x )
2
dx arctgf (x )
f '(x ) a 2 f (x )
2
dx
1 f (x ) arctg a a
Si no pertenece a ninguno de los tres tipos anteriores, entonces descomponemos a la función racional en suma de fracciones simples (pregunta siguiente).
Ejemplo resuelto 4 – 13º Halla las siguientes integrales indefinidas:
a)
x 3 3x 2 5 x 2 dx x 2
Sol :
x3 x2 3x 8ln | x 2| C 3 2
Como el polinomio del numerador es de mayor grado que el del denominador, efectuamos la división y, haciendo uso de la expresión:
P (x ) R (x ) C (x ) Q (x ) Q (x ) podemos expresar a la función racional como: x
3
3x 2 5x 2 x x 2
2
x 3
8 x 2
Y por tanto:
x 3 3x 2 5x 2 dx x 2
Matemáticas II: Análisis
(x
2
x 3 ) dx
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8 dx x 2
x3 3
x2 2
3x
8 ln | x 2 |
C
141
5
b)
x
c)
2 x 1 dx ( x 2 x 3 )3
x3 1 dx x 4 4x 2
dx
2x
1 dx 2x 2 x 1
4 ( x 3 1) dx 4 ( x 4 4 x 2)
2x
1x 4
Sol :
( 2 x 1 )( x 2 x 3 ) 3 dx
1x 2x
f)
2x 1 dx x 3) 3
2
x 3 1 dx x 4 4x 2
e)
5 C x
Sol :
5 x 2 1 x 1 5 2 dx 5 x dx 5 5 C 2 2 1 1 x x
(x
d)
dx
2
4
8 dx 16 x 2 8 x 8
2 .4 ( 4 x 1 )2 (
7 )2
dx
2
1 4
1 2 ( x 2 x 3 )2
C
1 ln(x 4 4x 2) C 4
Sol :
4x 3 4 dx x 4 4 x 2
arctag ( x
1 dx x 1
( x 2 x 3 )3 1 3 1
1 4 ln( x 4 x 2) 4
C
arctag ( x 2 ) C
Sol :
2x dx 1 ( x 2 )2
2
dx
1 C 2(x 2 x 3)2
2
Sol :
7
)
C
arctag (
8 dx 16 x 2 8 x 1 7
4 ( 4 x 1 )2 (
2
7 )2
dx
2.
1 7
4x 1 7
) C 8
( 4 x 1 )2 7
ar c ta g (
4x 1 7
)
dx
C
Ejercicio 4 – 6º Calcula la integral indefinida de las siguientes funciones:
a ) xdx 3 Sol : a ) ln | x 3 | C
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b ) 2 x3 5 dx b)
3 ln | 2 x 5 | C 2
c ) 3xx 34 dx c )3 x 5 ln | x 3 | C
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2
d ) 3 x 2 x 7x3 4 dx d )
3 x 4
2
5 1 x ln | 2 x 3 | C 4 8
142
Ejercicio 4 – 7º Calcula la integral indefinida de las siguientes funciones: 2
a ) xx 2 11 dx
2
b ) ( xx 21)1
dx
2
c ) 3 x x54x 1 dx
2
d ) 3 x 2 x 5x1 1 dx
6ª.- Descomposición de funciones racionales en suma de fracciones simples. P (x ) (con grado del Q (x ) numerador menor que el del denominador) en suma de fracciones simples, hemos de hallar las raíces de su denominador. Una vez halladas las raíces del polinomio del denominador nos podemos encontrar con las situaciones siguientes: Para descomponer a una fracción racional f ( x )
Raíces reales simples.
Si el polinomio del denominador tiene sólo raíces reales simples (por ej: x1, x2, x3,…), entonces la descomposición en suma de fracciones simples es la siguiente:
P (x ) A B C ... Q (x ) x x1 x x2 x x3 Como vemos la integral de la función racional se reduciría a una suma de integrales inmediatas de tipo logaritmo neperiano. Antes de integrar hay que hallar los valores de los números A, B, C… Esto se consigue dándole a x, sucesivamente, los valores de la distintas raíces Ejemplo resuelto 4 – 14º Halla la siguiente integral indefinida:
x 2 dx Sol 2 x
x
:
2ln | x | 3ln | x 1 | C
Es la integral de una función racional con el grado del numerador menor que el del denominador y, como no es inmediata, hallamos las raíces del denominador que son x = 0 y x = -1 y ambas son simples pues: x2 + x = x(x + 1) . La descomposición en suma de fracciones simples es: x 2 x 2 x
x 2 A B x (x 1) x x 1
Para hallar las constantes A y B antes quitamos denominadores x 2 A ( x 1) Bx x (x 1) x (x 1) x (x 1)
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x 2 A (x 1) B x
143
Si hacemos x = 0 en la última expresión obtenemos el valor de A: S i x
0
0 2 A ( 0 1) B .0
A 2
Si hacemos x = -1 en la última expresión obtenemos el valor de B: Si x
1
1 2 A ( 1 1) B .( 1)
B 3
Por tanto la función racional expresada en suma de fracciones simples es: x 2 x 2 x
x 2 2 3 x (x 1) x x 1
Y la integral quedaría:
x 2 x 2 x
dx
2 dx x
3 dx x 1
2 ln | x |
3 ln | x
1 |
C
Raíces reales simples y múltiples. Si tiene raíces reales simples y múltiples: (por ej: x1 (simple), x2 (doble), x3 (simple), …), entonces la descomposición en suma de fracciones simples es la siguiente:
P (x ) A B C D ... 2 Q (x ) x x1 x x2 x x3 (x x 2 ) Como vemos la integral de la función racional se reduciría a una suma de integrales inmediatas de tipo logaritmo neperiano y otras de tipo potencial. Antes de integrar hay que hallar los valores de los números A, B, C… Los valores de las constantes de las fracciones que no tienen potencias en el monomio del denominador, se obtienen dándole a x, sucesivamente, los valores de las distintas raíces. Para hallar los valores de las constantes de las fracciones que tienen potencias en el monomio del denominador hay que dar a x un valor distinto a las raíces del denominador. Ejemplo resuelto 4 – 15º Halla la siguiente integral indefinida:
3x 5 dx x 3 x 2 x 1
Sol :
1 1 4 ln| x 1| ln| x 1| C 2 2 x 1
Es la integral de una función racional con el grado del numerador menor que el del denominador y, como no es inmediata, hallamos las raíces del denominador que son x = 1, que es simple y x = 1, que es doble puesto que x3.+ x2 - x +1 = (x + 1)(x – 1)2 La descomposición en suma de fracciones simples es: x
3
3x 5 3x 5 A B C 2 2 x 1 x 1 x x 1 ( x 1)( x 1) (x 1)2
Para hallar las constantes A, B y C antes quitamos denominadores
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144
3x 5 A (x 1)2 B (x 1)(x 1) C (x 1) 2 2 2 (x 1)(x 1) (x 1)(x 1) ( x 1)(x 1) (x 1)(x 1)2
3 x 5 A ( x 1 ) 2 B ( x 1 )( x 1 ) C ( x 1 )
Si hacemos x = 1 en la última expresión obtenemos el valor de C: Si x 1
3 .1 5 A .0 B .0 C .2
C 4
Si hacemos x = -1 en la última expresión obtenemos el valor de A: Si x
3 ( 1) 5 A ( 1 1) 2 B .0 C .0
1
A
1 2
Para hallar el valor de B podemos dar a x un valor cualquiera, por ejemplo x = 0. Si x 0
3 .0 5
1 ( 1) 2 B .1 .( 1) 4 .1 2
B
1 2
Por tanto la función racional expresada en suma de fracciones simples es: x
3x x
3
5 x
2
1
(x
1
x 2 1)(x 1)2
x
1 2 2 1 x 1 (x
4 1)2
Y la integral quedaría: 3x 5 dx 3 x x 2 x 1 1 ln | x 1 | 2
1
2 dx x 1
1 ln | x 2
1 |
1
2 dx x 1
4 x 1
4 ( x 1 )2
dx
C
Raíces reales y complejas Esta situación no se exige en este curso. Ejercicio 4 – 8º Calcula las siguientes integrales indefinidas: 2 x 3 1 dx x 3
a )
2
d ) xx 21 S ol : a )
2 x 3
3
3x
dx x 2
f ) ln | x |
b ) e )
3x 2 dx x 2 1
2x 5 dx (x 3)3
1 x C ln x 1 x
f ) 6x
c )
1 8 x 5 5 ln | x 3 | C
c ) ln | x | ln | 1 x | d ) 3 ln | x
b)
1 C x
dx
5 7x 4 5x 3 x 2 5x 2 x 6 2x 5 2x 3 x 2
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dx
5 1 ln | x 1 | ln | x 1 | C 2 2
9 x 4 9 4 ln | x | C ln C x 1 x 1 | x 1 |3 2 2 5 ln | x 1 | C x 1 (x 1)2
1 | 2 x
1 x 2 x 3
e )
x
2 1 C 3 2(x 3)2
145
Ejercicio 4 – 9º 2
a ) x5 x3 x3 dx
b ) x ( x21)x 3 6 dx
Ejemplo resuelto 4 – 16º R se sabe que f’’(x) = x2 + 2x + 2, y que su gráfica tiene
De una función f: R
tangente horizontal en el punto P = (1, 2). Halla la expresión de f. f’(x) será una primitiva de f’’(x), es decir: f '(x )
f
' ' ( x )d x
(x
2
2 x 2 )d x
1 x 3
3
x
2
2x C
Y f(x) será una primitiva de f’(x), es decir: f (x )
f
1
' ( x )d x
(3
3
x
2
x
1 x 12
2 x C )d x
4
1 x 3
3
x
2
Cx D
Tendremos que calcular cuánto valen los parámetros C y D. Como la gráfica de f tiene tangente horizontal en el punto P = (1, 2), entonces la derivada de la función f en ese punto tiene que valer 0, es decir: f '(1) 0
f ' (1 )
1 3 1 1 2 2 .1 C 3
0
C
10 3
Y como el punto P =(1, 2) es un punto de la gráfica de la función, entonces: f (1 ) 2
1 1 3 14 1 1 2 C .1 D 2 12 3
f (1 )
D
1 12
Por tanto la función f tiene como expresión: f (x )
1 x 12
4
1 x 3
3
x
2
10 1 x 3 12
Ejercicio 4 - 10º Determina la función f: R
R sabiendo que su derivada segunda es constante e igual
a 3 y que la recta tangente a su gráfica en el punto de abscisa x = 1 es 5x – y – 3 = 0. S ol :
f (x )
3 x 2
2
2x
3 2
Ejercicio 4 - 11º Encuentra la primitiva de la función f(x) = x2 sen(x), sabiendo que el valor de la función para x = π es 3.
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146
Ejercicio 4 - 12º Determina la expresión de la función f(x) sabiendo que: f ’’(x) = xLn(x)
f’(1) = 0
y
f(e) = e/4
Ejercicio 4 - 13º Determina la expresión de la función f(x) sabiendo que: f´(x) = xe-x2
y
f(0) = 1/2
Ejercicio 4 - 14º 2
Sea la función g: R → R definida por g ( x ) ln( x 1) (donde ln denota logaritmo neperiano). Calcula la primitiva de g que pasa por el origen de coordenadas.
Ejercicio 4 - 15º a 23º
15º.- A) 2003 1-B-1
B) 2003 3-B-1
C) 2003 4-A-1
16º.- A) 2004 3-B-2
B) 2004 6-A-1
C) 2005 2-A-2
17º.- A) 2005 5-B-2
B) 2006 2-A-2
C) 2006 2-B-2
18º.- A) 2006 4-A-2
B) 2006 5-A-2
C) 2007 1-B-1
19º.- A) 2007 2-B-2
B) 2007 4-A-2
C) 2007 6-A-1
20º.- A) 2008 1-A-2
B) 2008 6-A-2
C) 2009 2-B-2
21º.- A) 2010 1-A-2
B) 2010 5-A-2
C) 2010 6-A-2
22º.- A) 2011 1-B-2
B) 2011 2-A-2
C) 2011 2-B-2
23º.- A) 2011 3-B-2
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147
TEMA 5: INTEGRAL DEFINIDA 1ª.- Integral definida de una función. 2ª.- Propiedades de la integral definida. 3ª.- Función integral y teorema fundamental del cálculo integral. 4ª.- Regla de Barrow. 5ª.- La integral definida y el cálculo de áreas.
1ª.- Integral definida de una función Supongamos que tenemos una función f(x) continua en un intervalo cerrado [a,b] y que en dicho intervalo la función es positiva (f(x) ≥ 0). Si quisiéramos calcular el área de la región que forma su gráfica con el eje OX en dicho intervalo, podríamos proceder del siguiente modo: Podemos dividir el intervalo [a,b] en n subintervalos, de modo que la función f(x) tiene en cada uno de estos subintervalos un máximo y un mínimo
Si tomamos el valor mínimo que toma f(x) en cada subintervalo, el recinto que forma la función con el eje de abscisas queda dividido en un conjunto de rectángulos como se indica en la figura. La suma de las áreas de estos rectángulos se aproximaría al área buscada pero por defecto (el área de los n rectángulos es menor que la que buscamos).
sn (Suma de las áreas de los n rectángulos inferiores) < A Es evidente que cuando mayor sea n (nº de subintervalos en los que dividimos el intervalo [a,b]), más nos aproximaremos al valor del área buscada.
Matemáticas II: Análisis
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148
Si tomamos ahora el máximo que toma la función en cada subintervalo, el recinto quedará también dividido en n rectángulos tal y como se muestra en la figura. En este caso, la suma de las áreas de los n rectángulos nos aproximará, por exceso, al valor del área buscada (obtendríamos un valor superior al buscado). Obviamente cuanto mayor sea el nº de rectángulos considerados, mejor será la aproximación.
sn (Suma de las áreas de los n rectángulos superiores) > A Es decir:
sn < A < Sn Si hacemos que el nº de subintervalos tienda a infinito (n ) , ambas sumas coincidirían entre sí y obtendríamos el valor del área buscada, es decir:
lim s A limSn n n n
Este límite común recibe el nombre de integral definida de la función f(x) en el intervalo [a,b], y se designa por:
b
a
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f ( x )dx
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149
2ª.- Propiedades de la integral definida. 1ª.- Si los límites de integración son iguales entonces la integral definida vale 0. a
Si ab
a
f (x)dx
0
2ª.- Signo de la integral definida: Si el integrando es una función positiva en el intervalo de integración, entonces la integral definida también lo será, pero si el integrando es una función negativa entonces la integral definida será negativa.
Si f (x )0 (x[a,b]
Si f (x )0 (x[a,b]
b
a b
a
f (x )dx
0
f (x )dx
0
3ª.- Aditividad con respecto al intervalo de integración: si dividimos al intervalo de integración en dos o más subintervalos, la integral definida coincide con la suma de las integrales definidas en cada uno de los subintervalos.
Si c[a,b]
b
a
c
b
a
c
f (x)dx
f (x)dx
f (x)dx
4ª.- Linealidad respecto al integrando: si el integrando se puede expresar como suma / resta de dos o más funciones, entonces la integral definida coincide la suma / resta de dichas funciones.
Si f (x)g(x)h(x)
b f(x)dx a
b
a
g(x)h(x)dx
b
a
b
g(x)dx
h(x)dx a
5ª.- Monotonía respecto al integrando: si tenemos dos funciones y una de ellas toma valores menores o iguales que la otra en cada uno de los puntos del intervalo de integración, entonces la integral definida de la primera también será menor o igual que la de la segunda en dicho intervalo.
Si f (x )g(x ) (x[a,b])
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b
a
b
f (x )dx
a
g(x )dx
150
6ª.- Integral del producto de un nº real por una función: si el integrando se puede expresar como producto de un nº real por una función, entonces la integral definida coincide con el producto de dicho nº real por la integral de la función.
Si f (x )k.g(x) (kR)
b
a
b
f (x )dx
a
k.g(x) dx
b
k
a
g(x )dx
7ª.- Si permutamos los límites de integración, la integral definida cambia de signo.
b
a
f ( x )dx
a
b
f ( x )dx
8ª.- Teorema del valor medio del cálculo integral: si el integrando es una función continua en el intervalo cerrado de integración, entonces siempre existirá un valor x = c del intervalo abierto de modo que la integral definida se pueda expresar mediante el área de un rectángulo de base la amplitud del intervalo de integración y de altura f(c).
Si f (x ) es continua en[a,b] c(a,b)
/
b
a
f (x )dx f (c ).(b a )
3ª.- Función Integral y teorema fundamental del cálculo integral. Como hemos visto la integral definida de una función f(x) es un nº real (positivo, negativo o nulo). Pero si el límite superior de integración no lo fijamos, sino que lo dejamos variable, podemos definir la siguiente expresión que es una función que depende de x y que se denomina función integral:
F (x )
x f (t )dt
a
(f (t ) continua en [ a ,b ]
y x [ a , b ])
El teorema fundamental del cálculo integral dice que la función integral es derivable y que su derivada coincide con el integrando:
F (x )
x
a
f (t )dt es derivable y
F '( x ) f ( x )
Es decir, F es una primitiva de f
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151
4ª.- Regla de Barrow Al inicio del tema definimos a la integral definida como un límite. Pero en la práctica este mecanismo es fácil sólo para funciones sencillas y, de hecho, nosotros todavía no lo hemos aplicado en este tema para calcular el valor de una integral definida.El matemático inglés Barrow dedujo una regla práctica para hallar el valor de las integrales definidas y es la siguiente: REGLA DE BARROW La integral definida de una función f(x) en un intervalo [a, b] es igual al valor que toma una cualquiera de sus primitivas en el extremos superior del intervalo menos el valor que toma esa misma primitiva en el extremo inferior del intervalo. En lenguaje simbólico sería:
b
a
b
f ( x )dx G ( x ) G ( b ) G ( a ) a
Siendo G(x) una primitiva de f(x)
Para aplicar la regla de Barrow podemos seguir el siguiente esquema: 1º.- Buscamos una primitiva cualquiera G(x) del integrando, es decir: G (x )
f ( x )dx
2º.- Calculamos el valor de la primitiva en los extremos del intervalo de integración, es decir, calculamos G(a) y G(b). 3º.- Hacemos la diferencia entre los valores anteriores:
b
a
b
f ( x )dx G ( x ) G ( b ) G ( a ) a
Es importante darnos cuenta que la primitiva G(x) a utilizar es indiferente, puesto que al hacer la diferencia entre los extremos del intervalo, la constante de la primitiva se anularía y el resultado de la diferencia sería el mismo para cualquier primitiva de f(x). Por tanto podemos utilizar, si queremos, la primitiva más sencilla, que sería aquella en la que la constante C vale 0.
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152
Ejemplo resuelto 5 – 1º Calcula las siguientes integrales definidas:
A)
2 (2 x 3 ) dx
1
x 2
2
1
3x
2
2
3.2
1
2
3.1
2
2
0
Como la integral es inmediata no he indicado los tres pasos a seguir y los he aplicado directamente y secuencialmente.
B)
e
1
1 dx x
e
ln x 1
ln e
ln 1
1
0
1
Aquí ocurre igual que en el apartado anterior.
C)
3
1
dx
4 2 x (ln x )
En este caso, aunque parece que no es una integral inmediata, en realidad sí lo es si la preparamos. Preparémosla para calcular una integral indefinida de f(x).
1
x (ln x ) 4
dx
1 (ln x ) 3 1 4 (ln x ) dx x 3 3(ln x ) 3
Y ahora calculemos la integral definida:
3
3
1
4 2 x (ln x )
dx
1 3 3(ln x ) 2
1 3(ln 3)3
1 3(ln 2)3
1 3(ln 3)3
1 3(ln 2)3
1 3
1 1 (ln 2)3 (ln 3)3
3 4 2 sen x . cos x .dx 0
D)
En este caso también tenemos que prepararla para que sea inmediata.
3
4
sen x . cos x .dx
2
4
senx .sen x . cos x .dx
4
6
( senx . cos x senx . cos x )dx
2
4
senx .(1 cos x ). cos x .dx 4
( senx ). cos xdx
6
( senx ). cos xdx
cos5 x cos7 x 5 7
La integral definida sería:
3 4 2 sen x . cos x .dx 0
Matemáticas II: Análisis
cos5 x cos7 x 5 7
2
0
...
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2 35
153
Ejercicio 5 – 1º Calcula las siguientes integrales definidas: A)
C)
5
2
(3x
2
e
1
2x 3)dx (SOL
3
(ln x ) dx (SOL
B)
: 105)
0
D)
: e 2)
senxdx (SOL
0
x
: 2)
e sen (2x )dx (SOL
2 : 5 (e 1))
Ejercicio 5 – 2º A)
6
1
3
(4x 4x
Matemáticas II: Análisis
4
3)dx
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B)
1
1
0 1x
2
dx
154
5ª.- La integral definida y el cálculo de áreas Una de las aplicaciones de la integral definida es el cálculo de áreas de recintos limitados por las gráficas de funciones. Para aplicarla lo haremos en grado creciente de dificultad en los siguientes apartados:
5.1 Área de la región limitada por la gráfica de una función y el eje OX. Podemos encontrarnos con dos situaciones: a) La función no cambia de signo en el intervalo de integración. Si la función f(x) tiene signo constante en el intervalo de integración, entonces la función delimita con el eje de abscisas sólo un recinto. Si la función f(x) es positiva, la región estaría por encima del eje de abscisas y la integral definida nos daría el área de esta región.
A
b
a
f ( x )dx
Pero si la función es negativa en el intervalo de integración, la región estaría por debajo del eje de abscisas. La integral definida sería negativa y su valor absoluto nos proporcionaría el valor del área de esta región.
A
b
a
f ( x )dx
b) La función cambia de signo en el intervalo de integración. Si la función f(x) no tiene signo constante en el intervalo de integración, entonces su gráfica determina con el eje de abscisas varias regiones tal y como se indica en la figura:
Matemáticas II: Análisis
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155
En este caso el área del recinto que determina la gráfica de f con el eje de abscisas será la suma de las áreas de cada uno de los recintos
A AR1
AR2
AR3
c a
f ( x )d x
d
c
f ( x )d x
b d
f ( x )d x
Siendo c y d las abscisas de los dos puntos de corte de la gráfica de f con el eje OX-
Ejemplo no resuelto 5 – 2º Halla el área del recinto limitado por la parábola y = x2 , el eje OX, la recta x = 1 y la recta x = 5. (SOL: 124/3 u2)
Ejemplo no resuelto 5 – 3º Halla el área del recinto limitado por la curva y = - x2 , el eje OX y las rectas x = - 2 y x = 2. (SOL: 16/3 u2)
Ejemplo no resuelto 5 – 4º Halla el área limitada por la curva y = x3 – 6x2 + 8x y el eje OX. (SOL: 8 u2)
Ejemplo no resuelto 5 – 5º Halla el área de la región comprendida entre la función f(x) = x3 – x2 – 4x + 4 y el eje de abscisas. (SOL: 71/6 u2) Ejemplo no resuelto 5 – 6º (selectividad 2003) En la figura adjunta puedes ver representada en el intervalo [0,2] la gráfica de la 2
parábola y = x /4. Halla el valor de m para el que las áreas de las superficies rayadas son iguales. (SOL: m = 17/12)
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156
5.2 Área de la región limitada por las gráficas de dos funciones. En esta figura se ve claramente que el área pedida es la diferencia entre las áreas que forman con el eje de abscisas f y g.
A Af
Ag
b a
f ( x )d x
b a
g ( x )d x
Aquí las funciones se cortan en el intervalo de integración y eso significa que en el primer subintervalo g es mayor que f y en el segundo ocurre al contrario. El área pedida sería:
A AR1 AR2
c
a
g ( x ) f ( x ) dx
b
c
f ( x ) g ( x ) dx
IMPORTANTE Existe un procedimiento o norma general para estos casos y consiste en definir una nueva función h(x) = f(x) – g(x) (o al contrario: h(x) = g(x) – f(x)). A continuación se calcula el área de la gráfica de esta nueva función con el eje de abscisas procediendo del mismo modo que en el punto 5.1 anterior, es decir, tendríamos que ver si h(x) mantiene o cambia su signo en el intervalo de integración.
Ejemplo no resuelto 5 – 7º Halla el área del recinto limitado por las funciones y = x2 e y = x1/2 . (SOL: 1/3 u2)
Ejemplo no resuelto 5 – 8º Halla el área de la región comprendida entre las funciones f(x) = x3 y g(x) = x (SOL: 1/2 u2)
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157
Ejemplo no resuelto 5 – 9º (Selectividad 2008) Sea la función f : R → R y g : R → R las funciones definidas mediante:
f ( x ) x ( x 2)
g ( x) x 4 y a) Esboza las gráficas de f y g sobre los mismos ejes. Calcula los puntos de corte entre ambas gráficas. b) Calcula el área del recinto limitado por ambas gráficas. (SOL: 109/6 u2)
Ejemplo no resuelto 5 – 10º (Selectividad 2012) Halla el área del recinto limitado por las funciones f(x) = x3 – 4x y g(x) = 3x - 6 (SOL: 131/4 u2)
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5.3 Área de la región limitada por las gráficas de dos o más funciones y el eje de abscisas. En la siguiente gráfica se ha representado la región delimitada entre dos funciones f(x) y g(x) y los ejes de coordenadas.
g(x) F(x)
0
a
b
Puedes observar que el área de dicho recinto es la resta de dos áreas: el área que forma la gráfica de la función f(x) con el eje de abscisas en el intervalo [0,b] menos la que forma la gráfica de la función g(x) con el eje de abscisas en el intervalo [a,b], es decir:
A Af
Ag
b 0
f ( x )d x
b a
g ( x )d x
Es importante destacar que el área que forma f(x) con el eje de abscisas, en este caso particular, coincide con el área de un rectángulo y, por tanto, podríamos calcular dicha área sin necesidad de realizar la integral definida, bastaría con aplicar la fórmula de base por altura.
Ejercicio no resuelto 5 –10º Halla el área de la región del plano limitada por las gráficas de las funciones f(x) = lnx, g(x) = 2 y los ejes de coordenadas. (SOL: e2 – 1 u2 )
Ejercicio no resuelto 5 – 11º Halla el área de la región del plano limitada por la parábola y = 4x - x2, y las tangentes a la curva en los puntos de intersección con el el eje de abscisas. (SOL: 16/3 u2 )
Ejercicios de selectividad 5 – 3º al 34º 3º.- a) 2003 1 – A – 2
b) 2003 2 – A – 2
c) 2003 2 – B – 2
4º.- a) 2003 3 – A – 2
b) 2003 4 – A – 2
c) 2003 4 – B – 1
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5º.- a) 2003 5 – A – 2
b) 2003 5 – B – 1
c) 2003 6 – B – 2
6º.- a) 2004 1 – A – 2
b) 2004 1 – B – 1
c) 2004 1 – B – 2
7º.- a) 2004 2 – A – 2
b) 2004 2 – B – 2
c) 2004 3 – A – 1
8º.- a) 2004 4 – A – 1
b) 2004 4 – B – 1
c) 2004 5 – A – 2
9º.- a) 2004 5 – B – 2
b) 2004 6 – B – 2
c) 2005 1 – A – 2
10º.- a) 2005 1 – B – 2
b) 2005 2 – B – 2
c) 2005 3 – A – 2
11º.- a) 2005 3 – B – 2
b) 2005 4 – A – 2
c) 2005 4 – B – 2
12º.- a) 2005 5 – A – 1
b) 2005 6 – A – 1
c) 2005 6 – B – 2
13º.- a) 2006 1 – A – 2
b) 2006 1 – B – 2
c) 2006 2 – B – 2
14º.- a) 2006 3 – A – 2
b) 2006 3 – B – 2
c) 2006 4 – A – 1
15º.- a) 2006 4 – B – 2
b) 2006 5 – A – 2
c) 2006 5 – B – 2
16º.- a) 2006 6 – A – 2
b) 2006 6 – B – 2
c) 2007 1 – A – 2
17º.- a) 2007 1 – B – 2
b) 2007 2 – A – 2
c) 2007 3 – A – 2
18º.- a) 2007 3 – B – 2
b) 2007 4 – B – 2
c) 2007 5 – A – 2
19º.- a) 2007 5 – B – 2
b) 2007 6 – A – 1
c) 2007 6 – A – 2
20º.- a) 2007 6 – B – 2
b) 2008 1 – A – 2
c) 2008 1 – B – 1
21º.- a) 2008 1 – B – 2
b) 2008 2 – A – 2
c) 2008 2 – B – 2
22º.- a) 2008 3 – A – 2
b) 2008 3 – B – 2
c) 2008 4 – A – 2
23º.- a) 2008 4 – B – 2
b) 2008 5 – A – 2
c) 2008 5 – B – 1
24º.- a) 2008 5 – B – 2
b) 2008 6 – A – 2
c) 2008 6 – B – 2
25º.- a) 2009 1 – A – 2
b) 2009 1 – B – 2
c) 2009 2 – A – 2
26º.- a) 2009 3 – A – 2
b) 2009 3 – B – 2
c) 2009 4 – A – 2
27º.- a) 2009 4 – B – 2
b) 2009 5 – A – 2
c) 2009 5 – B – 2
28º.- a) 2009 6 – A – 2
b) 2009 6 – B – 2
c) 2010 1 – B – 2
29º.- a) 2010 2 – A – 2
b) 2010 2 – B – 2
c) 2010 3 – A – 2
30º.- a) 2010 3 – B – 2
b) 2010 4 – A – 2
c) 2010 4 – B – 2
31º.- a) 2010 5 – B – 2
b) 2010 6 – B – 2
c) 2011 1 – A – 2
32º.- a) 2011 3 – A – 2
b) 2011 4 – A – 2
c) 2011 4 – B – 2
33º.- a) 2011 5 – A – 2
b) 2011 5 – B – 2
c) 2011 6 – A – 2
34º.- a) 2011 6 – B – 2
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