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Problemas tema 1: Oscilaciones
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Problemas de Oscilaciones Boletín 1 – Tema 1
Fátima Masot Conde Ing. Industrial 2007/08
Fátima Masot Conde
Dpto. Física Aplicada III
Universidad de Sevilla
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Problema 1: Una barca flota en el agua subiendo y bajando con las olas. La barca alcanza 8cm abajo y 8cm arriba de su posición de equilibrio y tarda 2.5s en pasar del punto más alto al más bajo y viceversa. Calcular amplitud, periodo, frecuencia y frecuencia angular del movimiento.
Tarda 2.5 s en pasar del punto más alto al más bajo
+8cm posición de equilibrio
Tarda el doble en repetir una oscilación completa:
8cm
T = 5s La amplitud es 8 cm (máximo desplazamiento medido desde la posición de equilibrio) Fátima Masot Conde
1 = 0.20ciclos/s = 0.2Hz T = 2$f = 1.26rad/s f=
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Problema 2: Una masa de 0.5Kg se encuentra conectada a un muelle y oscila sin rozamiento y horizontalmente con una amplitud de 35.0cm. El oscilador repite su movimiento cada 0.5s. Calcule a) el periodo, b) la frecuencia angular, c) la constante del muelle, d) la velocidad máxima, y e) la fuerza máxima que ejerce el resorte. m = 0.5 kg
a)
T = 0.5 s
¡dato!
1
b) f = T = 2Hz A = 35 cm
= 2$f = 4$ rad/s
posición de equilibrio
c)
Sabemos:
K = m 2 = 0.5(4$)2
x ¨ + 2x = 0
2 = K/m Fátima Masot Conde
Kg
N N = 8$ 2 m m
(rd2 ) m N = s2 m m
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Problema 2:
d)
x(t) ˙ = A sen( t + &) = A = (0.35 m)(4$ rad/s) = 1.4$ m/s x(t)| ˙ max
sen( t + &) # 1
¿Cu´ ´ando se alcanza vmax ? t =
e)
Fuerza máxima
|F | = Kx
$ 2
t=
$ 1 1 = s 2 4$ 8
x|max F |max
= KA ¶ μ N = 8$ 2 (0.35 m) m = 2.8$ 2 N
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Problema 3: Para medir la masa de un astronauta en ausencia de gravedad se emplea un aparato medidor de masa corporal. Este aparato consiste, básicamente en una silla que oscila en contacto con un resorte. El astronauta ha de medir su periodo de oscilación en la silla. En la segunda misión Skylab el resorte empleado tenía una constante k=605.6N/m y el periodo de oscilación de la silla vacía era de 0.90149s. Calcule la masa de la silla. Con un astronauta en la silla el periodo medido fue 2.08832s. Calcule la masa del astronauta. Sistema medidor de la masa corporal
Sabemos que: DATOS
Kre resorte sorte = 605.6N/m T0 = 0.90149 s T = 2.08832 s
silla
x(t)
=
A cos( t + &)
x(t) ˙
=
A sin( t + &)
x ¨ + 2x = 0
resorte
r
K m
r T0 = 2$
r
msilla Kre resorte sorte
T = 2$
msilla + mastron Kre resorte sorte
msilla = 12.47 kg Fátima Masot Conde
T = 2$
m K
mastronauta = 54.43 kg
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Problema 4: Determinar la frecuencia de oscilación de una masa m unida a dos muelles de consantes k1 y k2 cuando a) los muelles están conectados en serie y b) los muelles están conectados en paralelo.
b) Para muelles en paralelo
a) Para muelles en serie k1
k1
k2
#
#
k2
keq 1 1 1 = + Keq K1 K2
keq Keq =
K1 K2 K1 + K2
Keq = K1 + K2 r
En ambos casos, = Fátima Masot Conde
Keq , m
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f =
2$ Universidad de Sevilla
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Problema 5: Una masa m=1kg está conectada a un resorte de constante K=200N/m. La masa se aleja una distancia x=+0.2m de su posición de equilibrio y a continuación se suelta, de forma que oscila horizontalmente y con rozamiento despreciable. Calcular a) ecuación del movimiento, b) velocidad máxima y mínima que alcanza la masa indicando en qué posición se alcanzan, c) velocidad y aceleración de la masa cuando lleva recorrida la mitad de la distancia entre la posición inicial y el punto de equilibrio, d) energía total, potencial y cinética en ese punto.
a) Ecuación del mov. x(t) = A cos( t + &)
0.2m
&=0 Elecci´ on arbitraria t = 0 para x(0) # A
posición de equilibrio
r
Datos: =
K = 200 N/m A = 0.2 m m= 1 kg
s K = m
200N/m = 14.14 rad/s 1 kg
x(t) = 0.2 cos(14.14 t)
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Problema 5
b)
Velocidad máxima y mínima que alcanza la masa indicando en qué posición se alcanzan. 0.2m
sen t = 1 cos t = 0
x(t) = A cos( t)
14.14rad/s
vmax = A = 2.83 m/s (x = 0)
|x(t)| ˙ = v(t) = | A sen( t)| (módulo)
x
x˙
vmin = 0
sen t = 0 cos t = 1
(x = A)
veloc. máx
t 3$ 2
x = A v=0 Fátima Masot Conde
equilibrio , x ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱvmax
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0
x = +A v=0 Universidad de Sevilla
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Problema 5
c)
Velocidad y aceleración para x a medio camino entre posición de equilibrio y extremo.
x(t) =
A = 0.1 cm 2
1 2
cos t =
x(t) = A cos t
t = 60o $ sen 60 = 3/2
A x(t) ˙ = A sen s tt 0.2
14.14
Directamente calculamos la aceleración
$
Para calcular la velocidad, necesitamos despejar el seno.
3/2
x ¨(t) = A 2 cos t = 2 x(t)) = 2
A 2 x(t) = 0.1 m
= A/2 = 0.1 El instante t en el que se alcanza esa posición es t=0.074 s (aprox. T/6, y T=0.444 s) Fátima Masot Conde
x(t) ˙ = 2.45 m/s
Resultado: Resultado:
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x ¨(t) = 20 m/s Universidad de Sevilla
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Problema 5
d) Energía total, potencial y cinética en ese punto. ETOT TOTAL AL
¶ μ 1 1 N = KA K A2 = (0.2 m)2 = 4Nm = 4 J 200 2 2 m calculado apartado c)
1 1 1 2 EK = mv 2 = m [x(t)] ˙ )]] = (1 kg)(2.45 m/s)2 = 3 J x(t 2 2 2 m Kg
Datos
EP = ETOTAL EK = Fátima Masot Conde
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s2
m
N
1 [x(t)]]2 = 1 J K [x(t)] 2 Universidad de Sevilla
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Problema 6: Un resorte de masa despreciable posee una longitud de 10cm sin estirar. Se sitúa el resorte en posición vertical y, a continuación, se cuelga de su extremo una masa de 2kg. Como resultado la masa comienza a oscilar en torno a un punto situado a 11cm estirado de la base del muelle. Calcule a) constante K del muelle, b) Amplitud y periodo de movimiento.
a) Constante del muelle K Sabemos Kl = mg en el equilibrio
10 cm
K=
11 cm
mg 2 kg 9.8 m/s2 = l 1 cm
y0='l=1cm
K = 1962
N m
Y el periodo de oscilación, independientemente de la amplitud para oscilaciones pequeñas, es:
r
m = 2 kg l = 1 cm Fátima Masot Conde
=
K 2$ = m T
r T = 2$
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m = 0.2 s K
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Problema 6 En principio, la amplitud de la oscilación vertical no tendría por qué ser igual a 'l: La masa podría oscilar entorno a la posición de equilibrio vertical (situada a once centímetros de la base del muelle, -distinta de la posic. de equilibrio horizontal, que dista solamente 10 cm-), con una amplitud que no tendría por qué coincidir con el estiramiento que sufre el resorte en esas condiciones, (con la masa colgada, 1 cm). Sin embargo, aquí sí coinciden, ya que en este caso se dice que simplemente “la masa se cuelga, y empieza a oscilar”. Así que el movimiento parte del reposo (condición inicial de velocidad nula), y según la definición de condiciones iniciales, el estiramiento del resorte en ese momento coincide con la amplitud de movimiento (sin incluir efectos de amortiguación). O sea: A='l De todas formas, podemos comprobarlo, por energías. Suponiendo, primero, que no coinciden Fátima Masot Conde
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A='l Universidad de Sevilla
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Problema 6 Diagrama de los niveles de energía en varios puntos Epm = mg(h + l)
Epr = 0
l
1 Epr = K(l A)2 2
A
1 Epr = K(l)2 2
Antes de colgar la masa
Epm = mg(h + A) EK = 0 Epm = mgh
1 Epr = K(l + A)2 Epm = mg(h A) 2
+ ETOT = Epr + Epm
Después de colgar la masa
EK = 0
ETOT = Epr + Epm
h Energ. Potencial del resorte
Energía potencial gravitatoria
Energía cinética
Energía total
Tierra Epm = 0 Fátima Masot Conde
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Problema 6
+ ETOTAL =
ETOTAL =
1 1 1 K(l)2 + KA2 2 Kll · A + mgh + mg mgA A 2 2 2
1 1 1 K(l)2 + KA2 + 2 Kl K l · A + mgh mgA mg A 2 2 2
+ ETOTAL = ETOTAL = ETOTAL = La energía total en todos los puntos tiene que ser la misma (pues tanto la gravedad como el resorte son fuerzas conservativas)
1 1 K(l)2 + mgh + KA2 2 2 Energía potencial total en el equilibrio
A 6= l Fátima Masot Conde
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Energía potencial propia de la oscilación
En principio no tiene por qué ser 'l = A Universidad de Sevilla
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Problema 6
Igualando la ETOTAL antes y despu´es de colgar la masa: (La ETOTAL debe ser igual en cualquier instante) + mgg ((h h + l) = ETOTAL = ETOTAL =
1 1 K(l)2 + mgg h + KA2 2 2
1 1 mgl = K(l)2 + KA2 2 2 mg = Kl
K(l)2 = 12 K(l)2 + 12 KA2 1 1 K(l)2 = KA2 2 2 Fátima Masot Conde
l # A
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Problema 7: Dos cuerpos con la misma masa cuelgan de dos resortes distintos de constantes recuperadoras K1 y K2. Ambos cuerpos oscilan con amplitudes tales que sus velocidades máximas son iguales. Determinar la relación existente entre ambas amplitudes.
Sabemos: x(t) = A cos( t) K1
K2
x(t) ˙ = A sen( t)
A1 A1
m m
A2
vmax = A
A2
=
Dato: vmax |1 # vmax |2 Fátima Masot Conde
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r
K m
Hay que calcular
A1 A2
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Problema 7
vmax |1 = A1 1
A1 1 = A2 2
vmax |2 = A2 2
velocidades máximas iguales (dato, condición del problema)
r 1 =
K1 m
r 2 =
A1 2 = = A2 1
K2 m
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r
K2 K1
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Problema 8: Un resorte vertical de masa despreciable soporta una masa que le produce un alargamiento l0. Demostrar que el periodo de las oscilaciones verticales es el mismo que el de un péndulo simple de longitud l0.
Sabemos: 2$ ,
para un resorte:
T =
en el equilibrio:
mg = Kl0
K1 m l0
Po Por P Po o ta or tanto: anto: ntto: n to r to
T = 2$ 2$
m = 2$ K
r
r
,,
K m mg K= l0
=
s m = 2$ mg/l0
l0 g
Idéntico Idéntico alal periodo periodo de de oscilación oscilación de de un un péndulo péndulo de l0l0 para oscilaciones de longitud longitud g p pequeñas para p q pequeñas oscilaciones Fátima Masot Conde
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Problema 9: Un explorador espacial desea conocer la aceleración de la gravedad en un planeta en el que acaba de aterrizar. Para ello, construye un péndulo simple con una cuerda de longitud 50.0cm y una masa de 2kg. El explorador determina que el péndulo efectúa 100 oscilaciones completas en 136s. ¿Cuánto vale g en ese planeta?
s
Sabemos: 100 oscilaciones en 136s
l
T =
l T2
= 1.36s
4$ 2 (0.5m) 2 g= = 10.7m/s (1.36s)2
Datos
m = 2 kg
136 100
g = 4$ 2
l = 50 cm
m
l = 50 cm
l g
T = 2$
Dato D t innecesario: i i La L oscilación il ió de d un péndulo é d l NO NOdepende d d de d lal masa asa (Galileo). El funcionamiento del reloj de péndulo se basa en esto.
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Problema 10:
En el sistema de la figura el muelle tiene una constante K=8N/m y m=1.50kg. La fuerza de amortiguamiento es del tipo F=-bv con b=230g/s. Suponiendo que el bloque se desplaza a 12.0cm de su posición de equilibrio y se suelta, calcule: a) tiempo necesario para que la amplitud de las oscilaciones se reduzca a un tercio de su valor inicial, b) ¿Cuántas oscilaciones realiza el bloque en ese tiempo? Ecuación del movimiento amortiguado: Solución:
d2 x dx Kx b =m 2 dt dt
x(t) = A0 e(b/2m)t cos( 0 t + &)
Amplitud sin amortiguar (dato: 12 cm)
Amplitud amortiguada
s 0 = 0 r
Frecuencia sin amortiguar = Fátima Masot Conde
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Frecuencia de amortiguación
1
K , m
μ
b 2m 0
¶2
K, m datos
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Problema 10
a) Tiempo transcurrido para que A decaiga a A0 3 b t A0 A = A0 e 2m = 3
b t 1 e 2m = 3
1 b t = ln = 1.0986 2m 3
2 · 1.5 kg 103 g = 14.3 s t = 1.0986 230 g/s 1 kg Fátima Masot Conde
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Problema 10
s
b) Oscilaciones transcurridas hasta ese momento.
=
μ 02
b 2m
¶2
t 0 t con amortiguación = ' 5.25osc. n de oscilaciones= 2$ T o
sin amortiguación
= r
0 = Fátima Masot Conde
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tt 0 = 5.25osc. 22$ $ s
K = m
8 N/m = 2.31 rad/s 1.5 kg Universidad de Sevilla
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Problema 11: Una canica pequeña de masa m se desliza sin rozamiento por el interior de un cuenco esférico de radio r. a) Demostrar que el movimiento de la canica es el mismo que si estuviese sujeta a un péndulo de longitud r. b) Una cánica de masa m1 se desplaza del centro del cuenco a una distancia s1. Otra canica de masa m2 se desplaza en dirección opuesta una distancia s2=3s1, siendo s1 y s2 mucho menores que r. Si se sueltan las canicas en el mismo instante, ¿dónde se encontrarán?. Explicarlo.
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Problema 11
a) Movimiento de la canica # movimiento de un p´endulo de radio r.
~ N
La ecuación de movimiento es la misma en los dos casos:
l =
d2 s mg sen = m 2 dt
gc os
m
r#
r
P = mg
os gc
Fátima Masot Conde
n
m
m
e gs
ángulo espacio recorrido sobre la superficie del cuenco (arco)
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Problema 11
~ # tensi´on de la cuerda T~ • La normal N
• El radio del cuenco r # longitud del p´ ´endulo l • El peso P~ = m~g y el a´ngulo son id´ent nticos ticos en los dos casos
Transformamos T Tr ansfor f mamos s :
s
rT radio del cuenco
2
d g = sen 2 dt r
d2 d2 s =r 2 dt2 dt
¿
'
g d2 = 2 dt r
Idéntica a la del péndulo, con ‘longitud’=‘r’ Fátima Masot Conde
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Problema 11
b) D´o
e ma caen desde dos distancias distintas s1 y s2 ,
m1 y m2 , que s2 = 3s1 , s1 , s2 ¿ r
La soluci´ on a la ecuaci´on anterior (para peque˜ r nos) es la r de un M.A.S., con un periodo definido: T = 2$ que NO g depende ni de m ni de la altura de la que cae la bola. Las dos se encuentran en el punto más bajo del recipiente (¡llegan al punto más bajo al mismo tiempo!) Fátima Masot Conde
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Problema 11
Esto parece contradictorio, pues • Las bolas son distintas m1 6= m2 • y una recorre un camino tres veces menor (s2 = 3s1 ) La explicaci´ on est´a en que, cuando los ´angulos angulos son peque˜ nos (garantizado (garanti n zado porque s1 , s2 ¿ r) on de infinit´ estamos bajo la aproximaci´ ´esimos simos equiva v lent n es y los a´ngulos recorridos y 0 son equivalentes aproximadament n e iguales: ' 0 ' sen ' 0 aproximadamente
0
(siempre que s1 , s2 ¿ r) Fátima Masot Conde
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Problema 11
h1 = r r cos h2 = r r cos 0 1
s2
Aproximadamente caen desde la misma altura. Por otro lado, el tiempo de caída no depende de la masa. Fátima Masot Conde
r
'
s1
0
1
r cos 0
'
r cos
La diferencia de alturas desde la que caen:
h = h1 h2 = rr(cos (cos 0 cos )) ' 0 '0 Dpto. Física Aplicada III
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