(agregar Punto Base) Problema 1. Un Plano Inclinado En ángulo α

Transcript

(agregar punto base) Problema 1. Un plano inclinado en ángulo α respecto a la horizontal, rota en torno al eje z0 vertical con velocidad angular constante de magnitud Ω. Una particula parte del reposo en O y baja acelerando... Ω z 0 z y O g α x Considerando el movimiento relativo al sistema rotante Oxyz tenemos que arel v rel r ω F dω dt = = = = x ¨ˆı + y¨jˆ xˆ ˙ ı + yˆ ˙j xˆı + yˆ j ˆ Ωk0 = Ω(cos αkˆ − sin αˆı) = N kˆ − mg(cos αkˆ − sin αˆı) = 0 luego usando el teorema de Coriolis despreciando los términos en Ω2 a = 2ω × v rel + +arel y entonces N kˆ − mg(cos αkˆ − sin αˆı) = m(2Ωkˆ0 × (xˆ ˙ ı + yˆ ˙ j) + +¨ xˆı + y¨jˆ 2ω×v rel = 2Ω(− sin α, 0, cos α)×(vx , vy , 0) = 2Ω (−vy cos α, vx cos α, −vy sin α) luego las componentes son g sin α = −2Ωy˙ cos α + x ¨ 0 = 2Ωx˙ x cos α + y¨ N − g cos α = −2Ωy˙ sin α m 1 g sin α = −2Ωy˙ cos α + x ¨ 0 = 2Ωx˙ cos α + y¨ ⇒ y˙ = −2Ωx cos α N − g cos α = −2Ωy˙ sin α m la primera da x ¨ x˙ y¨ y˙ y = = = = g sin α gt sin α −2Ωx˙ cos α = −2Ωgt sin α cos α −Ωgt2 sin α cos α 1 = − Ωgt3 sin α cos α 3 La normal será (despreciando Ω2 ) N − g cos α = −2Ωy˙ sin α m N ' mg cos α Problema 2 Llamemos f1 y f2 las fuerzas de roce (hacia la izquierda). Las ecuaciones de movimiento son = −kx1 + k(x2 − x1 ) − f1 x ¨1 1 = (3M )R2 2 R = −k(x2 − x1 ) − f2 x ¨1 1 = (2M )R2 2 R 3M x ¨1 f1 R 2M x ¨2 f2 R al eliminar las fuerzas de roce 9 x ¨1 2 3¨ x1 k (x2 − 2x1 ) M k = − (x2 − x1 ) M = al sustituir x1 = Ae−iωt , x2 = Be−iωt resulta 9 2k k (− ω 2 + )A − B 2 M M k k A + (3ω 2 − )B M M = 0 = 0 EL DETERMINANTE es 2k k 9 k2 (− ω 2 + )(3ω 2 − )+ 2 =0 2 M M M 2 x1 x2 cuyas soluciones son ω 21 = ω 22 = 1 k 9M 2 k 3M las razones resultan A B = A1 B1 = A2 B2 = −(3ω 2 − k M) k M k k −M ) −( 13 M k M k k ) −(2 M − M k M = 2 3 = −1 luego x1 = A1 e−iω1 t + A2 e−iω2 t = x2 = B1 e−iω1 t + B2 e−iω2 t 2 B1 e−iω1 t − B2 e−iω2 t 3 de donde se despejan las coordenadas normales 2 ξ − ξ2 3 1 = ξ1 + ξ2 x1 = x2 ξ1 ξ2 3 3 x2 + x1 5 5 3 2 = − x1 + x2 5 5 = Problema 3 3 Para un sistema rotante con origen en el centro del aro a = 2ω × v rel + ω × (ω × r) + arel 1 2 V = kρ 2 v rel = Rθ˙ ˆθ 2 arel = −Rθ˙ rˆ + R¨θˆθ ω × (ω × r) = −ω 20 r luego m(2ω × v rel + ω × (ω × r) + arel ) = N − kρˆ ρ 2 ρ m(2ω 0 kˆ0 × Rθ˙ ˆθ + ω 20 Rkˆ0 · rˆkˆ0 − ω 20 r − Rθ˙ rˆ + R¨θˆθ) = N − kρˆ ˆ para eliminar la normal multiplicamos ·θ resultando m(Rθ¨ − ω 2 R cos θ sin θ) = −kρˆ ρ · θˆ 0 m(R¨θ − ω 20 R cos θ sin θ) = −kρ cos θ m(R¨θ − ω 20 R cos θ sin θ) = −kR sin θ cos θ ¨θ + ( k − ω 2 ) cos θ sin θ = 0 0 m Si además existe una fuerza F (θ) = F0 (θ)ˆθ m(R¨θ − ω 2 R cos θ sin θ) = −kR sin θ cos θ + F0 (θ) 0 la coondición ¨θ = 0 conduce a (kR − mω 20 R) cos θ sin θ = F0 (θ) 4