Asignatura: Matemáticas Docente: Ana Yorley

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INSTITUCIÓN EDUCATIVA EL TRIUNFO SANTA TERESA “Formándonos para vivir en sociedad” GUIA DE TRABAJO NIVELACIÓN ASIGNATURA: Matemáticas DOCENTE: Ana Yorley Zapata G. Código: Fecha: Versión: Página: GRADO: 11° INDICADOR DE DESEMPEÑO Aplica las técnicas de conteo en los ejercicios dados. TEMAS A DESARROLLAR Probabilidad. Técnicas de conteo CONCEPTUALIZACIÓN REFERENCIA HISTORICA Los juegos de azar son casi tan antiguos como el hombre. Desde hace mucho tiempo encontramos jugadores preguntándose si un cierto juego les conviene o no, ¿cuáles son sus probabilidades de ganar? o tratando de elegir el juego menos desfavorable entre varios posibles. Ya en 1663 apareció el primer manual para jugadores, intitulado “Liber de Ludo Alea” (Libro sobre el juego de dados), que habría sido redactado mucho antes en 1525, por el sagaz matemático y jugador Girolamo Cardano (15011576). En este texto se encuentra una primera discusión teórica de las probabilidades de éxito en diversos juegos. Pero entre los jugadores de esa época hubo uno que sin querer pasó a la historia por otras razones, por haber planteado a un genial matemático de su tiempo varios problemas sobre juegos de azar que no podía resolver. El jugador era Chevalier, (caballero) de Méré, hombre de mundo y empedernido jugador francés del siglo XVII y el matemático era nada menos que BLAISE PASCAL, un austero cristiano jansenista que dejaría más tarde la matemática por la teología. Uno de estos problemas era el del “doble seis”. ¿A partir de cuántos lanzamientos de dados conviene apostar a que sale por lo menos una vez un doble seis? Sin embargo el más famoso de los problemas que desvelaban al caballero de Méré era aquel del torneo interrumpido: dos jugadores de igual destreza llamados A y B, se miden en un torneo ( digamos de esgrima o tenis). Se lleva el premio aquel que entere primero 7 victorias ( no es posible empatar). Pero sucede que cuando A aventaja a B por 5 victorias contra 4, se debe interrumpir definitivamente el torneo, por fuerza mayor. Entonces ¿cuál es la justa repartición del premio entre A y B? seguramente A merece un mayor porcentaje que B, por estar más cerca del triunfo; pero ¿qué porcentaje exactamente? Entretanto PASCAL propuso una solución a este famoso problema, que no explicó muy claramente, solución que fue muy criticada por ROBERVAL, otro matemático de ese tiempo quién tampoco pudo resolverlo, pero cuyas criticas sirvieron para que PASCAL entrara en dudas sobre la validez de su solución y escribiera a FERMAT, genial matemático de todos los tiempos para pedirle su opinión. Así comenzó en 1654 la célebre correspondencia entre Fetmat y Pascal en el curso de la cual Fermat llegó a la misma solución que Pascal, tranquilizó a éste la justeza de su razonamiento, y de paso construyeron entre ambos, los fundamentos del cálculo de probabilidades a partir de los juegos de azar. De éste cálculo de probabilidades emergió la teoría de probabilidades, una rama muy activa de la matemática, de la que se ha desprendido la estadística, con multifacéticos aplicaciones en física, química, biología, ecología, medicina y salud pública, psicología, economía y negocios, seguros, política e industria y muchos otros campos. Experimentos Aleatorios: 1) Lanza una moneda 10 veces y registra el resultado obtenido. Vuelve dados tirar la moneda ahora 50 y 100 veces. Registra de alguna forma, y haz un gráfico que represente de la mejor forma tus resultados. ¿Qué resultado salió más veces? ¿En todos los experimentos resultó siempre lo mismo? Hacia ¿donde tienden los resultados contra más veces se lance la moneda? 2) Tira un dado 10 veces, anota en tu cuaderno la cantidad de lanzamientos y las veces que salió cada número. Haz la Tabla para reunir los datos y haz el gráfico correspondiente a la situación. Luego repite la operación otras 20 veces y compara los resultados con el experimento anterior. Repite el experimento ahora 50 veces registrando siempre, realiza las tablas y gráfico correspondiente para cada experimento. Observa cada grafico e indica ¿donde tienden a irse los resultados? 3) Con las fichas que se te entregan, colócalas en una bolsa plástica donde no puedas ver la que vas sacando. Saca una anota el resultado, reintégrala a la bolsa y vuelve a sacar otra repitiendo el proceso 20 y 30 veces veces y contesta: a) ¿Qué ficha salió más veces?. b) Realiza una tabla donde establezcas los resultados de cada extracción. c) Grafica la situación en grafico de Barras. 3) De un juego de Naipes españoles. Saca 10 veces una carta y registra en una tabla los resultados. Luego saca 20 veces una carta y luego hazlo 30 veces, anotando siempre los resultados. a) ¿Qué carta salió más veces? b) ¿Existe una tendencia a sacar siempre la misma carta? c) Podríamos inferir los resultados si se repitiera el juego 50 veces? d) Representa este juego en un gráfico. rojo azul amarill o verde PROBABILIDADES CONTENIDOS: Vamos a definir algunos conceptos que son importante para que comencemos a calcular la probabilidad de ocurrencia de un suceso o evento. Experimento Aleatorio: es aquel en el cual es imposible determinar de antemano el resultado. Aleatorio ( viene del griego alea que significa “suerte”. Es decir interviene el azar. Al lanzar una moneda sabemos cuántos posibles resultados puedo obtener, que son dos : cara o sello, pero no puedo saber cuál va a salir. Espacio Muestral: Se llama espacio muestral al conjunto de todos los posibles resultados. Ejemplo 1: el espacio muestral del lanzamiento de una moneda es: Ω = cara, sello Ejemplo 2: el espacio muestral del lanzamiento de un dado es Ω = 1, 2, 3, 4, 5,6 Suceso Aleatorio: es cada uno de los posibles resultados de un experimento aleatorio. Los eventos que tienen distintos resultados a pesar de suceder en las mismas condiciones y circunstancias, Es decir su resultado depende del azar, se sabe sólo una vez realizado el evento. Ejemplo : lanzar un dado, lanzar una moneda, sacar una carta de un naipe, sacar una ficha de color de una bolsa, etc. Suceso Determinista: Es aquel que podemos predecir o saber su resultado de antemano: ejemplo: Si mezclamos en proporciones adecuadas Hidrógeno y Oxígeno sabemos que vamos a obtener agua. Si el agua la colocamos en una olla al fuego saber que en algún momento va a alcanzar el punto de ebullición. Y si la colocamos al refrigerador a helar obtendremos hielo. Estos son todos sucesos en los cuales no está involucrado el azar y sabemos cual va a ser su resultado. En otros casos si miramos al cielo y vemos nubes densas y oscuras que se juntan en él y miramos un barómetro amenazante podemos predecir si va a llover. Con instrumentos adecuados, podemos predecir la ocurrencia. Ejemplo: a) Lanzar una pelota al aire, sabemos que se elevará de acuerdo a la fuerza que le hayamos aplicado, pero que irremediablemente caerá al suelo, pues la fuerza de gravedad la hará caer. b) Que anochezca todos los días. Sabemos que cada día el sol se pone a tal hora en la tarde y cae la noche y en la mañana el sol sale a determinada hora. c) Que un semáforo se ponga verde, sabemos que los semáforos tiene algunos 3 colores, otros sólo dos pero que todos ellos tienen el color verde incorporado pues es el que indica que una persona debe atravesar una calle o que un vehículo puede avanzar. Ejercicios: 1) a) b) c) d) e) f) De los siguientes sucesos, Indica cuáles son deterministas y cuáles son aleatorios: Tirar dos monedas al aire?................................................ El resultado de un partido de fútbol................................................ Que el agua se congele al alcanzar temperaturas bajo cero grados........................................... Pronostico del tiempo:………………………………………………………………………………………. Que salga el 3 rojo en el juego de la Ruleta:……………………………………………………………………….. El sexo de un bebe recién gestado…………………………………………………………………………………………….. g) Mejoría del cáncer en un tratamiento………………………………………………………………………….. h) El efecto de un remedio en un enfermo con control médico………………………………………………………… i) Apretar el interruptor y que se encienda la Luz………………………………………………………………………. j) Saber lo que otra persona piensa………………………………………………………………………. k) Saber cuanto tiempo dedico diariamente al estudio………………………………………………………… l) Tener un accidente en un vehículo que se desplaza a más de 120 km/hr. 2) Escribe tres ejemplos de sucesos deterministas: a)............................................................................................................................................ b)............................................................................................................................................ c).......................................................................................................................................... 3) Escribe tres ejemplos de Aleatorios: a)............................................................................................................................................ b)............................................................................................................................................ c)............................................................................................................................................ Los sucesos se pueden clasificar en suceso seguro, posible e imposible: Suceso seguro: es aquel del cual se tiene la certeza de que va a ocurrir ejemplo: sacar una bolita verde de una bolsa con 4 bolitas verdes. Ejercicio: 1)Escribe 3 sucesos seguros, distintos a los ya mencionados. a)............................................................................................................................................ b)............................................................................................................................................ c)............................................................................................................................................ Suceso Imposible: es aquel del cual se tiene la certeza de que no va a ocurrir. Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bolita roja de una bolsa que contiene sólo bolitas verdes? 2) Escribe 3 sucesos Imposibles, distintos a los ya mencionados. a)............................................................................................................................................ b)............................................................................................................................................ c)............................................................................................................................................ Se habla de más probable cuando tiene numéricamente más probabilidades de ocurrir. Ejemplo Sacar una ficha roja de una bolsa que contiene 3 fichas rojas y dos azules. Aquí es más probable que al sacar una salga roja. Y es menos probable que salga una azul. 3) Dé un ejemplo de un evento o suceso de cada tipo: a)Poco probable………………………………………………………………………………… b)Medianamente probable……………………………………………………………………… Probabilidad: El concepto de probabilidad se asocia con la idea de incertidumbre. Pero en estricta definición es la frecuencia relativa de un suceso o evento. La palabra probabilidad permite cuantificar la posibilidad de que ocurra un suceso o evento. EL CONCEPTO DE PROBABILIDAD A PRIORI: ( Fórmula de Laplace) El cuociente entre la cantidad de casos favorables que tiene un evento A y el número total de casos posibles es la probabilidad a priori que tiene un suceso o evento de ocurrir. P(A) = Número de casos favorables Número total de casos posibles Ejemplo 1 : ¿Cuál es la probabilidad de obtener una cara al lanzar una moneda? Recordemos el conjunto de posibles soluciones es Ω = { cara , sello}. Por lo tanto: P ( cara) = número de casos favorables = 1 número total de casos posibles 2 Ejemplo 2 : ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 5 al lanzar un dado? El conjunto Ω = { 1, 2 , 3, 4 , 5 ,6 } Por lo tanto: P ( sacar “5” ) = Número de casos favorables = 1 Número total de casos posibles 6 La Probabilidad de que ocurra un suceso varía entre 0 y 1 es decir 0  P(A) 1 Ejemplo 3: En una bolsa hay 3 bolas verdes y cuatro amarillas ¿Cuál es la probabilidad de sacar sin mirar una bola azul? P(azul) = Nº casos favorables = 0 =0 Nº total de casos posibles 7 R: Es decir, no hay ninguna probabilidad de sacar un bola azul ( la probabilidad es nula) Ejemplo 4: En una bolsa hay 15 bolas verdes. ¿Cuál es la probabilidad de sacar sin mirar una bola verde? P(verde) = Nº casos favorables = 15 = 1 Nº total de casos posibles 15 R: Es decir, la probabilidad es segura. Por lo tanto, todas las probabilidades están entre 0 y 1 Ejercicios: 1)¿Cuál es la probabilidad de obtener un cuatro al lanzar un dado? R……………………………………………………………………………………… 2) ¿Cuál es la probabilidad de sacar un “as” de un juego de naipes españoles? R……………………………………………………………………………………… 3) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bolita roja de una caja que contiene 5 bolitas rojas, 18 azules y 7 negras? R……………………………………………………………………………………… 4) Si se extrae una carta al azar de un mazo de naipe español: a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un seis de oros? R……………………………………………………………………. b)¿Cuál es la probabilidad de obtener una carta de bastos? R…………………………………………………………… c)¿Cuál es la probabilidad de obtener cualquier número de oros? R………………………………………………………… d)¿Cuál es la probabilidad de obtener una figura de copas? R……………………………………………………………… e)¿Cuál es la probabilidad de obtener un nueve de oros? R……………………………………………………………………. 5) Al tirar dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de obtener como suma 7? R……………………………………………………………………. 6) Un grupo de hombres y mujeres que asistieron a una cena pidieron postre o café segun la tabla: Hombre Mujer Postre 20 8 Cafe 15 13 Si elegimos al azar a un asistente, calcula la probabilidad de que: a) Pidiera postre R……………………………………………………………………. b) Sea hombre R……………………………………………………………………. c) Sea mujer y haya pedido postre R……………………………………………………………… d) Sea hombre y haya pedido café R……………………………………………………………… 7) Al lanzar un dado ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par?, ¿ un número primo? R……………………………………………………………………. 8) De un mazo de 52 cartas se puede tomar una carta. ¿Cuál es la probabilidad para que ésta sea un mono? R……………………………………………………………………. 9) Se saca un bolita de una urna que contiene 7 bolitas amarillas, 3 azules y 5 rojas. a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener una bolita amarilla? R…………………………………………………………………… b)¿ Cuál es la probabilidad de obtener una bolita azul? R……………………………………………………………………. c)¿ Cuál es la probabilidad de obtener una bolita que no sea azul? R……………………………………………………… d)¿ Cuál es la probabilidad de obtener una bolita verde? R……………………………………………………………………. 10) En mi monedero hay 16 monedas de $100, 22 monedas de $50 y 12 de $10. Al sacar una moneda. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una moneda de $100? R……………………………………………………………………. 11) En una caja de 12 huevos hay 3 quebrados. Se extrae uno ¿Qué probabilidad hay de que salga quebrado? R……………………………………………………………………. 12) En un equipo de fútbol están en el campo de juego: 5 delanteros, 3 mediocampistas, 2 zagueros y el guardavallas. Después de cada partido importante, debe realizarse el control doping de los jugadores, para ello se elige un jugador al azar ¿Cuál es la probabilidad que tiene cada uno de los jugadores de salir elegido para control doping ? Y la probabilidad que tienen los delanteros, los zagueros, mediocampintas o el guardavallas de salir elegidos? R……………………………………………………………………. DIAGRAMAS DE ÁRBOL. Ejemplo: Se lanzan tres veces una moneda al aire ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 veces caras? Para resolver esto tenemos dos caminos: Uno Hacer el conjunto de posibles soluciones usando pares ordenados para organizar la información o bien hacer un “diagrama de árbol” como el que hacías en Biología para determinar los cruzamientos, te recuerdas. Si las bolitas amarillas son “caras” y las blancas “sellos. Entonces habrá sólo una solución dentro de 8 posibles soluciones. Si hacemos el conjunto total de posibles soluciones Ω nos resulta: Ω = { ( c,c,c) ,( c,c,s), ( c,s,c), ( c,s,s) , (s,c,c) ( s,c,s) , ( s,s,c ), ( s,s,s)} Entones P ( c,c,c ) = 1 8 Esta forma de conteo sirve en el caso de iterar “ repetir” fenómenos aleatorios Ejemplo 2: 1) En un grupo de 36 participantes, se les da a elegir entre varios colores para pantalón y polera necesarios para las actividades deportivas; en los pantalones hay azules, verdes y grises; en las poleras se puede elegir entre blancas, amarillas, rosa o color arena. Si todas las prendas están en una caja, ¿ Cuál es la probabilidad que una persona saque la combinación azul-arena? Organiza la información en un diagrama de Blanca árbol. Amarilla Azul Rosada L Arena Blanca Luego la probabilidad de sacar la combinación pedida es = 1 12 Verde Amarilla Rosada Gris Arena Blanca Amarilla Arena Rosada Ejemplo 3: ¿Cuál es la probabilidad de nazca 1 conejo gris en una cruza entre conejo blanco y conejo Negro? Pinta los colores resultantes de la cruza de ambos conejos. R:……………………………………………………………………………… ………… En Genética el diagrama de árbol es muy usado al hacer cruzamientos, este fue aporte que Mendel hizo a la teoría de probabilidades. Triángulo de Pascal: Blaise Pascal observó que al repetir sucesivamente un suceso aleatorio, se producían generalidades numéricas que las resumió en un triángulo de números llamado triángulo de Pascal. 1 1 1 1 2 3 4 ¿Qué probabilidad hay de sacar dos caras y un sello al lanzar 3 monedas al mismo tiempo?¿Cuáles son los posibles resultados?. 1 3 6 1 4 1 Ya vimos en el 1er ejemplo como se resuelve mediante diagrama de árbol y también haciendo el conjunto de posibles soluciones Ω. Pero mirando el diagrama de árbol, vemos que al lanzar 3 monedas, obtendremos 1 vez ( sello, sello, sello) ; 1 vez (cara, cara, cara), 3 veces (2 sellos y una cara) y 3 veces ( 2 caras y un sello) Por tanto la probabilidad de obtener 2 caras y un sello en cualquier orden son 3 de 8 es decir 3 8 Conteste: Usando el triángulo de Pascal responde: Si consideramos el lanzamiento de 4 monedas: a) ¿Cuál será la Probabilidad de obtener 2 caras y dos sellos? R:……………………………………………………. b)¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 sellos y una cara? R:………………………………………………. c) ¿Cuál es la Probabilidad de obtener al menos una cara? R:…………………………………….. d) ¿Cuál es la probabilidad de obtener más de una cara? R:………………………………. e) ¿Cuál es la probabilidad de no obtener cara? R:…………………………………………. Guía de ejercicios: Utilice el Triángulo de Pascal para resolver los siguientes problemas de probabilidad. 1) ¿Cuál es la probabilidad de obtener sólo caras al cabo de cinco lanzamientos consecutivos de una moneda? R:…………………………………. 2) ¿Cuál es la probabilidad de obtener sacar siempre 1 en el lanzamiento de tres dados dado? R:…………………………………. 3) Lanza una moneda dos veces: a)¿Cuál es la probabilidad de obtener dos sellos seguidos? R:…………………………… b)¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras seguidas? R:…………………………… c)¿Cuál es la probabilidad de obtener una cara y un sello? R:…………………………… d) ¿Cual es la probabilidad de obtener un sello y una cara? R:…………………………… e)¿Cuál es la probabilidad de que el resultado del segundo lanzamiento sea distinto del primero? R:…………………………… 4) ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres caras al lanzar 3 monedas? R:…………………………………………………………………………………. 5) ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos sellos y dos caras al lanzar 4 monedas? R:…………………………………………………………………………………… 6)¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras y un sello al lanzar tres monedas ? R:…………………………………………………………………………………. 7) ¿Cuál es la probabilidad de obtener cuatro caras al lanzar una moneda 4 veces sucesivamente? R:…………………………………………………………………………………. Ejercicios: 1) En el menú de un casino de un colegio ofrece lo siguiente: 2 entradas palta rellena o ensalada a la chilena; 3 platos de fondo: porotos granados, lentejas o garbanzos y 3 tipos de postre: leche asada, plátano con miel o jalea. Según estas exquisitas alternativas: a) Dibuja en el espacio el diagrama de árbol de la situación planteada. b) ¿Cuántos menús posibles se pueden elegir? c) Si un alumno se elige al azar, ¿cuál es la probabilidad de que su elección incluya porotos granados? d) ¿Cuál menú elegirías tú? 2) Jorge es bombero y en una noche de invierno debe salir a apagar un incendio. Como hay temporal se ha cortado la energía eléctrica en toda su cuadra y debe sacar ropa a tientas, En el cajón del closet de hay 3 chalecos uno negro, uno rojo y uno café y tiene bufandas blanca, azul y burdeo. Si saca un chaleco y una bufanda. a) Haz el diagrama de árbol correspondiente. b) ¿Qué probabilidad hay de que saque un chaleco café y una bufanda blanca? 3) ¿Cuál es la probabilidad de obtener sólo caras al cabo de cinco lanzamientos consecutivos de una moneda?. Cuenta los casos haciendo el diagrama de árbol correspondiente. METODOLOGÍA DE EVALUACIÓN - Sustentación oral. - Sustentación escrita. - Exposición. FECHAS - Junio 30 a Julio 3: entrega de la guía al docente. Julio 13 al 17: sustentación de la guía. OBSERVACIONES - La guía, taller o documento se subirá a la página de la institución: http://www.ieeltriunfosantateresa.edu.co/index.php?id=10808&idmenutipo=124&tag=col