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UNIVERSIDAD DE LOS ANDES - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS CURSO DE CÁLCULO DIFERENCIAL - CÓDIGO: MATE-1203-1204 EXAMEN FINAL - NOVIEMBRE 2010
NOMBRE: Juro solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que puedan conducir a la trampa o al fraude en las pruebas académicas. FIRMA:
PARTE I Tema B Tiempo: 75 minutos 15 preguntas
Encierre la respuesta correcta en un círculo. Haga sus cálculos en este cuadernillo de examen
1 1 x 2 1. Considere la función definida a trozos: f ( x) 1 x 2
si x 1 si x 1
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es la única verdadera? a) b) c) d)
f ( x) f ( x) f ( x) f ( x)
no es continua ni diferenciable en a 1 . es continua pero no es diferenciable en a 1 . es continua y diferenciable en a 1 . es diferenciable pero no es continua en a 1 .
2. El dominio de la función g ( x)
x 2 10 3 es: x2
a) (,1) [2,4)
b) [1,2] [4, )
d) [1,2) [4, )
e) [1,4]
c) R {2}
Espacio de borrador
3.
lim x 0
a) 1
sin(2 x) x b) 0
e)
d) 1 2
c) 2
4. Suponga que la gráfica de y f ( x) es: y
x
Entonces, la gráfica de y f ( x 1) 2 es: a)
b) y
y
x
c)
x
d) y
y
x
x
5. La ecuación de la recta tangente a la curva y x3 4 x en el punto (1, 3) es:
1 5 a) y x 2 2
b) y x 4
d) y 2 x 1
e) y 3x
c) y x 2
6. Si 3x f ( x) x3 2 para todo x [0,2] , entonces lim f ( x) x 1
b)
a) 0
c) indeterminado
d) 3
e) 2
7. La derivada de y ln sec(2 x) tan(2 x) es: a) y 2tan 2 (2 x)
b) y 2sec2 (2 x) tan 2 (2 x)
c) y sec(2 x) tan(2 x)
d) y sec3 ( x)
e) y 2sec(2 x)
8. Si se deriva implícitamente la ecuación x sin y y 2 cos x , se encuentra que la derivada dy dx cuando x 0 y y 2 vale: a) 1
b) 0
c) 2 3
d) Indefinido
e) 2
1
1 x 9. lim x x
a) e
b) 1 e
c) 0
d)
e) 1
10. Sea f ( x) x con x [1,4] . De acuerdo al teorema del valor medio para derivadas, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es la única correcta?
a) Existe c [1,4] tal que f (c)
1 . 3
1 b) Para todo c [1,4] es cierto que f (c) . 3 1 1 c) Existe c [1,4] tal que . 3c 2 f (4) f (1) 1 d) Existe c [1,4] tal que f (c) . 4 1 3
e)
Ninguna afirmación es correcta.
11. Si g ( y )
y2
sin t dt , entonces g ( y)
a) 2 y cos( y 2 )
b) 2 y sin( y 2 )
d) y 2 cos( y)
e) 2 y sin( y)
c) 2 y cos2 ( y)
12. El área de la región delimitada por las curvas y xe x y y 2
x en el e
primer cuadrante (véase la gráfica adjunta) es: a)
1 2e
b)
1 e
c)
1 1 2 2e
d)
1 1 2 e
y
x
e)
1 2
n
13. lim
n
i 1
1 4i 1 n 3n
a) 1 3
14.
b) 4 3
c) 2
d) 1 2
e) 2 3
cos(ln x) dx x
a) cos(ln x) C
b)
sin(ln x) C x
d) ln(sin x) C
e)
sin(ln x) cos(ln x) C x2
c) sin(ln x) C
15. La región delimitada por las gráficas de y Ae x , y 0 , x 0 y x ln3 se hace girar alrededor del eje x, lo que genera un sólido de revolución. El valor positivo de la constante A para que dicho sólido de revolución tenga un volumen de 16 es de: a) 3
b) 2
c) 1 4
FIN PARTE 1
d) 2
e) 1 2
´ U NIVERSIDAD DE LOS A NDES D EPARTAMENTO DE M ATEM ATICAS MATE1203 C´alculo Diferencial Examen Final — (26/07/2010)1 Nombre:
´ Codigo:
.
1. Calcule los siguientes l´ımites √ √ x + 2 − 2x a) l´ım x →2 x2 − 2x
b) l´ım
x →∞
x − 2
r
.
x2 +x 4
!
´ de la recta tangente a la gr´afica de la ecuacion ´ 2. Halle la ecuacion y + cos( xy2 ) + 3x2 = 4 en el punto (1, 0). 3. Se desea construir una lata (con tapa) con capacidad para un litro, con la forma de un cilindro circular recto. ¿De qu´e dimensiones debe ser la lata para usar la menor cantidad posible de material?. x2 − 2x + 4 ´ f (x) = 4. Bosqueje la gr´afica de la funcion , teniendo en cuenta: x−2 a) Dominio.
b) Simetr´ıas. c) Cortes con los ejes. d) As´ıntotas. e) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. f ) M´aximos y m´ınimos. ´ g) Intervalos de concavidad y puntos de inflexion. ´ limitada por las curvas y = x2 , x + y = 2, y = 0. 5. Considere la region ´ a) Halle el a´ rea de la region. ´ ´ que se obtiene al rotar b) Encuentre el volumen del solido de revolucion ´ alrededor de la recta x = 4. la region
1 El
juramento del uniandino dice: “Juro solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que pueden conducir a la trampa o al fraude en las pruebas acad´emicas, o en cualquier otro ˜ acto que perjudique la integridad de mis companeros o de la misma Universidad”