12/12/2009 - Ciberesquina - Universidad Nacional Abierta

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Prueba Integral Te quiero Lapso 2009-2 739 –1/7 Universidad Nacional Abierta Matemática V (739) Vicerrectorado Académico Cód. Carrera: 236 – 280 Área De Matemática Fecha: 12 – 12 – 2009 MODELO DE RESPUESTAS Objetivos del 1 al 10. OBJ 1 PTA 1 Determine si la serie converge absolutamente, condicionalmente o si diverge. Solución Apliquemos el criterio del cociente (Criterio de D’alembert) a la serie Es decir calculamos como entonces la serie converge absolutamente. OBJ 2 PTA 2 A partir de , obtener un desarrollo en series de potencia de x, para Solución Se tiene que si sustituimos x por –t nos queda luego, integramos desde 0 hasta x obtenemos Elaborado por: José Casella Área de Matemática Prueba Integral Lapso 2009-2 739 –2/7 Por lo tanto OBJ 3 PTA 3 Considere la función definida por . i) Grafique la extensión periódica ii) Desarrolle en serie de Fourier la función Nota: Se considera logrado el objetivo si responde correctamente ambas partes. Solución Ver Matemática V (código 739, tomo I) paginas 180-181. OBJ 4 PTA 4 Dada la función Determinar si u es armónica y en caso afirmativo halle la armónica conjugada. Solución Hallemos las primeras y segundas derivadas parciales de la función u (2) sumando (1) y (2) obtenemos De aquí que la función u es armónica. De las ecuaciones de Cauchy-Riemann. se tiene Integrando 3 con respecto a y: Elaborado por: José Casella Área de Matemática Prueba Integral Lapso 2009-2 739 –3/7 Para hallar C(x), sustituimos v en la ecuación (4) Integrando obtenemos C. . Sustituyendo este valor en la ecuación (5) obtenemos finalmente: OBJ 5 PTA 5 Hallar el valor numérico de a lo largo de la curva dada por Solución Para z = 0 y z = 4+2i sobre C, corresponden t = 0 y t = 2 respectivamente, la integral de línea correspondiente es: OBJ 6 PTA 6 Desarrolle en Serie de Laurent , en la región . Solución Valido para ; es decir Elaborado por: José Casella Área de Matemática Prueba Integral Lapso 2009-2 739 –4/7 OBJ 7 PTA 7 Calcule la siguiente integral Considere sobre la curva . senz =1 para z = 0. z Solución Sea ; posee singularidades en z = i2kπ con k∈Z; z = −i π, pero solo los puntos z = 0, z = i2π están dentro de C. Entonces (*) Calculemos los residuos en cada uno de los puntos a) En z = 0 hay un polo simple. Como senz =1 para z = 0, z , entonces = b) En z = i2π hay un polo simple (¡verifícalo!). (polo simple en ), sustituyendo en (*) los valores encontrados en a) y b) obtenemos Elaborado por: José Casella Área de Matemática Prueba Integral Lapso 2009-2 739 –5/7 OBJ 8 PTA 8 Evalúe usando el teorema de los residuos. Solución Tiene polos simples en Al multiplicar por , tenemos: OBJ 9 PTA 9 Usando el teorema de convolución, determine la transformada inversa de . Solución Sea Elaborado por: José Casella Área de Matemática Prueba Integral Lapso 2009-2 739 –6/7 OBJ 10 PTA 10 Resuelva, utilizando transformada de Laplace, la siguiente ecuación diferencial y′′ – 3y′ + 2y = 6e2 t , sujeta a las condiciones iniciales: y(0) = 1, y′(0) = 0. Solución De las propiedades de la transformada de Laplace y de las condiciones iniciales, tenemos que: L(y’’) - 3L(y’) + 2L(y) = 6L(e2 t ) t2L(y) - t - 3tL(y) + 3 + 2L(y) = (t2 - 3t + 2)L(y) = L(y) = (t 2 6 t-2 6 + ( t - 3 )( t - 2 ) 6 +t-3= t-2 ( t - 2) - 5t + 12 ) ( t - 2 ) ( t 2 - 3t + 2) = (t 2 - 5t + 12 ) ( t - 2 )( t - 2)( t - 1) . Aplicando fracciones parciales en la última igualdad obtenemos: (t L(y) = ) A ( t - 2 )( t - 1) + B ( t - 1) + C ( t - 2 ) B A C = + + = 2 2 2 ( t - 1) ( t - 2 ) ( t - 1) ( t - 2 ) ( t - 1) ( t - 2) ( t - 2) 2 - 5t + 12 2 , de donde por igualdad de fracciones, tenemos: t2 - 5t + 12 = (A + C)t2 + (- 3A + B - 4C)t + (2A - B + 4C). Lo anterior nos conduce a plantear y resolver el siguiente sistema de ecuaciones: A+C=1 - 3A + B - 4C = - 5 2A - B + 4C = 12 Luego de resolver encontramos que la solución del sistema es: A = - 7, B=6 y C = 8. Por lo tanto: Elaborado por: José Casella Área de Matemática Prueba Integral Lapso 2009-2 L(y) = 739 –7/7 6 -7 8 + + . 2 ( t - 2) ( t - 2) ( t - 1) Aplicando transformada inversa a ambos lados de la igualdad anterior, resulta: ⎡ 1 ⎤ ⎡ 1 ⎤ ⎡ 1 ⎤ 2x x -1 2x ⎢ ⎥ + 8 L -1 ⎢ y = - 7 L -1 ⎢ + 6 L ⎥ ⎥ = - 7e + 6 xe + 8 e 2 t 2 t 1 ⎢⎣ ( t - 2 ) ⎥⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ FIN MODELO DE PRUEBA Elaborado por: José Casella Área de Matemática