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´ nea Matema ´ tica 48 (2009) 59–74 Miscela
SMM
Casos enR los que no es aplicable la f´ormula ab F 0(x)dx = F (b) − F (a) Juan Carlos Ponce Campuzano, Antonio Rivera Figueroa CINVESTAV-IPN
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Resumen Sin duda alguna, el Teorema Fundamental del C´alculo, nombre que abreviaremos por TFC, es una de las herramientas m´as poderosas en las aplicaciones del C´alculo Diferencial e Integral, debido a que nos permite calcular integrales definidas de una manera relativamente simple y expedita. La integral a la que nos referimos en este art´ıculo es en el sentido de Riemann, esto aplica en particular al t´ıtulo. Un recurso R b 0 nemot´ecnico para recordar el TFC es la relaci´on formal F (x)dx = F (b) − F (a). Presentaremos dos situaciones ina teresantes en las que esta f´ormula no es aplicable. Uno de los casos puede surgirnos en la pr´actica, por lo que el ejemplo que exponemos nos advierte del cuidado que debemos tener cuando pretendamos aplicar el TFC.
1.
El Teorema Fundamental
El Teorema Fundamental del C´alculo establece dos relaciones de reciprocidad entre la derivada y la integral. Algunos autores llaman Teorema Fundamental solamente a una de estas relaciones, nosotros daremos ese nombre al teorema que incluye ambas relaciones, las cuales establecemos en dos incisos. Centraremos nuestra atenci´on en el segundo de ellos.
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Teorema 1 (Fundamental del C´ alculo). Sea f : [a, b] → R una funci´on integrable.
1. Si F : [a, b] → R est´a dada por Z F (x) =
x
f (u)du a
para toda x ∈ [a, b], entonces F es continua en cada x ∈ [a, b]. Adem´as si f es continua en x ∈ [a, b], entonces F es derivable en x, en este caso F 0 (x) = f (x). 2. Si G : [a, b] → R es una funci´on derivable en [a, b] tal que G0 (x) = f (x) para toda x ∈ [a, b], entonces Z
b
f (u)du = G(b) − G(a). a
Recordemos que una funci´on P se llama funci´on primitiva de f en un intervalo [a, b], si es derivable en [a, b] y P 0 (x) = f (x) para toda x del intervalo. Si una funci´on tiene una primitiva entonces tiene una infinidad de primitivas, de hecho, si P es una primitiva de f , entonces G = P + C es una primitiva de f para toda constante C. La segunda parte del TFC, formulada en t´erminos de R b primitivas, nos dice que si G es cualquier primitiva de f , entonces a f (x)dx = G(b) − G(a). Esta f´ormula nos ofrece un enorme potencial para calcular integrales en un intervalo, tambi´en llamadas integrales definidas, raz´on por la cual resultan importantes los llamados M´etodos de Integraci´on, que no son otra cosa que m´etodos para encontrar primitivas de funciones. La segunda parte del TFC tambi´en podemos formularla como sigue.
Teorema 2 Si F : [a, b] → R es derivable en todo x ∈ [a, b] y F 0 es Rb integrable, entonces a F 0 (x)dx = F (b) − F (a).
M´as adelante nos referiremos a este enunciado.
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2.
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Acerca del cambio de variable u = tan x2
Algunos de los m´etodos de integraci´on m´as populares que suelen estudiarse en los primeros cursos de C´alculo son:
Identificaci´on de integrales inmediatas. Integraci´on de funciones racionales, mediante la descomposici´on en fracciones parciales. Integraci´on por partes. Sustituci´on trigonom´etrica (para integrales donde aparecen ra´ıces de sumas de cuadrados). Cambio de variable u = tan x2 para funciones racionales en sen x y cos x.
Por alguna inexplicable raz´on estos m´etodos se han convertido en las t´ecnicas de integraci´on de casi todo primer curso de C´alculo Integral. Ilustremos el u ´ltimo de ellos. Ejemplo 1 Hallando una primitiva del integrando, calculemos la integral Z 2π 1 dx. 5 + 3 cos x 0 Si acudimos al m´etodo de integraci´on que propone el cambio de variable u = tan x2 , y regresamos a la variable x, obtenemos la funci´on 1 F (x) = arctan 2
1 x tan 2 2
.
(1)
Se invita al lector a que lleve a cabo los detalles. Es f´acil verificar que efectivamente F 0 (x) = f (x) para toda x donde F es derivable. Si usamos esta funci´on para calcular la integral definida, obtenemos Z 0
2π
1 1 dx = arctan 5 + 3 cos x 2
2π 1 x tan = 0. 2 2 0
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´ Figura 1: Area bajo la gr´afica de f (x) =
1 5+3 cos x
Sin embargo, observemos que la funci´on f es continua y positiva en el intervalo [0, 2π] por lo que el valor de la integral definida debe ser positivo, esto es contradictorio con el resultado obtenido. La aparente contradicci´on se debe a que la “primitiva” F no est´a definida en los puntos de la forma x = (2n + 1) π, donde n es cualquier entero, en particular F no est´a definida en el punto π ∈ [0, 2π]. As´ı que F no cumple la condici´on F 0 (x) = f (x) para toda x ∈ [0, 2π]. Observemos que no se trata de una primitiva discontinua (esto no existe, pues toda funci´on derivable es continua), simplemente F no es una primitiva del integrando f en [0, 2π]. Entonces el m´etodo de integraci´on que acude a la sustituci´on trigonom´etrica u = tan x2 ha fallado.
Figura 2: Gr´afica de F (x) = 12 arctan
1 2
tan x2
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Una primitiva del integrando 5+31cos x en el intervalo [0, 2π], que podemos usar para aplicar el TFC es 1 1 sen x G(x) = x − arctan 4 2 3 + cos x Se puede verificar que efectivamente G0 (x) = x ∈ [0, 2π].
Figura 3: Gr´afica de G(x) = 14 x − 12 arctan
1 5+3 cos x
sen x 3+cos x
para toda
Usando esta primitiva, obtenemos Z 2π π 1 dx = G(2π) − G(0) = . 5 + 3 cos x 2 0 Salvo algunos detalles sutiles, la funci´on que produce la sustituci´on u = tan x2 , podemos utilizarla para calcular la integral v´ıa la propiedad aditiva de la integral
Z 0
3.
2π
Z π Z 2π 1 1 1 dx = dx + dx 5 + 3 cos x 5 + 3 cos x 0 5 + 3 cos x π = (F (π) − F (0)) + (F (2π) − F (π)) π π π = −0 + 0+ = . 4 4 2
Integral de una derivada
La aplicaci´on de un m´etodo de integraci´on requiere en general de procesos laboriosos por lo que para facilitar la b´ usqueda de primitivas,
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se construyen extensas tablas de primitivas, tambi´en llamadas integrales indefinidas. Una manera trivial de construir tablas de primitivas es mediante la derivaci´on. La siguiente tabla se ha construido de esta manera.
F (x) 1 xn+1 n+1 sen x arctan x tan x
F 0 (x) xn cos x
−→
1 1+x2 2
sec x
f (x) xn cos x
Primitiva de f (x) 1 xn+1 n+1 sen x 1 arctan x 1+x2 sec2 x tan x
Esta t´ecnica para elaborar tablas de primitivas es muy socorrida en los primeros cursos de C´alculo Diferencial e Integral, pues permite ilustrar inmediatamente la segunda parte del TFC, la cual hemos reformulado en el Teorema 2 y que recordamos mediante la f´ormula Z
b
F 0 (x)dx = F (b) − F (a).
a
Al escribir esta f´ormula fuera del contexto del TFC, surge la pregunta: si F : [a, b] → R es una funci´on derivable en todo [a, b],
¿podemos asegurar que F 0 es integrable? (en el sentido de Riemann)
La respuesta es negativa, as´ı que la t´ecnica trivial para elaborar tablas de primitivas no siempre produce funciones integrables. A continuaci´on presentamos dos ejemplos que muestran esta situaci´on. Notemos primero que para que una funci´on f : [a, b] → R sea Riemann integrable se requiere, por definici´on, que sea acotada. Por lo tanto las funciones no acotadas no son Riemann integrables, pues para ellas no aplica la definici´on. La siguiente funci´on es derivable en su dominio [0, 1] y su derivada es no acotada en ese intervalo, por lo tanto es no integrable en el sentido de Riemann.
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Ejemplo 2 Sea F : [0, 1] → R definida por 2 t cos tπ2 , si 0 < t ≤ 1; F (t) = 0, si t = 0.
Esta funci´on es derivable en [0, 1] y su derivada est´a dada por 2t cos tπ2 + 2πt sen tπ2 , si 0 < t ≤ 1; 0 F (t) = 0, si t = 0.
Un ejemplo m´as interesante es el de una funci´on F : [a, b] → R derivable cuya derivada F 0 sea acotada pero no integrable (en el sentido de Riemann), una tal funci´on la construiremos en la siguiente secci´on.
4.
Funci´ on cuya derivada es acotada y no integrable
El primer ejemplo de una funci´on derivable con derivada acotada pero no integrable se debe a Volterra, el cual data de 1881. Actualmente este mismo ejemplo puede consultarse en Hobson ([3], p. 490), Thielman ([7], p. 165), Swartz ([6], p. 98) y en Galaz-Garc´ıa ([2], p. 98) de esta misma Miscel´anea. La construcci´on de la funci´on de Volterra se basa esencialmente en la funci´on f dada por f (x) = x2 sin x1 si x 6= 0 y f (0) = 0, cuya derivada est´a dada por f 0 (x) = 2x sin x1 − cos x1 si x 6= 0 y f 0 (0) = 0. Si se mira superficialmente la construcci´on de la funci´on de Volterra, puede quedar la impresi´on de que la no integrabilidad de la derivada se debe a que la funci´on en la cual se basa esa construcci´on, oscila infinitas veces alrededor del origen, por esta raz´on presentamos en este art´ıculo una funci´on similar a la de Volterra, cuya funci´on base, que se utiliza para su construcci´on, tiene una derivada mejor comportada. Las ideas que aplicamos son las mismas que las del ejemplo de Volterra. Para construir la funci´on antes mencionada, como en el caso del ejemplo de Volterra, usaremos un conjunto de Cantor generalizado. La no integrabilidad se probar´a usando la importante caracterizaci´on de las funciones Riemann integrables en t´erminos de sus discontinuidades (Spivak, [5], p. 53).
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En el siguiente teorema y en lo sucesivo, la medida de un conjunto ser´a en el sentido de Lebesgue (v´ease Royden [4] y Rudin [5]).
Teorema 3 Una funci´on acotada f definida en [a, b] es Riemann integrable si y solamente si el conjunto de discontinuidades de f tiene medida cero.
La funci´on que contruiremos ser´a derivable en [0, 1] con derivada discontinua en un conjunto de Cantor de medida mayor que cero, espec´ıficamente, de medida 12 . Construyamos un conjunto de Cantor contenido en [0, 1] de medida El primer paso de esta construcci´on consiste en eliminar del intervalo 1 1 1 [0, 1] un subintervalo abierto E 0 centrado en [0, 1] de longitud 6 = 2·3 . 5 7 Este intervalo es E01 = 12 , 12 . 1 . 2
Sea C1 el conjunto compacto que resulta de la uni´on de los 2 = 21 intervalos cerrados restantes 5 7 C1 = 0, ∪ ,1 . 12 12
El segundo paso consiste en eliminar 2 = 21 intervalos abiertos, uno de cada uno de los subintervalos compactos que componen C1 , ambos intervalos abiertos centrados en sus respectivos intervalos compactos y 1 de longitud 2·31 2 = 18 . Sean E11 y E12 estos intervalos abiertos. En general, habiendo construido el conjunto compacto Ck constitutido por 2k intervalos cerrados, construimos Ck+1 mediante la eliminaci´on de 2k intervalos abiertos, cada uno centrado en el intervalo cerrado correspondiente que componen Ck . Cada uno de estos intervalos abiertos, que denotamos por Eki , de longitud 2·31k+1 . Para cada entero no negativo k, sea Uk la uni´on de los intervalos abiertos Eki k
Uk =
2 [ i=1
Eki .
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Figura 4:
Como los 2k intervalos abiertos Eki son ajenos a pares, la medida de Uk es m(Uk ) = 2k 2·31k+1 . Para cada entero no negativo n, sea Vn =
n [
Uk .
k=0
Como Vn es la uni´on de intervalos abiertos ajenos, su medida est´a dada por m(Vn ) =
1 1 1 +2 + 22 + 23 · · · 2 3 2·3 2·3 2·3 1 1 + 2n = n+1 2·3 2
n+1 ! 2 1− . 3
Puesto que (Vn )∞ on creciente de conjuntos abiertos, n=0 es una sucesi´ tenemos que la medida de la uni´on de ellos U=
∞ [
Vn
n=0
es m(U ) = l´ımn→∞ m(Vn ) = 12 . Por lo tanto el conjunto de Cantor k ∞ 2 [ [ Eki H = [0, 1] \ U = [0, 1] \ k=0
tambi´en es de medida 12 .
i=1
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Observemos que H es la intersecci´on infinita de conjuntos compactos Ck , es decir \ H= {Ck | k ∈ N} , as´ı que H es un conjunto compacto. De hecho, el conjunto de Cantor H es infinito no numerable, cerrado, sin puntos interiores y sin puntos aislados. Un conjunto cuya adherencia tiene interior vac´ıo se llama denso en ninguna parte y si el conjunto no tiene puntos aislados se llama perfecto, as´ı que el conjunto de Cantor H es denso en ninguna parte y perfecto (v´ease Swartz [6], Buskes & Van Rooij [1] y Rudin [4]). Ahora construimos una funci´on F : [0, 1] → R, derivable, con derivada acotada y discontinua en el conjunto de Cantor H. Para cada intervalo abierto (a, b) = Eki , montamos la restricci´on de una funci´on derivable 0 fa,b : [a, b] → R tal que ella y su derivada fa,b toman el valor cero en los extremos a y b. Cuidamos que siempre haya un punto en (a, b) donde 0 la derivada fa,b tome el valor 1. En los puntos de H = [0, 1] \ U , a F la hacemos igual a cero. Para construir fa,b en un intervalo [a, b], partimos de la funci´on h(x) =
2 1 + x2
Figura 5: Gr´afica de h Primero tomamos de esta funci´on la parte correspondiente al intervalo [−1, 1], luego extendemos esta parte al intervalo [−2, 2] tomando los trozos en los intervalos [0, 1] y [−1, 0] debidamente reflejados y trasladados. Dado que h0 (−1) = 1 y h0 (1) = −1, con los tres trozos obtenemos una curva suave. Observemos que la gr´afica de la funci´on resultante tiene tangentes horizontales en los puntos (−2, 0), (0, 2) y (2, 0). V´ease Figura 6.
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g (x) =
2(x+2)2 , (x+2)2 +1 2 , 1+x2 2(x−2)2 , (x−2)2 +1
si −2 ≤ x ≤ −1; si −1 < x < 1; si 1 ≤ x ≤ 2.
Figura 6: Gr´afica de g
La derivada g 0 est´a dada por
g 0 (x) =
4(x+2) , (x2 +4x+5)2
si −2 ≤ x ≤ −1;
4x − (1+x 2 )2 ,
si −1 < x < 1;
4(x−2) , (x2 −4x+5)2
si 1 ≤ x ≤ 2.
Observe que g 0 (−2) = g 0 (0) = g 0 (2) = 0, g 0 (−1) = 1 y g 0 (1) = −1.
Figura 7: Gr´afica de g 0
Mediante una composici´on adecuada, obtenemos una funci´on f : [0, 1] → R, con las mismas cualidades de g, espec´ıficamente si
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f (x) = g(4x − 2) obtenemos 32x2 , si 0 ≤ x ≤ 41 ; 16x2 +1 2 , si 14 < x < 34 ; f (x) = 1+(4x−2)2 32(x−1)2 , si 3 ≤ x ≤ 1. 16(x−1)2 +1 4
Figura 8: Gr´afica de f La derivada de f se anula en los extremos del intervalo [0, 1] y toma el valor 1 en el punto x = 14 . Si [a, b] es cualquier intervalo cerrado y acotado, definimos fa,b : [a, b] → R como fa,b (x) = (b − a)2 f x−a , es decir b−a
x−a 2 2 32( b−a ) si a ≤ x ≤ a + b−a (b − a) ; x−a 2 +1 , 4 16( ) b−a 2 (b − a)2 1+(4 x−a , si a + b−a
0, existe una δ-vecindad del punto t tal que F (x) x − t < para toda x ∈ [0, 1] que cumpla 0 < |x − t| < δ. Sea entonces > 0 arbitraria. Consideremos cualquier δ-vecindad (x) de t. Sea x ∈ [0, 1] tal que 0 < |x − t| < δ. Si x ∈ H, entonces Fx−t = 0. Si x ∈ U , entonces x pertenece a alg´ un intervalo abierto (a, b) ∈ {Eki }. Necesariamente uno de los extremos del intervalo (a, b) pertenece a la
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δ-vecindad de t. Este extremo est´a entre t y x. Se puede probar que si este extremo es a, entonces F (x) |F (x)| x − t ≤ |x − a| ≤ 32|x − a|. usando la desigualdad 2. Por otra parte, si b est´a entre t y x, usando la desigualdad 3 tenemos F (x) |F (x)| x − t ≤ |x − b| ≤ 32|x − b|. En cualquier caso tenemos que F (x) x − t < 32|x − t| < 32δ. Haciendo δ =
, 32
obtenemos F (x) x − t < .
Esto prueba que F 0 (t) = l´ım
x→t
F (x) − F (t) = 0. x−t
Hemos probado que F es derivable en [0, 1] y que en todo punto x del conjunto de Cantor H, F 0 (x) = 0. Observemos que F 0 est´a acotada en el intervalo [0, 1], de hecho |F (x)| ≤ 2 para todo x ∈ [0, 1]. 0
Probemos ahora que F 0 es discontinua en H. Sea x ∈ H. Como H es perfecto, toda vecindad Iδ = (x − δ, x + δ) de x tiene un punto y de H diferente de x. Por otra parte, en el intervalo cerrado con extremos x y y, por ejemplo [x, y], necesariamente existe un punto α ∈ U , pues en caso contrario H contendr´ıa al intervalo con extremos x y y, en consecuencia tendr´ıa puntos interiores, pero esto no puede ser posible ya que H es denso en ninguna parte. Supongamos α ∈ (a, b), con (a, b) ∈ {Eki }. Entonces (a, b) ⊂ (x, y), pues en caso contrario uno de los puntos x o y estar´ıa en (a, b). Como la derivada de la funci´on fa,b toma el valor 1 en alg´ un punto, entonces
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existe un punto z en la δ-vecindad de x tal que F 0 (z) = 1. Esto implica que F 0 es discontinua en x ya que F 0 (x) = 0. Hemos probado que F 0 es discontinua en el conjunto de Cantor H, el cual es de medida 12 , luego F 0 no es Riemann integrable. Las figuras 9 y 10 muestran las gr´aficas de algunas de las funciones 0 fa,b y sus derivadas fa,b , con lo cual podemos tener una idea del aspecto que va adquiriendo la gr´afica de F durante su construcci´on, as´ı como la de su derivada.
Figura 9:
Figura 10:
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Referencias [1] Buskes, G. & Van Rooij, A. (1997). Topological Spaces: From Distance to Neighborhood. Springer-Verlag. New York. [2] Galaz-Garc´ıa, F. (2007). Definiciones originales de la integral y medida de Lebesgue. Miscel´anea Matem´atica 44 pp. 83-100. [3] Hobson, E. W. (1957). The theory of functions of real variable and the theory of Fourier’s series. Vol 1. Dover Publications, Inc. New York. [4] Royden, H. L. (1968). Real Analysis. The Macmillan Company. New York. [5] Rudin, W. (1964). Principles of Mathematical Analysis. 2d. ed. McGraw-Hill Book Company. New York. [6] Spivak, M. (1965). Calculus on manifolds : a modern approach to classical theorems of advanced calculus. W. A. Benjamin. New York. [7] Swartz, C. (1994). Measure, integration and function spaces. World Scientific Publishing. Singapore. [8] Thielman, H. P. (1959). Theory of functions of real variables. Prentice-Hall, Inc. New York.