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Prueba Integral
Te quiero
Lapso 2009-2
739 –1/7
Universidad Nacional Abierta
Matemática V (739)
Vicerrectorado Académico
Cód. Carrera: 236 – 280
Área De Matemática
Fecha: 12 – 12 – 2009
MODELO DE RESPUESTAS Objetivos del 1 al 10.
OBJ 1 PTA 1 Determine si la serie converge absolutamente, condicionalmente o si diverge.
Solución Apliquemos el criterio del cociente (Criterio de D’alembert) a la serie
Es decir calculamos
como
entonces la serie converge absolutamente. OBJ 2 PTA 2 A partir de
, obtener un desarrollo en series de potencia de x, para
Solución Se tiene que
si sustituimos x por –t nos queda
luego, integramos desde 0 hasta x obtenemos
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Por lo tanto
OBJ 3 PTA 3 Considere la función definida por . i) Grafique la extensión periódica ii) Desarrolle en serie de Fourier la función Nota: Se considera logrado el objetivo si responde correctamente ambas partes. Solución Ver Matemática V (código 739, tomo I) paginas 180-181. OBJ 4 PTA 4 Dada la función Determinar si u es armónica y en caso afirmativo halle la armónica conjugada. Solución Hallemos las primeras y segundas derivadas parciales de la función u
(2) sumando (1) y (2) obtenemos
De aquí que la función u es armónica. De las ecuaciones de Cauchy-Riemann. se tiene
Integrando 3 con respecto a y: Elaborado por: José Casella
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Para hallar C(x), sustituimos v en la ecuación (4)
Integrando obtenemos C. . Sustituyendo este valor en la ecuación (5) obtenemos finalmente:
OBJ 5 PTA 5 Hallar el valor numérico de
a lo largo de la curva
dada por
Solución Para z = 0 y z = 4+2i sobre C, corresponden t = 0 y t = 2 respectivamente, la integral de línea correspondiente es:
OBJ 6 PTA 6 Desarrolle en Serie de Laurent
, en la región
.
Solución
Valido para
; es decir
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OBJ 7 PTA 7 Calcule la siguiente integral Considere
sobre la curva
.
senz =1 para z = 0. z
Solución Sea
;
posee singularidades en
z = i2kπ con k∈Z; z = −i π, pero solo los puntos z = 0, z = i2π están dentro de C. Entonces (*) Calculemos los residuos en cada uno de los puntos a) En z = 0 hay un polo simple. Como
senz =1 para z = 0, z
, entonces
= b)
En z = i2π hay un polo simple (¡verifícalo!). (polo simple en
),
sustituyendo en (*) los valores encontrados en a) y b) obtenemos
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OBJ 8 PTA 8 Evalúe usando el teorema de los residuos.
Solución
Tiene polos simples en
Al multiplicar por
, tenemos:
OBJ 9 PTA 9 Usando el teorema de convolución, determine la transformada inversa de
. Solución
Sea
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OBJ 10 PTA 10 Resuelva, utilizando transformada de Laplace, la siguiente ecuación diferencial
y′′ – 3y′ + 2y = 6e2 t , sujeta a las condiciones iniciales: y(0) = 1, y′(0) = 0. Solución De las propiedades de la transformada de Laplace y de las condiciones iniciales, tenemos que: L(y’’) - 3L(y’) + 2L(y) = 6L(e2 t )
t2L(y) - t - 3tL(y) + 3 + 2L(y) = (t2 - 3t + 2)L(y) =
L(y) =
(t
2
6 t-2
6 + ( t - 3 )( t - 2 ) 6 +t-3= t-2 ( t - 2)
- 5t + 12
)
( t - 2 ) ( t 2 - 3t + 2)
=
(t
2
- 5t + 12
)
( t - 2 )( t - 2)( t - 1)
.
Aplicando fracciones parciales en la última igualdad obtenemos:
(t L(y) =
)
A ( t - 2 )( t - 1) + B ( t - 1) + C ( t - 2 ) B A C = + + = 2 2 2 ( t - 1) ( t - 2 ) ( t - 1) ( t - 2 ) ( t - 1) ( t - 2) ( t - 2) 2
- 5t + 12
2
,
de donde por igualdad de fracciones, tenemos: t2 - 5t + 12 = (A + C)t2 + (- 3A + B - 4C)t + (2A - B + 4C). Lo anterior nos conduce a plantear y resolver el siguiente sistema de ecuaciones: A+C=1 - 3A + B - 4C = - 5 2A - B + 4C = 12 Luego de resolver encontramos que la solución del sistema es: A = - 7,
B=6
y
C = 8.
Por lo tanto: Elaborado por: José Casella
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L(y) =
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6 -7 8 + + . 2 ( t - 2) ( t - 2) ( t - 1)
Aplicando transformada inversa a ambos lados de la igualdad anterior, resulta: ⎡ 1 ⎤ ⎡ 1 ⎤ ⎡ 1 ⎤ 2x x -1 2x ⎢ ⎥ + 8 L -1 ⎢ y = - 7 L -1 ⎢ + 6 L ⎥ ⎥ = - 7e + 6 xe + 8 e 2 t 2 t 1 ⎢⎣ ( t - 2 ) ⎥⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
FIN MODELO DE PRUEBA
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