Análisis Dinámico - Ingeniería Mecánica Aplicada Y Computacional

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ANÁLISIS ANÁLISIS COMPUTACIONAL COMPUTACIONAL TEMA 44 TEMA Análisis Dinámico Análisis Dinámicodede Mecanismos Mecanismos Análisis Dinámico
Definición La Dinámica es la rama de la Mecánica que se ocupa del estudio del movimiento, considerando las causas que lo producen y sus efectos. efectos
PROBLEMAS DINÁMICOS: TEORÍA DE MÁQUINAS  J.M. Pintor Borobia J.M. Jiménez Bascones Posición de equilibrio estable. Dinámica directa o simulación dinámica. Dinámica inversa. Linealización de las ecuaciones del movimiento. - 4.1 4.1 - ANÁLISIS ANÁLISIS COMPUTACIONAL COMPUTACIONAL TEMA 44 TEMA Análisis Dinámico Análisis Dinámicodede Mecanismos Mecanismos Posición de Equilibrio Estable
OBJETIVO:
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA:
OBSERVACIONES:  Obtención de la posición de equilibrio del mecanismo sometido a la acción de un conjunto de solicitaciones exteriores. exteriores  J.M. Pintor Borobia J.M. Jiménez Bascones Incógnitas: Vector de coordenadas dependientes q. Datos: Datos inerciales y geométricos del mecanismo. Solicitaciones exteriores. Aproximación inicial del vector de coordenadas. Se trata de un problema no lineal ⇒ MÉTODOS ITERATIVOS TEORÍA DE MÁQUINAS - 4.2 4.2 - ANÁLISIS ANÁLISIS COMPUTACIONAL COMPUTACIONAL TEMA 44 TEMA Análisis Dinámico Análisis Dinámicodede Mecanismos Mecanismos
Simulación Dinámica OBJETIVO:  Determinar de la respuesta en el tiempo del mecanismo sometido a la acción de un conjunto de solicitaciones exteriores.
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA:  Incógnitas: Respuesta en el tiempo del mecanismo (posiciones, velocidades, aceleraciones, reacciones en los pares, etc.)  Datos: Datos inerciales y geométricos del mecanismo. Solicitaciones exteriores. Condiciones iniciales de los grados de libertad. OBSERVACIONES:  J.M. Pintor Borobia J.M. Jiménez Bascones
 Requiere la solución de un sistema de ecuaciones diferenciales. diferenciales  Las coordenadas que definen el mecanismo son dependientes. TEORÍA DE MÁQUINAS - 4.3 4.3 - ANÁLISIS ANÁLISIS COMPUTACIONAL COMPUTACIONAL TEMA 44 TEMA Análisis Dinámico Análisis Dinámicodede Mecanismos Mecanismos
OBJETIVO: Problema Dinámico Inverso  Obtención de los esfuerzos motores que originan un movimiento dado en el mecanismo.
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA:
OBSERVACIONES:  Junto con los esfuerzos motores, es habitual el cálculo de las reacciones en los pares cinemáticos. cinemáticos TEORÍA DE MÁQUINAS - 4.4 4.4 -  J.M. Pintor Borobia J.M. Jiménez Bascones Incógnitas: Esfuerzos motores que originan el movimiento. Datos: Datos inerciales y geométricos del mecanismo. Solicitaciones exteriores. Datos cinemáticos del movimiento. ANÁLISIS ANÁLISIS COMPUTACIONAL COMPUTACIONAL Péndulo Simple (I) TEMA 44 TEMA Análisis Dinámico Análisis Dinámicodede Mecanismos Mecanismos Diagrama del péndulo
Diagrama de sólido libre Rx y θ Ry x θ m&x& m m&y& + mg TEORÍA DE MÁQUINAS - 4.5 4.5 -  J.M. Pintor Borobia J.M. Jiménez Bascones
ANÁLISIS ANÁLISIS COMPUTACIONAL COMPUTACIONAL TEMA 44 TEMA Análisis Dinámico Análisis Dinámicodede Mecanismos Mecanismos Ecs. de equilibrio dinámico ∑F = 0 = Rx − m&x& ∑F = 0 = R y − m&y& − mg x y ∑M
o
Cinemática x = L cosθ y = L sen θ = 0 = (− m&x&) y − (− m&y& − mg )x x& = − L sen θθ& y& = L cosθθ& &x& = − L sen θθ&& − L cosθθ& 2 &y& = L cosθθ&& − L sen θθ& 2 Sustituyendo las ecuaciones de la cinemática en las ecuaciones de equilibrio dinámico  J.M. Pintor Borobia J.M. Jiménez Bascones
Péndulo Simple (II) mL2θ&& + mLg cosθ = 0 g θ&& + cosθ = 0 L TEORÍA DE MÁQUINAS - 4.6 4.6 - ANÁLISIS ANÁLISIS COMPUTACIONAL COMPUTACIONAL Péndulo Simple (III)
Función Lagrangiana (
) Cinemática x = L cosθ 1 T = m x& 2 + y& 2 2 V = mgy 1 L = T − V = m x& 2 + y& 2 − mgy 2 (
y = L sen θ x& = − L sen θθ& y& = L cosθθ& ) Ecs. de Lagrange d  ∂L   ∂L   &−  = 0 dt  ∂θ   ∂θ  1 L = mL2θ& 2 − mgL sen θ 2 θ&& + TEORÍA DE MÁQUINAS  J.M. Pintor Borobia J.M. Jiménez Bascones TEMA 44 TEMA Análisis Dinámico Análisis Dinámicodede Mecanismos Mecanismos g cosθ = 0 L - 4.7 4.7 - ANÁLISIS ANÁLISIS COMPUTACIONAL COMPUTACIONAL Biela-manivela (I) TEMA 44 TEMA Análisis Dinámico Análisis Dinámicodede Mecanismos Mecanismos Diagrama del mecanismo
Diagramas de sólido libre R2y y R2x B (x,y) L (x1,y1) A (0,0) R2y L m R2x m&x&1 m (x2,y2) m&x&2 θ m&y&2 + mg C (s,0) x R1x m&y&1 + mg m R1y TEORÍA DE MÁQUINAS m&s& R3y - 4.8 4.8 -  J.M. Pintor Borobia J.M. Jiménez Bascones
ANÁLISIS ANÁLISIS COMPUTACIONAL COMPUTACIONAL TEMA 44 TEMA Análisis Dinámico Análisis Dinámicodede Mecanismos Mecanismos Biela-manivela (II)
Ecuaciones de equilibrio dinámico
Ecuaciones de cinemática  R2 x − m&x&2 − m&s& = 0  R1x − R2 x − m&x&1 = 0   & & R1 y − R2 y − m( &y&1 + g ) = 0 ( ) + − + = R R m y g 0  2y  3y 2 yR2 x + y1m&x&1 − xR2 y − x1m( &y&1 + g ) = 0 yR2 x − y1m&x&2 + xR2 y − x1m( &y&2 + g ) = 0 x& = − L sen θθ& y& = L cosθθ&   x&1 = x& 2  y&1 = y& 2   x&2 = 3x& 2  y& 2 = y& 2  s& = 2 x&  &x& = − L sen θθ&& − L cosθθ& 2  &y& = L cosθθ&& − L sen θθ& 2   &x&1 = &x& 2  &y&1 = &y& 2   &x&2 = 3&x& 2  &y&2 = &y& 2  &s& = 2 &x&  TEORÍA DE MÁQUINAS  J.M. Pintor Borobia J.M. Jiménez Bascones x = L cosθ  y = L sen θ  x1 = x 2  y1 = y 2  x2 = 3 x 2  y2 = y 2   s = 2x  - 4.9 4.9 - ANÁLISIS ANÁLISIS COMPUTACIONAL COMPUTACIONAL TEMA 44 TEMA Análisis Dinámico Análisis Dinámicodede Mecanismos Mecanismos
Operando Biela-manivela (III) en las ecuaciones de equilibrio dinámico R2 x = 7 m&x&1 2 yR2 x + y1m(&x&1 − &x&2 ) − x1m( &y&1 + &y&2 + 2 g ) = 0
Sustituyendo las ecuaciones de la cinemática en las ecuaciones de equilibrio dinámico (  J.M. Pintor Borobia J.M. Jiménez Bascones 13 ym&x& − xm&y& − 2 xmg = 0 ) g 2 & & & 1 + 12 sen θ θ + 12 sen θ cosθθ + 2 cosθ = 0 L 2 TEORÍA DE MÁQUINAS - 4.10 4.10 - ANÁLISIS ANÁLISIS COMPUTACIONAL COMPUTACIONAL Biela-manivela (IV)
Función Lagrangiana ( ) ( ) 1 1 1  m x&12 + y&12 + m x& 22 + y& 22 + ms& 2   2 2 2  V = mgy1 + mgy2 T=
1 2 &2  T = mL θ + 3mL2 sen 2 θθ& 2   4  V = mgL sen θ 1 L = mL2θ& 2 + 3mL2 sen 2 θθ& 2 − mgL sen θ 4
Cinemática x& = − L sen θθ& y& = L cosθθ&   x&1 = x& 2  &y1 = y& 2   x&2 = 3x& 2  y& 2 = y& 2  s& = 2 x&  Ecuaciones de Lagrange d  ∂L   ∂L   &−  = 0 dt  ∂θ   ∂θ  (1 + 12 sen θ )θ&& + 12 sen θ cosθθ& 2 TEORÍA DE MÁQUINAS 2 +2 g cosθ = 0 L - 4.11 4.11 -  J.M. Pintor Borobia J.M. Jiménez Bascones TEMA 44 TEMA Análisis Dinámico Análisis Dinámicodede Mecanismos Mecanismos ANÁLISIS ANÁLISIS COMPUTACIONAL COMPUTACIONAL TEMA 44 TEMA Análisis Dinámico Análisis Dinámicodede Mecanismos Mecanismos 1. Planteamiento del problema dinámico Definición del modelo matemático  Selección de las coordenadas 3. Resolución de la cinemática Planteamiento de las ecuaciones del movimiento  Fuerzas de inercia  Fuerzas exteriores 4. Integración en el tiempo de las ecs. del movimiento  Ecuaciones diferenciales no lineales de 2º grado TEORÍA DE MÁQUINAS - 4.12 4.12 -  J.M. Pintor Borobia J.M. Jiménez Bascones 2. ANÁLISIS ANÁLISIS COMPUTACIONAL COMPUTACIONAL Ecuaciones del Movimiento (I) TEMA 44 TEMA Análisis Dinámico Análisis Dinámicodede Mecanismos Mecanismos
Ecuaciones de Newton-Euler: Euler ∑ (F − ma ) = 0 i i i ∑ (N i & i − ωi × J Gωi ) = 0 − J Gω i DIFICULTADES que plantean:  Conducen a grandes sistemas de ecuaciones. ecuaciones  Incluyen entre las incógnitas las reacciones en los pares cinemáticos.  En ciertos mecanismos, pueden aparecer más incógnitas que ecuaciones ⇒ el problema puede no estar determinado. TEORÍA DE MÁQUINAS - 4.13 4.13 -  J.M. Pintor Borobia J.M. Jiménez Bascones
ANÁLISIS ANÁLISIS COMPUTACIONAL COMPUTACIONAL Ecuaciones del Movimiento (II)
Ecuaciones de LAGRANGE: LAGRANGE
Principio de los TRABAJOS VIRTUALES: VIRTUALES δqT (Fin − Q ) = 0
Principio de las POTENCIAS VIRTUALES: VIRTUALES ~& T (F − Q ) = 0 q in
Principio de HAMILTON: HAMILTON ∫ t2 t1
d  ∂L  ∂L   − + ΦTq λ = Q ext dt  ∂q&  ∂q δ (L + Wext )dt + ∫ δ (ΦTq λ )dt = 0 t2  J.M. Pintor Borobia J.M. Jiménez Bascones TEMA 44 TEMA Análisis Dinámico Análisis Dinámicodede Mecanismos Mecanismos t1 Otros: ecuaciones de Gibbs-Appell,... TEORÍA DE MÁQUINAS - 4.14 4.14 - ANÁLISIS ANÁLISIS COMPUTACIONAL COMPUTACIONAL TEMA 44 TEMA Análisis Dinámico Análisis Dinámicodede Mecanismos Mecanismos Formulación Numérica
Energía cinética: rj n Posición del elemento definida por dos puntos. exteriores: fuerzas generalizadas t
Fuerzas Fuerzas puntuales. Resortes y amortiguadores. ri  x j − xi  t=  y − y i  j  − y j + yi  n=  x − x  j i  TEORÍA DE MÁQUINAS - 4.15 4.15 -  J.M. Pintor Borobia J.M. Jiménez Bascones matriz de masas ANÁLISIS ANÁLISIS COMPUTACIONAL COMPUTACIONAL TEMA 44 TEMA Análisis Dinámico Análisis Dinámicodede Mecanismos Mecanismos Matriz de Masas (I)
ENERGÍA CINÉTICA de un elemento 1 T Te = ∫ r& r&dm 2 V rígido:
Posición de un punto genérico viene dada por:  x  1 − ct r= =  y   − cn cn 1 − ct ct cn TEORÍA DE MÁQUINAS  J.M. Pintor Borobia J.M. Jiménez Bascones  x   xi + ct (x j − xi ) − cn ( y j − yi ) r= =  ( ) ( ) y y + c y − y + c x − x i n j i     i t j − cn   t  t  = C n  ct  n    - 4.16 4.16 - ANÁLISIS ANÁLISIS COMPUTACIONAL COMPUTACIONAL TEMA 44 TEMA Análisis Dinámico Análisis Dinámicodede Mecanismos Mecanismos Matriz de Masas (II)
Velocidad del punto viene dada por: &  x&   x&i + ct (x& j − x&i ) − cn ( y& j − y& i )  t &r =   =   = Cn&  & & & & & & ( ) ( ) y y + c y − y + c x − x   i n j i     i t j en la expresión de la energía cinética: cinética 1 1 Te = ∫ r& T r&dm = {t& 2 V 2 n& } T ( ) & 1 T  t ∫VC Cdm n&  = 2 q& e M eq& e T  J.M. Pintor Borobia J.M. Jiménez Bascones
Sustituyendo M e = ∫ CT Cdm V TEORÍA DE MÁQUINAS - 4.17 4.17 - ANÁLISIS ANÁLISIS COMPUTACIONAL COMPUTACIONAL TEMA 44 TEMA Análisis Dinámico Análisis Dinámicodede Mecanismos Mecanismos
La Matriz de Masas (III) matriz de masas se escribe como, M e = ∫ CT Cdm  (1 − ct )2 + cn2  0 Me = ∫  V (1 − c )c − c 2  t t n  − cn  0 (1 − ct )ct − cn2 cn (1 − ct )ct − cn2 cn ct2 + cn2 0 (1 − ct )2 + cn2 TEORÍA DE MÁQUINAS  − cn (1 − ct )ct − cn2  dm 0  ct2 + cn2  - 4.18 4.18 -  J.M. Pintor Borobia J.M. Jiménez Bascones V ANÁLISIS ANÁLISIS COMPUTACIONAL COMPUTACIONAL TEMA 44 TEMA Análisis Dinámico Análisis Dinámicodede Mecanismos Mecanismos Matriz de Masas (IV)
Los TÉRMINOS DE LA MATRIZ DE MASAS se calculan con: ∫ dm = m V  x j − xi r − ri = ct t + cn n ⇒   y j − yi e − y j + yi   ct   x − xi  = x j − xi  cn   y − yi   J.M. Pintor Borobia J.M. Jiménez Bascones  ct   x − xi  c  = A  y − y  i  n   x − xi   ct   xG − xi  ∫V cn dm = A ∫V  y − yi dm = me A  yG − yi  TEORÍA DE MÁQUINAS - 4.19 4.19 - ANÁLISIS ANÁLISIS COMPUTACIONAL COMPUTACIONAL Matriz de Masas (V)
Los TÉRMINOS DE LA MATRIZ DE MASAS se c ∫V ct cn 2 t 2   ( ) x − x ct cn  i   dm = A  ∫V (x − xi )( y − yi ) cn2     ct2 ∫V ct cn  I xx − 2me xG xi + me xi2 A  I xy − me xG yi − me yG xi + me xi yi (x calculan con: − xi )( y − yi )  T  dm A 2 (y − yi )   ct cn  dm = cn2  I xy − me xG yi − me yG xi + me xi yi  T A 2 I yy − 2me yG yi + me yi  TEORÍA DE MÁQUINAS - 4.20 4.20 -  J.M. Pintor Borobia J.M. Jiménez Bascones TEMA 44 TEMA Análisis Dinámico Análisis Dinámicodede Mecanismos Mecanismos ANÁLISIS ANÁLISIS COMPUTACIONAL COMPUTACIONAL Fuerzas Puntuales TEMA 44 TEMA Análisis Dinámico Análisis Dinámicodede Mecanismos Mecanismos
Potencial virtual de una fuerza puntual: W~& = ~r& T F F Posición y velocidad virtual del n punto de aplicación: r = C t  n 
~&   ~ r& = C~t&  n  Vector FUERZA GENERALIZADA: GENERALIZADA { ~& ~ WF = ~ r& T F = t& T F } rj r t ri  J.M. Pintor Borobia J.M. Jiménez Bascones
~& T CT F ⇒ Q = CT F n TEORÍA DE MÁQUINAS - 4.21 4.21 - ANÁLISIS ANÁLISIS COMPUTACIONAL COMPUTACIONAL Resortes TEMA 44 TEMA Análisis Dinámico Análisis Dinámicodede Mecanismos Mecanismos Posición de los extremos del resorte: t  t  r1 = C1  1  r2 = C 2  2  n1  n 2 
n1 r1 t1 Valor de la fuerza aplicada: ( Fr = k d12 − d
Fr 0 12 ) r2 − r1 r2 − r1 n2 El caso se reduce a un PROBLEMA DE FUERZAS PUNTUALES: Q1 = C1T Fr Q 2 = −CT2 Fr TEORÍA DE MÁQUINAS r2 -Fr  J.M. Pintor Borobia J.M. Jiménez Bascones
t2 - 4.22 4.22 - ANÁLISIS ANÁLISIS COMPUTACIONAL COMPUTACIONAL Amortiguadores TEMA 44 TEMA Análisis Dinámico Análisis Dinámicodede Mecanismos Mecanismos Velocidad de los extremos del amortiguador: &1   t r&1 = C1   n& 1 

&2   t r&2 = C 2   n& 2  Fc n1 r1 t1 Valor de la fuerza aplicada: aplicada T ( r&2 − r&1 ) (r2 − r1 ) (r2 − r1 ) Fc = c T (r2 − r1 ) (r2 − r1 ) El caso se reduce a un PROBLEMA DE FUERZAS PUNTUALES: Q1 = C1T Fc Q 2 = −CT2 Fc TEORÍA DE MÁQUINAS n2 r2 -Fc  J.M. Pintor Borobia J.M. Jiménez Bascones
t2 - 4.23 4.23 - ANÁLISIS ANÁLISIS COMPUTACIONAL COMPUTACIONAL Ensamblado del sistema de ecuaciones (I) TEMA 44 TEMA Análisis Dinámico Análisis Dinámicodede Mecanismos Mecanismos Diagrama del mecanismo
Diagramas de sólido libre R2y y B (xb,yb) L R2y L m A (xa,ya) R2x R2x m&x&1 m θ C (xc,yc) m&x&2 m&y&2 + mg x R1x m&y&1 + mg m R1y TEORÍA DE MÁQUINAS m&s& R3y - 4.24 4.24 -  J.M. Pintor Borobia J.M. Jiménez Bascones
ANÁLISIS ANÁLISIS COMPUTACIONAL COMPUTACIONAL TEMA 44 TEMA Análisis Dinámico Análisis Dinámicodede Mecanismos Mecanismos
Ensamblado del sistema de ecuaciones (II) Eslabón 1
Eslabón 2 m&x&1 m&x&2 m&y&2 + mg m&y&1 + mg m1ab − m1ba  &x&a  m1ba m1ab  &y&a  0  &x&b  m1b   0 m1b  &y&b  q1xa  q1 ya  q   1xb  q1 yb  0 m2bc − m1cb   &x&b   m2b  0 m2b m1cb m2bc   &y&b  m m1cb m2 c 0   &x&c  2 bc     && − m m 0 m 2 c   yc   1cb 2bc TEORÍA DE MÁQUINAS q2 xb  q2 yb  q   2 xc  q2 yc  - 4.25 4.25 -  J.M. Pintor Borobia J.M. Jiménez Bascones 0  m1a  0 m1a m m1ba  1ab − m1ba m1ab m&s& ANÁLISIS ANÁLISIS COMPUTACIONAL COMPUTACIONAL TEMA 44 TEMA Análisis Dinámico Análisis Dinámicodede Mecanismos Mecanismos de masas y vector de fuerzas del mecanismo  m1a  m Fin =  1ab − m1ba   m1a m1ba m1ab m1ab m1ba m1b + m2b m2bc − m2cb − m1ba m1ab m1b + m2b m2cb m2bc m2bc m2cb m2c   &x&a    &y&a  − m2cb   &x&b   m2bc   &y&b      &x&c  m2c   &y&c  q1xa   0   0   0  q1 ya   0  − mg 2  0  q  q2 xb   0    0 Q =  1xb  + q  =  +  − mg 2   − mg 2 2 yb q1 yb   q      0 0 2 xc  0        − mg 2 − mg 0 q     0   2 yc   TEORÍA DE MÁQUINAS  J.M. Pintor Borobia J.M. Jiménez Bascones
Matriz Ensamblado del sistema de ecuaciones (III) - 4.26 4.26 - ANÁLISIS ANÁLISIS COMPUTACIONAL COMPUTACIONAL TEMA 44 TEMA Análisis Dinámico Análisis Dinámicodede Mecanismos Mecanismos
Matriz Ensamblado del sistema de ecuaciones (IV) de masas y vector de fuerzas del mecanismo   m1a m1ab − m1ba   &x&a   0        & & m m m y − mg 2   a 1a 1ba 1ab     m m m + m2b m2bc − m2cb  &x&b   0   ~ x&a ~ y& a ~ x&b ~ y& b ~ x&c ~ y& c   1ab 1ba 1b  − =0  − m1ba m1ab m1b + m2b m2cb m2bc   &y&b   − mg        0 & & m2bc m2cb m2c x  c     − 3 mg 2  − m2cb m2bc m2c   &y&c    { }  m1b + m2b m2bc − m2cb   &x&b   0        & & m + m m m y   − mg ~ 1b 2b 2 cb 2 bc b x&b ~ y& b ~ x&c ~ y& c     −  0  = 0  & & m m m x  2 bc 2 cb 2c   c  − 3mg 2   −m m2bc m2c   &y&c    2 cb  } TEORÍA DE MÁQUINAS  J.M. Pintor Borobia J.M. Jiménez Bascones { - 4.27 4.27 - ANÁLISIS ANÁLISIS COMPUTACIONAL COMPUTACIONAL TEMA 44 TEMA Análisis Dinámico Análisis Dinámicodede Mecanismos Mecanismos
Multiplicadores de Lagrange (I) Del Principio de las Potencias Virtuales: Virtuales ~& T (F − Q ) = q ~& T (Mq && − Q ) = 0 q in donde el vector de velocidades virtuales está sujeto a las ecuaciones de restricción formuladas de la forma:
Las velocidades virtuales se eliminan mediante un vector de incógnitas adicionales ⇒ los MULTIPLICADORES DE LAGRANGE: LAGRANGE && + ΦTq λ = Q Mq TEORÍA DE MÁQUINAS - 4.28 4.28 -  J.M. Pintor Borobia J.M. Jiménez Bascones ~& = 0 Φ qq ANÁLISIS ANÁLISIS COMPUTACIONAL COMPUTACIONAL Multiplicadores de Lagrange (II) TEMA 44 TEMA Análisis Dinámico Análisis Dinámicodede Mecanismos Mecanismos ecuaciones dinámicas se completan con las restricciones derivadas dos veces: veces
Las & & q q& − Φ && = − Φ Φ qq t llega así a un conjunto de ecuaciones diferenciales algebraicas que se debe INTEGRAR EN EL TIEMPO: M  Φ q Q &&  ΦTq  q    =  & & &  0  λ  − Φ q q − Φ t  TEORÍA DE MÁQUINAS - 4.29 4.29 -  J.M. Pintor Borobia J.M. Jiménez Bascones
Se ANÁLISIS ANÁLISIS COMPUTACIONAL COMPUTACIONAL TEMA 44 TEMA Análisis Dinámico Análisis Dinámicodede Mecanismos Mecanismos Ecuaciones del Mov. en Coords. Independientes
Las coordenadas dependientes se expresan como:
Derivando esta ecuación para las velocidades virtuales y las aceleraciones reales: q = q (z ) ~& = R (z )~z& q En el PRINCIPIO DE LAS POTENCIAS VIRTUALES: VIRTUALES ~& T (Mq && − Q ) = 0 q ~z& T R T (Mq && − Q ) = 0 & z& ) − Q ) = 0 R T (M (R&z& + R & z& ) R T MR&z& = R T (Q − MR que es un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias. ordinarias TEORÍA DE MÁQUINAS - 4.30 4.30 -  J.M. Pintor Borobia J.M. Jiménez Bascones
&& = R&z& + R& z& q ANÁLISIS ANÁLISIS COMPUTACIONAL COMPUTACIONAL
Características
Integración Numérica (I) de las ecuaciones del movimiento Coord. dependientes
Diferenciales algebraicas Segundo orden No-lineales M  Φ q Q &&  ΦTq  q    =  & & &  0  λ  − Φ q q − Φ t  Coord. Independientes Diferenciales ordinarias Segundo orden No-lineales & z& ) R T MR&z& = R T (Q − MR TEORÍA DE MÁQUINAS  J.M. Pintor Borobia J.M. Jiménez Bascones TEMA 44 TEMA Análisis Dinámico Análisis Dinámicodede Mecanismos Mecanismos - 4.31 4.31 - ANÁLISIS ANÁLISIS COMPUTACIONAL COMPUTACIONAL TEMA 44 TEMA Análisis Dinámico Análisis Dinámicodede Mecanismos Mecanismos
Integración Integración Numérica (II) de ecuaciones de segundo orden Integradores de primer orden y& = f (y , t ) Transformación de las ecuaciones de segundo orden en ecuaciones de primer orden TEORÍA DE MÁQUINAS  J.M. Pintor Borobia J.M. Jiménez Bascones q q&   q     y =   y& =   = f   , t  &&  q&   q&  q - 4.32 4.32 - ANÁLISIS ANÁLISIS COMPUTACIONAL COMPUTACIONAL Integración Numérica (III) TEMA 44 TEMA Análisis Dinámico Análisis Dinámicodede Mecanismos Mecanismos en coordenadas dependientes −1 Q &&  M Φ    q λ  = Φ 0  − Φ &  & q& − Φ q t    q   T q q  q&   t q&  q  & &  t  J.M. Pintor Borobia J.M. Jiménez Bascones
Integración q  q&   t + ∆t TEORÍA DE MÁQUINAS - 4.33 4.33 - ANÁLISIS ANÁLISIS COMPUTACIONAL COMPUTACIONAL TEMA 44 TEMA Análisis Dinámico Análisis Dinámicodede Mecanismos Mecanismos Algoritmo de cálculo en coordenadas dependientes 1. 2. 3. 4. 5. 6. Posición y velocidad (dependientes) en t M Matriz de masas Φ q = Φ q (q ) Matriz jacobiana Q = Q(q,q& , t ) Fuerzas exteriores & & q q& − Φ −Φ t Término de aceleraciones T −1 Q &&  M Φ q   q Derivada = λ    TEORÍA DE MÁQUINAS Φ  q  &  & q q& − Φ 0  − Φ t - 4.34 4.34 -  J.M. Pintor Borobia J.M. Jiménez Bascones
Integración Numérica (IV) ANÁLISIS ANÁLISIS COMPUTACIONAL COMPUTACIONAL Integración Numérica (V) TEMA 44 TEMA Análisis Dinámico Análisis Dinámicodede Mecanismos Mecanismos en coordenadas independientes ( &z& = R MR T ) −1 & z& ) R T (Q − MR q   z&   t q&  &z&  t  J.M. Pintor Borobia J.M. Jiménez Bascones
Integración q   z&   t + ∆t TEORÍA DE MÁQUINAS - 4.35 4.35 - ANÁLISIS ANÁLISIS COMPUTACIONAL COMPUTACIONAL TEMA 44 TEMA Análisis Dinámico Análisis Dinámicodede Mecanismos Mecanismos Algoritmo de cálculo en coordenadas independientes 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Posición (dependiente) y velocidad (independiente) en t R = R (q ) Matriz de transformación q& = Rz& Velocidades dependientes R T MR = M (q ) Matriz de masas Fuerzas exteriores R T Q = Q (q, q& , t ) & z& Término de aceleraciones R T MR −1 T T Derivada & z& ) &z& = (R MR ) R (Q − MR TEORÍA DE MÁQUINAS - 4.36 4.36 -  J.M. Pintor Borobia J.M. Jiménez Bascones
Integración Numérica (VI)