Transcript
Ejercicio 93 Geometr´ıa proyectiva
(1096-421)
En el plano proyectivo, sean `, p, q rectas que concurren en un punto O, y A, D puntos en `; B, E en p y C, F en q, con BC ∩ EF = U, CA ∩ F D = V, AB ∩ DE = W. Sea r una recta que no contiene a ninguno de los puntos anteriores, y r interesecta a las rectas U V W, `, p, q en X, Y, Z, R, respectivamente. Entonces se tiene la siguiente relaci´on entre razones dobles: (W U V X) =
1 − (ADY O) (BEZO) − (CF RO) . 1 − (CF RO) (BEZO) − (ADY O)
´ SOLUCION: Usando coordenadas:
Tomando como puntos base los puntos O y Y , se tiene: ¯ ¯ 1 1 ¯ ¯ 0 b (BCOY ) = ¯¯ ¯ 1 1 ¯ 0 c
¯ ¯ ¯ ¯ 0 ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯:¯ ¯ ¯ 0 ¯ ¯ ¯ ¯ 1
1 b 1 c
¯ ¯ ¯ ¯ b ¯= . ¯ c ¯ ¯
An´alogamente (BAOY ) = b/a y, tomando los puntos bases O y Z, (EF OZ) = e/f y (EDOZ) = e/d. Ecuaci´on de las rectas: AE ≡ aex0 + ax1 + ex2 , AF ≡ af x0 + ax1 + f x2 , BD ≡ bdx0 + bx1 + dx2 , AF ≡ af x0 + ax1 + f x2 , CD ≡ cdx0 + cx1 + dx2 , CE ≡ cex0 + cx1 + ex2 . Por lo que U = BF ∩ CE V = AF ∩ CD (−be + cf, ef (b − c), bc(e − f )) (−ad + cf, df (a − c), ac(d − f ))
W = AE ∩ BD (−ad + be, de(a − b), ab(d − e)).
Los puntos U, V y W est´an alineados, por le torema de Pappus, o bien observando sus coordenadas, en las que se ve claramente la dependencia lineal de ellas. El punto X = lUV tiene por coordenadas (0, −ade + bde + adf − cdf − bef + cef, −abd + acd + abe − bce − acf + bcf ). Tomando en la recta U V los puntos base U (1, 0) y V (0, 1), tenemos que W (−ad, be) y X(ad − cf, −be + cf ), con
La Laguna, Lunes 4 de Octubre del 2010
P´ ag. 1/2
Angel Montesdeoca
lo que
¯ ¯ ¯ 0 −ad ¯ ¯ ¯ ¯ 1 be ¯ ¯ : (W U V X) == ¯¯ ¯ ¯ 0 1 ¯ ¯ 1 0 ¯
¯ ¯ ¯ ad − cf −ad ¯ ¯ ¯ ¯ cf − be be ¯ ad(be − cf ¯ ¯ ¯ ad − cf 1 ¯ = −cf (ad − be) . ¯ ¯ ¯ cd − be 0 ¯
Como, por otra parte, 1− 1 − (BCOY ) (EF OZ) = 1 − (BAOY ) (EDOZ) 1−
b e cf b e ad
=
ad(de − cf ) , cf (be − ad)
se verifica la f´ormula anunciada.
http://webpages.ull.es/users/amontes/pdf/ejgp1096.pdf La Laguna, Lunes 4 de Octubre del 2010
P´ ag. 2/2
Angel Montesdeoca